Chaîne de modules b₁ < ... < b_n et un module a, alors on forme a+b₁<a+b₂<...<a+b_n<a<a-b₁<a-b₂<... Exemple avec n=2, modules b_i notés 1, 2, 3 et a noté 0. Calcul de toutes les combinaisons possibles, Treppen, voisins...

Tableau de toutes les combinaisons possibles pour 4 modules notés 1, 2, 3 et 4 avec opérations + et – Colonne indiquant le nombre de cas possibles selon le nombre d'opérandes

Courte étude des conditions pour avoir c₃>b''' et c₃<b''' ? Puis de (a+b)-c<(a-c)+b suit (a+b)-c=(a-c)+b

Calculs sans contexte sur modules et chaînes.

Page 8. Deux chaînes de modules a (m membres) et b (n membres), on construit c=a-b et d=a+b. Étude des différentes relations. En marge : "Les PGCD formés par a, b, a-b correspondent aux PPCM formés par a, b, a+b et forment donc un groupe."
Manipulation des opérations et relations autour du Modulgesetz. Généralisation de l'égalité à un nombre quelconque de modules.
Théorème général et preuve.

Au verso, quelques notes (mêmes égalités ?) avec la notation des morphismes / Abbildungen.


Page 9. Suite des calculs pour la preuve du théorème.

Séparation. Etude pour trois modules. Operations, Treppen, diagrammes, Ketten.

Verso : Schöner Satz falsch, 1889. 1. 4. 
Calculs sur des modules finis (exemple ?)

Trois modules a, b, c. Propriétés de divisibilité. Liste des "Abtheilungen" (sections, comme des sous-groupes) notés (a₁), (a''), etc. et étude de leurs relations. Verso : nombre de classes, congruences, pour des Abtheilungen d'après la notation entre parenthèses MAIS lettres différentes — peut-être exemple sur modules finis.

[ha, hb+cw] avec a, b premiers entre eux. Calculs.

Modules finis de la forme [p₁+q₁w, p₂+q₂w ... p_m+q_mw] = [n, p+qw]. Déterminer n, p, q.

Définition de a''', b''', c''', a'', b'', c''. Quand a-t-on a'''<c''<c ?

Si a>p>a+b, on construit pour chaque tel module p un module correspondant q=a-b, alors a-b>q>b et p=q+a. Réciproquement, si a-b>q>b, et on construit pour chaque tel module q un module p=q+a, alors a>p>a+b et q=p-b.
Alors, le groupe P de tous les modules p vérifiant la condition a>p>a+b est en correspondance mutuelle uniforme avec le groupe Q de tous les modules q qui vérifient b<q<b-a.
Dessin.

En marge autour du résultat : calculs de combinaisons et chaînes mais est-ce vraiment en lien?

Tableau des Nächste Vielfache et Nächste Theiler avec classes de nombres

Pour trois modules a, b, c, calculs sur les nombres de classes

Première page, calculs sur modules finis générés par 2 éléments. Deuxième page : ancienne notation, application de la théorie générale des trois modules à des modules générés par 2 éléments.

Tableau pour trois modules a, b, c. Difficile de statuer sur son contenu. Concerne des modules finis.Co

Formation d'un groupe engenrdré par 3 modules donnés quelconques a, b, c, rang d'un module engendré par application des opérations.
Tableau des modules selon leur rang.
Nombre de classes.

Brefs calculs sur des modules finis

Seulement 4 lignes, apparemment interrompu – lié au Modulgesetz.

Page 28r : liste de modules finis avec notation 123 (?) 

Page 28v :
La divisibilité d'un module m par un module n sera complètement exprimée par chacune de ces 3 égalités : (m,n)=1 ; m+n=n ; m–n=n.
Tableau montrant la dualité entre les propriétés de + et –.

Page 29r :
Propriétés des nombres de classes par à la divisibilité.

Page 29v :
Suite du recto.

Présentation en colonnes des propriétés (duales) de + et –. Puis calculs sur des bases de modules finis.

Énoncé du Modulgesetz. Étude d'un Dualgruppe généré par 3 modules avec condition (1) (lié au Modulgesetz).

Petit tableau. Calcul d'Excidenzen et d'Incidenzen. Etude des "Stufen" dans un Dualgruppe donné.

Au dessus du titre original : "Ancienne notation". Mise au propre de calculs rencontrés de nombres fois (cf relations).

Théorèmes de la "théorie des modules" (eg propriétés de la divisibilité) réécrites avec la notation générale de théorie des ensembles. Partie de la généralisation de la théorie des modules.

Page 30r : publicité, calculs épars. Page 30v : calculs sur des modules finis (base 2 éléments), calculs sur exemples numériques. Page 31r : page avec le titre "Zweigliedrige Moduln". Réflexions sur la divisibilité. Calculs. Page 31v. Fin ? Proposition de notation différente.

Récapitulatif d'égalités pour les opérations entre modules. Organisation en colonnes pour mettre en avant la dualité. Calculs sur les bases (bien que les modules ne soient pas présentés comme modules finis ?).

Théorème daté du 27 oct. 1890.
Esquisse de preuve.

Esquisse de preuve du Modulgesetz.

Grand feuillet plié en deux : - égalités / Modulgesetz - égalités / nombre de classes

Pages mélangées. p. 46r : quelques calculs, suite de p. 47v. p. 46v : vierge. p.47r : quelques recherches sur le Modulgesetz au crayon par dessus une invitation. p. 47v : calculs sur les modules finis (encre).

Tentative de généralisation du Modulgesetz (non nommé). Notation mixte. Plusieurs théorèmes avec tentative de preuves.
Fin du manuscrit : Einfacher ausgedrückt + mention de la dualité. Ces réflexions autour de l'application du Modulgesetz à un nombre quelconque de modules donne : et son dual.

Feuillet commence par un tableau non terminé. Liste des Treppen. Petits calculs autour du Modulgestz. NB : La disposition des écritures permet-elle de mettre en avant la "symétrie" ou "dualité" ?

Deux théorèmes avec (esquisse de) preuve :
- Soit d module non divisible par des modules p, q, alors il existe toujours des nombres dans d qui sont ni dans p ni dans q.
- Mais dès qu'on considère trois modules p, q, r, le théorème cesse d'être valide. On peut construire une infinité d'exemples.

Colonnes donnant notamment certaines relations entre modules. Manque de contexte pour être sûr de ce que signifient les autres colonnes + le tableau semble ne pas avoir été terminé.

Recherches autour des propriétés des opérations pour 4 modules. Notation mixte car la notation 123 ne permet pas d'aller très loin.
Dessins pour représenter les "niveaux".

Corrections sur le §184 (= §178 de la 3e édition) pour l'édition de 1894 des Vorlesungen de Dirichlet.
Il s'agit du paragraphe sur le nombre de classes d'idéaux.

Attention les pages dans le désordre. L'ordre de lecture semble être : p. 57v (57r = imprimé) puis p. 53 à p. 56.

Étude de la "Verwandschafdt" et des "familles" de modules telles que définis dans les Vorlesungen de Dirichlet (référence à édition de 1871, p. 490). Calcul de "distances" entre modules (ie nombres de "marches" dans "l'escalier") et organisation de ces distances dans un tableau.

Commence par une étude du "groupe" généré par 3 modules ou trois groupes abéliens. Reformulation dans la notation utilisée pour la théorie des groupes (eg Modulgesetz). Étude du treillis formé par les sous-groupes normaux.

Grand tableau PGCD/PPCM avec notation3 et détail des définitions. Etude de la dualité dans les nombres de classes.