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[ENS01_Ms0122_01_0002]
Title
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[1ère de couverture]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
Rights
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Numérisation : bibliothèque Ulm-Lettres de l’École normale supérieure, Public Domain Mark
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Creator
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Bouty, Edmond
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Camus, Elsa (transcription & encodage)
Dessaint, Charlotte (responsable éditoriale)
Walter, Richard (édition numérique)
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Bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle)
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<p><ptr target="1967"/> <ptr target="1968"/> <ptr target="1969"/> <ptr target="1970"/> <ptr target="1971"/> <ptr target="1972"/> <ptr target="1973"/> <ptr target="1974"/></p>
<div><tittle>
<p rend="center">Faculté des Sciences<lb class="yes lb" break="yes"/> 1896-1897</p>
<p rend="center">Cours de <persname> <ref target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13474516f"> M. Bouty</ref></persname></p>
<p rend="center">Electricité et Magnétisme<lb/> (moins l'Electro-Chimie)</p>
</tittle><signed> <persname/><ref target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb122789479"> Louis Couturat</ref> 3, rue Soufflot</signed></div>
<p><ptr target="1975"/></p>
<div>
<p rend="center"><app> <lem class="undefined lem"> Ms 122</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> cote du manuscrit ajoutée par le bibliothécaire</note></app></p>
</div>
<p><ptr target="1976"/></p>
<div>
<p rend="center">Première leçon</p>
<p rend="center">Notions préliminaires.</p>
<p rend="left">L'énergie est la faculté de produire un travail<lb/> mécanique.</p>
<p rend="left">L'énergie revêt des formes très variées. Par exemple,<lb/> soit un mobile de masse <hi rend="underline">m</hi>, animé d'une vitesse <hi rend="underline">v</hi> :<lb/> sa force vive est <math class="mathml"><msup><mi>mv</mi><mn>2</mn></msup></math> . Il peut produire un travail,<lb/> par ex. soulever un poids <hi rend="underline">p</hi> à une hauteur <hi rend="underline">h</hi> ; ce<lb/> travail sera mesuré par <hi rend="underline">ph</hi>. On constate d'autre part<lb/> que ce travail est égal à sa demi-force vive :</p>
<p rend="center"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi>mv</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Cette espèce d'énergie, due à la vitesse acquise,<lb/> s'appelle <hi rend="underline">énergie cinétique</hi>.</p>
<p rend="left">Un autre mode d'énergie est l'<hi rend="underline">énergie potentielle</hi>.<lb/> Un ressort bandé peut produire du travail en se détendant,<lb/> par ex. soulever un poids. Tous les corps élastiques possèdent<lb/> une telle énergie : tel est un gaz comprimé par un piston<lb/> dans un cylindre : il soulèvera en se détendant les poids<lb/> dont on charge le piston.</p>
<p rend="left">La chaleur peut communiquer à un corps de l'énergie<lb/> potentielle. Si l'on fixe le piston dans une position</p>
</div>
<p><ptr target="1977"/></p>
<div>
<p rend="left">2</p>
<p rend="left">d'équilibre, et qu'on chauffe le gaz, sa pression augmente<lb/> (devient supérieure à la pression atmosphérique) ; si l'on<lb/> dégage le piston, le gaz le soulèvera avec les poids<lb/> qui le chargent.</p>
<p rend="left">On sait qu'il existe une relation entre la chaleur<lb/> communiquée au corps et le travail qu'il produit.<lb/> Il faut en préciser les conditions. Soit un phénomène<lb/> dans lequel un système de corps se trouve isolé :<lb/> ces corps peuvent recevoir ou donner de la chaleur,<lb/> produire ou consommer du travail. Quand le système<lb/> sera revenu à son état initial, il y aura un rapport<lb/> constant entre le travail produit et la chaleur absorbée.</p>
<p rend="left">Exemple : expérience de Joule. Soit Τ le travail<lb/> produit par les poids en tombant ; soit Q la quantité<lb/> de chaleur acquise par le calorimètre : le rapport <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Τ</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> est constant : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Τ</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>EQ</default:mi></default:math> <lb/> E est l'équivalent mécanique de la calorie (ou de la<lb/> chaleur). Dans l’ancien système (kilogrammètre,<lb/> grande calorie) <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>425</default:mn></default:math> . Dans le système CGS,<lb/> (erg, petite calorie) : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mo>,</default:mo><default:mn>17</default:mn><default:mo>×</default:mo><default:msup><default:mn>10</default:mn><default:mn>7</default:mn></default:msup></default:math></p>
<p rend="left">Le frottement est un moyen de transformer d'une<lb/> manière continue le travail en chaleur. Expérience<lb/> de Tyndall.</p>
</div>
<p><ptr target="1978"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">3</p>
<p rend="left">Parmi les énergies potentielles se rangent les<lb/> énergies chimiques, par ex celle de la poudre à canon.<lb/> Elle est capable d'effectuer un travail en chassant le<lb/> projectile, et son énergie se transforme en force vive.</p>
<p rend="left">Les formes précédentes de l'énergie paraissent<lb/> localisées dans les corps (ressort bandé, poudre à canon)<lb/> de telle sorte qu'ils la transportent partout avec eux.</p>
<p rend="left">Voici une autre espèce d’énergie potentielle, toute<lb/> différente. Considérons un rayon de soleil (à la fois<lb/> lumineux et chaud) qui parcourt 300 000 kilom.<lb/> par seconde (sa vitesse CGS est de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mn>3,10</default:mn><default:mrow><default:mn>10</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math> centim.).</p>
<p rend="left">La chaleur solaire peut-être emmagasinée par une<lb/> chaudière à vapeur, par les végétaux, etc. et produire<lb/> ainsi du travail. La lumière solaire peut effecteur<lb/> un travail chimique (photographie) équivalent en<lb/> fin de compte à un travail mécanique. Supposons<lb/> le soleil anéanti en ce moment ; la terre recevra encore<lb/> son énergie pendant 8 min. 30 sec. Où est l'énergie<lb/> solaire pendant ce temps ? Dans le vide. Un cylindre<lb/> de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mn>3,10</default:mn><default:mrow><default:mn>10</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math> centim. de hauteur contient l'énergie que<lb/> recevra sa surface de base pendant 1 seconde. C'est<lb/> de l'énergie qui voyage.</p>
<p rend="left">Pour expliquer ce mystère, ou plutôt pour ramener</p>
</div>
<p><ptr target="1979"/></p>
<div>
<p rend="left">4</p>
<p rend="left">ce phénomène à un fait connu, on a imaginé un fluide<lb/> qui remplirait le vide : l'éther lumineux, et on lui a<lb/> attribué précisément l'élasticité nécessaire pour expliquer<lb/> la transmission de la lumière, comme l'élasticité de<lb/> l'air explique la transmission du son. L'éther n'est donc<lb/> rien de réel ; c'est une fiction destinée à assimiler<lb/> un fait inconnu à un fait connu et à l'expliquer<lb/> d'une manière analogue.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Principe de la conservation de l'énergie</hi></p>
<p rend="left">On a vu que le travail est dans un rapport constant<lb/> avec la force vive : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi>mv</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">Τ</default:mi><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:math> <lb/> et dans un autre rapport constant avec la chaleur :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">Τ</default:mi><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mn>425</default:mn></default:math> .</p>
<p rend="left">On a généralisé ces relations entre diverses formes<lb/> de l'énergie, et posé en principe (hypothétique) que,<lb/> si une certaine quantité d'énergie disparaît sous une<lb/> forme, elle doit reparaître sous une autre.</p>
<p rend="left">Ce principe n'a rien d'obscur : puisque toute énergie<lb/> est une puissance de travail et se manifeste par un<lb/> travail mécanique, elle doit se mesurer par le<lb/> travail produit. C'est le travail qui assure l'équi-<lb/> valence des différentes formes de l'énergie. Ainsi</p>
</div>
<p><ptr target="1980"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">5</p>
<p rend="left">les transformations du travail en force vive, en chaleur,<lb/> etc. ne sont que des cas particuliers de ce principe.</p>
<p rend="left">Ce principe est une vérité expérimentale, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/>une affirmation à laquelle certains faits ont donné<lb/> naissance, qu'on a généralisée, et qui n'a été<lb/> démentie jusqu'ici par aucun autre fait. Mais elle<lb/> est à la merci d'une expérience contraire, fort peu<lb/> probable d'ailleurs.</p>
<p rend="center">Revue et classification<lb/> des phénomènes électriques et magnétiques.</p>
<p rend="left">1° Il y a d'abord les <hi rend="underline">phénomènes magnétiques</hi> bien<lb/> connus : l'aimant attire la limaille de fer. Il effectue<lb/> donc un travail mécanique. Mais il ne peut en porter<lb/> qu'une certaine quantité : quand il est saturé, il n'en<lb/> attire plus. Il n'est donc capable que d'un travail fini,<lb/> son énergie potentielle s’épuise comme celle d'un ressort<lb/> d'étendu. Si l'on dépouille l'aimant de la limaille qui<lb/> s'y attache, on lui rend son énergie <add class="below add" place="below">en effectuant un travail contraire</add> comme quand on<lb/> tend le ressort.</p>
<p rend="left">D'autre part, les aimants exercent les uns sur les autres<lb/> des attractions et des répulsions : aiguille aimantée.<lb/> C'est une autre espèce de phénomènes magnétiques.</p>
</div>
<p><ptr target="1981"/></p>
<div>
<p rend="left">6</p>
<p rend="left"><del class="none del">2° Phéno</del> Il y a d'autres phénomènes magnétiques,<lb/> bien plus curieux. Si l'on fait tourner un disque de cuivre<lb/> (corps non magnétique, que l'aimant n'attire pas) entre<lb/> les pôles d'un aimant (électro-aimant) il s'arrête, et<lb/> l'on ne peut le faire tourner qu'avec difficulté (expérience<lb/> de Foucault). Il y a donc destruction de force vive (presque<lb/> instantanée) et par suite travail. En compensation,<lb/> on constate un échauffement du disque. Quand le<lb/> système est revenu à l'état primitif, on doit trouver<lb/> l'équivalence du travail et de la chaleur. <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12537369d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12537369d"> M. Violle</ref></persname><lb/> fait mouvoir l'appareil par des poids dont il mesure<lb/> la hauteur de chute, et plonge brusquement le disque<lb/> de cuivre dans un calorimètre. Il a ainsi trouvé<lb/> pour l'équivalent mécanique de la chaleur le nombre<lb/> 435 (trop fort, à cause des pertes de chaleur).</p>
<p rend="left">Cette expérience est analogue à celle de Tyndall :<lb/> l'action de l'aimant est tout à fait semblable au<lb/> frottement (qui n'est pas moins obscur au fond). Ce<lb/> n'est pas le frottement de l'air : car le phénomène<lb/> se produit aussi bien dans le vide. Il semble qu'il y ait<lb/> un frottement du disque contre le vide, ou du moins<lb/> les effets sont les mêmes (nous ne connaissons pas <add class="below add" place="below">plus</add> la<lb/> nature du frottement dans un cas que dans l'autre).</p>
</div>
<p><ptr target="1982"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">7</p>
<p rend="left">Sans doute, l'énergie d'un aimant semble localisée<lb/> dans ce corps et l'accompagne dans ses déplacements.<lb/> Mais on peut tout aussi bien se figurer l'attraction<lb/> de l'aimant sur une molécule comme produite<lb/> par un ressort qui serait tendu entre les deux.</p>
<p rend="left">On localise ainsi l'énergie magnétique dans le milieu<lb/> ambiant, en le conservant comme déformé par<lb/> l'aimant à une certaine distance (<persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref>), et<lb/> l'on s'explique aussi bien par là que l'aimant<lb/> transporte partout son énergie. Comme l'énergie<lb/> lumineuse et calorifique, l'énergie magnétique<lb/> peut donc être localisée dans le vide, et s'expliquer<lb/> comme elle par l'élasticité de l'éther.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">2° Phénomènes électro-magnétiques</hi></p>
<p rend="left">Faisons maintenant tourner entre les pôles d'un<lb/> aimant, au lieu du disque de cuivre, une bobine<lb/> enroulée d'une certaine manière et formant un<lb/> circuit dans lequel est intercalée une lampe à incan-<lb/> descence. C'est pour ainsi dire le disque de Foucault <lb/>qu'on a étiré en fil, et dont une partie est éloignée<lb/> de l'aiment (Machine magnéto-électrique de Gramme).</p>
<p rend="center">Dans ce cas la chaleur développée tout le long du fil<lb/> produit de la lumière en faisant rougir le fil de la lampe.</p>
</div>
<p><ptr target="1983"/></p>
<div>
<p rend="left">8</p>
<p rend="left">Cette chaleur n'est pas produite par conductibilité :<lb/> la lampe peut être à des kilomètres de l'aimant ;<lb/> d'ailleurs la chaleur se produit simultanément<lb/> et également dans toutes les parties du fil ; la<lb/> lumière apparaît et disparaît instantanément.</p>
<p rend="left">On dit que ce fil est parcouru par un <hi rend="underline">courant</hi><lb/> <hi rend="underline">électrique</hi>, et la quantité de chaleur produite est<lb/> censée mesurer l'intensité de ce courant. Cette<lb/> expression de courant est une métaphore tirée<lb/> de l'hydraulique (dans une canalisation d'eau,<lb/> on peut tirer de l'eau d'un point <unclear class="high unclear" cert="high"> qque</unclear>) ; elle vient<lb/> de l'hypothèse d'un <hi rend="underline">fluide</hi> électrique. Pour nous,<lb/> ce phénomène d'échauffement du fil est un cas<lb/> particulier de la conservation de l'énergie.</p>
<p rend="left">Le courant électrique se manifeste par d'autres<lb/> propriétés. Le fil doit être un métal (comme le disque<lb/> de Foucault) <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> </choice><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan> en un corps <hi rend="underline">conducteur</hi>, non<lb/> en un corps isolant au <hi rend="underline">diélectrique</hi>, comme le soufre.</p>
<p rend="left">Sont conducteurs non seulement les métaux, mais<lb/> aussi les dissolutions de sels métalliques, que nous<lb/> appellerons <hi rend="underline">conducteurs électrolytiques</hi>. Dans ces<lb/> conducteurs, il se produit une décomposition : par ex<lb/> l'eau acidulée du voltamètre se décompose en O</p>
</div>
<p><ptr target="1984"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">9</p>
<p rend="left">et H (celui-ci en volume double de celui-là). En général,<lb/> un conducteur électrolytique est composé d'un métal<lb/> M (en particulier H), et d'un radical (acide) R ;<lb/> quand un courant le traverse, il se décompose, le<lb/> métal d'un côté et le radical de l'autre. Exemple :<lb/> KCl se décompose en K et en Cl.</p>
<p rend="left">L'analogie des effets calorifiques et chimiques du<lb/> courant semble indiquer que la chaleur est un<lb/> travail moléculaire, puisque dans un conducteur<lb/> électrolytique la molécule est décomposée.</p>
<p rend="left">Un courant électrique produit d'autres effets en<lb/> dehors des conducteurs : expérience d'<persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444"> Œrstedt</ref>.<lb/> Le fil de cuivre, sans action sur l'aiguille aimantée,<lb/> la fait dévier quand le courant y passe. C'est<lb/> encore un phénomène électro-magnétique.</p>
<p rend="left">Si l'on met deux machines magnéto-électriques<lb/> en communication, et si l'on fait tourner l'une,<lb/> l'autre se met à tourner : c'est le même effet que<lb/> dans l'expérience d'<persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444"> Œrstedt</ref>, mais plus compliqué.<lb/> Une lampe intercalée dans le circuit ne rougit pas : mais<lb/> si l'on arrête la seconde machine, elle rougit aussitôt.</p>
<p rend="left">Pour expliquer ce curieux phénomène, il faut<lb/> remarquer que la cause du courant est le travail</p>
</div>
<p><ptr target="1985"/></p>
<div>
<p rend="left">10</p>
<p rend="left">mécanique dépensé à faire tourner la 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> machine :<lb/> on l'appelle (improprement) <hi class="underline hi" rend="underline"> force électromotrice</hi>.</p>
<p rend="left">La 2e machine produit <del class="none del">du</del> <add class="below add" place="below">un</add> travail inverse (le courant<lb/> étant mobile par rapport à l'aimant fixe). Ce travail<lb/> est une <add class="below add" place="below">force</add> contre-électromotrice qui tend à affaiblir<lb/> le courant : c'est pourquoi la lampe ne rougit que<lb/> quand la 2e machine est au repos. En somme, la<lb/> dépense de travail effectuée sur le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> machine pour<lb/> produire le courant se retrouve, tantôt sous forme de<lb/> travail mécanique produit par la 2e machine, tantôt<lb/> sous forme de chaleur et de lumière dans la lampe.</p>
<p rend="left">Soient Q et Q' les quantités de chaleur reçues par<lb/> la lampe dans les deux cas ; on a tour à tour : <lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>EQ</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> c'est pourquoi la lampe ne rougit pas.</p>
<p rend="left">3° <hi rend="underline">Phénomènes électriques</hi></p>
<p rend="left">Soit un courant ; mettons 2 points alignés A, B<lb/> du circuit en communication avec deux plateaux<lb/> métalliques très rapprochés M, M' formant ce qu'on<lb/> nomme un <hi rend="underline">condensateur</hi>. Quand le courant passe,<lb/> les deux plateaux s'attirent ; si au contraire ils étaient<lb/> reliés au même point du circuit, ils se repousseraient.</p>
</div>
<p><ptr target="1986"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">11</p>
<p rend="left">Ce sont des phénomènes d'un ordre nouveau<lb/> (électrostatiques).</p>
<p rend="left">Exemple : <hi rend="underline">électromètre de Mascart</hi><add class="above add" place="above">(<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2150 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2150"> p.175</ref>)</add> : 4 quadrants<lb/> creux, les deux opposés étant en communication,<lb/> à l’intérieur desquels peut tourner une aiguille<lb/> d'aluminium formée de deux secteurs opposés,<lb/> suspendue à un fil (ou à deux). Si l'on met les<lb/> deux couples de quadrants en communication<lb/> avec 2 points d'un circuit, l’aiguille sera<lb/> attirée par les uns et repoussée par les autres.<lb/> Si l'on renverse le courant, l'aiguille est déviée<lb/> en sens inverse.</p>
<p rend="left">Dans ces phénomènes se produisent des courants<lb/> temporaires, presque instantanés, suivant les fils<lb/> AM, BM' ; ils disparaissent dès que les plateaux sont<lb/> chargés.</p>
<p rend="left">Des 3 ordres de phénomènes que nous venons<lb/> d'énumérer, les <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> phén.</abbr> <expan class="undefined expan"> phénomènes</expan></choice> électriques sont les plus<lb/> anciennement connus, et les plus simples au<lb/> point de vue de la représentation mathématique.</p>
<p rend="left">Nous commencerons donc par les étudier.</p>
</div>
<p><ptr target="1987"/></p>
<div>
<p rend="left">12</p>
<p rend="center"><lb/> 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon<lb/> Electricité statique</p>
<p rend="left">On connaît l'électroscope condensateur inventé par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t"> Volta</ref></persname>.<lb/> On peut charger cet instrument au moyen d'une<lb/> machine magnéto-électrique : on met les deux pôles<lb/> de la machine en communication avec les 2 plateaux<lb/> de l'électroscope, puis on enlève le plateau supérieur :<lb/> on voit les feuilles diverger.</p>
<p rend="left">Toutes les fois qu'on pourra ainsi charger l'électroscope,<lb/> on dira qu'on a une <hi rend="underline">source électrique</hi>.</p>
<p rend="left">Une autre source est une lame double formée de<lb/> cuivre et de zinc soudés bout à bout ; on tient le<lb/> zinc à la main, on touche le plateau inférieur avec le<lb/> cuivre, et le plateau supérieur avec la main, pour le<lb/> mettre en communication avec le sol, et par suite avec<lb/> le zinc. On obtient le même effet, plus ou moins fort,<lb/> avec d'autres métaux soudés. Ainsi deux métaux en<lb/> contact constituent une source électrique.</p>
<p rend="left">Les corps isolants (diélectriques) ne deviennent source<lb/> électrique que si l'on assure le contact par le frottement,<lb/> qui chasse l'air interposé. Mais ces sources sont bien<lb/> plus fortes que les précédentes : aussi pour les manifester<lb/> n'a-t-on pas besoin d'un appareil délicat et sensible</p>
</div>
<p><ptr target="1988"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">13</p>
<p rend="left">comme l'électroscope : on emploie simplement un double<lb/> pendule formé par deux boules de moelle de sureau<lb/> suspendues à des fils de cocon : leur divergence révèle<lb/> leur électrisation : car les corps électrisés en commun<lb/> se repoussent.</p>
<p rend="left">C'est ce qu'on voit en frottant avec une peau de chat<lb/> un bâton d'ébonite, et en touchant avec le bâton ainsi<lb/> électrisé un double pendule : les balles s'écartent, et<lb/> le bâton les repousse.</p>
<p rend="left">Même expérience avec un bâton de verre frotté avec<lb/> un morceau de drap, et un second double pendule.<lb/> Mais ces deux mordes d'électrisation sont différents :<lb/> car le verre électrisé attire le premier pendule, et<lb/> l'ébonite électrisée attire le second.</p>
<p rend="left">On en conclut que les corps électrisés par l'ébonite<lb/> attirent les corps électrisés par le verre, et inversement ;<lb/> de plus, les expériences montrent qu'il n'y a pas<lb/> d'autre mode d'électrisation : aucun corps n'attire<lb/> ou ne repousse à la fois les deux pendules électrisés<lb/> respectivement par le verre et par l'ébonite.</p>
<p rend="left">Autre expérience : si l'on frotte l'un contre l'autre<lb/> deux plateaux, l'un de verre, l'autre de drap, et qu'on<lb/> touche avec chacun d'eux un double pendule, chacun</p>
</div>
<p><ptr target="1989"/></p>
<div>
<p rend="left">14</p>
<p rend="left">d'eux repousse le pendule qu'il a électrisé et attire l'autre.<lb/> Ainsi deux corps frottés l'un contre l'autre s'électrisent<lb/> en sens inverse, de sorte qu'on ne peut pas produire l'une<lb/> des électricités sans produire l'autre. On les distingue<lb/> par les épithètes de <hi rend="underline">positive</hi> (celle du verre) et de <hi rend="underline">négative</hi><lb/> (celle de l'ébonite). Ces expressions se justifient par ce fait<lb/> que les deux électricités ont des efforts géométriques opposés<lb/> <del class="none del">contraires</del> ou de signe contraire (attraction, répulsion).</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Expérience d'Œpinus</hi> : Electrisation par influence<lb/> (ou par induction, disent les Anglais) d'un cylindre<lb/> par une sphère <add class="below add" place="below">électrisée</add>. Les doubles pendules suspendus le long<lb/> du cylindre divergent ; mais les deux extrémités ont des<lb/> électricités contraires, car un bâton électrisé attire les<lb/> pendules de l'une et repousse ceux de l'autre. De<lb/> plus, l'extrémité voisine de la sphère a une électricité<lb/> contraire à celle de la sphère : car celle-ci attire le pendule<lb/> de cette extrémité.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Expérience de Gray</hi> : Un fil conducteur très long,<lb/> suspendu à des fils isolants, est électrisé à un bout ;<lb/> immédiatement on voit diverger le double pendule<lb/> suspendu à l'autre bout. Ainsi l'électricité se transmet<lb/> à grande distance et presque instantanément le long<lb/> des corps conducteurs.</p>
</div>
<p><ptr target="1990"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">15</p>
<p rend="left">Tous ces faits étaient connus dès le siècle dernier.<lb/> Pour les expliquer, ou plutôt pour les résumer<lb/> et les coordonner, on a imaginé diverses hypothèses.<lb/> 1° La première hypothèse qui ait prévalu est la<lb/> <hi rend="underline">théorie des deux fluides</hi>, inventée par <persname> </persname><ref class="http://isni.org/isni/0000000052372499 ref" target="http://isni.org/isni/0000000052372499"> </ref><hi class="underline hi" rend="underline"> Symmer</hi>.<lb/> Tout d'abord, on a imaginé l’électricité comme un<lb/> <hi rend="underline">fluide</hi> qui coulait dans les conducteurs, et comme<lb/> l'électrisation ne change pas le poids des corps, on<lb/> concevait ce fluide comme <hi rend="underline">impondérable</hi><add class="above add" place="above">(1)</add><app> <note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Note en marge inférieure à insérer après l'appel de note</note><lem class="undefined lem"> <add class="inline add" place="inline"> (1) <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11964657p ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11964657p"> Thalès de Milet</ref></persname> expliquait l'attraction électrique par la présence<lb/> d'une <hi rend="underline">âme</hi> dans l'ambre frotté. Nous disons aujourd’hui que le<lb/> corps possède une <hi rend="underline">énergie</hi>. Thalès entendait par âme une puissance<lb/> motrice, une faculté d'agir, ce que nous appelons une énergie. Nous<lb/> ne sommes donc pas plus avancés que lui ; les deux expressions ne sont<lb/> que des moyens, équivalents au fond, de voiler notre ignorance.</add></lem></app></p>
<p rend="left">Pour expliquer les deux modes d'électrisation contraires,<lb/> on imagina deux fluides distincts : le fluide vitreux ou<lb/> <hi rend="underline">positif</hi> ; le fluide résineux ou <hi rend="underline">négatif</hi>. Et comme on<lb/> répugnait à concevoir ces deux fluides comme créés<lb/> <hi rend="underline">ex nihilo</hi> par le frottement, on admit que les deux<lb/> fluides sont mélangés dans les corps à l'état naturel<lb/> et composent le <hi rend="underline">fluide neutre</hi>. Il s'ensuit que les quan-<lb/> tités des fluides contraires dégagées par le frottement</p>
</div>
<p><ptr target="1991"/></p>
<div>
<p rend="left">16</p>
<p rend="left">doivent être égales : et en fait, les deux plateaux électrisés<lb/> en sens contraire par leur mutuel frottement neutralisent<lb/> leurs effets : <add class="below add" place="below">juxtaposés,</add> ils n'attirent ni ne repoussent aucun corps.</p>
<p rend="left">Enfin, comme on peut électriser indéfi-<lb/> niment le même corps, en faisant chaque fois disparaître<lb/> l'un des deux fluides (électroscope par <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> ex.</abbr> </choice><expan class="undefined expan"> exemple</expan>), il a fallu<lb/> admettre que tout corps a une provision indéfinie de<lb/> fluide neutre, de sorte qu'il soit une source inépuisable<lb/> de chacun des deux fluides provenant de la décomposition<lb/> du fluide neutre.</p>
<p rend="left">Cette hypothèse a été très utile à l'Electrostatique,<lb/> et fournit encore un moyen commode d'exprimer et de<lb/> figurer les faits. Mais elle est invraisemblable : en effet,<lb/> la séparation des deux fluides, qui une fois séparés pro-<lb/> duisent des effets mécaniques intenses et parfois violents,<lb/> n'exige pour ainsi dire aucun travail.</p>
<p rend="left">2° <hi rend="underline">Hypothèse de Franklin ou théorie unitaire</hi></p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119034658 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119034658"> Franklin</ref> a remarqué que deux fluides électriques étaient<lb/> de trop, et qu'il suffisait d'admettre un seul fluide, qui<lb/> exercerait une action tant sur la matière que sur lui-même.<lb/> L’électricité positive serait due à un excès ou à une conden-<lb/> sation du fluide, la négative à un déficit ou à une raréfaction.</p>
<p rend="left">L'état neutre correspondrait à la quantité normale de fluide</p>
</div>
<p><ptr target="1992"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">17</p>
<p rend="left">que chaque corps contient. Cette hypothèse suffirait à<lb/> expliquer, non seulement tous les phénomènes électro-<lb/> statiques, mais encore la gravitation universelle. Elle<lb/> tient compte en effet de 3 sortes d'actions : Action<lb/> de la matière sur la matière ; action de la matière sur<lb/> le fluide électrique (et inversement) ; action du fluide<lb/> électrique sur lui-même.</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085"> Newton </ref>a trouvé la loi de l’attraction de la matière ;<lb/> <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb </ref>a établi que les attractions et répulsion électriques<lb/> obéissent à la même loi, à un coefficient numérique près.<lb/> On peut donc considérer toutes les actions comme propor-<lb/> tionnelles aux masses gravifiques et électriques des corps.</p>
<p rend="left">Considérons deux corps, de masses <hi rend="underline">m</hi> et <hi rend="underline">m'</hi>.<lb/> Soient <hi rend="underline">a</hi> et <hi rend="underline">a'</hi> les quantités de fluide qu'ils sont censés<lb/> contenir à l'état neutre.En désignant par K le coef-<lb/> ficient relatif à l'attraction de la matière sur la matière,<lb/> k le coefficient relatif à l'attraction de la matière et de<lb/> l'électricité, par κ le coefficient relatif à l'attraction<lb/> du fluide électrique sur lui-même (c'est une répulsion,<lb/> par hypothèse), la somme des 3 actions exercées par<lb/> les deux corps l'un sur l'autre sera :</p>
<p rend="center"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Kmm</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi>ma</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow><default:mi>aa</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="center">et cette somme doit être égale à l'attraction newtonienne,</p>
</div>
<p><ptr target="1993"/></p>
<div>
<p rend="left">18</p>
<p rend="left">donc positive (les deux corps étant à l'état naturel).</p>
<p rend="left">Supposons maintenant les deux corps électrisés<lb/> positivement, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> ayant un excès de fluide qui<lb/> est respectivement α et α'. Leur action totale<lb/> l'un sur l'autre sera :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Kmm</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">[</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">]</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et comme il y a répulsion, cette somme doit être<lb/> plus petite que celle qui exprime la gravitation ; car<lb/> l'effet <subst class="undefined subst"> <del class="none del">sensible</del> <add class="above add" place="above">apparent</add></subst> est dû à la différence des deux sommes :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Changeons maintenant le signe de α', <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> supposons<lb/> le second corps électrisé négativement ; l'action apparente<lb/> des deux corps (attraction) sera la différence (positive) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Comme ces deux actions sont dues à des quantités égales<lb/> d'électricité contraire, elles se détruisent mutuelle ;<lb/> donc leur somme doit être nulle :</p>
<p rend="center"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">κ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>km</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">d'où l'on tire : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On aurait obtenu de même, en changement le signe α :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Cette relation détermine la quantité de fluide électrique<lb/> que doit contenir un corps à l'état neutre. Elle</p>
</div>
<p><ptr target="1994"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">19</p>
<p rend="left">permet en outre de simplifier l'expression de la gravitation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Kmm</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">κ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>mm</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Or l'on connaît le coefficient de <hi rend="underline">mm'</hi> dans le cas de la<lb/> gravitation (par les expériences de Cavendish, par exemple).</p>
<p rend="left">On devra égaler <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math> à ce coefficient. On a<lb/> ainsi une relation entre les 3 coefficients arbitraires.</p>
<p rend="center">On peut d'autre part déterminer le coefficient κ par<lb/> expérience, en mesurant directement l'action de deux<lb/> corps électrisés, qui est égale à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">κ</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On peut donc supposer entre K et k telle relation qu'on<lb/> veut. En particulier on peut supposer, soit <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> (<choice class="undefined choice"><abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que l'action de la matière sur la matière est nulle),<lb/> soit <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> (<choice class="undefined choice"><abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> </choice><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan> que l'action de la matière sur l'électri-<lb/> cité, et vice versa, est nulle). <del class="none del">Aux</del> Dans tous les cas,<lb/> on rendra compte de la gravitation. Ainsi l'hypothèse<lb/> de Franklin laisse encore un coefficient arbitraire, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/> qu'elle enveloppe une infinité d'hypothèses différentes.</p>
<p rend="left">Elle explique très bien le phénomène de la double<lb/> électrisation en sens contraire : le frottement aurait pour<lb/> effet de faire passer <del class="none del">e</del> la quantité d'électricité α d'un<lb/> corps dans l'autre, de sorte que les quantités d'électricité<lb/> contraire développées doivent toujours être égales.</p>
<p rend="left">Elle rend compte aussi de l’électrisation par influence :</p>
</div>
<p><ptr target="1995"/></p>
<div>
<p rend="left">20</p>
<p rend="left">supposons la sphère électrisée positivement ; en vertu de la<lb/> répulsion du fluide sur lui-même, le fluide du cylindre<lb/> reflue à l'extrémité opposée, qui sera donc électrisée<lb/> positivement, tandis que l'autre sera électrisée<lb/> négativement.</p>
<p rend="left">Enfin l'hypothèse de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119034658 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119034658"> Franklin</ref> justifie, aussi bien que<lb/> celle de <persname> </persname><ref class="http://isni.org/isni/0000000052372499 ref" target="http://isni.org/isni/0000000052372499"> Symmer</ref>, le principe de la conservation de<lb/> l'électricité (formulé avec précision par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref></persname>).</p>
<p rend="left">Si l'hypothèse des deux fluides est commode pour<lb/> expliquer les faits électrostatiques, la théorie unitaire<lb/> est plus simple quand il s'agit des courants : car l'autre<lb/> oblige à concevoir deux courants de sens opposé.</p>
<p rend="left">3° <hi rend="underline">Les théories élastiques</hi> ont été remises en honneur<lb/> récemment par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref>. Du temps de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11899775j ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11899775j"> Descartes</ref></persname>,<lb/> on ne pouvait concevoir que l'action au contact : d'où<lb/> l'hypothèse des tourbillons.<persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085"> Newton</ref> expliqua tous les<lb/> phénomènes astronomiques par l<subst class="undefined subst"> <add class="below add" place="below">a gravitation</add><del class="none del">'action à distance</del></subst> ;<lb/> l'hypothèse d'une action à distance parut subversive<lb/> et fit scandale, mais elle rendait compte si simplement<lb/> et si facilement des lois astronomiques qu'elle prévalut.<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> l'ayant vérifié pour les actions électriques lui<lb/> apporta une nouvelle confirmation, de sorte qu'elle régna<lb/> jusque vers le milieu de ce siècle. Mais, vers 1840,</p>
</div>
<p><ptr target="1996"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">21</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref>, ignorant les mathématiques, émit des théories<lb/> originales et réussit à expliquer une foule de phénomènes<lb/> par l'action au contact. Son plus brillant élève, <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref>,<lb/> a fait triompher de nos jours cette manière de voir, en<lb/> montrant que les actions à distance peuvent se ramener<lb/> à des actions au contact ignorés ou inaperçus.</p>
<p rend="left">Soit par exemple un corps de pompe ; on ne sait pas<lb/> ce qu'il contient ; mais quand on enfonce le piston et<lb/> qu'on l'abandonne ensuite, on constate qu'il remonte.<lb/> On peut expliquer ce fait par une répulsion du piston<lb/> pour le fond du corps de pompe : c'est l'hypothèse la<lb/> plus simple, et elle sera vérifiée par l'expérience, car tout<lb/> se passe en effet comme si elle était vraie. Et pourtant,<lb/> si l'on sait que le corps de pompe contient un gaz, il<lb/> sera naturel d'expliquer cette répulsion du piston par<lb/> l'état contraint du gaz comprimé, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> par son élasticité,<lb/> analogue à celle d'un ressort qu'on presserait entre le<lb/> piston et le fond. Ainsi toute action à distance <add class="above add" place="above">entre deux corps</add> peut<lb/> s'expliquer par une modification ou une déformation du<lb/> milieu qui remplit l'intervalle et sert d'intermédiaire.</p>
<p rend="center">Pour résumer en deux mots l'hypothèse de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref>,<lb/> le siège des phénomènes électriques ne serait pas la matière<lb/> des corps électrisés, mais l'éther luminifère. Lorsqu'<subst class="undefined subst"> <add class="below add" place="below">un </add><del class="none del">des</del></subst></p>
</div>
<p><ptr target="1997"/></p>
<div>
<p rend="left">22</p>
<p rend="left">corps est électrisé, l'éther ambiant passe de l'état naturel<lb/> à l'état contraint. Cet état peut correspondre à un<lb/> déplacement : si l'on conçoit l'éther comme incom-<lb/> pressible, on peut imaginer que <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> l'éther se déplace en bloc du corps<lb/> électrisé négativement vers le corps<lb/> électrisé positivement. On voit que cette hypothèse concorde<lb/> au fond avec celle de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119034658 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119034658"> Franklin</ref></persname>, et la précise : le fluide<lb/> inconnu qui quitte le premier corps pour envahir l'autre,<lb/> c'est l'éther. Pour expliquer le détail des phénomènes<lb/> électrostatiques, il suffit de préciser les propriétés élastiques<lb/> de l'éther, et, puisqu'elles sont arbitraires, de les choisir<lb/> de telle sorte qu'elles rendent compte des faits observés.</p>
<p rend="left">Pour pousser plus loin l'étude de ces phénomènes,<lb/> il faut procéder à des expériences quantitatives, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/>mesurer les forces électriques qui entrent en jeu.</p>
<p rend="left">Nous allons traiter, plus généralement, de la <hi rend="underline">mesure</hi><lb/> <hi rend="underline">des forces constantes</hi>.</p>
<p rend="left">Il y a deux méthodes pour mesurer les forces : au moyen<lb/> de leurs effets statiques <add class="below add" place="below">(équilibre)</add> ; au moyen de leurs effets dynamiques<lb/> (mouvement).</p>
<p rend="left">1° <hi rend="underline">Méthode statique</hi>. L'instrument le plus commode et<lb/> le plus employé est la <hi rend="underline">balance</hi>. On applique la force à mesurer</p>
</div>
<p><ptr target="1998"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">23</p>
<p rend="left">à l'une des extrémités du fléau (verticalement) et on lui<lb/> fait équilibre avec des poids dans l'autre plateau. Soit<lb/> <hi rend="underline">m</hi> la masse totale de ces poids, <hi rend="underline">g</hi> l’accélération de la<lb/> pesanteur au lieu de l'expérience ; on aura la force F<lb/> par la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>mg</default:mi></default:math> <lb/> m étant évalué en grammes, g en centimètres, la<lb/> valeur de F sera exprimé en dynes.</p>
<p rend="left">On construit aujourd'hui des balances sensibles au 20<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi><lb/> et même au 50<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> de milligramme. Toutefois, pour que<lb/> la mesure d'une force soit <add class="above add" place="above">assez</add> précise, il faut que cette<lb/> force soit au moins d'un ou deux milligrammes.</p>
<p rend="left">Le défaut de la balance est la lenteur des opérations.<lb/> Pour abréger les pesées, au lieu de s'efforcer d'obtenir<lb/> l'équilibre du fléau dans la position horizontale, on<lb/> la laisse prendre une position d’équilibre oblique, et<lb/> l'on mesure l'angle d'écart α. On sait que c'est le<lb/> poids π du fléau qui fait équilibre à l'excès de poids<lb/> f de l'un des plateaux. Soit <hi rend="underline">a</hi> la distance du centre<lb/> de gravité du fléau au point de suspension, <hi rend="underline">l</hi> la<lb/> longueur du bras de fléau ; la condition d'équilibre<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>fl</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> d'où l'on tire : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math> .<lb/> On ajoutera l'excédent <hi rend="underline">f</hi> ainsi obtenu à F.</p>
</div>
<p><ptr target="1999"/></p>
<div>
<p rend="left">24</p>
<p rend="left">Une autre espèce d'appareil, imaginé par Gauss,<lb/> est le <hi rend="underline">système</hi> ou la <hi rend="underline">suspension bifilaire</hi>. Deux fils<lb/> fins, égaux et parallèles, de longueur <hi rend="underline">l</hi>, soutiennent<lb/> un barreau de masse <hi rend="underline">m</hi> ; leur distance est <hi rend="underline">2a</hi>.<lb/> Le barreau est en équilibre quand les deux fils sont<lb/> parallèles : si on l'écarte de cette position, il y revient<lb/> en oscillant, sous l'influence de la pesanteur, qui<lb/> est la force antagoniste : en effet, quand on écarte<lb/> le barreau, on relève son centre de gravité, parce que<lb/> les fils deviennent obliques. Soit la<lb/> hauteur dont le centre de gravité a monté :<lb/> pesanteur effectue un travail négatif dont la<lb/> valeur absolue est <hi rend="underline">mgh</hi>.</p>
<p rend="left">D'autre part, soit <hi rend="underline">α</hi> l'angle dont le barreau<lb/> a tourné en projection horizontale, et β l'angle<lb/> dont les fils s'écartent de leur position verticale.<lb/> On suppose que la force F reste perpendiculaire à la<lb/> position d'équilibre du barreau, AB ; son bras de<lb/> levier est donc (A'R étant <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> perp. </abbr></choice><expan class="undefined expan"> perpendiculaire</expan> à MP') : P'R,<lb/> ou : a <subst class="undefined subst"> <del class="none del">sin</del><add class="above add" place="above">cos </add></subst>α <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Appliquons le principe des vitesses virtuelles,<lb/> pour trouver la condition d'équilibre. Le travail<lb/> virtuel de la pesanteur est : mgdh</p>
</div>
<p><ptr target="2000"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">25</p>
<p rend="left">Le travail virtuel de la force F est :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Fa</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>Fa</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Evaluons <hi rend="underline">h</hi> en fonction de α : <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">h</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>cos</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Il y a une relation entre β et α :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2a</default:mn></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Comme <hi rend="underline">l</hi> est très long par rapport à α,<lb/> on peut considérer β comme infiniment petit, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd </abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> rem-<lb/> placer sin β par β, et (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>cos</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo></default:mrow></default:math>) par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> : il vient :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">h</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:msup><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2a</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dh</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2a</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dh</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mn>2a</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Egalons les deux travaux virtuels :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>mg</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>Fa</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> d'où l'on tire F en fonction de l'angle α :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mga</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>tan</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Pour que le système bifilaire soit sensible, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> pour que<lb/> à une <del class="none del">même</del> force donnée F corresponde un grand angle α,<lb/> il faut que le facteur constant <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mga</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> soit très petit. Le<lb/> système sera donc d'autant plus sensible que sa masse sera<lb/> plus petite, et que les fils seront plus longs et plus rapprochés.<lb/> Il n'y a pas de limite théorique à la sensibilité ; mais prati-<lb/> quement, on ne peut pas rapprocher trop les fils, car si leur</p>
</div>
<p><ptr target="2001"/></p>
<div>
<p rend="left">26</p>
<p rend="left">diamètre n'était pas négligeable par rapport à leur distance,<lb/> la formule ne serait plus applicable. [3<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon]</p>
<p rend="left">Une autre méthode de mesure statique des <subst class="undefined subst"> <del class="none del">grandeurs</del> <add class="above add" place="above">forces</add></subst><lb/> est fournie par le <hi rend="underline">pendule</hi>.</p>
<p rend="left">On suppose la masse du pendule concentrée en son<lb/> centre de gravité G, de sorte que son poids se réduit à<lb/> la force unique <hi rend="underline">mg</hi> appliquée en G. Soit O le point<lb/> de suspension : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>OG</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Soumettons le pendule à une force <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> horizontale F appliquée en un <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p.</abbr> <expan class="undefined expan"> point</expan></choice> B<lb/> de OG : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>OB</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Soit α l'angle que OG fait avec la verticale dans la<lb/> nouvelle position d'équilibre. Le bras de levier de la force F<lb/> est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>OP</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>BP</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Le centre de gravité de G a monté de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">h</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>cos</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Le travail virtuel de la pesanteur est égal à :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>mgdh</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>mga</default:mi></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Le travail virtuel de la force F est égale à :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Egalons-les : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>mga</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> d'où l'on tire F en fonction de l'angle α :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mga</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>tan</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Même formule que plus haut ; mêmes conditions de sensibilité.</p>
</div>
<p><ptr target="2002"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">27</p>
<p rend="left">Il y a encore une autre méthode statique qui a recours<lb/> à l'élasticité. Toutes les méthodes précédentes consistant<lb/> à comparer les forces à mesurer à <unclear class="medium unclear" cert="medium"> du</unclear> poids ; celle-ci<lb/> les compare aux forces élastiques, ou plutôt (comme<lb/> on le verra plus loin) elle les compare encore aux poids,<lb/> par l'intermédiaire des forces élastiques : on mesure<lb/> la déformation élastique produite parla force, puis on<lb/> mesure le poids qui produit la même déformation.</p>
<p rend="left">Les forces élastiques dont on <unclear class="medium unclear" cert="medium"> sert</unclear> généralement sont<lb/> celles de torsion. Un fil métallique pincé en haut par<lb/> un support immobile, porte suspendu à une autre pince<lb/> un barreau horizontal ; ce barreau est en équilibre quand<lb/> le fil n'est pas tordu (les deux pinces étant parallèles).</p>
<p rend="left">La torsion a été étudiée expérimentalement <app> <lem class="undefined lem"> </lem><add class="below add" place="below"> au siècle dernier</add></app><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> L'auteur a entouré l'expression pour signifier qu'il faut la déplacer qu'elle est à placer ici</note> par<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>, l'inventeur de la balance de<lb/> torsion. Il a trouvé que l'angle de torsion varie en<lb/> raison directe de la longueur du fil, en raison inverse de<lb/> la 4<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> puissance du diamètre, et proportionnellement<lb/> à la force : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>A.</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>4</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Quand on parle d'une force, on sous-entend qu'il s'agit<lb/> d'un couple appliqué aux 2 extrémités du barreau, car<lb/> une sur la force ferait dévier le fil de la verticale, la<lb/> force antagoniste étant une composante de la pesanteur.</p>
</div>
<p><ptr target="2003"/></p>
<div>
<p rend="left">28</p>
<p rend="left">Le coefficient A dépend des constantes élastiques α et μ<lb/> du corps employé. On pourrait le calculer connaissant<lb/> ces constantes ; mais comme elles varient nottablement<lb/> d'un corps à l'autre ; il vaut mieux <subst class="undefined subst"> <del class="none del">mesurer la force</del> <add class="below add" place="below">déterminer A</add></subst> par<lb/> expérience. Il est plus simple de mesurer F en la rem-<lb/> plaçant par un poids (agissant horizontalement par<lb/> une poulie de renvoi) et en cherchant le poids qui<lb/> produit la même torsion.</p>
<p rend="left">La balance de torsion est d'autant plus sensible que<lb/> le coefficient de F est plus grand, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que le rayon du<lb/> fil est plus petit et sa longueur plus plus grande. Sa sensibilité<lb/> est donc presque illimitée. On peut mesurer avec cet<lb/> instrument des forces de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>200</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> de milligr. ou de dyne.<lb/> Aussi est-il précieux pour l'étude de très petites forces,<lb/> comme sont les forces électriques.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">2° Méthode dynamique</hi></p>
<p rend="left">Elle consiste à mesurer la force par l'accélération qu'elle produit</p>
<p rend="left">C'est ainsi que <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085"> Newton</ref></persname> a déterminé la force de la gravitation<lb/> d'après les lois du mouvement des astres. De même on<lb/> mesure la pesanteur au moyen de son accélération, <del class="none del">dans</del> <add class="above add" place="above">que</add><lb/> les appareils d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb10298767h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb10298767h"> Atwood</ref></persname> ou de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12195734x ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12195734x"> Morin</ref></persname>. Mais la mesure<lb/> la plus précise de la pesanteur est fournie par le pendule.</p>
<p rend="left">La mesure dynamique des forces exige qu'elles soient</p>
</div>
<p><ptr target="2004"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">29</p>
<p rend="left">sensiblement constant et dans les limites de l'expérience.<lb/> Or, comme les forces électriques varient nottablement<lb/> à de petites distances, on ne peut employer à les mesurer<lb/> de grands machines comme celle d'<persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb10298767h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb10298767h"> Atwood</ref> & de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12195734x ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12195734x"> Morin</ref></persname> :<lb/> il faut recourir à de petits appareils dans l'étendu<lb/> desquels les actions électriques varient très peu. On est<lb/> donc obligé de se servir du pendule.</p>
<p rend="left">Supposons d'abord que la force qui meut le pendule<lb/> soit rigoureusement proportionnelle à l'angle d'écart :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">L'équation du mouvement sera alors, comme on sait :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dt</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>ka</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> s'appelle le <hi rend="underline">moment d'inertie </hi>du pendule.<lb/> La solution de l'équation a la forme suivante :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi>Bt</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">φ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">A et φ étant les constantes d'intégration, et B<lb/> la constante : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>ka</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Pour calculer la durée de l'oscillation complète, T,<lb/> il suffit de remarquer que α est périodique, et reprend<lb/> la même valeur quand l'argument augmente de 2π.</p>
<p rend="left">Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>BT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>ka</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math><lb/> Cette formule permet d'évaluer F en fonction de T :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2005"/></p>
<div>
<p rend="left">30</p>
<p rend="left">Il suffit pour cela de connaître le moment d'inertie du pendule.<lb/> <del class="none del">Pour la</del> Quand il a une forme géométrique, on peut le calculer<lb/> par une intégrale. Sinon, on peut l'évaluer par expérience.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> a appliqué le pendule à l'étude de la force<lb/> de torsion. Si la force de torsion est proportionnelle à<lb/> l’angle d'écart, les oscillations devront être rigoureusement<lb/> isochrones ; c'est ce que l'on vérifie par expérience pour<lb/> toutes les amplitudes, même supérieure à 2π.</p>
<p rend="left">Pour que la pesanteur n'intervienne pas, le pendule est<lb/> suspendu horizontalement au fil tendu verticalement :<lb/> il oscille autour de son centre de gravité.</p>
<p rend="left">Soit <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> son moment d'inertie par rapport<lb/> à son centre. On peut le déterminer par expérience en<lb/> accrochant symétriquement au barreau deux masses<lb/> additionnelles M, à la distance R du centre. Le mouvement<lb/> d'inertie sera augmenté de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mn>2MR</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math>, quantité connue.<lb/> La durée d'oscillation se trouvera changée de T en T' :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ka</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mn>2MR</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>ka</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math><lb/> d'où l'on tire :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mn>2MR</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> équation du 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> degré qui fournit la valeur de l'inconnue K.</p>
<p rend="center"/>
</div>
<p><ptr target="2006"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">31</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Pendule géodésique</hi>. Quand la force à mesurer est la<lb/> pesanteur, la composante efficace est proportionnelle<lb/> au sinus de l'angle d'écart ; l'équation est alors :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dt</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>Mga</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Quand α est très petit, on peut remplacer sin α par α :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dt</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>Mga</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> L'intégrale de cette équation approchée est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi>Bt</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">φ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Mga</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>BT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> La durée d'une oscillation complète est donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>Mga</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Mga est le <hi rend="underline">moment statique</hi> de la pesanteur.<lb/> Cette formule ne vaut que pour les oscillations infiniment<lb/> petites. En désignant la valeur précédente de T par T<hi class="sub hi" rend="sub"> o</hi>,<lb/> l'intégrale de l'équation générale est rigoureusement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">o</default:mi></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1,3</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2,4</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mn>4</default:mn></default:msup><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math><lb/> ω étant l'amplitude de l'oscillation (angle d'écart maximum).<lb/> On voit que pour <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>, T se réduit à T<hi class="sub hi" rend="sub"> o</hi>.<lb/> On peut tirer de cette dernière formule des formules appro-<lb/> ximatives. Si l'on n'est sûr de T qu'à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>200</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> près, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> sera déterminé à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>50</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>, ce qui correspond à la valeur <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>16</default:mn></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">°</default:mi></default:mrow></default:math>.<lb/> Ainsi pour une amplitude de 16° au plus, la formule<lb/> de T<hi class="sub hi" rend="sub"> o</hi> est exacte à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>200</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> près. Et comme T entre au carré</p>
</div>
<p><ptr target="2007"/></p>
<div>
<p rend="left">32</p>
<p rend="left">dans l'expression de la force, celle-ci sera évaluée à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>100</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> près. En général, on peut déterminer d'avance l'amplitude<lb/> maxima qui correspond à l'approximation qu'on désir<lb/> atteindre avec la formule de T<hi class="sub hi" rend="sub"> o</hi>.</p>
<p rend="left">Nous allons maintenant décrire les expériences par<lb/> lesquelles <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> a déterminé la loi des actions<lb/> électrostatiques.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Balance de torsion</hi> : Elle est constituée par un fil d'argent<lb/> très fin, auquel est suspendue une aiguille isolante qui<lb/> porte à une extrémité une balle de moelle de sureau<lb/> dorée. Sur la circonférence que décrit cette balle, on<lb/> place en un point fixe une balle semblable supportée<lb/> par un bâton de cire. Cette circonférence est marquée<lb/> par une bande de papier graduée en degrés ; le zéro corres-<lb/> pond à la balle fixe.</p>
<p rend="left">D'autre part, la pince qui porte <add class="above add" place="above">le</add> fil passe à frottement<lb/> dur dans une virole qui ferme en haut le tube de verre<lb/> qui contient le fil ; on peut <del class="none del">la</del> déplacer la pince au moyen<lb/> d'un bouton qui porte un index ; cet index parcourt<lb/> une graduation marquée sur le pourtour de la virole.<lb/> Celle-ci peut elle-même se déplacer tout d'une pièce<lb/> sur le tube, en emportant la pince et l'index.</p>
<p rend="left">On amène les 2 balles au contact en tournant. La</p>
</div>
<p><ptr target="2008"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">33</p>
<p rend="left">virole (l'index correspondant au zéro de la graduation).</p>
<p rend="left">Puis on électrise les 2 balles avec un même corps ; elles<lb/> se repoussent et <subst class="undefined subst"> <del class="none del">s'écartent</del> <add class="above add" place="above">la balle mobile s'écarte</add></subst> d'un angle α (mesuré sur<lb/> la circonférence en papier). On peut les rapprocher en<lb/> tournant le bouton supérieur <add class="below add" place="below">en sens inverse</add><choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> en augmentant<lb/> la torsion du fil. Soit α l’angle d'écart définitif :<lb/> l'angle de torsion T <add class="below add" place="below">du fil</add> sera la somme de cet angle α<lb/> et de l'angle dont on aura tourné le bouton (mesuré<lb/> par l'index sur la virole).</p>
<p rend="left">La force de répulsion est dirigée suivant la ligne<lb/> AB qui joint les 2 balles : soit <hi rend="underline">l</hi> la longueur radiale<lb/> de l'aiguille ; le moment de la force de répulsion sera<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Fl</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, le moment de la force de torsion (propor-<lb/> tionnelle, comme on sait, à l'angle de torsion) est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>klT</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Puisqu'il y a équilibre, ces deux moments sont égaux :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Fl</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>klT</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Or la distance des deux balles est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>AB</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Si la loi de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref> est vraie, F doit être en raison<lb/> inverse du carré de la distance, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> avoir la forme :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:msup><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Substituons cette formule (hypothétique) dans l'équation :</p>
</div>
<p><ptr target="2009"/></p>
<div>
<p rend="left">34</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:msup><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> ou, en faisant passer dans le 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> membre les quantités constantes :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:msup><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> = constante<lb/> Telle est la loi (relation entre T et α) qu'il s'agit de vérifier.<lb/> Or, dans les expériences de Coulomb, α était au plus<lb/> égal à 36°, donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">⩽</default:mo><default:mn>18</default:mn></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">°</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Dans ces conditions, on peut remplacer <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>,<lb/> et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> par 1. L’erreur commise est de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>17</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>1000</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>, soit<lb/> moins de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>50</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>. Cette approximation consiste, en somme,<lb/> à identifier l'arc à la corde et à compter la distance<lb/> des deux balles sur la circonférence ; et en effet, la loi<lb/> devient simplement : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>Cte</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On constate en effet que l'angle de torsion (et par suite<lb/> la force de torsion) est inversement proportionnel<lb/> au carré de l'angle α (distance angulaire des 2 balles).<lb/> Pour apprécier le degré d'approximation de cette loi, il<lb/> faut tenir en compte des causes d'erreur. Or, pour obtenir<lb/> de répulsions nottables, on est obligé d'employer de fortes<lb/> charges ; mais alors il se produit des déperditions qui<lb/> atteint les résultats, puisque la charge n'est plus cons-<lb/> tante. Coulomb observa en effet que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:math> diminuait</p>
</div>
<p><ptr target="2010"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">35</p>
<p rend="left">avec le temps. Il détermina alors la déperdition en mettant<lb/> les deux balles à une distance donnée, et en les mainte-<lb/> nant à cette distance en tournant le bouton de manière<lb/> à détordre le fil. Il tenait compte de cette détorsion dans<lb/> ses autres expériences, de manière à compenser la<lb/> diminution de force due à la déperdition.</p>
<p rend="left">Une autre cause d'erreur est l'influence mutuelle<lb/> des deux balles, qui repousse les charges du côté opposé,<lb/> surtout quand elles sont à petite distance. Les<lb/> centres de masse électrique se déplacent donc par rapport<lb/> aux centres de gravité des balles, et leur distance est<lb/> plus grande que la distance <subst class="undefined subst"><del class="none del">mesurée</del> <add class="below add" place="below">de ceux-ci</add></subst>. On peut calculer<lb/> cet effet, et corriger les distances mesurées. Néanmoins,<lb/> l'inexactitude totale, due à ces diverses causes d'erreur,<lb/> peut être de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>50</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>, ce qui suffit à justifier l'approxima-<lb/> tion introduite dans les formules.</p>
<p rend="center">4 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Un peu après les expériences de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>, <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13538765h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13538765h"> Cavendish</ref></persname><lb/> appliqua la même méthode à l'étude de la gravitation.<lb/> Il employait la balance de torsion, suspendait de petites<lb/> boules aux deux extrémités du levier, et mesurait<lb/> l'attraction exercée sur elles par de grosses boules fixes.</p>
<p rend="left">Nous avons vu la balance de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> servir</p>
</div>
<p><ptr target="2011"/></p>
<div>
<p rend="left">36</p>
<p rend="left">à la mesure des répulsions électriques ; mais elle se prête mal<lb/> à la mesure des attractions électriques, car il est difficile<lb/> d'empêcher les boules chargées d'électricité contraire<lb/> d'arriver au contact. On peut considérer la vérification<lb/> de la loi des attractions comme superflue, si l'on admet<lb/> qu'un corps neutre n'agit pas sur un corps électrisé : car<lb/> si les deux fluides contraires, dont on le suppose chargé<lb/> également, neutralisent leurs effets, la répulsion devra<lb/> obéir aux mêmes lois que l'attraction.</p>
<p rend="left">Mais ce n'est là qu'une hypothèse, et le meilleur moyen<lb/> de la confirmer serait précisément de vérifier directement<lb/> la loi des attractions. Aussi <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> n'a-t-il pas négligé<lb/> de la vérifier ; pour cela, il a eu recours à la méthode dynamique<lb/> des oscillations du pendule.</p>
<p rend="left">A un fil de cocon il suspendait un petit levier isolant<lb/> de gomme laque, portant à une extrémité un petit disque<lb/> de clinquant. Le pendule étant électrisé, il en approchait<lb/> une grosse sphère métallique électrisée en sens contraire ;<lb/> le pendule attiré et dévié de sa position d'équilibre exé-<lb/> cute des oscillations <subst class="undefined subst"> <add class="above add" place="above">sensibl</add><del class="none del">rigoure</del></subst>ment isochrones.</p>
<p rend="center">En effet, on démontre qu'une sphère agit comme si toute<lb/> de masse était condensée en son centre. D'autre part,<lb/> on peut considérer l'action de la sphère sur le pendule comme</p>
</div>
<p><ptr target="2012"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">37</p>
<p rend="left">constante en grandeur et en direction, vu les petites<lb/> dimensions du pendule, qu'on peut regarder comme<lb/> infiniment petites par rapport à celles de la sphère.</p>
<p rend="left">On centre donc dans le cas du pendule géodésique, la<lb/> sphère jouant le rôle de la terre. On sait que dans ce cas<lb/> la durée d'une oscillation complète est :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>Fl</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math><lb/> <hi rend="underline">l</hi> étant la longueur du bras de levis qui porte le disque.<lb/> On en tire la valeur de la force attractive constante :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:msup><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> = <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Const.</abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice><lb/>Ainsi la force attractive est en raison inverse du carré<lb/> de la durée d'une oscillation. D'autre part, selon la<lb/> loi hypothétique qu'il s'agit de vérifier, F doit être aussi<lb/> en raison inverse du carré de la distance <add class="above add" place="above">d</add> du pendule<lb/> au centre de la sphère. Donc, si la loi est vrai, la durée<lb/> des oscillations <add class="above add" place="above">T</add> doit être proportionnelle à la distance <hi rend="underline">d</hi>.<lb/> C'est en effet ce que l'on constate par expérience.</p>
<p rend="left">Cette méthode est sujette aux mêmes critiques que celle<lb/> de la balance de torsion, fondées sur la déperdition de<lb/> l'électricité et sur l'influence. Ces causes d'erreur sont<lb/> assez grandes pour que l'on ne puisse pas tenir compte<lb/> de la variation de T due à la différence des amplitudes.<lb/> Toute correction de ce<unclear class="medium unclear" cert="medium"> chef</unclear> étant illusoire, on a le droit</p>
</div>
<p><ptr target="2013"/></p>
<div>
<p rend="left">38</p>
<p rend="left">de la négliger.</p>
<p rend="left">La loi de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref>, tant pour l'attraction que pour la répulsion,<lb/> n'est donc établie qu'avec une approximation assez faible.<lb/> Depuis, <persname> <ref class="http://isni.org/isni/0000000115893006 ref" target="http://isni.org/isni/0000000115893006"> Harris</ref></persname> a essayé de la vérifier avec le système bifilaire,<lb/> mais sa méthode n'était pas plus précise que celle de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>.<lb/> Nous trouverons plus tard des preuves plus exactes, mais<lb/> indirectes, de la vérité de cette loi. Si l'on accepte la loi<lb/> de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> comme vraie, on en tirera une foule de consé-<lb/> quences que l'on pourra vérifier ; on choisira celles qui<lb/> sont susceptibles de la vérification la plus rigoureuse.</p>
<p rend="left">On a remarqué l'analogie de la loi de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname><lb/> et de la loi newtonienne de la gravitation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Pour compléter cette analogie, on est conduit à définir<lb/> des <hi rend="underline">masses électriques</hi>. Seulement, tandis que nous<lb/> pouvons mesurer les masses de matière par la méthode<lb/> statique (la balance, par ex.) nous n'avons pas d'autre<lb/> moyen de mesurer les masses électriques que leurs<lb/> effets dynamiques (attraction ou répulsion). Un corps<lb/> aura, <hi rend="underline">par définition</hi>, une masse électrique double, triple, etc.<lb/> s'il exerce une attraction double, triple, etc. sur un même<lb/> petit corps chargé d'une quantité constante d'électricité.<lb/> Il serait donc vain de chercher à vérifier la proportionnalité</p>
</div>
<p><ptr target="2014"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">39</p>
<p rend="left">des forces électriques aux masses, car cela constituerait un<lb/> cercle vicieux.</p>
<p rend="left">Néanmoins <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>, imbu de la matérialité du<lb/> fluide électrique, a prétendu vérifier cette proportionnalité<lb/> au moyen de la balance de torsion. Dans une première<lb/> expérience, la boule mobile était repoussée par le boule fixe :<lb/> on mesurait l'angle d'écart α et l'angle de torsion T.<lb/> Puis <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> touchait la boule fixe avec une autre boule <add class="below add" place="below">neutre</add><lb/> toute semblable, qu'il retirait ensuite. Il admettait que<lb/> les deux boules, étant égales, avaient la même charge, et<lb/> il en concluait que <del class="none del">et</del> la boule fixe avait une charge<lb/> <hi rend="underline">moitié</hi> de sa charge primitive. L'écart ayant diminué,<lb/> il l’augmentait en détordant le fil, et quand l'écart<lb/> était redevenu α, il constatait que la torsion était <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> C'est ainsi qu'il croyait vérifier par expérience la loi<lb/> de proportionnalité des forces aux masses.</p>
<p rend="left">Nous <del class="none del">et</del> concluons, tout au contraire, de cette expérience<lb/> que lorsque deux boules égales se touchent, une seule étant<lb/> électrisée, la charge de chacune est la moitié de la charge<lb/> primitive, <hi rend="underline">puisque</hi> la répulsion <subst class="undefined subst"> <add class="above add" place="above">exercée</add><del class="none del">qu'elle</del></subst> devient moitié<lb/> moindre. En effet, s'il est évident, par raison de symétrie,<lb/> que les deux boules prennent la même charge en se touchant,<lb/> rien ne prouve que leur charge respective soit la moitié de</p>
</div>
<p><ptr target="2015"/></p>
<div>
<p rend="left">40</p>
<p rend="left">la charge primitive : cela suppose que la quantité d'électricité<lb/> reste constante, et ne fait que se dédoubler au contact, en<lb/> un mot, que les masses électriques s'additionnent et se<lb/> partagent comme des masses matérielles. Or c'est ce qui<lb/> n'est nullement nécessaire a priori, et ce que l'expérience<lb/> précédente <add class="above add" place="above">(peut)</add> seule nous apprendre. On vérifie ainsi, dans<lb/> un cas particulier le <hi rend="underline">principe de la conservation de l'électricité</hi>.</p>
<p rend="left">De ce que la force est proportionnelle à la masse électrique<lb/> de chacun des deux corps qui s'attirent ou se repoussent,<lb/> on conclut qu'elle est proportionnelle à leur produit.<lb/> Si les deux masses sont de même signe, leur produit<lb/> est positif, et l'on sait qu'alors la force est répulsive.<lb/> Si les masses sont de signes contraires, leur produit<lb/> est négatif, et dans ce cas la force est attractive. On<lb/> considérera donc les répulsions comme positives et<lb/> les attractions comme négatives : les <del class="none del">unes</del> <add class="below add" place="below">premières</add> tendent<lb/> à augmenter la distance, les secondes à la diminuer.</p>
<p rend="left">Le coefficient <hi rend="underline">k</hi>, qui figure dans la formule, dépend<lb/> du choix de l'unité de masse électrique, et aussi de la<lb/> nature du milieu où les corps sont plongés, car <subst class="undefined subst"> <del class="none del">la force</del> <add class="above add" place="above">l'expérience</add></subst><lb/> montre que la force qui s'exerce entre deux corps électrisés<lb/> varie suivant le milieu (d'électrique) à travers lequel<lb/> elle s'exerce. Nous considérons donc les deux corps</p>
</div>
<p><ptr target="2016"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">41</p>
<p rend="left">dans le vide, et nous définirons l'unité de masse comme suit :</p>
<p rend="left">Deux masses électriques égales sont égales à l'unité,<lb/> quand elles exercent l'une sur l'autre, à l'unité de<lb/> distance, une force répulsive égale à l'unité (dans le vide).</p>
<p rend="left"><del class="none del">Si l'on évalue la distance r en centimètres et </del><app> <note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> En interligne, en remplacement du texte barré :</note><lem class="undefined lem"> En vertu de cette définition</lem></app>,<lb/> <del class="none del">les masses </del><add class="above add" place="above"><del class="overtyped del" rend="overtyped"> forces</del> </add><del class="overtyped del" rend="overtyped"> F en dynes</del>, on aura <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> pour :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>, et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Par conséquent, <del class="none del">avec</del> <add class="above add" place="above">pour</add><del class="none del">la</del>'unité<del class="none del">s</del> choisie<del class="none del">s</del>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">L'unité que nous venons de définir est l'<hi rend="underline">unité</hi><lb/> <hi rend="underline">électrostatique d'électricité</hi>. Elle dépend d'ailleurs de<lb/> l'unité de longueur et de l'unité de force. Dans le<lb/> système CGS, l'unité El[éctro-] St[atique] sera celle qui correspond<lb/> à une force de 1 dyne et à la distance de 1 centimètre.</p>
<p rend="center">Ainsi la formule simple : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ne convient qu'au système d'unités électrostatiques,<lb/> et dans le cas du vide. Nous conserverons donc la<lb/> formule générale avec le coefficient k.</p>
<p rend="center">Propriétés des champs électriques</p>
<p rend="center">On appelle <hi rend="underline">champ électrique</hi> tout espace où s'exercent<lb/> des forces électriques.</p>
<p rend="left">Considérons le champs produit par une seule particule<lb/> matérielle <add class="above add" place="above">M</add> chargée de la masse électrique <hi rend="underline">m</hi>. Une masse<lb/> électrique <add class="above add" place="above">A</add> égale à l'unité, placée dans ce champs à une</p>
</div>
<p><ptr target="2017"/></p>
<div>
<p rend="left">42</p>
<p rend="left">distance <hi rend="underline">r</hi> sera soumise à une force centrale égale à<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Cette loi de force caractérise le champ électrique.<lb/> Si la particule A obéit à la force, elle subira un<lb/> déplacement infiniment petit AA' suivant AM.<lb/> En A', elle sera soumise à une autre force, qui lui<lb/> imprimera un déplacement infiniment petit A'A'' ;<lb/> et ainsi de suite. L'enveloppe des déplacements AA',<lb/> A'A'', etc. s'appelle une <hi rend="underline">ligne de force</hi> (<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname>). Ce<lb/> serait la trajectoire de la masse électrique sous l'action<lb/> du champ, si l'on détruisait à chaque instant sa vitesse<lb/> acquise. Dans le cas d'une seule masse produisant le<lb/> champ, les lignes de force sont toutes les droites qui<lb/> rayonnent autour du point occupé par cette masse.</p>
<p rend="center">On appelle <hi rend="underline">surface de niveau</hi> une surface qui<lb/> coupe normalement toutes les lignes de force. Dans<lb/> le cas d'un champ produit par une seule masse, les<lb/> surfaces de niveau sont toutes les sphères ayant pour<lb/> centre cette masse. L'expression de <hi rend="underline">surface de</hi><lb/> <hi rend="underline">niveau</hi> est une métaphore tirée de la géodésie.</p>
<p rend="center">Ces définitions sont générales, et ne dépendent<lb/> nullement de la loi de Coulomb ou de telle autre<lb/> loi particulière de force. Il suffit que la force soit</p>
</div>
<p><ptr target="2018"/></p>
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<p class="right p" rend="right">43</p>
<p rend="left">une fonction continue de la distance (ou de la position).<lb/> Les lignes de force seront les enveloppes des directions<lb/> de la force aux différents points du champ, et les<lb/> trajectoires orthogonales des surfaces de niveau,<lb/> celles-ci étant telles que la force qui s'exerce en chacun<lb/> de leurs points leur est normale.</p>
<p rend="center">Définition analytique du <hi rend="underline">flux de force</hi></p>
<p rend="left">Soit dans un champ électrique une surface limitée<lb/> par une courbe fermée. Considérons en chacun de ses<lb/> points la force F qui s'exercerait sur l'unité de masse<lb/> placée en ce point, et la normale dirigée vers l'extérieur ;<lb/> soit α l'angle de leurs directions. Formons le produit :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi>ds.</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi mathvariant="normal">,</default:mi><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi>ds.cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left ">L'intégrale de cette différentielle (<hi rend="underline">ds</hi> élément de surface)<lb/> étendue à toute la surface, est le <hi rend="underline">flux de force</hi> qui<lb/> traverse cette surface : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds.</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Restreignons-nous maintenant au cas particulier<lb/> où le champ est produit par une seule masse <hi rend="underline">m</hi><add class="above add" place="above">au point M</add> et où<lb/> la force est en raison inverse du carré de la distance.<lb/> Considérons une surface fermée <add class="below add" place="below">quelconque</add> entourant <del class="none del">la masse</del> <add class="below add" place="below">le point M.</add></p>
<p rend="left ">On va démontrer que le flux de force qui la traverse<lb/> est égal à : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi>km</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Construisons un cône élémentaire, de sommet M et</p>
</div>
<p><ptr target="2019"/></p>
<div>
<p rend="left">44</p>
<p rend="left">d'ouverture ω : ω est l'angle solide<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> du cône, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> la surface qu'il inter-<lb/> capte sur une sphère de rayon 1 ayant<lb/> son sommet pour centre. Ce cône<lb/> traverse la surface A et y découpe<lb/> un élément <hi rend="underline">ds</hi>. Soit <hi rend="underline">r</hi> la longueur MA : la force en A<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>, et elle est dirigée suivant MA.<lb/> Evaluons <hi rend="underline">ds</hi>. Menons par A une sphère de centre M ;<lb/> soit dσ la portion de sa surface interceptée par le cône :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, α, étant l'angle de la force AF et de la<lb/> normale AN, est aussi l'angle des 2 éléments ds et dσ :<lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Formons <add class="below add" place="below">le produit :</add><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Fds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Intégrons : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>∫</default:mo><default:mi>km</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>km</default:mi><default:mo>∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">w</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">Or <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>, étendue à toute la surface qui entoure le<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p</abbr> <expan class="undefined expan"> point</expan></choice><unclear class="high unclear" cert="high"/>M,<lb/> est égale à la surface de la sphère de rayon 1, soit 4π ;<lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi>km</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ce flux de force <add class="above add" place="above">indépendant de la surface considérée il</add> est proportionnel à la masse <hi rend="underline">m</hi>, et peut<lb/> par conséquent lui servir de mesure.</p>
<p rend="left">Considérons maintenant le cas où est le pont électrisé M<lb/> se trouve à l'extérieur d'une surface fermée. On va<lb/> prouver que le flux de force qui la traverse est nul.</p>
</div>
<p><ptr target="2020"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">45</p>
<p rend="left">Menons du sommet M un cône<fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> élémentaire, qui perce la surface en A<lb/> (entrée) et en A' (sortie). La direction<lb/> de la force, MAA', fait avec la normale<lb/> à l'entrée un angle <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>, dont le cosinus<lb/> est négatif, et avec la normale à la sortie un angle α'<lb/> < <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>, dont le cosinus est positif. Soient ds, ds' les<lb/> éléments de surface interceptés par le cône en A et A',<lb/> dσ, dσ' les éléments de surface sphérique aux mêmes<lb/> points (en valeur absolue) ; on aura :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> D'ailleurs : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Formons les deux produits <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> On voit qu'ils se détruisent. Tous les éléments de l'intégrale<lb/> se détruisant ainsi deux à deux, le flux de force est nul.</p>
<p rend="left">Du reste, si l'on intègre séparément l'entrée et la sortie,<lb/> on aura respectivement : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi></default:mrow></default:msub><default:mi>km</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math>et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:msub><default:mi>km</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math>,<lb/> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Or les deux intégrales <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> sont égales, car, si l'on circons-<lb/> crit à la surface fermée un cône de sommet M, toutes<lb/> deux sont égales à son angle solide, leur somme <add class="below add" place="below">algébrique</add> est donc nulle.</p>
</div>
<p><ptr target="2021"/></p>
<div>
<p rend="left">46</p>
<p rend="left">Ainsi une surface fermée qui ne contient aucune masse<lb/> électrique est traversée par un flux de force nul.</p>
<p rend="left">Considérons maintenant une surface fermée qui<lb/> enveloppe certaines masses électriques m, m', m'', ….<lb/> en laisse d'autres dehors, mais n'en rencontre<lb/> aucune. Nous allons démontrer que le flux de force<lb/> qui la traverse est égal à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Pour <del class="none del">le prouver</del> <add class="above add" place="above">cela</add>, il suffit de <del class="none del">rappeler</del> <add class="above add" place="above">prouver</add> que le flux de<lb/> force résultant est la somme des flux de forces com-<lb/> posants. Soit R la force résultante en un point P<lb/> de la surface, ε l'angle qu'elle fait avec la normale<lb/> extérieure. Soient d'autre part F, F', F'', …. les forces<lb/> exercées sur le point P par les masses <hi rend="underline">intérieures</hi><lb/> <hi rend="underline">et extérieures</hi>, α, α', α'', … les angles qu'elles font<lb/> avec la normale extérieure. En vertu du théorème des<lb/> projections, on a (en projetant sur la normale) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>.....</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Le flux de force total est la somme des flux de forces<lb/> dus à toutes les masses : mais les flux de forces dus<lb/> aux masses extérieures sont nuls : il ne reste donc<lb/> que ceux des masses intérieures ; par conséquent :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mrow><default:mi>km</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi>km</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi>km</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>....</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2022"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">47</p>
<p rend="left">Ainsi les flux de forces qui traversent une même surface<lb/> s’additionnent simplement. Supposons que la surface<lb/> enferme plusieurs masses positives et négatives, telles<lb/> que leur somme algébrique soit nulle ; le flux de force<lb/> sera nul.</p>
<p rend="left">Dans la pratique des électriciens, on matérialise<lb/> les lignes de force et les flux de force. On imagine<lb/> qu'une masse électrique <hi rend="underline">m</hi> émet en rayonnant<lb/> dans l'espace autant de lignes de force qu'il y a<lb/> d'unités dans <hi rend="underline">m</hi>. Le flux de force qui traverse une<lb/> surface donné est alors mesuré par le nombre des lignes<lb/> de force qui la traversent. De là vient que le flux de<lb/> force s'appelle, dans le langage vulgaire des praticiens,<lb/> <hi rend="underline">nombre de lignes de force</hi>, bien que ce ne soit pas un<lb/> nombre, mais une grandeur essentiellement continue,<lb/> qui peut-être incommensurable. On verra plus tard<lb/> que les lignes de force vont toujours d'un corps électrisé<lb/> à un autre, de sorte qu'on peut les figurer par des fils<lb/> tendus entre ces deux corps. Cette image grossière fait<lb/> comprendre la distribution des flux de forces autour des<lb/> masses, par exemple, <del class="none del">les</del> deux plateaux de verre et de drap<del class="overtyped del" rend="overtyped"> ,</del><lb/><app> <note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> « étant » est ajouté au début de la ligne.</note></app><lem class="undefined lem"> </lem><add class="marginLeft add" place="marginLeft"> étant </add>électrisés en sens contraire, toutes les lignes de forces vont de<lb/> l'un à l'autre, de sorte qu'aucune ne traverse une surface</p>
</div>
<p><ptr target="2023"/></p>
<div>
<p rend="left">48</p>
<p rend="left">quelconque qui enveloppe les deux plateaux : et en effet,<lb/> leur action sur un corps extérieur quelconque est nulle.</p>
<p rend="left">Le travail des forces électriques, et généralement des<lb/> forces qui en sont fonctions que de la distance, jouit<lb/> de la propriété suivante :</p>
<p rend="left">Etant donnée une courbe fermée dans <del class="overtyped del" rend="overtyped"> l'espace</del> <add class="above add" place="above">un champ</add>, ne</p>
<p rend="left">rencontrant aucune masse électrique, si une masse<lb/> électrique la parcourt tout entière et revient à son<lb/> point de départ, le travail des forces est nul.</p>
<p rend="left">Ce théorème est évident si l'on admet le principe de<lb/> la conservation de l'énergie : car l'énergie doit être<lb/> la même après qu'avant le cycle ; <del class="overtyped del" rend="overtyped"> ou </del>on pourrait alors <lb/> décrire le cycle et produire du travail sans dépenser<lb/> d'énergie, et cela indéfiniment (mouvement perpétuel).</p>
<p rend="left">Mais on peut le démontrer directement et d'une<lb/> manière générale, dans l'hypothèse où les forces sont<lb/> centrales et fonctions de la distance seule. En effet,<lb/> soit R la résultante des forces sur chaque point de la<lb/> courbe : elle sera fonction de sa position seulement.</p>
<p rend="left">Le travail élémentaire sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> (α étant l'angle de R avec l'élément de courbe <hi rend="underline">ds</hi>),<lb/> et le travail total : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi>Rds</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> intégrale prise le long de la courbe fermée, de A en A.</p>
</div>
<p><ptr target="2024"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">49</p>
<p rend="left">L'expression différentielle est fonction des<lb/> coordonnées du point considéré. L'intégrale prise entre<lb/> deux points quelconques <del class="overtyped del" rend="overtyped"> n'est</del> <add class="above add" place="above">ne dépend</add> donc <del class="overtyped del" rend="overtyped"> fonction </del>que de leurs<lb/> positions ; c'est une fonction uniforme F (x, y, z). Par<lb/> suite, elle reprend la même valeur en revenant au même<lb/> point : l'intégrale, différence des deux valeurs, est nulle.</p>
<p rend="left">Les forces qui jouissent de cette propriété sont dite<lb/> <hi rend="underline">conservatives</hi>.</p>
<p rend="left">Cela posé, considérons deux <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> surfaces de niveau S et S'. Si<lb/> l'on déplace une masse électrique<lb/> sur une surface de niveau, le travail<lb/> est nul, puisque le déplacement est normal<lb/> à la direction des forces. Supposons qu'on fasse<lb/> passer une même masse électrique de A sur S en<lb/> A' sur S', puis de A' en B' suivant S', puis de B' en B<lb/> sur S, enfin de B en A suivant S. Le travail effectué<lb/> doit être nul, puisqu'on a décrit un cycle fermé. D'ailleurs,<lb/> le travail de A' en B' et de B en A est nul. Soit T le<lb/> travail de A en A' ; le travail de B' en B est égal au<lb/> travail T' de B en B', changé de signe ; on a donc pour<lb/> le travail total : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2025"/></p>
<div>
<p rend="left">50</p>
<p rend="left">ce qui prouve que le travail nécessaire pour passer d'une<lb/> surface de niveau à une autre est indépendant du<lb/> chemin parcouru (les chemins AA', BB' sont quelconques).</p>
<p rend="left">On peut donc caractériser chaque surface de niveau<lb/> par le travail effectué pour y transporter l'unité<lb/> de masse électrique par un chemin quelconque à<lb/> partir d'une même origine (arbitraire). D'ailleurs,<lb/> le travail nécessaire pour passer d'une surface à une<lb/> autre ne peut être nul, donc chaque surface correspond<lb/> à une valeur différente de T, et réciproquement.</p>
<p rend="left">Posons : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Cette fonction V (égale au travail changé de signe)<lb/> s'appelle le <hi rend="underline">potentiel</hi>. Elle a une valeur constante<lb/> sur chaque surface de niveau, valeur qui caractérise<lb/> cette surface. C'est pourquoi les surfaces de niveau<lb/> se nomment aussi : <hi rend="underline">surfaces équipotentielles</hi>.</p>
<p rend="center">5<hi class="sup hi" rend="sup"> </hi>e leçon</p>
<p rend="left">Entre les variations du travail et du potentiel on a<lb/> en général la relation : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dV</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dT</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ou encore : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>dV</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi>dT</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:math> <lb/> Puisque, d'après la 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> équation, la fonction V varie en<lb/> sens inverse du travail, et de la même quantité, on peut<lb/> la considérer comme une <hi rend="underline">énergie potentielle</hi> (c'est même</p>
</div>
<p><ptr target="2026"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">51</p>
<p rend="left">de là que lui vient son nom de <hi rend="underline">potentiel</hi>), et alors la 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi><lb/> équation, qui exprime que la fonction <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow></default:mfenced></default:math> est<lb/> constante, est une forme du principe de la conservation<lb/> de l’énergie. Le potentiel en un point représente l'énergie<lb/> de la masse électrique 1 placée en ce point.</p>
<p rend="left">Considérons deux surfaces de niveau très voisines, cor-<lb/> respondant, l'une, S, à la valeur V du potentiel,<lb/> l'autre S' à la valeur <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi>SV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> (SV fini et constant).<lb/> Supposons que l'unité de masse électrique se déplace<lb/> du point A de S au point A' de S' suivant la<lb/> direction de la force, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> normalement aux 2 surfaces :<lb/> AA' est un segment de normale que nous appellerons δn :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">δ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>F.</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Or δV est constant, donc le produit Fδn est constant<lb/> en tous les points des deux surfaces. Par conséquent,<lb/> la distance normale des deux surfaces de niveau<lb/> varie en raison inverse de la force au même point.</p>
<p rend="left">Pour figurer un champ électrique on peut tracer<lb/> des surfaces de niveau très voisines, correspondant<lb/> à des variations égales δV du potentiel. Le diagramme<lb/> ainsi obtenu représentera le champ exactement comme<lb/> les courbes de niveau, sur une carte, représentant le<lb/> relief du sol : seulement la distance des courbes<del class="none del">,</del> sera</p>
</div>
<p><ptr target="2027"/></p>
<div>
<p rend="left">52</p>
<p rend="left">en raison inverse, non plus de la pente, mais de la force.<lb/> On peut calculer la force (comme la pente) par la formule :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Si maintenant l'on fait décroître indéfiniment δV<lb/> et δn (jusqu'ici finies et constantes), on aura à la limite :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi la force, en chaque point d'une surface de niveau,<lb/> est la dérivée du potentiel par rapport à la normale,<lb/> changée de signe. Nous allons calculer ses composantes<lb/> X, Y, Z suivant les 3 axes rectangulaires de coordonnées :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dy</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi></default:mrow><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> car le travail de la résultante est égal à la somme des<lb/> travaux des composantes (en vertu du théorème des<lb/> projections). Autrement dit :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dV</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dy</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi></default:mrow><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> d'où l'on conclut :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi les projections de la force sont les 3 dérivées<lb/> partielles du potentiel, changées de signe.<lb/> Toutes ces propriétés sont générales, et ne dépendent pas<lb/> de la loi de Coulomb.</p>
<p rend="left">Pour étudier un champ électrique et en tracer le diagramme,<lb/> la méthode la plus simple consiste à y promener un pendule</p>
</div>
<p><ptr target="2028"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">53</p>
<p rend="left">de Coulomb et à le faire osciller en différents points.<lb/> En chaque point, la direction de la force est donnée par<lb/> la position d'équilibre du pendule, et son intensité<lb/> est en raison inverse du carré de la durée d'oscillation.<lb/> On peut déterminer par tâtonnements les surfaces<lb/> isodynamiques, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> celles où la force est constante<lb/> (et par suite la durée d'oscillation) ; on déterminera<lb/> les lignes de force en déplaçant lentement le pendule<lb/> dans sa direction. On trouvera les surfaces de niveau<lb/> en cherchant une surface normale aux lignes de force.<lb/> Quand on connaîtra une surface de niveau et la<lb/> valeur F de la force en tous ses points, on obtiendra<lb/> une surface de niveau voisine en portant sur chaque<lb/> normale une longueur δn inversement proportionnelle<lb/> à F : car alors : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>F.</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi></default:mrow></default:math> = <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> const.</abbr> <expan class="undefined expan"> constante</expan></choice></p>
<p rend="left">Nous allons maintenant étudier les propriétés du<lb/> potentiel pour les forces qui varient en raison inverse<lb/> du carré de la distance, selon la loi de Coulomb.</p>
<p rend="left">Considérons d'abord le cas d'une masse électrique<lb/> unique, <hi rend="underline">m</hi>, située au point A. Soit l'unité de masse<lb/> placée au point B, à une distance <hi rend="underline">r</hi> de A. Elle sera</p>
<p rend="left">soumise à la force : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Supposons qu'elle éprouve un déplacement <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit</p>
</div>
<p><ptr target="2029"/></p>
<div>
<p rend="left">54</p>
<p rend="left">BB' suivant la direction de la force : le travail sera alors :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mi>BB</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> et par suite : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dV</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Intégrons : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> + <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> C <hi class="sup hi" rend="sup"> te</hi></abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice> <lb/> La constante étant arbitraire, nous la supposerons nulle.<lb/> Ainsi le potentiel est inversement proportionnel à la <lb/> distance au point A.</p>
<p rend="left">Soient x, y, z, les coordonnées rectangulaires du point B ;<lb/> ξ, η, ζ celles du point A (fixe)). On aura :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Calculons les projections de la force sur les 3 axes :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> Or, en différentiant l'expression de r <hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi>, on trouve :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>rdr</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>dy</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Par conséquent :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>km</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mfrac></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>km</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">ξ</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Considérons maintenant le cas d'un nombre quelconque<lb/> de masses électriques m, m', m'', … placées aux points A, A', A'', ...<lb/> Les projections de la résultante des forces qu'elles exercent<lb/> sur la masse 1 située au point B sont les sommes des<lb/> projections des composantes ; on a donc :</p>
</div>
<p><ptr target="2030"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">55</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> Or on a d'autre part :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> On en conclut :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> d'où, en intégrant :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Les mathématiciens suivant la marche inverse : ils posent<lb/> la formule du potentiel, et en déduisent les propriétés<lb/> qui pour les physiciens lui servent de définition.</p>
<p rend="left">On n'a considéré jusqu'ici que des masses électriques<lb/> discontinues réduites à des points. Nous allons passer<lb/> à l'étude du potentiel des corps électrisés. Ne sachant<lb/> rien sur la nature de l'électricité ni sur la manière<lb/> dont elle est répartie dans les corps, nous allons poser<lb/> des définitions a priori, quitte à vérifier si elles sont<lb/> conformes aux faits d'expérience.</p>
<p rend="left">Soit un corps électrisé A. On admet qu'un élément<lb/> de volume <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> </choice><expan class="undefined expan"> infiniment</expan> petit du corps a une charge électrique <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice><lb/> petite : soit δV ce volume, δm sa charge : on suppose<lb/> que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> est fini. De plus, on admet que si l'élément<lb/> de volume décroît indéfiniment et se réduit au point P,<lb/> ce rapport tend vers une limite finie ρ qui est indé-</p>
</div>
<p><ptr target="2031"/></p>
<div>
<p rend="left">56</p>
<p rend="left">pendante de la forme de l'élément de volume :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dm</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>lim</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> On appelle ρ la <hi rend="underline">densité électrique solide</hi> au point P.</p>
<p rend="left">Cette définition est calquée sur celle de la densité<lb/> matérielle ; elle se justifie par l'analogie des forces<lb/> électriques avec la gravitation <hi class="sup hi" rend="sup"> (1)</hi><add class="bottom add" place="bottom"> (1)L'hypothèse d'une densité électrique solide n'est vrai que pour les corps isolants, comme on le verra plus tard : les corps conducteurs n'ont qu'une densité superficielle.</add></p>
<p rend="left">La densité matérielle d'un corps hétérogène étant<lb/> une fonction continue des coordonnées du point P,<lb/> nous admettrons, par analogie, que la densité électrique<lb/> solide est aussi une fonction continue de ces coordonnées.</p>
<p rend="left">Supposons la densité électrique ρ comme en chaque<lb/> point du corps. Hachons le corps en éléments de volume<lb/> par des plans parallèles aux axes : le volume d'un<lb/> élément de dimensions <hi rend="underline">dx</hi>, <hi rend="underline">dy</hi>, <hi rend="underline">dz</hi>, sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dv</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>dx</default:mi></default:mrow><default:mi>dy</default:mi><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> et sa masse : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dm</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>dv</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mi>dy</default:mi><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Soit <hi rend="underline">r</hi> la distance du point B considéré au centre<lb/> de gravité de l'élément de masse <hi rend="underline">dm</hi> : le potentiel<lb/> élémentaire correspondant sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dm</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2032"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">57</p>
<p rend="left">et le potentiel total du point A par rapport au corps B<lb/> sera l'intégrale de ces éléments, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∭</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi>dx</default:mi><default:mi>dy</default:mi><default:mi>dz</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> intégrale prise dans les limites du volume du corps.</p>
<p rend="left">On peut évaluer le potentiel d'une autre manière,<lb/> quand on exprime l'élément de volume en coordonnées<lb/> polaires : R, Θ et Ψ<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> : <lb/> L'élément de volume qui<lb/> correspond aux variations<lb/> dR, dΘ, d Ψ a pour<lb/> expression :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>Rd</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">Ψ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mi>dR</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dv</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mi>dRd</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">Ψ</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dm</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">Ψ</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> et le potentiel a pour expression :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∭</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">Θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">Ψ</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Comme application, proposons-nous de calculer le<lb/> potentiel d'un couche sphérique <add class="above add" place="above">homogène</add> infiniment mince<lb/> sur une masse électrique extérieure ou intérieure.</p>
<p rend="left">Soit ε l'épaisseur uniforme de la couche, R son rayon.<lb/> La charge totale M sera la somme des charges élémen-<lb/> taires. Or, pour un élément de surface ds, le volume</p>
</div>
<p><ptr target="2033"/></p>
<div>
<p rend="left">58</p>
<p rend="left">élémentaire sera εds, la masse élémentaire ρεds ;<lb/> et comme la densité ρ est supposée constante, la<lb/> masse totale sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∬</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∬</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mrow></default:math>,<lb/> s étant la surface totale de la sphère : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math>.<lb/> Posons : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> : c'est une constante.<lb/> Considérons maintenant l'épaisseur de la couche<lb/> comme nulle : μ sera la charge par unité de surface,</p>
<p rend="left"><choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> la <hi rend="underline">densité superficielle</hi>. On aura donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> Evaluons le potentiel de la surface de la sphère pour<lb/> un point extérieur P</p>
<figure><figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></figure>
<p rend="left">. <lb/> Décomposons-la en<lb/> zones infiniment minces<lb/> <add class="above add" place="above">par des plans</add> perpendiculaires à OP :<lb/> Soit MNM'N' une de ces<lb/> zones, HH' sa hauteur : son<lb/> aire aura pour valeur : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi>R.HH</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Or, si l'on appelle α l'angle MOP : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>OH</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi></default:math> ,<lb/> et HH' est la variation de OH :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>HH</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi></default:mrow></default:mfenced><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo/><default:mi>sin</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi><default:mo/><default:mi>dα</default:mi></default:math><lb/> Donc l'aire de la zone est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">π</default:mi><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo/><default:mi>sin</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi><default:mo/><default:mi>dα</default:mi></default:math><lb/> et sa masse électrique : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>πμ</default:mi><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo/><default:mi>sin</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi><default:mo/><default:mi>dα</default:mi></default:math><lb/> Le potentiel <add class="below add" place="below">élémentaire</add> correspondant est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mrow><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>πμ</default:mi><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo/><default:mi>sin</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi><default:mo/><default:mi>dα</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2034"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">59</p>
<p rend="left">Evaluons r, distance du point P à la zone MN, en<lb/> fonction de R et de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>OP</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>. Le triangle MOP donne :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>2a</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Donc le potentiel total a pour expression :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>∫</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi>πμ</default:mi><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo/><default:mi>si</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi><default:mo/><default:mi>dα</default:mi></default:mrow><default:mfenced><default:mrow><default:msup><default:mi>R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:msup><default:mi>α</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>α</default:mi><default:mi>R</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi>α</default:mi></default:mrow></default:mfenced></default:mfrac></default:math> <lb/> Or la dérivée de : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:msup><default:mi>R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:msup><default:mi>a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>R</default:mi><default:mo/><default:mi>c</default:mi><default:mo/><default:mi>α</default:mi></default:mrow></default:mfenced><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:msup></default:math> <lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mrow><default:mi>a</default:mi><default:mi>R</default:mi><default:mo/><default:mi>s</default:mi><default:mi>i</default:mi><default:mi>n</default:mi><default:mo/><default:mi>α</default:mi></default:mrow><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:msup><default:mi>R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:msup><default:mi>a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>a</default:mi><default:mo/><default:mi>R</default:mi><default:mo/><default:mi>o</default:mi><default:mi>s</default:mi><default:mo/><default:mi>α</default:mi></default:mrow></default:mfenced><default:mstyle displaystyle="true"><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:mstyle></default:msup></default:mfrac></default:math> <note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Un « 2 » a été effacé avant « a R sin α »</note> <lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi>πμ</default:mi><default:mo/></default:mrow><default:mi>α</default:mi></default:mfrac><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:msup><default:mi>R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:msup><default:mi>a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>a</default:mi><default:mo/><default:mi>R</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi>α</default:mi></default:mrow></default:mfenced><default:mstyle displaystyle="false"><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:mstyle></default:msup></default:math> <lb/> intégrale prise entre les limites <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>α</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:math> et ,<lb/> afin d'avoir toute la sphère. Distinguons les 2 cas :<lb/> <hi rend="underline">1</hi><hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi><hi rend="underline">Cas </hi>: Le point P est extérieur à la sphère : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>α</default:mi><default:mo>></default:mo><default:mi>R</default:mi></default:math> .<lb/> On a alors : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>V</default:mi><default:mo/><default:mo>=</default:mo><default:mo/><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi>πμR</default:mi></default:mrow><default:mi>a</default:mi></default:mfrac><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:msqrt><default:msup><default:mi>R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:msup><default:mi>a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>R</default:mi></default:msqrt><default:mo>-</default:mo><default:msqrt><default:msup><default:mi>R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:msup><default:mi>a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>a</default:mi><default:mi>R</default:mi></default:msqrt></default:mrow></default:mfenced><default:mo/></default:math> <lb/> = <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi>πμ</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow><default:mi>a</default:mi></default:mfrac><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mi>R</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi>a</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mfenced><default:mrow><default:mi>a</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi>R</default:mi></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mfenced><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πμ</default:mi><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mi>a</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Or on sait que : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc on a simplement : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mfrac></default:math> .</p>
<p rend="left">On voit que le potentiel a la même valeur que si toute<lb/> la masse de la couche sphérique était condensée au centre.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">2 e Cas </hi>: Le point P est intérieur à la sphère : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> On a alors : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">[</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">]</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:math>,<lb/> qui est une constante. Ainsi le potentiel à l'intérieur<lb/> d'une couche sphérique est constant.</p>
</div>
<p><ptr target="2035"/></p>
<div>
<p rend="left">60</p>
<p rend="left">Le calcul du potentiel a surtout pour but l'évaluation<lb/> des forces, qui en sont les dérivées. Dans le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> cas,<lb/> la force, dirigée suivant OP (par raison de symétrie)<lb/> a pour valeur : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>da</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Cette formule exprime le <hi rend="underline">théorème de Newton</hi> :<lb/> l'attraction d'une couche sphérique sur un point extérieur<lb/> est en raison inverse du carré de sa distance au centre.</p>
<p rend="left">Dans le 2 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> cas, le potentiel étant constant, sa dérivée<lb/> est nulle dans toutes les directions ; donc la force est nulle.</p>
<p rend="left">Ainsi une masse placée à l'intérieur d'une couche<lb/> sphérique homogène n'est soumise à aucune force.<lb/> Ce théorème est également dû à <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119176085"> Newton</ref></persname>.</p>
<p rend="left">On pourrait aussi le démontrer sans calcul, et sans<lb/> passer par l'intermédiaire du potentiel. <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
<p rend="left">Considérons une couche sphérique de centre<lb/> O et un point A quelconque à l'intérieur.<lb/> Menons du sommet A un cône élémen-<lb/> taire, d'angle solide ω, qui découpe sur<lb/> la surface les éléments MN, M'N', d'aire<lb/> ds, ds'. L'élément MN a une charge μds, dont l'action<lb/> à la distance <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>AM</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Soit dσ l'élément de surface sphérique ayant pour centre<lb/> A et pour rayon r, et α l'angle AMO, qui est aussi</p>
</div>
<p><ptr target="2036"/></p>
<div>
<p rend="left">l'angle des éléments ds et dσ : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> D'autre part : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> La force exercée par l'élément MN sur A a donc<lb/> pour valeur : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Or la force exercée par M'N' est directement opposée,<lb/> et égale à la précédente : car l'angle α est le même,<lb/> puisque : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>AMO</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>AM</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">O</default:mi></default:mrow></default:math>.<lb/> Ainsi les forces exercées par les deux éléments opposés<lb/> se font équilibre. On pourrait partager la surface sphérique<lb/> en 2 parties par un plan quelconque mené par A, et balayer<lb/> chacune de ces parties par l'un des 2 cônes élémentaires :<lb/> on trouverait que toutes les actions des éléments opposés<lb/> sont égales et contraires, de sorte que les deux sommes<lb/> se détruisent, et l'action totale est nulle.</p>
<p rend="left">Il faut remarquer que la loi de Coulomb (ou de Newton)<lb/> est la seule qui donne ce résultat. C'est ce que nous<lb/> allons démontrer d'après M Bertrand.</p>
<p rend="left">Supposons que la force soit une fonction quelconque<lb/> de la distance : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>mm</default:mi></default:mrow><default:mi>if</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> ?<lb/> L'action sur l'unité de masse électrique sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Si la loi de Coulomb est vraie, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> = Const[ante]</p>
</div>
<p><ptr target="2037"/></p>
<div>
<p rend="left">62</p>
<p rend="left">Posons donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">φ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Cette fonction n'est constante que dans le cas de la loi<lb/> de Coulomb. Si elle n'est pas constante, et si elle est<lb/> continue, on peut toujours trouver un intervalle (r<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi>, r<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>) <lb/> dans lequel elle varie constamment dans le même sens.</p>
<p rend="left">Prenons alors pour diamètre de la sphère la droite<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>PP</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>, le point A étant respectivement<lb/> aux distances r<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> et r <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> de P et P' sur cette droite.<lb/> On va prouver que l'action de la surface sphérique sur<lb/> le point A n'est pas nulle. Nous supposons que<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>, et que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">φ</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> va en croissant de r<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> et r<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>.</p>
<p rend="left">Menons le plan QQ' perpendiculaire <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> à PP' en A, et un cône élémentaire,<lb/> de sommet A , qui traverse QQ'.<lb/> La charge de l'élément <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>MN</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> est μds, son action <add class="below add" place="below">sur A</add> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds.</default:mi><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or (comme précédemment) : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">φ</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> L'action de M'N' est de même (α étant le même) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">φ</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>, donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">φ</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mo stretchy="false">φ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et par conséquent : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On verrait de même que l'action de chaque élément</p>
</div>
<p><ptr target="2038"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">63</p>
<p rend="left">situé au-dessus du plan QQ' est inférieur à l'action<lb/> directement opposée de l'élément correspondant, situé<lb/> au-dessous. Donc la somme des actions des éléments<lb/> inférieurs l'emporte sur celle des éléments supérieurs,<lb/> et la résultante ne peut être nulle.<lb/> Dans le cas où φ(r) va en décroissant de r<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> à r<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>,<lb/> on a au contraire : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">φ</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mo stretchy="false">φ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et alors c'est la somme des actions des éléments supérieurs<lb/> qui l'emporte sur celle des éléments inférieurs.</p>
<p rend="left">Toutes ces propriétés des forces électriques, déduites de<lb/> la loi de Coulomb, sont également vraies de la gravitation,<lb/> qui obéit à la même loi. Ainsi l'attraction exercée<lb/> par une couche sphérique homogène sur une masse<lb/> matérielle située à son intérieur est nulle.</p>
<p rend="left">L'attraction exercée sur une masse matérielle située à<lb/> l'extérieur est la même que si la masse de ma couche était<lb/> condensée en son centre.</p>
<p rend="left">Ces deux théorèmes peuvent s'étendre à une sphère<lb/> homogène ou du moins composée de couches concentriques<lb/> homogènes. C'est ce qui nous a permis de considérer,<lb/> dans l'expérience du pendule de <persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>, la sphère qui<lb/> l'attire comme réduite à son centre, bien que nous ne sachions<lb/> pas comment l'électricité y est distribuée : on admet seulement<lb/> qu'elle est distribuée également autour du centre (par symétrie).</p>
</div>
<p><ptr target="2039"/></p>
<div>
<p rend="left">64</p>
<p rend="center">6 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
Nous n'avons considéré jusqu'ici que les forces <add class="above add" place="above">électriques</add> qui<lb/> s'exercent à l'intérieur des corps électrisés. Il s'agit<lb/> de savoir si elles s'exercent aussi à l'intérieur, comme<lb/> la gravitation. C'est ainsi, par exemple, que la<lb/> pesanteur agit encore à l'intérieur de la terre (dans<lb/> un puits de mine) sur un corps qui tombe, sur un<lb/> pendule, etc. On peut se demander si l'action de la<lb/> pesanteur dépend de la forme et de la grandeur de la<lb/> cavité.
<p rend="left">De même, si l'on perce un trou très petit dans un<lb/> corps électrisé, et qu'au fond du trou l'on place un<lb/> point matériel <add class="below add" place="below">M</add> chargé de l'unité de l'électricité, on se<lb/> demande quelle est la force qui agit sur lui, et si elle<lb/> dépend de la grandeur et de la forme du trou. A<lb/> première vue, l'expression du potentiel : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> paraît devenir infinie dans ce cas, car il y a des<lb/> points situés à une distance <hi rend="underline">r</hi> infiniment petite de M.<lb/> Mais rappelons-nous que, par hypothèse, la densité<lb/> électrique ρ est finie ; par suite, l'élément de<lb/> volume Δv ne contient qu'une masse électrique ρΔv,<lb/> infiniment petit du même ordre que Δv. Or Δv est<lb/> un <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit du 3<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ordre par apport aux dimensions</p>
</div>
<p><ptr target="2040"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">65</p>
<p rend="left">linéaires ; si donc on divise ρΔv par Δr, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit du<lb/> 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> ordre, le quotient sera encore un <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> du 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ordre.<lb/> Ainsi les éléments <del class="none del">q</del>du potentiel qui correspondent à des<lb/> éléments du corps infiniment voisins du point M sont<lb/> infiniment petits, et non infinis comme il semble d'abord.</p>
<p rend="left">Nous allons démontrer rigoureusement que le poten-<lb/> tiel au point M est fini. <subst class="undefined subst"> <del class="none del">Evaluons</del> <add class="above add" place="above">Exprimons</add></subst>-le en coordonnées<lb/> polaires (r, θ, ψ), le point M étant pris pour origine :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∭</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mi>dr</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">ψ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ou simplement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∭</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mi>dr</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">ψ</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Autour du point M pris comme centre traçons une petite<lb/> sphère de rayon R. Evaluons séparément le potentiel<lb/> dû à cette petite sphère, V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, et le potentiel dû aux<lb/> autres éléments du corps, V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> sera l'intégrale précédente prise dans les limites de<lb/> la petite sphère :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:msubsup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">ψ</default:mo><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:msubsup><default:mi>sin</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:msubsup><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Nous ne savons pas comment ρ varie à l'intérieur de<lb/> la sphère ; nous savons seulement qu'elle reste finie.<lb/> Soit ρ <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> une limite supérieure de sa valeur ; on aura :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:msub><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:msubsup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">ψ</default:mo><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:msubsup><default:mi>sin</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:msubsup><default:mi>rdr</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2041"/></p>
<div>
<p rend="left">66</p>
<p rend="left">Or : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:msubsup><default:mi>rdr</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>R2</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:msubsup><default:mi>sin</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">θ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>cos</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>0</default:mn><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>cos</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:msubsup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ψ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msub><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math>.</p>
<p class=" left p" rend="left">Si r est infiniment petit, V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> sera un <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf. </abbr><expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit du 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ordre ;<lb/> on peut donc écrire : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> à un infiniment petit près du 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ordre.</p>
<p class=" left p" rend="left">Ainsi pour évaluer le potentiel en un point M intérieur<lb/> au corps, il est indifférent de supprimer la matière d'une<lb/> sphère <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petite entourant ce point, puisque cela revient<lb/> à négliger V <hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi>. On peut donc conserver la formule générale<lb/> du potentiel pour un point intérieur, comme s'il était extérieur.</p>
<p class=" left p" rend="left">Nous allons évaluer en particulier le potentiel pour un<lb/> point intérieur à une sphère homogène. Nous simplifie-<lb/> rons le problème et nous contenterons d'une approximation ;<lb/> pour <subst class="undefined subst"> <del class="none del">une</del> <add class="above add" place="above">la</add></subst> démonstration rigoureuse, qui serait trop longue,<lb/> voir le Traité de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13746681j ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13746681j"> Riemann</ref></persname>.</p>
<p class=" left p" rend="left">Soit la sphère 0, de rayon R, et le point intérieur A,<lb/> à la distance <hi rend="underline">a</hi> du centre (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>). Décomposons la<lb/> sphère en couches concentriques.</p>
<p class=" left p" rend="left">Pour une couche extérieure au point A, le potentiel,<lb/> étant constant à son intérieur, est le même en A qu'en 0.<lb/> Soit <hi rend="underline">r</hi> la distance de la couche au centre (son rayon) ;<lb/> son volume est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math>,</p>
</div>
<p><ptr target="2042"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">67</p>
<p rend="left">sa masse : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math>, et son potentiel au centre :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math> (cf. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2034 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2034"> p.59</ref>)</p>
<p class=" left p" rend="left">Pour avoir le potentiel total des couches extérieures au <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p.</abbr> </choice><expan class="undefined expan"> point</expan> A,<lb/> intégrons cet élément entre les limites (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>) et R :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:msubsup><default:mn>4</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mi>dr</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:msubsup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">[</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">]</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p class=" left p" rend="left">Pour une couche intérieure au point A, le potentiel est le<lb/> même que si sa masse était condensée au centre. En<lb/> sommant immédiatement toutes les couches intérieures,<lb/> on trouve que le potentiel correspondant est celui d'une<lb/> sphère de rayon (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>) : sa masse est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math>,<lb/> et son potentiel : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math> (cf. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2034 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2034"> p. 59</ref>).<lb/> Le potentiel total (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>) est celui qui règne dans <del class="none del">une</del> <add class="above add" place="above">la</add><lb/> cavité sphérique comprise entre les 2 surface sphériques<lb/> de rayons (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>) et (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>), et contenant le point A.<lb/> Si l'on fait tendre vers 0 l'épaisseur 2ε de cette cavité,<lb/> <del class="none del">on aura</del> V <hi class="sub hi" rend="sub"> E</hi> et V<hi class="sub hi" rend="sub"> I</hi> tendront vers des limites finies, dont<lb/> la somme sera le potentiel de la sphère pour le point A :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math>.<lb/> Le 1 <hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> terme <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math> est constant pour tous les points intérieurs.</p>
<p class=" left p" rend="left">Evaluons maintenant la force qui s'exerce au point A.<lb/> Tant que ε n'est pas nul, le point A étant en dehors de la<lb/> masse électrisée, la force sera la dérivée du potentiel prise</p>
</div>
<p><ptr target="2043"/></p>
<div>
<p rend="left">68</p>
<p rend="left">suivant le rayon, car elle doit être dirigée suivant le rayon,<lb/> par raison de symétrie : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>da</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Or si l'on fait tendre ε vers 0, cette dérivée aura pour<lb/> limite la dérivée du potentiel V correspondant à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> ;<lb/><choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> qu'il est indifférent de faire <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> avant ou après<lb/> la dérivation. Donc on peut considérer encore la force<lb/> comme la dérivée du potentiel au <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p.</abbr> <expan class="undefined expan"> point</expan></choice> A suivant le<lb/> rayon : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>da</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p class=" left p" rend="left">Calculons les composantes X, Y, Z suivant les axes :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>da</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mi>da</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mi>dV</default:mi><default:mi>da</default:mi></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mi>da</default:mi><default:mi>dy</default:mi></default:mfrac></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mi>dV</default:mi><default:mi>da</default:mi></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mi>da</default:mi><default:mi>dz</default:mi></default:mfrac></default:math><lb/> <lb/>Or on a x, y, z étant les projections de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>OA</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:math> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi>da</default:mi><default:mi>dx</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mfrac></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi>da</default:mi><default:mi>dy</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mfrac></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi>da</default:mi><default:mi>dz</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p class=" left p" rend="left">Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>4</default:mn><default:mn>3</default:mn></default:mfrac><default:mi>πp</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Z</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>4</default:mn><default:mn>3</default:mn></default:mfrac><default:mi>πp</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi></default:math> <lb/> Pour le centre de la sphère, <hi rend="underline">a</hi> est nul : la force aussi.</p>
<p class=" left p" rend="left">En résumé, la force est proportionnelle à la distance du<lb/> point au centre ; elle est nulle au centre.</p>
<p class=" left p" rend="left">On serait arrivé à la même conclusion en considérant le<lb/> centre comme un point intérieur à toutes les couches : on<lb/> sait que leur action sur un tel point est nulle.</p>
<p class=" left p" rend="left">Calculons la somme des 3 dérivées secondes du potentiel :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dx</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dy</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dz</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:math>.<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dx</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dX</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi>dV</default:mi><default:msup><default:mi>dy</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>dY</default:mi><default:mi>dy</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>4</default:mn><default:mn>3</default:mn></default:mfrac><default:mi>πp</default:mi></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi>dV</default:mi><default:msup><default:mi>dz</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>dZ</default:mi><default:mi>dz</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>4</default:mn><default:mn>3</default:mn></default:mfrac><default:mi>πp</default:mi></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2044"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">69</p>
<p rend="left">Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi>constante</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> De ces propriétés du potentiel d'une sphère homogène on<lb/> peut tirer certaines conséquences touchant le potentiel d'un<lb/> corps de forme quelconque, électrisé d'une manière quelconque.<lb/> Soit à trouver la force en un point intérieur A. Cette force<lb/> F est la résultante de la force F <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> produite par une sphère<lb/> infiniment petite entourant le point A, et de la force F,<lb/> produite par le reste du corps. <hi rend="underline">Admettons</hi> que l'on puisse<lb/> considérer la densité ρ comme constante dans cette sphère<lb/> infiniment petite. En vertu du théorème précédent, la<lb/> force F<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> qu'elle exerce sur son centre sera nulle. Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub></default:math> .</p>
<p class=" left p" rend="left">On en conclut que la force est finie puisque F, est<lb/> produite par des éléments situés à distance finie du <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p.</abbr> <expan class="undefined expan"> point</expan></choice> A ;<lb/> et qu'elle est égale à la dérivée du potentiel changée de signe,<lb/> puisqu'on peut supprimer la sphère et considérer le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p.</abbr> <expan class="undefined expan"> point</expan></choice> A<lb/> comme extérieur au corps.</p>
<p rend="left">Calculons maintenant la valeur de ΔV au point A :<lb/> Soit V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> le potentiel provenant de la sphère <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petite,<lb/> V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> le potentiel provenant du reste du corps : on aura :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math>.<lb/> Or : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:math>.<lb/> Quant à ΔV<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, on va démontrer qu'il est nul.</p>
</div>
<p><ptr target="2045"/></p>
<div>
<p rend="left">70</p>
<p rend="left">Soient x, y, z les coordonnées d'un point <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> qcque</abbr> <expan class="undefined expan"> quelconque</expan></choice> M<lb/> du corps ; ξ, η, ζ les coordonnées du point A :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Le potentiel dû aux éléments extérieurs est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dy</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> Or :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dy</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> On en tire :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dx</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>3m</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>5</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>3m</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>5</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>3m</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>5</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>3m</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>5</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ξ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">η</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">z</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ζ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:mfenced><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>3m</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>3m</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>3m</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:math> (constante)</p>
<p rend="left">Nous allons maintenant étudier le potentiel d'une<lb/> surface électrisée : ce problème est très important pour<lb/> l'électricité statique.</p>
<p rend="left">On va prouver que si une masse électrique traverse norma-<lb/> lement la surface, son potentiel varie d'une manière continue.<lb/> Considérons en effet 2 points infiniment voisins P et P'</p>
</div>
<p><ptr target="2046"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">71</p>
<p rend="left">symétriques par rapport à la surface, et l'élément AB de la<lb/> surface qui entoure la normale PP'. Comparons les poten-<lb/> tiels des 2 points. L'élément AB étant sensiblement plan ?,<lb/> les potentiels relatifs à cet élément sont égaux, puisque<lb/> dans <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> toutes les distances r sont les mêmes.</p>
<p rend="left">Quant aux autres éléments de la surface, on peut les<lb/> considérer comme infiniment éloignés par rapport à la<lb/> distance PP'. Donc leurs distances respectives à P et à P'<lb/> différent infiniment peu ; les potentiels correspondants<lb/> <del class="none del">son</del> ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite,<lb/> c. q. f. d.</p>
<p rend="left">Etudions maintenant comment varie la force <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> du</del> <add class="below add" place="below"> entre le</add></subst><lb/>point P et le point P', et pour cela, distinguons sa compo-<lb/> sante normale et sa composante tangentielle. Considé-<lb/> rons d'abord la force exercée par les éléments autres que AB.<lb/> Comme ils sont infiniment éloignés, <del class="none del">leur</del> sa composante<lb/> tangentielle reste la même, et la composante normale<lb/> varie infiniment peu. Donc cette force reste continue<lb/> quand le point mobile traverse la surface.</p>
<p rend="left">Considérons la force exercée par l'élément AB : sa<lb/> composante tangentielle est nulle. Quant à sa composante<lb/> normale, elle change de signe de P à P', en conservant la<lb/> même valeur absolue. Par conséquent la force totale varie</p>
</div>
<p><ptr target="2047"/></p>
<div>
<p rend="left">72</p>
<p rend="left">du double de cette composante quand le point traverse<lb/> la surface ; elle est donc discontinue.</p>
<p rend="left">Nous allons évaluer cette composante normale d'une<lb/> manière approximative par un raisonnement simple<lb/> employé par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref>.</p>
<p rend="left">Considérons une couche sphérique uniformément<lb/> électrisée, et détachons-en une calotte infiniment petite ;<lb/> prenons 2 points infiniment voisins sur le rayon central<lb/> de la calotte, l'un en dehors, l'autre en dedans. Nous<lb/> savons que la différence des forces qu'ils subissent est<lb/> le double de la force exercée sur chacun d'eux par cette<lb/> calotte sphérique. Or, sur le point intérieur, la force<lb/> totale est nulle. Sur le point extérieur, elle est la même<lb/> que si toute la masse était condensée au centre.</p>
<p rend="left">Soit μ la densité électrique superficielle de la couche :<lb/> sa charge sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Le point extérieur étant à la distance <hi rend="underline">r</hi> du centre<lb/> (à un <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit près), la force qu'il subit sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mn>4</default:mn><default:mi mathvariant="normal">π</default:mi><default:msup><default:mo/><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo/><default:mo>:</default:mo><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πμ</default:mi></default:math> <lb/> Ainsi la <del class="none del">force</del> différence des forces est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mn>4</default:mn><default:mi>πμ</default:mi></default:math>, donc<lb/> la force exercée par la calotte sur chaque point est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mn>2</default:mn><default:mi>πμ</default:mi></default:math> .<lb/> (On remarquera que <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> pour</del> <add class="above add" place="above"> sur</add></subst> le point intérieur, cette force<lb/> fait équilibre à toutes les autres ; ainsi la force exercée</p>
</div>
<p><ptr target="2048"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">73</p>
<p rend="left">par l'élément <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr> <expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit voisin du point est égale à celle<lb/> qu'exerce le reste de la surface sphérique.)</p>
<p rend="left">Revenons à la surface quelconque considérée plus haut.<lb/> Nous pouvons assimiler l'élément de surface AB à une<lb/> calotte sphérique infiniment petite. La force normale qu'elle<lb/> exerce sur chacun des points P, P' est donc 2πμ, et la<lb/> variation de la composante normale de la force d'un côté à<lb/> l'autre de la surface est 4πμ.</p>
<p rend="left">Nous allons à présent vérifier ces formules par l'expérience,<lb/> et par là vérifier les principes d'où nous les avons déduites.<lb/> Les corps se divisent, à l'égard de l'électricité, en deux<lb/> grandes catégories : les conducteurs et les diélectriques.</p>
<p rend="left">Etudions d'abord les conducteurs : on se rappelle<lb/> l'expérience d'Œpinus, montrant l'électrisation d'un<lb/> conducteur par influence (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1989 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1989"> p.14</ref>). Dans la théorie des<lb/> 2 fluides, on explique le phénomène en disant que les deux<lb/> fluides mêlés dans le conducteur, subissant en sens<lb/> inverse l'action du <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> corps</del> <add class="above add" place="above"> champ</add></subst> électrique, se séparent ; mais dès<lb/> qu'ils se séparent, ils exercent l'un sur l'autre une<lb/> attraction qui est une force antagoniste de l'action du<lb/> champ ; cette séparation a donc pour effet d'affaiblir le<lb/> champ à l'intérieur du conducteur. Les deux fluides auront</p>
</div>
<p><ptr target="2049"/></p>
<div>
<p rend="left">74</p>
<p rend="left">atteint l'équilibre quand il se sera décomposé une<lb/> quantité de fluide neutre suffisante pour que les deux<lb/> fluides dégagés neutralisent l'action du champ, de<lb/> telle sorte qu'en tout point du conducteur la force<lb/> soit nulle. On dit dans ce cas que le champ est nul<lb/> à l'intérieur du conducteur.</p>
<p rend="left">La théorie unitaire fournirait une explication analogue :<lb/> la distribution du fluide unique devra être telle qu'elle<lb/> contrebalance l'action du champ à l'intérieur du conducteur.<lb/> Pour vérifier ces déductions, il faut constater si le<lb/> champ est vraiment nul à l'intérieur d'un conducteur<lb/> électrisé.</p>
<p rend="left">Pour cela, on emploie un électroscope formé de 2 fils<lb/> métalliques suspendus à une même boucle et unis en<lb/> communication avec une machine électrique. Dans l'air<lb/> (isolant), ils divergent ; plongés dans l'eau (conducteur)<lb/> ils retombent ; l'eau s'électrise, mais seulement à la surface.</p>
<p rend="left">Comment interpréter cette expérience dans l'hypothèse<lb/> élastique ? On considère<del class="none del">ra</del> les diélectriques comme élastiques,<lb/> et les conducteurs comme nous, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> incapables de l'état<lb/> contraint. Le champ étant nul à l'intérieur des conducteurs,<lb/> il faut admettre qu'ils sont infiniment mous, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/> n'opposent aucune résistance aux forces électriques.</p>
</div>
<p><ptr target="2050"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">75</p>
<p rend="left">Puisque les forces électriques sont les dérivées du potentiel,<lb/> et qu'elles sont nulles en tout point d'un conducteur, le<lb/> potentiel est constant à l'intérieur d'un conducteur.</p>
<p rend="left">En général, <app> <lem class="undefined lem"> avons-nous</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> L'auteur indique par des crochets que les termes « avons » et « nous » doivent être inversés</note></app> vu ( <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2045 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2045"> p.70</ref>) qu'on a à l'intérieur<lb/> d'un corps électrisé : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:math>.<lb/> Mais dans un conducteur, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> on en conclut que : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">La densité électrique <hi rend="underline">solide</hi> étant nulle, il n'y a pas<lb/> d'électricité à l'intérieur d'un conducteur électrisé.<lb/> On doit donc admettre que l'électricité réside à la <lb/> surface des conducteurs.</p>
<p rend="left">Il ne faut pas concevoir la surface des corps comme<lb/> une surface géométrique sans épaisseur. Les phénomènes<lb/> capillaires obligent à concevoir les corps comme se<lb/> modifiant mutuellement au contact, de sorte qu'au lieu<lb/> d'être limités par une surface géométriques, ils sont séparés<lb/> par une couche où il y a transition continue entre les<lb/> deux matières qui se touchent ; cette couche a une épaisseur<lb/> très faible, qu'on estime à <del class="none del">1</del> un 100.000<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> de millimètre.</p>
<p rend="left">C'est dans l'épaisseur de cette couche qui enveloppe tous<lb/> les corps que réside probablement la propriété inconnue<lb/> qu'on nomme électricité. La densité solide ρ de cette couche<lb/> se traduit par la densité superficielle μ quand on assimile</p>
</div>
<p><ptr target="2051"/></p>
<div>
<p rend="left">76</p>
<p rend="left">la couche à une surface géométrique sur laquelle<lb/> l'électricité serait répandue.</p>
<p rend="left">Pour prouver qu'en effet il n'y a pas d'électricité<lb/> à l’intérieur d'un conducteur électrisé, ou répète<lb/> l'expérience due à <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> (et non à <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12150160s ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12150160s"> Biot</ref></persname>) : une<lb/> boule électrisée qu'on enveloppe de 2 hémisphères<lb/> creux <add class="above add" place="above">leur</add> cède toute son électricité.</p>
<p rend="left">Une expérience plus <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> précise</del> </subst><add class="above add" place="above"> exacte</add>, due à<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref></persname>,<lb/> est la suivante : Une sphère creuse est percée d'un trou<lb/> que ferme exactement un couvercle de même métal,<lb/> auquel est suspendue une boule de métal par un fil<lb/> isolant. On introduit la boue électrisée, on lui fait<lb/> toucher la sphère, on la retire : elle n'est plus électrisée,<lb/> et la sphère l'est.</p>
<p rend="left">Cette propriété des conducteurs est très importante,<lb/> car elle établit la vérité rigoureuse de la loi de Coulomb.<lb/> C'est en effet de cette loi qu'on a déduit la constance<lb/> du potentiel à l'intérieur d'une couche électrique,<lb/> et on a vu qu'aucune autre loi n'est compatible<lb/> avec cette constance ( <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2036 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2036"> p.61</ref>). On a vérifié cette propriété<lb/> avec les instruments les plus précis, et l'on n'a jamais<lb/> trouvé trace de l'électricité à l'intérieur d'un conducteur.<lb/> Cela prouve que la loi de Coulomb est exacte, même</p>
</div>
<p><ptr target="2052"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">77</p>
<p rend="left">pour les distances extrêmement petites qui figurent<lb/> dans nos calculs, et qui échappent à l'expérience. Ce<lb/> fait confirme donc la loi de Coulomb avec bien plus<lb/> d<subst class="undefined subst"> <add class="inline add" place="inline"> e</add><del class="overtyped del" rend="overtyped"> exactit</del></subst> précisions que les expériences directes.</p>
<p rend="left">D'autres expériences ne la vérifient qu'approximativement.<lb/> Telle est celle de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>lui-même : dans une sphère creuse<lb/> percée d'un petit trou, il introduisait une petite boule<lb/> électrisée : elle se déchargeait <hi rend="underline">presque</hi> entièrement, avec<lb/> une approximation bien supérieure à la portion de la<lb/> surface de la sphère laissée vide. D'ailleurs, M. Robin<lb/> a calculé exactement la distribution d'électricité sur<lb/> une telle sphère, et même, en général, sur une surface<lb/> percée d'une multitude de trous (comme une écumoire).<lb/> Cette distribution ne diffère sensiblement de la distribution<lb/> uniforme sur une sphère pleine qu'au bord du trou.</p>
<p rend="center">7<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
De ce que le potentiel est constant à l’intérieur d'un<lb/> conducteur, il résulte que sa surface est une surface<lb/> équipotentielle. Par conséquent, la force électrique en<lb/> un point quelconque de la surface lui est normale.<lb/> Il est facile de calculer sa valeur.
<p rend="left">Nous savons que, pour une surface électrisée quelconque,</p>
</div>
<p><ptr target="2053"/></p>
<div>
<p rend="left">78</p>
<p rend="left">μ étant la densité superficielle en chaque point, la<lb/> variation de la composante normale de la force en ce<lb/> point est égale à : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> et que la composante tangentielle ne varie pas. La<lb/> force étant normale à la surface d'un conducteur<lb/> en équilibre électrique, elle varie de cette quantité ;<lb/> et puisqu'elle est nulle à l'intérieur, elle doit avoir<lb/> à l'extérieur la valeur : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On peut trouver directement cette valeur sans invoquer<lb/> les propriétés d'une surface électrisée, en se servant des<lb/> propriétés du flux de force. On sait que le flux de force<lb/> qui traverse une surface fermée contenant des masses<lb/> électriques <hi rend="underline">m</hi> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Prenons un point P de la surface électrisée : entourons-<lb/> le d'un cylindre infiniment petit normal à la surface,<lb/> et par suite parallèle à la direction des forces ; c'est ce<lb/> qu'on appelle un <hi rend="underline">tube de force</hi>. <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> Fermons ce cylindre à l'extérieur<lb/> par une surface de niveau infi-<lb/> niment voisine ; à l’intérieur, par une surface quelconque.</p>
<p rend="left">Nous allons calculer le flux de force qui traverse cette<lb/> surface fermée. Pour la portion intérieure AEB, le flux<lb/> de force est nul ; pour la surface cylindrique latérale,</p>
</div>
<p><ptr target="2054"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">79</p>
<p rend="left">AC, BD, il est encore nul, puisqu'elle est parallèle aux<lb/> forces. Enfin pour l'aire CD, infiniment voisine de<lb/> l'élément AB, elle lui est égale à un infiniment petit près :<lb/> ce sera <hi rend="underline">ds</hi>. La force qui s'exerce sur l'élément CD<lb/> est aussi égale à celle qui s'exerce au <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p.</abbr> <expan class="undefined expan"> point</expan></choice> P extérieure-<lb/> ment au conducteur : soit F. Le flux de force est<lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>. D'autre part, il est égal<lb/> à la masse électrique contenue dans la surface, mul-<lb/> tipliée par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:math> : c'est donc <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Egalant ces 2 expressions du flux de force, on trouve :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math> c. q. f. d.</p>
<p rend="left">Considérons maintenant un champ électrique conte-<lb/> nant plusieurs conducteurs. A l'intérieur de chacun<lb/> d'eux, le potentiel est constant et la force nulle. Dans<lb/> chacun d'eux, le potentiel est un maximum ou un<lb/> minimum.</p>
<p rend="left">En effet, si la force à la surface du conducteur. A<lb/> est positive (répulsive, donc dirigée vers l'extérieur),<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> est négatif, donc le potentiel décroît tant autour<lb/> du conducteur. Si au contraire la force était négative,<lb/> le potentiel croîtrait tout autour du conducteur.</p>
<p rend="left">Si l'on découpe sur la surface du conducteur A un<lb/> élément <hi rend="underline">ds</hi>, les lignes de force qui le traversent composent</p>
</div>
<p><ptr target="2055"/></p>
<div>
<p rend="left">80</p>
<p rend="left">un tube de force. Il se peut que ce tube rencontre un<lb/> autre conducteur B (normalement). Soit ds' l'élément<lb/> qu'il découpe sur sa surface. On va prouver que les<lb/> charges des éléments ds et ds' sont égales et de signe<lb/> contraire.</p>
<p rend="left">Considérons en effet la surface <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> formée composée du tube de<lb/> force et de 2 surfaces quel-<lb/> conques menées à l’intérieur des 2 conducteurs. Le flux<lb/> de force qui traverse cette surface est nul : car aucune force<lb/> ne traverse <add class="below add" place="below">la surface latérale du</add><del class="none del">le</del> tube, ni les surfaces qui le traînent.<lb/> D'autre part, les masses électriques que contient la<lb/> surface fermée sont <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>. on a donc :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> c. q. f.d.</p>
<p rend="left">Cette propriété est très importante pour l'étude d'un<lb/> champ électrique entre des conducteurs. Un tube de<lb/> force <subst class="undefined subst"> </subst><subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> ne peut aller q</del> </subst><add class="above add" place="above"> issu d'un conducteur</add> électrisé ne peut aboutir qu'à<lb/> un conducteur chargé de l'électricité contraire et<lb/> délimite sur le second une charge égale à celle <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> du pre</del> <add class="above add" place="above"> qu'il dél</add></subst>imite<lb/> sur le premier, de sorte que sa section est en raison<lb/> inverse de la densité électrique.</p>
<p rend="left">On peut prouver, en outre, qu'un tube de force <add class="above add" place="above">issu d'un conducteur</add> ne<lb/> peut jamais aboutir au même conducteur (lors même</p>
</div>
<p><ptr target="2056"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">81</p>
<p rend="left">que celui-ci serait électrisé en sens contraire suivant<lb/> ses parties). En effet, le potentiel varie toujours dans le<lb/> même sens tout le long d'un tube de force. On ne peut<lb/> donc <add class="above add" place="above">jamais</add> en suivant un tube de force, revenir à la même<lb/> valeur du potentiel ni par suite à la même surface électrisée.</p>
<p rend="left">Ainsi, dans un milieu diélectrique unique et homogène,<lb/> ou bien un tube de force s'en va à l'infini, ou bien il<lb/> rencontre un autre conducteur, de charge contraire à<lb/> celui dont il part.</p>
<p rend="left">L’hypothèse de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref> sur la déformation du<lb/> fluide électrique rend fort bien compte de ces lois : la<lb/> quantité de fluide qui manque sur un conducteur se<lb/> retrouve exactement sur un autre, comme si le<lb/> fluide s'était simplement déplacé suivant le tube de force.</p>
<p rend="left">Le <hi rend="underline">problème général de l'Electrostatique</hi> est celui-ci :<lb/> Etant donné un espace contenant divers conducteurs,<lb/> dont quelques-uns au moins possèdent une chargé<lb/> totale positive ou négative ; ils déterminent un<lb/> champ électrique tel que le potentiel est constant à<lb/> l'intérieur de tous les conducteurs. Trouver la distri-<lb/> bution de l'électricité à leur surface, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> la densité<lb/> électrique en chaque point de leur surface.</p>
<p rend="left">Ainsi posé dans sa généralité, le problème est insoluble</p>
</div>
<p><ptr target="2057"/></p>
<div>
<p rend="left">82</p>
<p rend="left">dans l'état actuel de l'Analyse. On ne peut le résoudre<lb/> que dans des cas très particuliers et très simples, et<lb/> encore souvent au moyen d'artifice de calcul.</p>
<p rend="left"><del class="none del">Dans</del> Le cas le plus simple est centré d'une sphère<lb/> conductrice seule ; par raison de symétrie, la densité<lb/> est constante à sa surface, de sorte qu'on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> et le potentiel <add class="below add" place="below">à l’intérieur est</add> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Etudions ensuite le cas d'un <hi rend="underline">ellipsoïde</hi> conducteur seul.<lb/> Considérons un ellipsoïde concentrique et homothétique<lb/> infiniment voisin et à l'intérieur du premier. Imaginons<lb/> l’intervalle des deux surfaces <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> rempli d'une masse homogène<lb/> (matérielle ou électrique).<lb/> On va démontrer que l'action<lb/> de cette <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> masse</del> <add class="inline add" place="inline"> couche</add></subst> sur un point<lb/> intérieur <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> qcque</abbr> <expan class="undefined expan"> quelconque</expan></choice> P est nulle.</p>
<p rend="left">Par le point P menons un cône<lb/> infiniment petit d'angle solide ω. Il découpe dans la couche<lb/> 2 éléments de volumes ABCD, EFGH. Evaluons leur<lb/> action respective sur le point P.</p>
<p rend="left">Si du point P comme centres on décrit des sphères passant</p>
</div>
<p><ptr target="2058"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">83</p>
<p rend="left">par A et C, le cône interceptera sur ces sphères les éléments<lb/> de surface AB' et CD'. Les 2 éléments de volumes ABCD,<lb/> AB'CD' seront équivalents. En effet, soit ds l'élément<lb/> AB, dσ l'élément AB', et α leur angle : on a :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, la longueur de la normale commune aux<lb/> 2 ellipsoïdes est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Or le volume ABCD a pour mesure : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>ds.</default:mi><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:math> ;<lb/> le volume AB'CD' a pour mesure : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math> ;<lb/> ils sont donc égaux, et l'on peut exprimer le premier<lb/> par : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mrow><default:mi>dr</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Or il faut remarquer que les 2 segments AC et FH<lb/> découpés sur un même rayon vecteur par les 2 ellipsoïdes<lb/> sont égaux. En effet, les 2 ellipsoïdes étant homothétiques,<lb/> les 2 cordes parallèles AF et CH ont même diamètre<lb/> conjugué, et ce diamètre les partage en 2 parties égales.<lb/> Comme leurs milieux coïncident, AC et FH sont<lb/> les différences de leurs moitiés, donc égales : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Cela posé, la masse contenue dans l'élément ABCD<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> et son action sur le point P sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math>.<lb/> De même, l'action de l'élément opposé EFGH sera</p>
</div>
<p><ptr target="2059"/></p>
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<p rend="left">84</p>
<p rend="left">dirigée en sens contraire et égale à :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mi>dr</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left"><subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> Ainsi</del> </subst><add class="inline add" place="inline"> Par conséquent</add> les forces exercées par les éléments<lb/> opposés de la couche se détruisent mutuellement, de<lb/> sorte que l'action totale est nulle, c. q. f. d.</p>
<p rend="left">Ainsi il suffit, pour représenter la distribution<lb/> de l'électricité à la surface d'un ellipsoïde, d'admettre<lb/> qu'en chaque point la densité est proportionnelle à la<lb/> distance normale d'un ellipsoïde <add class="above add" place="above">concentrique et homothétique</add> infiniment voisin.</p>
<p rend="left">En particulier, il est facile de trouver les densités aux<lb/> extrémités des 3 axes. La normale se confondant en<lb/> ces points avec les <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> ray</del> <add class="inline add" place="inline"> axes</add></subst>, la distance normale est<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> prop</del> <add class="inline add" place="inline"> égale</add></subst> à la différence des axes ; or les axes étant<lb/> proportionnels, leur différence leur est proportionnelle.<lb/> La densité électrique à l'extrémité des axes est donc<lb/> proportionnelle à leurs longueurs : a, b, c.</p>
<p rend="left">On sait que plus un axe d'ellipsoïde est long, plus<lb/> la courbure est prononcée à son extrémité. On en<lb/> conclut, par une induction, que la densité électrique<lb/> à la surface d'un conducteur augmente avec la courbure.<lb/> Par suite, sur les arêtes et sur les pointes (où la courbure<lb/> est théoriquement infinie) la densité doit être incompa-<lb/> rablement plus grande qu'ailleurs.</p>
</div>
<p><ptr target="2060"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">85</p>
<p rend="left">Par exemple, une surface elliptique peut être considérée<lb/> comme un cas-limite de l'ellipsoïde. On voit aisément<lb/> que la densité sur le pourtour doit être infinie par rapport<lb/> à la densité au centre (qui correspond à un axe nul).<lb/> Néanmoins, si l'on <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> même</del> <add class="inline add" place="inline"> trace</add></subst> une ligne intérieure infiniment<lb/> voisine du contour extérieur, on trouve que la charge de<lb/> la surface annulaire est infiniment petite par rapporte à<lb/> la charge totale, ce qui prouve que la densité décroît très vite<lb/> à l’intérieur. Ces résultats s'appliquent sensiblement à<lb/> une plaque conductrice très mince, elliptique ou circulaire.</p>
<p rend="left">Lorsqu'un conducteur est à un potentiel élevé, il<lb/> éprouve une déperdition intense, et surtout aux points<lb/> où la densité est la plus forte. C'est pourquoi l'on<lb/> donne à de tels conducteurs des formes arrondies (cylin-<lb/> driques et sphériques). Les conducteurs destinés à de faibles<lb/> potentiels ne sont pas exposés à la déperdition ; aussi l'on<lb/> peut négliger pour eux ces précautions et admettre des arêtes<lb/> vives (par exemple dans l'électromètre absolu).</p>
<p rend="left">Si restreintes que soient les ressources de l'Analyse, elle<lb/> fournit le moyen de calculer la distribution de l'électricité<lb/> sur une infinité de surfaces qu'on peut concevoir à volonté.<lb/> Seulement ces surfaces sont en général bien différentes de<lb/> celles dont on fait usage dans la pratique. Toutefois, elles</p>
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<p><ptr target="2061"/></p>
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<p rend="left">86</p>
<p rend="left">permettent d'évaluer approximativement la distribution<lb/> sur les surfaces qui s’en rapprochent le plus, au moins<lb/> par une certaine partie.</p>
<p rend="left">On imagine à cet effet un système quelconque de masses<lb/> électriques, discontinues ou continues ; on calcule <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et l'on cherche les surfaces sur lesquelles cette somme<lb/> est constante : ce sont les surfaces équipotentielles du<lb/> champ produit par les masses considérées. On prend une<lb/> de ces surfaces et on y distribue les densités électriques<lb/> suivant la loi : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On supprime alors les masses électriques imaginées<lb/> seulement pour définir la surface. On va prouver<lb/> que la charge ainsi distribuée est en équilibre.</p>
<p rend="left">La charge exerce sur la surface la même force que<lb/> les masses électriques imaginaires, <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> donc</del> <add class="above add" place="above"> à savoir</add></subst><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>.<lb/> Or puisque la force varie de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math> quand on passe<lb/> de l'extérieur à l'intérieur de la surface, elle est nulle<lb/> en tout point <add class="above add" place="above">intérieur</add> infiniment voisin. On démontre que<lb/> dans ce cas elle est nulle dans tout l'intérieur. La<lb/> force étant nulle à l'intérieur du conducteur, la<lb/> charge est en équilibre, c. q. f. d.<lb/> <hi rend="underline">Exemple </hi>: Pour une seule masse intérieure <hi rend="underline">m</hi> au<lb/> point P, les surfaces de niveau sont déterminées par</p>
</div>
<p><ptr target="2062"/></p>
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<p class="right p" rend="right">87</p>
<p rend="left">l'équation : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>= <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> C <hi class="sup hi" rend="sup"> te</hi></abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice>, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> r = <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Const<hi class="sup hi" rend="sup"> te</hi></abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice></p>
<p rend="left">Ce sont les sphères de centre P. La force sur l'une d'elles<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On en tire la loi de distribution (correspondant à l'équilibre) :<lb/> <lb/> μ étant constante, la distribution est uniforme. On voit<lb/> de plus que la masse totale de la charge superficielle<lb/> est égale à la masse unique <hi rend="underline">m</hi> imaginé au centre :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:msup><default:mi>πr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>·</default:mo><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi></default:math> .</p>
<p rend="left">Dans le cas où il y a des masses électriques tant à<lb/> l'extérieur qu'à l'intérieur de la surface équipotentielle,<lb/> si l'on détermine toujours la distribution par l'équation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> la charge ainsi distribuée sera en équilibre si l'on supprime<lb/> seulement les masses intérieures et que l'on conserve les<lb/> masses extérieures.</p>
<p rend="left">Ce théorème permet de traiter le problème de la distri-<lb/> bution de l'électricité dans les phénomènes d'influence.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Exemple </hi>: Dans le cas de deux points <add class="above add" place="above">A et B</add> électrisés en sens<lb/> contraire, de charges +m et -m', il y a, parmi les<lb/> surfaces équipotentielles, une sphère qui entoure excen_<lb/> triquement la charge la plus petite en valeur absolue :<lb/> et elle correspond au potentiel <hi rend="underline">nul</hi> :</p>
</div>
<p><ptr target="2063"/></p>
<div>
<p rend="left">88</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> d'où l'on tire :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>= <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> C<hi class="sup hi" rend="sup"> te</hi></abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice><lb/> équation de ladite sphère.</p>
<p rend="left">Si l'on calcule la densité de la couche distribuée sur<lb/> la sphère suivant la loi : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> on trouve qu'elle est négative, et en raison inverse du<lb/> cube de la distance à l'un <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> qcque</abbr> <expan class="undefined expan"> quelconque</expan></choice> des 2 points (r ou r').</p>
<p rend="left">Ces résultats sont susceptibles d'une application pratique.<lb/> Une sphère conductrice communiquant avec le sol est<lb/> au potentiel <hi rend="underline">zéro</hi>. Si on la soumet à l'influence<lb/> d'un point extérieur <add class="above add" place="above">A</add> portant une charge <hi rend="underline">m</hi>, la distri-<lb/> bution précédente sera en équilibre sous l'influence de<lb/> cette masse, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que la présence de cette masse produit<lb/> précisément cette distribution.</p>
<p rend="left">Si l'on calcule la charge totale de la sphère, on trouve :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi cette charge est justement égale à celle du point<lb/> (imaginaire) B intérieur à la sphère (elle est toujours<lb/> plus petite que <hi rend="underline">m</hi> en valeur absolue, & de signe contraire).<lb/> Le point B situé à l’intérieur de la sphère, et tel que<lb/> le rapport des distances d'un point de la surface sphérique<lb/> aux 2 <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> p</abbr> <expan class="undefined expan"> points</expan></choice> A et B soit constant, s'appelle par conséquent</p>
</div>
<p><ptr target="2064"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">89</p>
<p rend="left">l'<hi rend="underline">image électrique</hi><del class="none del">de la sphère </del>du point A par rapport<lb/> à la sphère.</p>
<p rend="left">La considération des images électriques, inventée par<lb/> lord Kelvin, permet de résoudre un grand nombre de<lb/> problèmes d' Electrostatique.</p>
<p rend="left">Nous allons étudier la distribution de l'électricité<lb/> dans un cas particulier d'influence.</p>
<p rend="left">Considérons un conducteur creux complètement fermé ;<lb/> ses surfaces intérieure et extérieure n'ont aucun point commun.<lb/> Si dans l'intérieur se trouvent des corps quelconques<lb/> ayant une charge totale <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>, il doit exister sur la<lb/> surface intérieure du conducteur creux une quantité<lb/> d'électricité égale et de signe contraire, qui lui fasse<lb/> équilibre. On conçoit en effet que tous les tubes de force<lb/> issus des corps intérieurs, ou bien vont de l'un à l'autre,<lb/> et alors correspondent à des charges égales et contraires<lb/> qui s'accumulent dans <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>, ou bien aboutissent à la<lb/> surface intérieure, qui se trouve porter ? des charges égales<lb/> et contraires aux charges des corps intérieurs. D'ailleurs,<lb/> on peut le démontrer en imaginant une surface fermée<lb/> située entièrement dans l'épaisseur du conducteur (entre<lb/> ses surfaces extérieure et intérieure). Etant à l’intérieur<lb/> d'un corps conducteur, le flux de force qui la traverse est nul.</p>
</div>
<p><ptr target="2065"/></p>
<div>
<p rend="left">90</p>
<p rend="left">Or, si M est la charge de la surface intérieure du conducteur,<lb/> ce flux de force total est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> On en conclut <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfenced><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πk</default:mi><default:mo>⩾</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mfenced></default:math>que :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> ou <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> c. q. f. d.</p>
<p rend="left">Si le conducteur creux communique avec le sol, il sera au<lb/> potentiel <hi rend="underline">zéro</hi>, et ne manifestera aucune charge, bien<lb/> qu'électrisé sur sa face interne.</p>
<p rend="left">Si au contraire il est isolé, il pourra y avoir de l'élec-<lb/> tricité sur sa face externe, car l'influence des corps qu'il<lb/> contient développe en lui des quantités égales d'électricité<lb/> contraire (dont la somme algébrique est nulle). La surface<lb/> extérieure aura donc une charge égale à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>. Ainsi<lb/> le conducteur aura en apparence la même charge que<lb/> l'ensemble des corps qu'il contient.</p>
<p rend="left">Si l'on met sa surface extérieure en communication<lb/> avec le sol, il paraîtra déchargé ; mais si l'on en retire<lb/> les corps, on constate qu'ils ont une certaine charge,<lb/> positive par exemple, et en même temps le conducteur<lb/> manifeste une charge négative (expérience avec la boule<lb/> creuse de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref></persname>).</p>
<p rend="left">Ainsi le champ situé à l’intérieur d'un conducteur<lb/> est absolument indépendant du champ extérieur (en effet,<lb/> ils n'ont aucun point commun & aucune communication).</p>
</div>
<p><ptr target="2066"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">91</p>
<p rend="left">C'est la propriété utilisée dans la cage de Faraday et<lb/> en général dans les écrans électriques. Un conducteur<lb/> fermé isole complètement les corps intérieurs des actions<lb/> électriques extérieures, et les corps extérieurs des actions<lb/> électriques intérieures. Pour soustraire un corps à toute<lb/> action électrique, il suffit de l'envelopper d'une surface<lb/> conductrice (caisse de métal, feuilles d'étain, etc.).</p>
<p rend="left">Quand un conducteur est incomplètement fermé,<lb/> il ne constitue qu'un écran imparfait, mais très<lb/> suffisant encore dans la pratique. Tel est le cas de la<lb/> cage de Faraday.</p>
<p rend="center">8<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
Coulomb le premier a étudié expérimentalement la<lb/> distribution de l'électricité à la surface des conducteurs.
<p rend="left">Supposons qu'on recouvre une petite surface AB<lb/> d'un conducteur avec un petit conducteur qui s'y<lb/> applique exactement (porté par un manche isolant).</p>
<p rend="left">Ce <hi rend="underline">corps d'épreuve</hi> se chargera de l'électricité de la<lb/> surface AB. Si on le détache d'un seul coup, <add class="above add" place="above">et qu'</add>on le<lb/> mette dans la balance de Coulomb à la place de la<lb/> boule fixe, on pourra mesurer sa charge, et par suite<lb/> celle de la surface AB. On peut opérer de même sur une<lb/> autre portion MN de la surface du conducteur ( <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> une</del> <add class="below add" place="below"> de même</add></subst></p>
</div>
<p><ptr target="2067"/></p>
<div>
<p rend="left">92</p>
<p rend="left">aire), au moyen d'un autre corps d'épreuve qu'en épouse<lb/> la forme. On le portera dans la balance de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref>,<lb/> la boule mobile ayant la même charge qu'auparavant,<lb/> on amènera l'angle d'écart à être le même ; les deux<lb/> charges successivement mesurées seront proportionnelles<lb/> à l'angle de torsion du fil dans les deux expériences.<lb/> On <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> peut</del> <add class="inline add" place="inline"> aura</add></subst> ainsi le rapport des densités des deux<lb/> éléments de surface AB et MN (de même aire).</p>
<p rend="left">Seulement cette méthode est impraticable, parce qu'on<lb/> ne peut avoir autant de corps d'épreuve qu'il y a<lb/> de courbures de surface. On est obligé de se contenter<lb/> d'une approximation. Si l'on prend pour corps d'épreuve<lb/> un petit disque plan, il s'appliquera à peu près sur la<lb/> surface courbe <add class="above add" place="above">AB</add>, et sa charge sera à peu près égale à celle de<lb/> AB ; de même, elle sera à peu près égale à celle de MN.</p>
<p rend="left">Le rapport des charges du <hi rend="underline">plan d'épreuve</hi> serait égal à<lb/> celui des charges des surfaces <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> touchées</del> <add class="above add" place="above"> AB et MN</add></subst>, et la méthode serait<lb/> rigoureuse, si la charge du disque était proportionnelle<lb/> à celle des surfaces touchées, quelle que soit leur courbure.<lb/> Or cela est vrai quand <hi rend="underline">tous</hi> les rayons de courbure de la<lb/> surface du conducteur sont suffisamment grands.<lb/> Au lieu d'un disque plan, on encore employer une<lb/> sphère ou un hémisphère (la surface plane servant au contact),</p>
</div>
<p><ptr target="2068"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">93</p>
<p rend="left">pourvu que leur rayon soit très petit par rapport aux rayons<lb/> de courbure de la surface.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> a étudié au moyen du plan d'épreuve la<lb/> distribution à la surface d'un ellipsoïde. Il a trouvé que<lb/> les densités à l'extrémité des axes étaient proportionnelles<lb/> à ces axes, sans connaître la déduction théorique de cette<lb/> propriété, fondée sur la loi de Coulomb. Il a ainsi<lb/> vérifié sans s'en douter sa propre loi.</p>
<p rend="left">Une difficulté de cette méthode est que, le corps d'épreuve<lb/> étant très petit (et il le faut pour qu'il n'enlève au conduc-<lb/> teur qu'une fraction négligeable de sa charge), on doit<lb/> fortement électriser le conducteur, pour que la charge du<lb/> corps d'épreuve soit sensible, et alors il se produit une<lb/> déperdition nottable.</p>
<p rend="left">Pour éliminer l'influence de la déperdition, <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname><lb/> employait la méthode des contacts alternés. On touche<lb/> le point A au temps 0, le point B au temps <hi rend="underline">t</hi>, puis<lb/> de nouveau le point A au temps <hi rend="underline">2t</hi>, en mesurant<lb/> chaque fois la charge du corps d'épreuve. On prend la<lb/> moyenne des deux charges prises au point A pour la<lb/> comparer à la charge du point B. En effet, si la déperdi-<lb/> tion n'est pas trop rapide, elle est proportionnelle au temps,<lb/> et alors la moyenne correspond à la charge de A au temps <hi rend="underline">t</hi>.</p>
</div>
<p><ptr target="2069"/></p>
<div>
<p rend="left">94</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> a étudié un cas de distribution beaucoup plus<lb/> compliqué, celui de 2 sphères qui se touchent. <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> Lord <lb/> Kelvin</ref></persname> a retrouvé par le calcul les résultats expérimentaux<lb/> obtenus par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> (au moyen des images électriques).<lb/> C'est encore une belle confirmation de la loi de Coulomb.</p>
<p rend="center">Relation entre la charge et le potentiel.</p>
<p rend="left">Dans le cas d'un seul conducteur A, soit M sa charge<lb/> et V son potentiel ; on a : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>CV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On va démontrer que le coefficient C est constant.<lb/> Soit P un point intérieur ; le potentiel en ce point est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Multiplions toutes les densités μ par un même facteur <hi rend="underline">a</hi> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mo>∫</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>aμ</default:mi><default:mo/><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo>∫</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo/><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mi>aV</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, la charge primitive est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math>,<lb/> et la nouvelle charge : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>aM</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Donc la charge est proportionnelle au potentiel, cqfd ;<lb/> La constante C s'appelle <hi rend="underline">capacité électrique</hi> du conducteur.<lb/> La capacité est la charge qui correspond au potentiel 1.</p>
<p rend="left">On peut calculer la capacité d'un conducteur quand<lb/> on connaît la distribution que prend l'électricité à sa<lb/> surface quand il est seul.</p>
<p rend="left">Dans le cas d'une sphère homogène, le potentiel V en<lb/> un point intérieur est le même qu'au centre :</p>
</div>
<p><ptr target="2070"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">95</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>RV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi la capacité d'une sphère est égale (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sy. El. St.</abbr> <expan class="undefined expan"> Système Electro Statique</expan></choice>) ou<lb/> proportionnelle (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sy. El. Mg.</abbr> <expan class="undefined expan"> Système Electro Magnétique</expan></choice>) au rayon. (Paradoxe, si<lb/> l'on assimilait la capacité électrique au <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> vol.</abbr> <expan class="undefined expan"> volume</expan></choice> ou à la <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> surf.</abbr> <expan class="undefined expan"> surface</expan></choice>).</p>
<p rend="left">Considérons maintenant un champ électrique conte-<lb/> nant plusieurs conducteurs A, B, C, … dont les charges<lb/> sont M, M', M'', … et les potentiels V, V', V'', …<lb/> Le potentiel V en un point <add class="above add" place="above">P</add> intérieur de A est la somme<lb/> des potentiels qui proviennent des actions A, B, C …<lb/> sur le point P. Soient μ, μ', μ'', … les densités de ces<lb/> conducteurs, r, r', r'', … les distances du point P à des<lb/> points pris sur la surface de chacune de ces conducteurs.<lb/> On aura : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>....</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Si l'on multiplie toutes les densités μ, μ', μ'', … par un<lb/> même facteur <hi rend="underline">a</hi>, l'équilibre des charges subsiste, et le<lb/> potentiel prend une nouvelle valeur :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, il est évident que toutes les charges sont<lb/> aussi multipliées par <hi rend="underline">a</hi>. Donc la charge et le potentiel<lb/> sont encore proportionnels <add class="above add" place="above">(1)</add><app> <lem class="undefined lem"> <add class="bottom add" place="bottom"> (1) Voir addition, <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2080 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2080"> p.105</ref></add></lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> La suite du texte est ajoutée folio 105.</note></app> .Soit <hi rend="underline">c</hi> le coefficient de proportion-<lb/> nalité relatif à M, c' relatif à M', c'' relatif à M'', … on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>cM</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2071"/></p>
<div>
<p rend="left">96</p>
<p rend="left">Ainsi le potentiel d'un corps faisant partie d'un système<lb/> de conducteurs est une fonction linéaire des charges de<lb/> tous les conducteurs.</p>
<p rend="left">On trouve de la même manière l'expression des autres<lb/> potentiels, de sorte qu'on a le système d'équations :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>cM</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> <app><lem class="undefined lem"> (1)</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Ces trois lignes sont réunies par une accolade à laquelle est ajouté (1)</note></app></p>
<p rend="left">Si l'on résout ce système par rapport aux charges, on trouve :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>CV</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> <app> <lem class="undefined lem"> (2) </lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Ces trois lignes sont réunies par une accolade à laquelle est ajouté (2)</note></app></p>
<p rend="left">Ainsi les charges des différents conducteurs sont à leur tour<lb/> des fonctions linéaires des potentiels de tous les conducteurs.</p>
<p rend="left">On voit que la charge d'un conducteur ne dépend pas<lb/> seulement de sa capacité propre : un corps qui fait partie<lb/> d'un système de <hi rend="underline">n</hi> conducteurs a <hi rend="underline">n</hi> capacités électriques<lb/> qui dépendent des <del class="none del">la</del> dimensions et de la position des autres<lb/> conducteurs.</p>
<p rend="left">Le problème des capacités équivaut au problème de la<lb/> distribution ; il se résout de la même manière et dans les mêmes cas.</p>
<p rend="left">Un cas particulier intéressant est celui où tous les conducteurs<lb/> sauf un (A) sont au potentiel <hi rend="underline">zéro</hi>. On a simplement :</p>
</div>
<p><ptr target="2072"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">97</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>CV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi la charge du corps est alors proportionnelle à son<lb/> propre potentiel. Seulement le facteur C dépend des<lb/> autres conducteurs ; leur présence a pour effet de<lb/> modifier la capacité électrique du conducteur A.</p>
<p rend="left">De même, si tous les conducteurs sauf un (A) ont<lb/> des charges nulles, on a la relation aussi simple :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>cM</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Dans la pratique, on emploie surtout le système de 2<lb/> conducteurs, qu'on appelle un <hi rend="underline">condensateur</hi>.</p>
<p rend="left">Le cas le plus remarquable est celui où les 2 conducteurs<lb/> ont leurs <hi rend="underline">surfaces</hi> très voisines. On peut supposer, ou bien<lb/> que l'un est creux et <add class="below add" place="below">que</add> l'autre est contenu dans le premier ;<lb/> ou bien que tous deux sont des lames très rapprochées.</p>
<p rend="left">Dans le premier cas, on peut calculer la distribution<lb/> en considérant les 2 conducteurs comme infiniment voisins.<lb/> Supposons que le conducteur intérieur A est au potentiel<lb/> V, et le conducteur extérieur B, qui l'enveloppe entièrement,<lb/> au potentiel 0 (en communication avec le sol). Les 2<lb/> surfaces en regard (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> surf. ext.</abbr> <expan class="undefined expan"> surface extérieure</expan></choice> de A, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> surf. </abbr><expan class="undefined expan"> surface</expan></choice> interne de B)<lb/> s'appellent les <hi rend="underline">armatures</hi> du condensateur. En consi-<lb/> dérant les tubes de force qui vont de l'une à l'autre, on a<lb/> la relation générale : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi>ds</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2073"/></p>
<div>
<p rend="left">98</p>
<p rend="left">Mais, comme nous supposons les armatures infiniment<lb/> rapprochées, on a (à des infiniment petits près) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>, d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi les charges des 2 armatures sont égales et contraires.<lb/> Reste à trouver leur grandeur absolue. Soit un point P<lb/> dans l'intervalle des 2 armatures ; il est soumis à une force :<lb/> (de la part de A) : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dN</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Les armatures étant infiniment voisines, on peut<lb/> confondre dN et AV, dn et Δn : or <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">V étant constant, la densité μ est en raison inverse<lb/> de Δn, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> de la distance normale des 2 armatures.<lb/> En particulier, si les 2 armatures sont parallèles (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">[</default:mo><default:mrow><default:mi>onstan</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">]</default:mo></default:mrow><default:mi>te</default:mi></default:mrow></default:math>)<lb/> la densité μ sera partout la même (quelle que soit la courbure).<lb/> Ainsi la densité ne dépend plus de la courbure du conduc-<lb/> teur, mais seulement de la distance des 2 armatures.</p>
<p rend="left">Si les armatures sont 2 ellipsoïdes concentriques et homo-<lb/> thétiques, leur charge sera en raison inverse des longueurs<lb/> des axes. (cf. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2059 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2059"> p. 84</ref>)</p>
<p rend="left">Quand les 2 armatures sont parallèles, la charge de l'une<lb/> d'elles est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi la charge est proportionnelle à la surface. D'autre<lb/> part, la constante μ a pour valeur : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2074"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">99</p>
<p rend="left">Appelons <hi rend="underline">d</hi> la distance constante Δn des 2 armatures :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi>kd</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>SV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi>kd</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left"><subst class="undefined subst"> <del class="none del">Ainsi</del> <add class="below add" place="below">Donc</add></subst> la capacité électrique d'une des armatures est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> ou, dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sy. El. St.</abbr> <expan class="undefined expan"> Système Electro Statique</expan></choice> (où l'on fait <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi la capacité est proportionnelle à la surface et en<lb/> raison inverse de la distance des armatures.</p>
<p rend="left">Supposons maintenant que le conducteur extérieur<lb/> B est au potentiel V'. On a toujours les relations :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Seulement, on a alors : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>, d'où :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:math> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><add class="above add" place="above"> (1) </add><app> <lem class="undefined lem"> <add class="inline add" place="inline"> (1) Et par conséquent : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkd</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math></add></lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Note en marge inférieure à ajouter après la formule (1)</note></app></p>
<p rend="left">On voit que dans ce cas la charge est proportionnelle<lb/> à la différence des potentiels. En particulier, si les 2<lb/> conducteurs ont le même potentiel (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>) la charge<lb/> est nulle : en effet, ils sont alors identiques à un<lb/> conducteur unique (potentiel constant à l'intérieur)<lb/> et toute la charge se porte sur la surface extérieure.<lb/> Puisque les charges des 2 armatures infiniment voisines<lb/> sont égales et contraires, leur potentiel sur un point</p>
</div>
<p><ptr target="2075"/></p>
<div>
<p rend="left">100</p>
<p rend="left">quelconque est nul. Aussi le potentiel V' du<lb/> conducteur extérieur est-il dû uniquement à la<lb/> charge de sa surface externe. Cette charge, <hi rend="underline">dite libre</hi>,<lb/> est donc égale à celle qui donnerait à ce corps le<lb/> potentiel V', s'il était seul. Elle n'a aucun intérêt<lb/> dans l’emploi du condensateur, car une fois les<lb/> charges des armatures réunies, la charge libre subsiste.</p>
<p rend="left">D'ailleurs, elle est absolument négligeable par<lb/> rapport aux charges <hi rend="underline">condensés</hi> sur les armatures.</p>
<p rend="left">En effet, soit μ, la densité sur la surface externe.<lb/> En un point P intérieur au conducteur B, le<lb/> potentiel dû aux charges condensées est <add class="above add" place="above">presque</add> nul, car<lb/> ses distances aux 2 armatures sont presque égales.</p>
<p rend="left">Donc son potentiel <add class="above add" place="above">V'</add> provient uniquement de la<lb/> charge extérieure de densité μ <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>.</p>
<p rend="left">D'autre part, le potentiel V du conducteur A<lb/> (ou la différence des 2 potentiels : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>) est dû<lb/> à la somme algébrique des actions des armatures<lb/> sur un point intérieur de A : et comme ses distances<lb/> aux 2 armatures sont presque égales, il faut que<lb/> les charges μ et μ' soient infiniment grandes<lb/> par rapport à la charge μ, qui produit le potentiel V'.<lb/> En d'autres termes, la charge libre est infiniment petite</p>
</div>
<p><ptr target="2076"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">101</p>
<p rend="left">par rapport aux charges condensées. C'est ce qu'on vérifie<lb/> au moyen de l'électroscope condensateur.</p>
<p rend="left">On le vérifie aussi au moyen de condensateur à<lb/> plateaux mobiles d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12362988d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12362988d"> Œpinus</ref></persname> ; chacun des plateaux est<lb/> muni d'un pendule qui accuse la charge libre.<lb/> Si, les plateaux étant rapprochés, on charge le condensateur,<lb/> puis qu'on écarte les plateaux, les pendules divergent.</p>
<p rend="left">Expérience de la décharge alternative.<lb/> On peut expliquer ce fait par le calcul. Le plateau A<lb/> est mis en communication avec la machine, le plateau<lb/> B avec le sol : A est au potentiel V, B au potentiel 0.<lb/> Soit m la charge (positive) de A, m' la charge (négative)<lb/> de B. On a les équations linéaires :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>am</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mn>0</default:mn><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>bm</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <app> <lem class="undefined lem"> (1)</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Ces trois lignes sont réunies par une accolade à laquelle est ajouté (1)</note></app></p>
<p rend="left">Isolons B, mettons A au sol : sa charge diminue, devient<lb/> m <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> ; son potentiel devient 0. Une partie de la charge<lb/> de B devient libre et produit le potentiel V' ; on a donc<lb/> les <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> éq.</abbr> <expan class="undefined expan"> équations</expan></choice> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mn>0</default:mn><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi>am</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi>bm</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <app> <lem class="undefined lem"> (2)</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Ces trois lignes sont réunies par une accolade à laquelle est ajouté (2)</note></app></p>
<p rend="left">Connaissant les coefficients constants de ces équations,<lb/> on tire de m<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> de la 1 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> et par suite V' de la seconde. On<lb/> a en même temps la perte de charge de A : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
</div>
<p><ptr target="2077"/></p>
<div>
<p rend="left">102</p>
<p rend="left">Isolant A et déchargeant B de sa charge libre, sa<lb/> charge devient m' <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, son potentiel 0, celui de A, V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi>am</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mn>0</default:mn><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi>bm</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> <app> <lem class="undefined lem"> (3)</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Ces trois lignes sont réunies par une accolade à laquelle est ajouté (3)</note></app></p>
<p rend="left">On tire m', de la 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi><choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> éq.</abbr> <expan class="undefined expan"> équation</expan></choice> et V, de la première.<lb/> On peut continuer ainsi indéfiniment : car l'on<lb/> trouve que les charges et les potentiels décroissent<lb/> en progression géométrique.</p>
<p rend="left">Nous allons maintenant calculer la distribution<lb/> dans un condensateur du second genre, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> plan.</p>
<p rend="left">Nous supposerons les plateaux infinis, afin de n'avoir<lb/> pas à tenir compte des bords et de pouvoir considérer<lb/> leur charge comme uniforme. Dans la pratique, on<lb/> fait des plateaux très grands par rapport à leur distance,<lb/> et pour éviter l'accumulation de la charge sur les bords,<lb/> on les découpe circulairement de manière à détacher<lb/> une bande annulaire qui les entoure.</p>
<p rend="left">On a toujours (ici les surfaces correspondants des armatures<lb/> sont rigoureusement égales) : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> La force est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkμ</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mi>dV</default:mi><default:mi>dn</default:mi></default:mfrac></default:math> <lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>dv</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>Δv</default:mi></default:math>, différence des potentiels V et V' des 2 plateaux :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>dn</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:math>, distance des 2 plateaux. Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkμ</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
</div>
<p><ptr target="2078"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">103</p>
<p rend="left">Nous avons supposé que les plateaux sont infiniment<lb/> voisins ; mais on peut démontrer que ce résultat est<lb/> général, quelle que soit d, et prouver rigoureusement<lb/> l’égalité : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Pour cela, considérons d'abord un plateau circulaire<lb/> revêtu d'une charge uniforme de densité μ, et calcu-<lb/> lons la force qu'il exerce sur un point A situé à la<lb/> distance <hi rend="underline">a</hi> sur la normale au centre. Du sommet A<lb/> menons un cône infiniment petit d'ouverture ω, qui<lb/> intercepte sur le plateau un élément de surface ds.</p>
<p rend="left">La <subst class="undefined subst"> <del class="none del">charge</del> <add class="above add" place="above">force</add></subst> que cet élément exerce sur le point A à la<lb/> distance <hi rend="underline">r</hi> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dF</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">La résultante sera, par raison de symétrie, dirigée<lb/> suivant la normale. Pour obtenir la composante<lb/> efficace de chacune des forces, projetons-la sur la<lb/> normale, avec laquelle elle fait l'angle α :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> d'où :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Menons par l'élément ds un élément de surface sphérique<lb/> dσ de centre A : on a (cf. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2036 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2036"> p. 61</ref>) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2079"/></p>
<div>
<p rend="left">104</p>
<p rend="left">en appelant Ω l'angle solide du cône ayant pour sommet<lb/> A et pour base le plateau circulaire. Quand le point A<lb/> se rapproche du plateau, Ω croît ; et pour un point A<lb/> infiniment voisin du plateau, Ω a pour limite 2π :<lb/> on a alors : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Mais pour un plateau infini, quelle que soit la distance<lb/> du point A, on a aussi : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo/><default:mo>=</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>πkμ</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">Considérons maintenant le condensateur formé de 2<lb/> plateaux infinis, parallèles, à une distance quelconque :<lb/> leurs densités uniformes sont μ et -μ. La force<lb/> (attractive) exercée par l'un d'eux sur un point P<lb/> situé entre eux sera <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math> ; la force (répulsive)<lb/> exercée par l'autre sur le même point sera <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>,<lb/> et dirigée dans le même sens ; la force totale est donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>, quelle que soit la distance du point<lb/> P aux deux plateaux.</p>
<p rend="left">La force étant constante en grandeur et en direction<lb/> entre les 2 plateaux, le potentiel varie uniformément.<lb/> On peut donc écrire en toute rigueur, ΔV et Δn étant<lb/> des variations finies :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> d'où l'on conclut, comme ci-dessus :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
</div>
<p><ptr target="2080"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">105</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> Addition à la <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2070 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2070">page 95</ref></hi> :</p>
<p rend="left">On a seulement prouvé que le potentiel V du corps A<lb/> varie proportionnellement à la charge M de ce corps<lb/> (car les charges des autres corps, M', M'', … ont varié<lb/> dans le même rapport). Mais pour prouver que V est<lb/> fonction linéaire de toutes ces charges, et varie propor-<lb/> tionnellement à chacune indépendamment des autres,<lb/> il faut invoquer le principe de la superposition des<lb/> équilibres électriques.</p>
<p rend="left">Supposons que, dans un 1 <hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> équilibre, le corps A<lb/> soit la charge M, et que les autres corps (primitivement<lb/> à l'état neutre) aient une charge nulle ; et que, dans un 2 <hi class="sup hi" rend="sup"> e </hi><lb/>équilibre, le corps B ait la charge M', et que les autres<lb/> corps aient une charge nulle : que, dans un 3 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> équilibre,<lb/> le corps C ait la charge M'', et que les autres corps<lb/> aient une charge nulle ; et ainsi de suite.</p>
<p rend="left">Dans le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> équilibre, tous les potentiels seront proportion-<lb/> nels à l'unique charge M (désignons-les par l'indice 1) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>aM</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>bM</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>cM</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> … etc.<lb/> Dans le 2 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> équilibre, on aura de même :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>… etc.<lb/> Dans le 3 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>… et ainsi <hi class="sub hi" rend="sub"> de suite</hi></p>
</div>
<p><ptr target="2081"/></p>
<div>
<p rend="left">106</p>
<p rend="left">Dans le cas où tous les corps ont respectivement les charges<lb/> M, M', M'', … il y a encore équilibres, en vertu du principe ;<lb/> et le<del class="none del">s</del> potentiels <subst class="undefined subst"> <del class="none del">sont</del> <add class="below add" place="below">de chaque</add></subst> corps est la somme des potentiels<lb/> dus à chaque masse dans chacun des équilibres ; donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>aM</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>bm</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi>cM</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> etc.</p>
<p rend="center">9 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Nous allons étudier la charge et la capacité de quelques<lb/> condensateurs d'une forme particulière.</p>
<p rend="left">Considérons un <hi rend="underline">condensateur sphérique</hi> formé de<lb/> 2 surfaces sphériques concentriques de rayons quelconques,<lb/> R et R' ; (<del class="none del">soient</del> <add class="below add" place="below"> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></add>) soient V et V' leurs potentiels.</p>
<p rend="left">Nous ne savons calculer la densité que dans le cas où<lb/> les deux armatures sont infiniment voisines (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2072 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2072"> p.97</ref>).<lb/> Nous supposons maintenant (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>) fini.</p>
<p rend="left">Par raison de symétrie, les surfaces équipotentielles entre<lb/> les deux armatures sont des sphères. Considérons-en une,<lb/> de rayon <hi rend="underline">r</hi>, et évaluons le flux de force qui la traverse.<lb/> Comme la force est normale, on a partout : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, la force est constante, donc le flux est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dS</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi>dS</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>FS</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2082"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">107</p>
<p rend="left">Or : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> Le flux est donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> D'autre part, soit M la charge totale de l'armature<lb/> interne (contenu dans la surface) : on sait que le flux<lb/> de force qui la traverse est égal à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:math>. On a<lb/> donc l'équation : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dV</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>kM</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Intégrons entre les limites R et R' :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>kM</default:mi></default:mrow><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Cette formule détermine M en fonction de la différence<lb/> des potentiels : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>RR</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">La capacité de l'armature interne est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mi>RR</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On emploie volontiers des sphères comme mesures de<lb/> capacité électrique, parce que leur capacité est propor-<lb/> tionnelle à leur rayon. Mais ces sphères se trouvent<lb/> toujours dans des salles à parois conductrices, commu-<lb/> niquant avec le sol, qui composent avec elles un conden-<lb/> sateur ; et alors la capacité d'une sphère de <add class="above add" place="above"> rayon R</add> (en supposant<lb/> une salle sphérique de rayon R') n'est plus <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>,<lb/> mais : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> (donc plus grande).</p>
<p rend="left">C'est pourquoi l'on n'emploie jamais comme étalons <lb/> de capacité des conducteurs simples, mais des condensa-</p>
</div>
<p><ptr target="2083"/></p>
<div>
<p rend="left">108</p>
<p rend="left">teurs fermés, <subst class="undefined subst"> <del class="none del">dont</del> <add class="above add" place="above">où</add></subst> les charges des armatures sont<lb/> absolument indépendantes des actions extérieures (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2065 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2065"> p. 90</ref>).</p>
<p rend="left">Considérons encore un <hi rend="underline">condensateur cylindrique</hi><lb/> formé de 2 cylindres concentriques indéfinis, de rayons<lb/> R et R' ; soient V et V' leurs potentiels. On va calculer<lb/> la charge de l'armature interne par unité de hauteur, M.<lb/> Prenons une surface équipotentielle entre les 2 armatures :<lb/> c'est un cylindre <add class="below add" place="below">concentrique</add> de rayon <hi rend="underline">r</hi>. Le flux de force <subst class="undefined subst"><del class="none del">a</del> <add class="above add" place="above">qui</add></subst> traverse<lb/> l'unité de hauteur de cette surface est égal<del class="none del">e</del>, d'une part,<lb/> à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:math>, d'autre part à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> ; donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mrow><default:mi>kM</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> d'où :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>dV</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi>kM</default:mi><default:mfrac><default:mi>dr</default:mi><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Intégrons entre les limites R et R' :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi>logR</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>logR</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi>log</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> On en tire la valeur de M :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi>log</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> et la capacité est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi>log</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Telles sont les formes les plus simples et les plus employées<lb/> dans les condensateurs qui servent aux mesures.</p>
</div>
<p><ptr target="2084"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">109</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Tension électrique</hi> ou <hi rend="underline">pression électrostatique</hi>.</p>
<p rend="left">Considérons un conducteur chargé, et un élément AB<lb/> de sa surface ; nous allons déterminer à quelle force<lb/> cet élément (supposé mobile) est soumis de la part<lb/> du reste du conducteur (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> </choice><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan> de la surface AMB).</p>
<p rend="left">On sait que la force, en un point extérieur infi-<lb/> niment voisin, est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math> sur l'unité de l'électricité,<lb/> et qu'elle est nulle en un point intérieur. Comme elle<lb/> est la somme de l'action exercée par AB et de l'action<lb/> exercée par AMB, on en conclut (avec <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref>)<lb/> que ces deux actions sont égales : et puisque leur<lb/> somme est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>, chacune d'elles est égale à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>.<lb/> Telle est la valeur de la force exercée <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> par</del> <add class="above add" place="above"> <del class="none del"> sur</del></add></subst><subst class="undefined subst"> <del class="none del"> l'élément fixe</del> </subst><add class="below add" place="below"> par toute la surface </add><lb/>AMB sur <subst class="undefined subst"> <del class="none del">un point</del> <add class="above add" place="above">la masse</add></subst> 1 située sur l'élément AB. Sur<lb/> la charge μ ds de cet élément, la force sera donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mn>.</default:mn><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Le coefficient de ds s'appelle la <hi rend="underline">tension électrique</hi><lb/> ou la <hi rend="underline">pression électrostatique</hi> en AB:<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">C'est l'effort exercé par toute la surface électrisée sur<lb/> un de ses éléments, effort rapporté à l'unité de surface.<lb/> La pression électrostatique est ainsi définie d'une manière<lb/> analogue à la pression hydrostatique.</p>
</div>
<p><ptr target="2085"/></p>
<div>
<p rend="left">110</p>
<p rend="left">On sait que la résultante des pressions hydrostatiques<lb/> exercées par un liquide sur le vase est précisément<lb/> égale au poids de ce liquide. De même, la résultante<lb/> des pressions électrostatiques d'un conducteur est<lb/> égale à la force qui sollicite ce conducteur.</p>
<p rend="left">Pour un <del class="none del">seul</del> conducteur <add class="above add" place="above">seul</add>, cette résultante est nulle,<lb/> car un tel conducteur n'est soumis à aucune force.</p>
<p rend="left">Soit un condensateur à plateaux plans parallèles, A, B.<lb/> Détachons sur la plateau B la surface S, et calculons<lb/> la force exercée <del class="none del">par</del> sur S par le plateau A. Les forces<lb/> étant parallèles, leur résultante est égale à leur somme.<lb/> La densité uniforme à la surface du plateau est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2079 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2079"> p. 104</ref>)<lb/> La tension électrique est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">τ</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:msup><default:mi>πkμ</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mrow><default:mn>8</default:mn><default:mi>πk</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:msup><default:mfenced><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mfrac></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math>.</p>
<p rend="left">Cette formule est très importante : elle fournit le moyen<lb/> de mesurer les différences de potentiel. On met les<lb/> 2 sources de potentiels différents V et V' avec les 2<lb/> plateaux, dont l'un est mobile ; <del class="none del">et</del> la pression τ étant<lb/> uniforme, la force totale est τS ; on a donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>8</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> ce qui permet de calculer <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>, connaissant S, d,<lb/> et F que l’on peut mesurer.</p>
</div>
<p><ptr target="2086"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">111</p>
<p rend="left">Considérons maintenant une sphère uniformément<lb/> électrisée, partagée en 2 hémisphères AMB, ANB<lb/> mobiles l'un par rapport à l'autre. Evaluons la<lb/> force répulsive que chacun d'eux exerce sur l'autre.</p>
<p rend="left">Par raison de symétrie, la force est perpendiculaire<lb/> à la base des hémisphères. Comme la pression est<lb/> normale à la surface en chaque point, il suffit de<lb/> calculer sa composante efficace. Sur l'élément de <lb/> surface <hi rend="underline">ds</hi>, la pression est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> La composante sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, si l'on projette l'élément ds sur le plan<lb/> de base des hémisphères, en dσ, on a la relation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Donc la composante est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">σ</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> et la résultante : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mo>π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mo>μ</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>∫</default:mo><default:mi>dσ</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">La somme des projections d'un hémisphère sur le plan de<lb/> base est un grand cercle <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msup><default:mi>πR</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math>; donc : <lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:msup><default:mi mathvariant="normal">π</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msup><default:mi>kμ</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, le potentiel en un point de la surface<lb/> sphérique est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>, <add class="below add" place="below">(v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2034 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2034"> p. 59</ref>)</add><lb/> d'où l'on tire : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mn>16</default:mn><default:msup><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msup><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>8k</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Cette formule très simple permet, comme la précédente,</p>
</div>
<p><ptr target="2087"/></p>
<div>
<p rend="left">112</p>
<p rend="left">d'évaluer les potentiels : elle a l'avantage de dispenser<lb/> de toute mesure linéaire, et de donner le potentiel<lb/> en fonction de la force seule. C'est le principe d'un<lb/> électromètre absolu inventé par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref> (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2144 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2144"> p.169</ref>).</p>
<p rend="center">Définition de l'<hi rend="underline">énergie électrique</hi></p>
<p rend="left">Considérons un système de points électrisés, de charges<lb/> m, m', m'', … Imprimons-lui une déformation<lb/> infiniment petite, et proposons-nous d’évaluer<lb/> le travail correspondant.</p>
<p rend="left">Envisageons d'abord un couple de point A, B<lb/> de masses m, m', à la distance r. La force que A<lb/> exerce sur B (ou B sur A), est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>kmm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> et le travail élémentaire de cette force :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>kmm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> dr étant la projection du déplacement infiniment<lb/> petit sur la direction de la force. On voit que :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>kmm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Revenons à notre système d'un nombre quelconque<lb/> de points. Le travail élémentaire total sera la<lb/> somme des travaux élémentaires correspondant à<lb/> chaque couple de points ; on a donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>kmm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">La fonction <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>kmm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> s’appelle <hi rend="underline">énergie électrique</hi></p>
</div>
<p><ptr target="2088"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">113</p>
<p rend="left">du système et se représente par la lettre W. On écrira :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dW</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Ce qui justifie ce nom d’<hi rend="underline">énergie</hi><del class="none del">électriq</del> c'est que cette<lb/> fonction varie en sens inverse du travail, donc est<lb/> équivalente à du travail.</p>
<p rend="left">Il faut bien distinguer les deux fonctions :<lb/> potentiel : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> énergie : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>kmm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> d'autant plus qu'une synonymie fâcheuse expose à les<lb/> confondre. Autrefois, le potentiel s'appelait <hi rend="underline">fonction</hi><lb/> <hi rend="underline">potentielle</hi>, et l'énergie s'appelait <hi rend="underline">potentiel</hi> ; puis,<lb/> comme ce nom a été employé dans la pratique pour<lb/> désigner la fonction V, on a dû récemment inventer<lb/> la locution <hi rend="underline">énergie électrique</hi> pour désigner W.</p>
<p rend="left">Pour évaluer W, prenons d'abord tous les termes où<lb/> figure la masse <hi rend="underline">m</hi> du point A, et mettons-la en<lb/> facteur : il vient : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>km</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> est le potentiel V produit au point A<lb/> par toutes les autres masses électriques du système.<lb/> En opérant de même pour tous les autres points, on aura :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi>mV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> mV étant le produit de la masse de chaque point par<lb/> le potentiel en ce point. Mais dans cette somme, chacun<lb/> des termes <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>kmm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> est compté 2 fois, une fois parmi les</p>
</div>
<p><ptr target="2089"/></p>
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<p rend="left">114</p>
<p rend="left">facteurs de <hi rend="underline">m</hi>, une autre parmi les facteurs de <hi rend="underline">m'</hi>.<lb/> Elle est donc égale au double de <del class="none del">potentiel</del> l'énergie :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi>mV</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2W</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:math>.<lb/> Dans le cas particulier où le système ne comprend que<lb/> des corps conducteurs A, B, C, … dont les potentiels<lb/> (constants pour chacun) sont : V, V', V'', …, quand on<lb/> forme <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi>mV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>, on peut mettre en facteur de V toutes<lb/> les masses électriques à la surface du conducteur A,<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>, charge totale de ce conducteur ; on a donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi>MV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> MV étant le produit de la charge de chaque conducteur<lb/> par son potentiel.</p>
<p rend="left">Dans le cas où tous les potentiels sauf un (V) sont<lb/> nuls, on a simplement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>MV</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Dans le cas où toutes les charges électriques sauf une (M)<lb/> sont nulles, on a également :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>MV</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi l'énergie du système, dans ces deux cas, ne<lb/> dépend que de la <subst class="undefined subst"> <del class="none del">masse</del> <add class="above add" place="above">charge</add></subst> et du potentiel du corps où<lb/> ils ne sont pas nuls. Mais cette charge elle-même<lb/> dépend, non seulement de la configuration du conducteur,<lb/> mais de la forme et de la position des autres conducteurs :</p>
</div>
<p><ptr target="2090"/></p>
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<p class="right p" rend="right">115</p>
<p rend="left">car leur présence accroît la capacité du premier (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd </abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/> la valeur de M pour un potentiel donné V).</p>
<p rend="left">Dans le cas général, si l'on substitue dans <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi>mV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> les <del class="none del">volu</del> expressions des potentiels V en fonction linéaire<lb/> des masses M, on obtient l'énergie sous la forme<lb/> d'une fonction quadratique des charges :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mo/><default:mi>ΣMM</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:math><lb/></p>
<p rend="left">Si au contraire on y substitue les expressions des masses<lb/> M en fonction linéaire des potentiels V, l'énergie<lb/> devient une fonction quadratique des potentiels :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi>VV</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Dans le cas d'un condensateur dont les armatures<lb/> ont les potentiels respectifs V et 0, on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mo/><default:mi>MV</default:mi></default:math><lb/> Or on sait que : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>CV</default:mi></default:math> <lb/>Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mo/><default:msup><default:mi>CV</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math> <lb/> ou bien : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mo/><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi, si l'on compare plusieurs condensateurs au<lb/> même potentiel, leur énergie est proportionnelle à leur<lb/> capacité ; si au contraire ils ont <sic class="undefined sic"> même charge</sic><hi class="italic" rend="italic"/>, leur<lb/> énergie est en raison inverse de leur capacité.</p>
<p rend="left">La définition de l'énergie fournit un nouveau moyen<lb/> d'évaluer la force exercée sur un corps électrisé. Soit</p>
</div>
<p><ptr target="2091"/></p>
<div>
<p rend="left">116</p>
<p rend="left">en effet F la composante efficace de la force pour un<lb/> déplacement infiniment petit dx ; on a : <lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dT</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> D'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi la force subie par un corps électrisé est égal<lb/> à la dérivée de l'énergie électrique par rapport au<lb/> déplacement, changée de signe.<lb/> <hi rend="underline">Remarque</hi>. La définition de la force par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> donne la force qui s'exerce sur l'unité d'électricité<lb/> placée en un point ; tandis que la nouvelle définition<lb/> donne la force qui s'exerce en un point d'un conducteur<lb/> électrisé, de charge connue. De plus on suppose que tous<lb/> les conducteurs sont isolés, de telle sorte que leurs charges<lb/> ne puissent varier.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Exemple</hi> : Nous allons calculer la force qu'exercent<lb/> l'une sur l'autre les 2 plateaux d'un condensateur.<lb/> Soit A au potentiel V, B au potentiel 0. l'énergie<lb/> électrique au condensateur sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Or : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:math>, et : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <hi rend="underline">e</hi> étant la distance des 2 plateaux.</p>
</div>
<p><ptr target="2092"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">117</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>de</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced></default:mrow><default:mrow><default:mi>de</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mn>2C</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dC</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>de</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> Or :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dC</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dc</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mn>.</default:mn><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">La force, étant négative, est attractive, comme on sait.<lb/> <hi rend="underline">Remarque</hi>. Si l'on différentie l'énergie en supposant<lb/> le potentiel constant : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi>CV</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:math>,<lb/> on trouve : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>dC</default:mi></default:mrow></default:math>,<lb/> de sorte que, si les 2 plateaux se rapprochent (de <0)<lb/> la capacité augmente (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dC</default:mi><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>)et le potentiel aussi.<lb/> Il semble donc que, lorsque l'un des plateaux se<lb/> déplace dans le sens de la force qui le sollicite, son<lb/> énergie augmente, tandis qu'elle devrait diminuer,<lb/> le travail de la force étant positif.</p>
<p rend="left">Ce paradoxe vient de ce qu'on applique à tort la<lb/> formule de l'énergie à un <subst class="undefined subst"><del class="none del">conducteur</del> <add class="above add" place="above">système</add></subst> qui n'est pas<lb/> isolé, car pour maintenir le plateau au même poten-<lb/> tiel, et faut le mettre en communication avec une source<lb/> d'électricité qui, elle, consomme du travail et produit<lb/> de l'énergie. Or il se trouve que la sources produit une<lb/> somme d’énergie double de celle que gagne le condensateur,<lb/> et comme elle équivaut à la somme <add class="below add" place="below">de celle-ci et</add> du travail produit,</p>
</div>
<p><ptr target="2093"/></p>
<div>
<p rend="left">118</p>
<p rend="left">il en résulte qui celui-ci est égal à l'énergie acquise<lb/> par le condensateur. C'est ce qu'on va démontrer.</p>
<p rend="left">La source étant au potentiel V, calculons le travail<lb/> nécessaire pour <subst class="undefined subst"> <del class="none del">qu'elle produise</del> <add class="above add" place="above">transporter</add></subst> une quantité M<lb/> d'électricité de la source dans le condensateur.</p>
<p rend="left">L'énergie de cette masse M <add class="below add" place="below">dans la source</add> est le travail nécessaire<lb/> pour l'amener de l'infini à cette source : pour<lb/> une charge 1, ce travail est V ; pour la charge M,<lb/> il est MV. D'autre part, si cette charge se trouve<lb/> transportée dans le condensateur, son énergie n'est plus<lb/> que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mi>MV</default:mi></default:mrow></default:math>. Ainsi son énergie a décru de<lb/> moitié : l'autre moitié s'est dépensée en travail.<lb/> Ces 2 moitiés étant égales et de même signe, on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>Fdx</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> ou <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> et voilà pourquoi la force a le même signe que la<lb/> variation d'énergie du condensateur, quand on le<lb/> considère comme isolé. Au contraire, quand on<lb/> considère le système (vraiment isolé cette fois), du<lb/> condensateur et de la source qui lui fournit l’électricité,<lb/> la source perd en énergie le double de que le<lb/> condensateur gagne, et l'on a, en vertu du principe<lb/> de la conservation de l'énergie : <del class="none del"> 2dW</del> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> au : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dW</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2094"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">119</p>
<p rend="center">10 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p class="indent p" rend="indent">Nous avons vu que la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et sujette à exception quand le système est en relation<lb/> avec une <hi rend="underline">source d'électricité</hi>, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> avec un corps ou<lb/> ensemble de corps qui ont la propriété de conserver le<lb/> même potentiel ou la même différence de potentiel<lb/> quelles que soient leurs pertes d'électricité. Cela ne peut<lb/> se faire évidemment que grâce à une dépense d'énergie.</p>
<p rend="left">Distinguons l'énergie totale du système et de la source,<lb/> W, l'énergie du système seul W <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, et l'énergie de la source<lb/> seule W<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>. Par définition : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>dW</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>+</default:mo><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:math></p>
<p rend="left">Or l'énergie de la source, quand elle fournit la charge dM,<lb/> décroît de VdM : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>VdM</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et l'énergie du système recevant la même charge croît<lb/> de la moitié seulement : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mi>VdM</default:mi></default:math><lb/> car : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mi>MV</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">Il vient : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi>VdM</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>VdM</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mi>VdM</default:mi></default:mrow></default:math>.<lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Et comme la force est en général : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mi>dW</default:mi><default:mi>dx</default:mi></default:mfrac></default:math> ,<lb/> elle est dans ce cas : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>+</default:mo><default:mfrac><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mi>dx</default:mi></default:mfrac></default:math> ,<lb/> et par conséquent le travail : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>Fdx</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub></default:math> ,<lb/> <choice class="undefined choice"><abbr class="undefined abbr"> càd </abbr></choice><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan> de même signe que le gain d'énergie du système. Mais</p>
</div>
<p><ptr target="2095"/></p>
<div>
<p rend="left">120</p>
<p rend="left">aussi la perte d'énergie de la source est double du gain<lb/> d'énergie du système : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi>dW</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mn>2dW</default:mn><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi, lorsqu'un système <add class="below add" place="below">en relation avec une source</add> éprouve un déplacement<lb/> à potentiel constant, <del class="none del">su</del> son<lb/> accroissement d'énergie est égal au travail électrique,<lb/> et leur somme à la perte d'énergie de la source.</p>
<p rend="left">Du partage de l'électricité entre corps conducteurs.<lb/> Soient deux conducteurs aux potentiels V et V', et de<lb/> charge M et M'. Si on les met en communication,<lb/> elles deviennent M<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et M' <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, et leur potentiel commun<lb/> est <hi rend="underline">x</hi>. En vertu du principe de la conservation de<lb/> l'électricité, on a l'égalité :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Considérons seulement le cas où les conducteurs sont<lb/> assez éloignés pour que leur influence réciproque soit<lb/> négligeable. Dans ce cas, leur capacité n'est pas altérée,<lb/> et leur distribution électrique conserve la même forme.<lb/> La capacité du conducteur unique formé par leur réunion<lb/> est donc la somme de leurs capacités :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>CV</default:mi></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>CV</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfenced><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:math> <lb/> Cette équation permet de calculer <hi rend="underline">x</hi> quand on connaît<lb/> les capacités. Cherchons ce que devient l'énergie du système.</p>
</div>
<p><ptr target="2096"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">121</p>
<p rend="left">Avant la communication, elle est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi>MV</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>CV</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Après la communication, elle est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:msub><default:mo>'</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfenced><default:msup><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub></default:math><lb/> La variation de l'énergie est donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:msup><default:mi>CV</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:msup><default:mo>'</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:mi>CV</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mfenced open="[" close="]"><default:mfrac><default:mrow><default:mi>CC</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo/><default:mfenced><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:msup><default:mo>'</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfenced></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mfenced><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>CC</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo/><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:math> <lb/> Cette expression est positive quels que soient V et V'<lb/> (différents ; il y a donc toujours perte d'énergie, à moins<lb/> que les potentiels soient égaux.</p>
<p rend="left">On démontre sans peine pour un système d'un nombre<lb/> quelconque de conducteurs la formule générale :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">Σ</default:mo><default:mi>CC</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">Σ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On peut se demander ce que devient l'énergie perdue. Dans<lb/> les cas précédents, il y avait un travail mécanique équiva-<lb/> lent à la perte d'énergie ; mais dans ce cas-ci il n'y en a pas.<lb/> L'expérience apprend qu'il se produit de la chaleur, et que<lb/> la quantité de chaleur développée est équivalente à la<lb/> perte d'énergie calculée.</p>
<p rend="left">Les premières expériences sur la chaleur dégagée par la<lb/> décharge des conducteurs sont dues au savant suisse <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess </ref><lb/>(vers 1840) ; il a eu la chance de trouver des formules</p>
</div>
<p><ptr target="2097"/></p>
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<p rend="left">122</p>
<p rend="left">empiriques qui ont été depuis déduites par le calcul<lb/> de la théorie du potentiel.</p>
<p rend="left">Il employait une batterie électrique, réunion de conden-<lb/> sateurs fermés. (Dans les bouteilles de Leyde, le diélectrique<lb/> est de verre, au lieu de l'air que nous avons considéré dans<lb/> le condensateur théorique ; mais la nature du diélectrique<lb/> n’intervient que par une valeur différente de la constante k.)</p>
<p rend="left">Soit M la charge de l'armature interne ; celle de l'armature<lb/> externe sera -M. En réunissant les 2 armatures par un<lb/> conducteur (excitateur à manches de verre) on produit une<lb/> décharge, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> la réunion des 2 charges égales et contraires ;<lb/> la charge finale est donc nulle. L'énergie primitive était<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>, V et V' étant les potentiels des 2 armatures :<lb/> l'énergie finale est 0. La perte d'énergie est donc<lb/> égale à l'énergie initiale. Soit C la capacité électrique<lb/> de l'armature interne : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mo/><default:mfrac><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Les lois empiriques découvertes par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref></persname> concordent<lb/> avec ces formules. Pour les vérifier, il faut connaître :<lb/> 1° la capacité du conducteur, au moins en valeur<lb/> relative : on la considère comme proportionnelle au<lb/> nombre des bouteilles (toutes égales) ; 2° la charge :<lb/> <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref> la mesurait au moyen de la bouteille de Lane</p>
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<p><ptr target="2098"/></p>
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<p class="right p" rend="right">123</p>
<p rend="left">3° la chaleur dégagée par la décharge ; on la mesure au<lb/> moyen du thermomètre de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref></persname>.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">La bouteille de Lane</hi> est une bouteille de <persname> Leyde</persname><lb/> dont l'armature externe communique avec une boule<lb/> mobile qu'on peut rapprocher plus ou moins (par une vis<lb/> micrométrique) d'une boule fixe portée par l'armature<lb/> interne. Quand on la met en relation avec une <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> machine électrique, une étincelle éclate entre les<lb/> 2 boules quand la charge a atteint une certaine<lb/> valeur, et décharge les 2 armatures. Cette charge maxima<lb/> de la bouteille servira d'unité de mesure pour la charge<lb/> de la batterie.</p>
<p rend="left">Pour cela, on relie la batterie à la bouteille de Lane<lb/> de manière qu'elles soient déposées en <hi rend="underline">série</hi> ou en <hi rend="underline">cascade</hi><lb/> par rapport à la source. Si la charge intérieure de la<lb/> bouteille est <hi rend="underline">m</hi>, la charge extérieure sera -m ; <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> elle</del> <add class="below add" place="below"> comme</add></subst><lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> correspond</del> <add class="above add" place="above"> elle provient</add></subst> d'une décomposition par influence, elle corres-<lb/> pond à une charge +m de l'armature intérieur de<lb/> la batterie, laquelle engendre à son tour une charge -m<lb/> dans l'armature extérieure. En un mot, les armatures<lb/> intérieures de la bouteille et de la batterie se chargent de<lb/> la même quantité d'électricité. Quand la bouteille se<lb/> décharge, sa charge devient nulle mais celle de la batterie</p>
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<p><ptr target="2099"/></p>
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<p rend="left">124</p>
<p rend="left">subsiste. Autant de fois l'étincelle aura éclaté, autant<lb/> de fois la batterie aura reçu la charge m, qui <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> s' ajoute</del> <add class="below add" place="below"> accumule</add></subst><lb/> <del class="none del">à elle</del> <hi rend="underline">Thermomètre de Riess</hi>. C'est un ballon de verre<lb/> contenant une spirale métallique <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/>(qu'on peut changer à volonté) par<lb/> laquelle on fait passer la décharge<lb/> de la batterie. Le fil métallique<lb/> s'échauffe, et échauffe l'air du<lb/> ballon (d'abord à la pression atmosphérique H). Soit <hi rend="underline">t</hi> son<lb/> élévation de température ; sa pression devient :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>ΔH</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>Hα</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">Le liquide descend <add class="below add" place="below">de la longueur <unclear class="high unclear" cert="high"> x</unclear></add> dans la branche inclinée de l'angle ε<lb/> sur l'horizon (il ne monte pas sensiblement dans la branche<lb/> large ouverte). Supposons H mesurée avec le même liquide :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ainsi x est proportionnel à t, mais t est proportionnel<lb/> à la quantité de chaleur dégagée dans la masse d'air, q :<lb/> donc le déplacement du liquide est proportionnel à <hi rend="underline">q</hi><lb/> qu'il s'agit de mesurer ; et il est d'autant plus grand, pour<lb/> une valeur donnée de q, que sin ε ou ε est plus petit.</p>
<p rend="left">Seulement, dans la pratique, l'air s'échauffe puis se<lb/> refroidit brusquement, de sorte que le liquide dépasse<lb/> la position d'équilibre, en vertu de la vitesse acquise, et</p>
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<p><ptr target="2100"/></p>
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<p class="right p" rend="right">125</p>
<p rend="left">ne s'y arrête pas plus en remontant qu'en descendant :<lb/> cette position, qui correspond à <unclear class="high unclear" cert="high"> x</unclear> , n'est donc pas observable.<lb/> Mais si l'on observe le déplacement extrême <unclear class="high unclear" cert="high"> x</unclear> , du liquide,<lb/> on peut le considérer comme proportionnel à <hi rend="underline"><unclear class="high unclear" cert="high"> x</unclear></hi> pour<lb/> un même instrument, et par suite le prendre pour x,<lb/> puisqu'il ne s'agit que de vérifier des proportionnalités.</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref> a trouvé ainsi que x est proportionnel au carré<lb/> de la charge ; proportionnel à la capacité pour un même<lb/> potentiel ; et inversement proportionnel à la capacité<lb/> pour une même charge.</p>
<p rend="left">Ces expériences vérifient seulement la proportionnalité,<lb/> et non la stricte équivalence de la chaleur et de l'énergie.<lb/> Toutefois, on constate, en changeant la spirale, que la nature<lb/> du conducteur est indifférente : la quantité de chaleur<lb/> dégagée est toujours la même.</p>
<p rend="left">On peut intercaler dans le circuit de décharge plusieurs<lb/> thermomètres de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref> pouvant contenir des spirales<lb/> différentes. Soient d'abord 2 spirales de même métal<lb/> et de même section, mais de longueurs différentes l et l' ;<lb/> on trouve pour les quantités de chaleur dégagées par<lb/> la même décharge : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ce qui est presque évident. Si l'on met 2 fils de même<lb/> métal, de même longueur et de sections différentes, s, s',</p>
</div>
<p><ptr target="2101"/></p>
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<p rend="left">126</p>
<p rend="left">on trouve : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Cette loi permet de négliger la quantité de chaleur produite<lb/> par la décharge dans l'excitateur et les fils conducteurs,<lb/> dont la section est très grande par rapport à celle de la spirale.<lb/> Enfin, si l'on emploie 2 fils de même longueur et section,<lb/> mais de métaux différents, on aura : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ρ étant un coefficient propre à chaque métal.<lb/> En résumé, la quantité de chaleur produite dans un fil<lb/> par une même décharge est proportionnelle à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi><default:mo/><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mfrac></default:math>.<lb/> Cette quantité s’appelle la <hi rend="underline">résistance</hi><add class="below add" place="below">du conducteur</add> et se désigne par R.<lb/> Quant à ρ, c'est le <hi rend="underline">coefficient de résistance spécifique</hi> donc<lb/> que les corps conducteurs se comportent différemment<lb/> à l'égard des décharges électriques.</p>
<p rend="left">La décharge d'un condensateur n'est pas instantanée,<lb/> parce que la différence de potentiel décroissant progressi-<lb/> vement, la vitesse se ralentit à mesure : c'est donc un<lb/> phénomène compliqué ; qui dure et fait long feu.<lb/> Pour avoir un phénomène plus simple, et uniforme,<lb/> il faudrait réunir par un fil conducteur deux sources,<lb/> <del class="none del">l'une au</del> à des potentiels différents (et constants). On peut<lb/> concevoir théoriquement la possibilité d'un tel phénomène.<lb/> Prenons un condensateur <add class="below add" place="below">A</add> formé de 2 cylindres pouvant</p>
</div>
<p><ptr target="2102"/></p>
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<p class="right p" rend="right">127</p>
<p rend="left">glisser l'un dans l'autre : portons l'armature interne<lb/> au potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> </hi><unclear class="high unclear" cert="high"> 1</unclear> l'armature externe au potentiel 0.</p>
<p rend="left">Prenons un autre condensateur tout semblable B,<lb/> dont les armatures soient respectivement aux potentiels<lb/> V' et 0. réunissions les deux armatures internes par<lb/> un fil conducteur : les potentiels V et V' tendent à<lb/> s'égaliser. Pour empêcher ce fait, on retire l'armature <fig class="bottom fig" place="bottom"> <figdesc>Sous cette ligne, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/></p>
<p rend="left">interne de A, sa capacité diminue, donc la charge peut<lb/> diminuer, le potentiel restant constant ; inversement,<lb/> on enfonce l’armature interne de B, sa capacité augmente,<lb/> et sa charge augmente à potentiel constant. On peut<lb/> donc maintenir les potentiels constants malgré une<lb/> décharge continue de l'électricité le long du fil. La<lb/> vitesse à imprimer aux 2 armatures dépend de la<lb/> conductibilité du fil.</p>
<p rend="left">Des courants continus.</p>
<p rend="left">Faisons abstraction du procédé pratique par lequel on<lb/> obtient des sources d'électricité, et considérons un fil<lb/> conducteur dont les extrémités sont maintenues aux<lb/> potentiels constants V et V'. Il n'y a pas d'équilibre<lb/> possible sur un tel conducteur ; l'électricité s'écoulera</p>
</div>
<p><ptr target="2103"/></p>
<div>
<p rend="left">128</p>
<p rend="left">donc d'une manière continue par le fil : c'est ce qu'on<lb/> appelle un <hi rend="underline">courant</hi>.</p>
<p rend="left">L'expérience montre que le potentiel varie linéairement<lb/> le long du fil. Soit <hi rend="underline">l</hi> sa longueur totale, <hi rend="underline">x</hi> la distance<lb/> d'un point quelconque du fil à son origine ; V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> le<lb/> potentiel à l’origine, V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> le potentiel à l'extrémité ;<lb/> soit V le potentiel au point <hi rend="underline">x</hi> ; en le mettant en<lb/> communication avec un condensateur, on mesure<lb/> ce potentiel, et l'on vérifie la relation suivante :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">De même, si l'on met 2 points du fil en communication<lb/> respectivement avec les 2 paires de quadrants de<lb/> l'électromètre Mascart, on constate que la déviation<lb/> de l'aiguille est proportionnelle à la distance des 2<lb/> points ; on sait d'autre part qu'elle est proportionnelle<lb/> à la différence de potentiel des 2 paires de quadrants.</p>
<p rend="left">La force électrique a une valeur constante tout le<lb/> long du fil ; en effet, la dérivée du potentiel <add class="below add" place="below">en un point</add> est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>= <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> C<hi class="sup hi" rend="sup"> te</hi></abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice><lb/> Par suite, on a : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dx</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et comme les autres dérivées secondes sont également<lb/> nulles (la force ayant la direction du fil), on trouve :</p>
</div>
<p><ptr target="2104"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">129</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or, en vertu d'un théorème qui ne dépend pas de la forme<lb/> des conducteurs ni de l'équilibre de leur charge, on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>Δ</default:mi><default:mi>V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkρ</default:mi></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:math> .</p>
<p rend="left">Ainsi, la densité électrique est nulle le long du fil, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/> qu'il n'a pas de charge libre d'électricité. Une certaine<lb/> charge disparaît à une extrémité, une charge égale<lb/> reparaît à l'autre ; l'électricité semble passer <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> le long</del> <add class="below add" place="below"> d'un bout</add></subst><lb/> à l'autre du fil, mais elle ne passe pas ; le fil semble<lb/> transporter de l'électricité, mais il n'en contient pas.</p>
<p rend="left">Dans l'hypothèse des deux fluides, on peut rendre<lb/> compte de ce fait en imaginant 2 courant égaux et<lb/> contraires des 2 fluides : chaque portion du fil contenant<lb/> des quantités égales des 2 fluides est comme à l'état neutre.<lb/> Cette théorie peut se préciser dans l'hypothèse atomique :<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> chaque</del> <add class="above add" place="above"> les</add></subst> atomes d'une molécule <add class="below add" place="below">binaire</add> prendrai <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> t</del> <add class="inline add" place="inline"> ent</add></subst><subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> une</del> <add class="below add" place="below"> des</add></subst> charges<lb/> opposées et les transmettraient de proche en proche, de<lb/> sorte qu'à chaque instant la charge de chaque molécule<lb/> serait nulle. C'est ce que semble confirmer la théorie de<lb/> l'électrolyse, et l'on peut admettre que ce qui est vrai des<lb/> conducteurs liquides l'est aussi des conducteurs solides.</p>
<p rend="left">Si dans un même circuit on intercale plusieurs</p>
</div>
<p><ptr target="2105"/></p>
<div>
<p rend="left">130</p>
<p rend="left">conducteurs différents, le potentiel croît ou décroît<lb/> linéairement dans chacun d'eux. De plus, l'expé-<lb/> rience montre que la différence de potentiel de leurs<lb/> extrémités est proportionnelle à leur résistance, de<lb/> sorte qu'on a les égalités :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>= …<lb/> La valeur de ces rapports, constante dans tout le circuit,<lb/> et qui caractérise la grandeur du courant, s'appelle<lb/> son <hi rend="underline">intensité</hi>, et se désigne par I ; on a la formule<lb/> générale : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>aI</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> <hi rend="underline">a</hi> étant un coefficient constant qui dépend seulement<lb/> du choix des unités.</p>
<p rend="left">Ohm a deviné ces lois en présumant l'analogie<lb/> de la conductibilité électrique avec la conductibilité<lb/> calorifique ; il les a ensuite vérifiées par l'expérience.<lb/> Sa découverte passa inaperçue en Allemagne, et resta<lb/> inconnue en France, où elle fut refaite par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m"> Pouillet</ref>.<lb/> Pour vérifier la loi d'Ohm, il suffit de mesurer les<lb/> différences de potentiel par la méthode électrostatique.<lb/> On constate d'ailleurs que la Constante I qui<lb/> caractérise le courant augmente quand croît ce<lb/> que l'on appelle vulgairement l'intensité du courant.<lb/> <hi rend="underline">Loi de Joule</hi>. En immergeant dans un calorimètre</p>
</div>
<p><ptr target="2106"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">131</p>
<p rend="left">des fils divers traversés par un courant, Joule trouva<lb/> que la quantité de chaleur dégagée par ces fils était<lb/> proportionnelle à leur résistance, au carré de l'intensité<lb/> du courant et au temps pendant lequel le courant<lb/> avait passé. C'est ce que résume la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:math> <lb/> où <hi rend="underline"><unclear class="high unclear" cert="high"> b</unclear></hi> est un coefficient dépendant du choix des unités.</p>
<p rend="left">Ni <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r"> Ohm</ref> ni <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12140688b ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12140688b"> Joule</ref> n'ont songé à vérifier le principe<lb/> de la conservation de l'énergie au moyen de leurs lois.<lb/> Soit M la quantité d'électricité qu'un courant donné<lb/> transporte en 1 seconde (on peut la mesurer au moyen<lb/> d'un condensateur). En <hi rend="underline">t</hi> secondes, la quantité est Mt.<lb/> Cette charge passant du potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> au potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>,<lb/> le travail effectué ou l'énergie perdue est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>Mt</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et, si l'on admet que cette énergie reparaît sous forme de<lb/> chaleur, on aura (en désignant par J l'équivalent méca-<lb/> nique de la chaleur) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>Mt</default:mi><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mfrac><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, si nous combinons les lois d'Ohm et de<lb/> Joule, nous trouvons la formule analogue :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi l'intensité du courant est proportionnelle à la</p>
</div>
<p><ptr target="2107"/></p>
<div>
<p rend="left">132</p>
<p rend="left">quantité d'électricité transportée en 1 seconde.<lb/> Pour que l'identification des 2 formules soit complète,<lb/> il suffit de poser : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">En conséquence, on est convenu de prendre pour unités<lb/> d'intensité et de résistance celles qui rendent <hi rend="underline">a</hi><lb/> égal à 1, et b égal à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>. Dans ces conditions,<lb/> on a : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que l'intensité d'un courant est égale à la quantité<lb/> d'électricité qu'il transporte par seconde.</p>
<p rend="left">Avec les unités ainsi choisies, les lois d'Ohm et de Joule<lb/> se traduisent par les formules simples et usuelles :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>RI</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mi mathvariant="script">j</default:mi></default:mfrac><default:msup><default:mi>RI</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:math></p>
<p rend="center">11e leçon</p>
<p rend="left">On introduit souvent dans la formule de la loi d'Ohm<lb/> la <hi rend="underline">force électromotrice</hi><add class="above add" place="above">E</add>, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> le travail effectué dans la<lb/> source pour produire l'unité d'électricité. Les deux<lb/> extrémités du fil conducteur sont en effet réunies par<lb/> une source qui a pour effet de produire la différence ou<lb/> chute de potentiel (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>). le travail effectué pour<lb/> produire la masse 1, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> pour l'élever du potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi><lb/> au potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, est précisément (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>). Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2108"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">133</p>
<p rend="left">Il faut se garder de confondre la force électromotrice et<lb/> la différence de potentiel. Toute différence de potentiel<lb/> suppose une force électromotrice, mais quand il y a une<lb/> force électromotrice, il n'y a pas toujours une différence<lb/> de potentiel. La notion de force électromotrice est donc<lb/> plus générale, comme on le verra dans la théorie de l'induction.<lb/> La loi d'Ohm se traduit alors sous sa forme habituelle :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>RI</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On peut également introduire la force électromotrice<lb/> dans la formule de la loi de Joule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ces formules s'appliquent à un courant unique tra-<lb/> versant un circuit simple, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> formé de plusieurs<lb/> conducteurs mis bout à bout (en série).</p>
<p rend="left">On peut se poser un problème plus complexe, en consi-<lb/> dérant un circuit multiple, formé de conducteurs rami-<lb/> fiés, dans lesquels sont intercalés des forces électromotrices.<lb/> Dans ce cas, on applique les corollaires de la loi d'Ohm,<lb/> dus à <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12554746j ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12554746j"> Kirchhoff</ref>.</p>
<p rend="left">Considérons un <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> fil</del> <add class="above add" place="above"> circuit</add></subst> ABCDE composé de plusieurs<lb/> conducteurs et contenant diverses forces électromotrices.<lb/> Exprimons la différence de potentiel des 2 extrémités en<lb/> fonction de l'intensité du courant, des diverses résistances</p>
</div>
<p><ptr target="2109"/></p>
<div>134
<p rend="left">et des forces électromotrices, prises positivement ou négativement,<lb/> suivant qu<del class="none del">i</del>' elles relèvent ou abaissent le potentiel dans le<lb/> sens courant : <fig class="bottom fig" place="bottom"> <figdesc>Sous cette ligne, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:msub><default:mo>'</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msub></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:msub><default:mo>'</default:mo><default:mn>3</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mn>4</default:mn></default:msub></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Σ</default:mi><default:mfenced><default:mrow><default:mi>IR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mfenced><default:mo>=</default:mo><default:mi>ΣIR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi>ΣE</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>IΣR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi>ΣE</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">Considérons maintenant un circuit multiple ABCDEF,<lb/> dans lequel sont intercalés des <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> forces électromotrices quelconques<lb/> en des points quelconques.</p>
<p rend="left">Prenons un sommet, A par<lb/> exemple : chacun des fils qui y<lb/> aboutissent est parcouru par<lb/> un courant ; on considère comme positifs ceux qui apportent<lb/> de l'électricité en A, comme négatifs ceux qui en emportent.<lb/> Comme on suppose le régime permanent établi, le potentiel<lb/> du point A est constant, donc la quantité d'électricité qu'il<lb/> reçoit en 1 seconde est nulle. Cette quantité est égale à la<lb/> somme algébrique des intensités des courants aboutissant<lb/> à ce sommet : d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2110"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">135</p>
<p rend="left">On aura autant d'équations de cette forme qu'il y a<lb/> de sommets dans le circuit.</p>
<p rend="left">Prenons maintenant un circuit fermé simple,<lb/> par exemple ABF. On considère comme positifs<lb/> les courants dans le sens ABF, comme négatifs les<lb/> courants de sens contraire. Soient V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> V <hi class="sub hi" rend="sub"> 3</hi> les<lb/> potentiels aux 3 sommets ; on aura pour la portion<lb/> AB : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:munderover><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi></default:mrow></default:munderover><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi>IR</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> pour BF : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mstyle displaystyle="false"><default:munderover><default:mo>∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi></default:munderover></default:mstyle><default:mfenced><default:mrow><default:mi>IR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mfenced></default:math> <lb/> pour FA : <lb/> et pour le circuit total : <lb/> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>Σ</default:mi><default:mo/><default:mi>I</default:mi><default:mi>R</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>Σ</default:mi><default:mi>E</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">On obtient autant d'équations de cette forme qu'on peut<lb/> former de circuits simples fermés avec des portions du<lb/> circuit multiple.</p>
<p rend="left">Seulement toutes ces équations ne sont pas indépen-<lb/> dantes : en effet, tandis que le nombre des équations<lb/> est la somme du nombre des sommets et du nombre<lb/> des circuits simples. Par exemple, dans <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> le</del> <add class="below add" place="below"> un</add></subst> circuit ramifié<lb/> une fois, il y a 3 fils, 2 sommets et 3 circuits simples,<lb/> donc 5 équations pour 3 inconnues. Il y en a donc 2 qui<lb/> sont la conséquence des autres. En effet, les 2 sommets</p>
</div>
<p><ptr target="2111"/></p>
<div>
<p rend="left">136</p>
<p rend="left">donnent lieu à la même équation : <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> De même, l'équation du 3e circuit<lb/> simple (par ex : ADBE) est la<lb/> conséquence de celles des 2 premiers (ACBD, ACBE).</p>
<p rend="left">Nous avons jusqu'ici considéré les courants continus<lb/> dans des fils. Mais, chaque fois que la distribution<lb/> de l'électricité change dans un conducteur, il se produit<lb/> des courants temporaires. Lorsqu'on met 2 conducteurs<lb/> en communication par un fil, le courant qui suit le fil<lb/> n'est que la résultante des courants qui sillonnent les<lb/> 2 conducteurs.</p>
<p rend="left">Nous traiterons seulement le problème des courants<lb/> continus dans les conducteurs. Pour cela, nous supposons<lb/> le régime permanent établi, et par cuite le potentiel<lb/> constant en chaque point.</p>
<p rend="left">Imaginons un conducteur creux et fermé, dont la surface<lb/> interne S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, est au potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, et la surface externe S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> au poten-<lb/> tiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>. Entre des 2 surfaces, le potentiel varie d'une manière<lb/> continue ; considérons la surface <add class="above add" place="above">S</add> de potentiel V (intermé-<lb/> diaire entre V1 et V2). La force électrique est normale à cette<lb/> surface en chaque point. Détachons-en <add class="above add" place="above">autour du point M</add> un élément ds,<lb/> et construisons sur lui un petit cylindre normal à la</p>
</div>
<p><ptr target="2112"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">137</p>
<p rend="left">surface, de hauteur dn, et terminé par une surface<lb/> équipotentielle infiniment voisine <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>. Appliquons la loi<lb/> d'Ohm à ce petit conducteur : sa résistance est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Donc l'intensité du courant qui le traverse est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Nous définirons l'intensité du courant au point M,<lb/> rapporté à l'unité de surface, par l'équation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mi>dV</default:mi><default:mi>dn</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Or la force au point M, rapportée à l'unité d’électricité,<lb/> est précisément : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Appliquons la loi de Joule au même petit conducteur.<lb/> La quantité de chaleur qui y est produite est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>ds</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi>dn</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Or dn ds est le volume du petit cylindre, soit ds :<lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>Q</default:mi><default:mo/><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>t</default:mi><default:mi mathvariant="script">j</default:mi></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:msup><default:mi>F</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>ρ</default:mi></default:mfrac><default:mi>d</default:mi><default:mi>v</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">La quantité d'énergie dissipée en 1 seconde dans ce<add class="below add" place="below">t</add><del class="none del">petit</del><lb/> élément du conducteur est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Proposons-nous de déterminer la résistance totale<lb/> R du conducteur, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> celle d'un fil qui, ayant la même</p>
</div>
<p><ptr target="2113"/></p>
<div>
<p rend="left">138</p>
<p rend="left">différence de potentiel entre ses extrémités, serait traversé<lb/> par le même courant (la même quantité d'électricité par<lb/> seconde). Cette résistance est, en vertu de la loi d'Ohm :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or I, intensité totale du courant, est l'intégrale de Jds<lb/> étendu à une surface équipotentielle quelconque S :<lb/> <lb/> Or <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo/><default:mi>ds</default:mi></default:math> est justement le flux de force F qui traverse<lb/> la surface équipotentielle S. On a donc finalement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo/><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mi mathvariant="script">F</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Signalons une analogie curieuse qui s'établit, par le<lb/> moyen des formules, entre ce problème d'Electrodynamique<lb/> et un problème tout différent d'Electricité statique.<lb/> Imaginons un condensateur ayant pour armatures les<lb/> surface S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, l’intervalle étant rempli par de l'air,<lb/> et cherchons sa capacité C. La charge de l'armature<lb/> interne étant M, on a l'équation (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074"> v. p. 99)</ref> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or M est l'intégrale de la densité de l'armature : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo/><default:mi>ds</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">D'autre part, on sait <add class="above add" place="above">(<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2053 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2053"> p. 78</ref>)</add> que : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>. Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et par suite : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="script">F</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πk</default:mi><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mfrac></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2114"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">139</p>
<p rend="left">Remarquons que le flux de force est le même que dans<lb/> le problème précédent : multiplions membre à <unclear class="high unclear" cert="high"> membre</unclear> <lb/> les deux formules, celle de R et celle de C :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>RC</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>= <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Const.</abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice></p>
<p rend="left">Ainsi la capacité du condensateur est en raison inverse<lb/> de la résistance du conducteur <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> conjugue</del> <add class="above add" place="above"> homologue</add></subst>. Si l'on sait<lb/> calculer la capacité d'un condensateur, on connaîtra<lb/> par la même la résistance d'un conducteur (de matière<lb/> déterminée, ayant une résistance spécifique ρ) qui<lb/> remplirait l'intervalle des deux armatures.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Exemple</hi> : On sait que la capacité d'un condensateur<lb/> sphérique, dont les armatures ont les rayons r<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et r<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>,<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2082 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2082"> p. 107</ref>)</p>
<p rend="left">Pour un conducteur sphérique creux limité par les<lb/> mêmes surfaces ayant les mêmes potentiels V<add class="below add" place="below">1</add> et V<add class="below add" place="below">2</add>,<lb/> la résistance totale au courant sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">De cette analogie en découle une autre entre le flux de<lb/> force et le courant. Pour une surface quelconque menée<lb/> à l'intérieur du conducteur, le flux de force est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> intégrale prise suivant cette surface. D'autre part, l'intensité</p>
</div>
<p><ptr target="2115"/></p>
<div>
<p rend="left">140</p>
<p rend="left">totale du courant qui traverse <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> le conducteur</del> <add class="above add" place="above"> la même surface</add></subst> est égale à :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Si l'on considère une surface qui entoure la surface S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>,<lb/> l'intensité du courant qui la traverse est celle du courant<lb/> qui passe de S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> à S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> ; elle est constante dans toute<lb/> l'épaisseur du conducteur. D'autre part, le flux de force<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkM</default:mi></default:math>, (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2021 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2021"> p. 46</ref>)<lb/> M étant la charge de l'armature interne du condensateur<lb/> homologue. Il est également constant quelle que soit la<lb/> surface considérée.</p>
<p rend="left">Si au contraire on prend une surface qui n'entoure<lb/> pas la cavité du conducteur, le flux de force sera nul,<lb/> et aussi l'intensité du courant qui la traverse : et en<lb/> effet, la quantité d'électricité que le courant y apporte<lb/> est égale à celle qu'il en emporte, de sorte que la somme<lb/> algébrique des quantités d'électricité qui entrent et sortent<lb/> est nulle.</p>
<p rend="left">Une autre analogie est celle qui a suggéré à <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r"> Ohm</ref></persname><lb/> la loi qu'il a découverte et vérifiée ensuite.</p>
<p rend="left">Rappelons les lois de la conductibilité calorifique.<lb/> Soit un corps limité par 2 surfaces S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, que l'on<lb/> maintient respectivement aux températures t<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et t<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>.<lb/> Si l'on prolonge l'expérience, un régime permanent</p>
</div>
<p><ptr target="2116"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">141</p>
<p rend="left">finit par s'établir, de telle sorte qu'en chaque point intérieur<lb/> la température a une valeur constante et déterminée<lb/> (intermédiaire entre t<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et t<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>.), ainsi que la quantité de<lb/> chaleur qui traverse le corps en 1 seconde. Ce régime<lb/> permanent est l'analogue du courant électrique ; la<lb/> température, du potentiel; et les surfaces isothermes, des<lb/> surfaces équipotentielles. Le flux de chaleur en un point<lb/> est donné par la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dt</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> c étant le coefficient de conductibilité, et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi>dt</default:mi><default:mi>dn</default:mi></default:mfrac></default:math><lb/> la dérivée de la température par rapport à la normale à<lb/> la surface isotherme. D'autre part, le flux d’électricité<lb/> dans un conducteur analogue, <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> est</del> <add class="below add" place="below"> au</add></subst> point homologue, est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="script">F</default:mi><default:mi>ρ</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mi>ρ</default:mi></default:mfrac><default:mo/><default:mfrac><default:mrow><default:mi>d</default:mi><default:mi>V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>d</default:mi><default:mi>n</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Posons <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">γ</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>, coefficient de conductibilité électrique :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">γ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On voit que les deux formules sont de forme identique.<lb/> C'est cette identité, supposée par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r"> Ohm</ref>, qui l'a conduit<lb/> à rechercher si la conductibilité électrique obéit aux<lb/> mêmes lois que la conductibilité calorifique.</p>
<p rend="left">Ainsi à tout problème de flux de chaleur corres-<lb/> pond un problème de flux électrique, et par l'intermé-<lb/> diaire de celui-ci, un problème de condensateur. Par<lb/> exemple, pour connaître la quantité de chaleur qui traverse</p>
</div>
<p><ptr target="2117"/></p>
<div>
<p rend="left">142</p>
<p rend="left">un conducteur creux sera donnée par la formule du<lb/> courant électrique, en y remplaçant <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">γ</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> par c,<lb/> et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On ne sait pas grand chose des conductibilités spéci-<lb/> fiques des conducteurs électriques : on n'a pas encore<lb/> trouvé de loi générale qui les relie aux <add class="above add" place="above">autres</add> propriétés<lb/> des divers corps, de manière que, connaissant ces<lb/> propriétés <add class="below add" place="below">pour un corps</add>, on puisse prévoir& calculer sa conductibilité.</p>
<p rend="left">On a remarqué que les corps conducteurs<lb/> de l’électricité sont opaques et ont l'éclat métallique.<lb/> Les corps transparents sont au contraire isolants. Ce<lb/> fait, purement empirique jusqu’ici, dénote une<lb/> corrélation cachée entre l'électricité et la lumière.</p>
<p rend="left">On a aussi remarqué que les corps bons conducteurs<lb/> de la chaleur sont aussi bons conducteurs de l'électricité.<lb/> M. M. <persname> </persname><ref class="http://www.isni.org/0000000108941196 ref" target="http://www.isni.org/0000000108941196"> Wiedemann</ref> et <persname> </persname><ref class="http://isni.org/isni/0000000017483951 ref" target="http://isni.org/isni/0000000017483951 "> Franz</ref> avaient cru pouvoir<lb/> affirmer la proportionnalité des deux conductibilités ;<lb/> mais on a reconnu que cette proportionnalité n'est pas<lb/> exacte. Il n'en est pas moins vrai que les corps se rangent<lb/> dans le même ordre par rapport à<add class="below add" place="below">aux</add><del class="none del">la</del> deux conductibilités,<lb/> de sorte qu'elles croissent en même temps & dans le même sens.</p>
<p rend="left">On a constaté que tous les métaux solides purs ont<lb/> une résistance qui croît quand leur température s'élève,</p>
</div>
<p><ptr target="2118"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">143</p>
<p rend="left">et qui est sensiblement proportionnelle à la tempéra-<lb/> ture absolue. Cette loi n'est pas rigoureuse : la résistance<lb/> de chaque métal éprouve pour 1 degré une variation<lb/> un peu plus ou un peu moins grande que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>273</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Les métaux liquides conduisent moins bien l’électricité,<lb/> ainsi que la chaleur. Mais le mercure solidifié a une<lb/> résistance quatre fois moindre, de sorte qu'il se comporte<lb/> comme les métaux solides.</p>
<p rend="left">Des impuretés, même faibles, altèrent nottablement<lb/> la conductibilité : ainsi les alliages conduisent moins bien<lb/> l'électricité que les métaux purs.</p>
<p rend="left">Toutes ces lois empiriques ne sont pas encore expliquées.<lb/> Pour cela, il faut attendre les progrès de la Chimie, qui<lb/> découvrira peut-être la constitution des corps.</p>
<p rend="center"><hi rend="underline">Des diélectriques</hi> (mot inventé par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref>.)</p>
<p rend="left">La propriété caractéristique des conducteurs est que, dans<lb/> un conducteur dont la charge est en équilibre, le champ<lb/> électrique est nul. Au contraire, dans un diélectrique,<lb/> le champ n'est pas nul en général. Par exemple,<lb/> un électroscope formé de 2 fils métalliques, plongé dans<lb/> un liquide diélectrique (pétrole) <del class="none del">et él</del> diverge quand il est<lb/> électrisé (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> v.</abbr> <expan class="undefined expan"> voir</expan></choice>expérience contraire <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> ds</abbr> <expan class="undefined expan"> dans</expan></choice> l'eau, <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2049 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2049"> p.74</ref>).</p>
<p rend="left">On sait que dans la formule de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2119"/></p>
<div>
<p rend="left">144</p>
<p rend="left">le coefficient <hi rend="underline">k</hi> dépend de la nature du diélectrique.<lb/> En effet, la répulsion de 2 balles électrisées est plus de<lb/> 2 fois moindre dans le pétrole que dans l'air. On<lb/> pourrait mesurer k, pour les liquides, en plongeant<lb/> la balance de Coulomb dans le liquide à étudier ;<lb/> mais ce procédé serait incommode. Il vaut mieux<lb/> employer les formules dérivées de la loi de Coulomb,<lb/> où figure toujours k ; par exemple, la formule de<lb/> la capacité d'un condensateur (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074"> v. p. 99</ref>) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Supposons que cette formule corresponde au cas où le<lb/> diélectrique est l'air ; si on le remplace par un autre<lb/> diélectrique, on aura une autre capacité :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:math> <lb/> Si k est le coefficient relatif à l'air on pose : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:math>.<lb/> Le nombre K est la <hi rend="underline">constante diélectrique</hi> du corps<lb/> employé comme isolant.<lb/> De même qu'un corps conducteur est caractérisé par<lb/> sa résistance spécifique un corps isolant est caractérisé<lb/> par sa constante diélectrique.</p>
<p rend="left">On fait l'expérience avec l'électroscope condensateur</p>
</div>
<p><ptr target="2120"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">125</p>
<p rend="left">ne s'y arrête pas plus en remontant qu'en descendant :<lb/> cette position, qui correspond à <unclear class="high unclear" cert="high"> x</unclear> , n'est donc pas observable.<lb/> Mais si l'on observe le déplacement extrême <unclear class="high unclear" cert="high"> x</unclear> , du liquide,<lb/> on peut le considérer comme proportionnel à <hi rend="underline"><unclear class="high unclear" cert="high"> x</unclear></hi> pour<lb/> un même instrument, et par suite le prendre pour x,<lb/> puisqu'il ne s'agit que de vérifier des proportionnalités.</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref> a trouvé ainsi que x est proportionnel au carré<lb/> de la charge ; proportionnel à la capacité pour un même<lb/> potentiel ; et inversement proportionnel à la capacité<lb/> pour une même charge.</p>
<p rend="left">Ces expériences vérifient seulement la proportionnalité,<lb/> et non la stricte équivalence de la chaleur et de l'énergie.<lb/> Toutefois, on constate, en changeant la spirale, que la nature<lb/> du conducteur est indifférente : la quantité de chaleur<lb/> dégagée est toujours la même.</p>
<p rend="left">On peut intercaler dans le circuit de décharge plusieurs<lb/> thermomètres de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref> pouvant contenir des spirales<lb/> différentes. Soient d'abord 2 spirales de même métal<lb/> et de même section, mais de longueurs différentes l et l' ;<lb/> on trouve pour les quantités de chaleur dégagées par<lb/> la même décharge : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ce qui est presque évident. Si l'on met 2 fils de même<lb/> métal, de même longueur et de sections différentes, s, s',</p>
</div>
<p><ptr target="2101"/></p>
<div>
<p rend="left">126</p>
<p rend="left">on trouve : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Cette loi permet de négliger la quantité de chaleur produite<lb/> par la décharge dans l'excitateur et les fils conducteurs,<lb/> dont la section est très grande par rapport à celle de la spirale.<lb/> Enfin, si l'on emploie 2 fils de même longueur et section,<lb/> mais de métaux différents, on aura : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ρ étant un coefficient propre à chaque métal.<lb/> En résumé, la quantité de chaleur produite dans un fil<lb/> par une même décharge est proportionnelle à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi><default:mo/><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mfrac></default:math>.<lb/> Cette quantité s’appelle la <hi rend="underline">résistance</hi><add class="below add" place="below">du conducteur</add> et se désigne par R.<lb/> Quant à ρ, c'est le <hi rend="underline">coefficient de résistance spécifique</hi> donc<lb/> que les corps conducteurs se comportent différemment<lb/> à l'égard des décharges électriques.</p>
<p rend="left">La décharge d'un condensateur n'est pas instantanée,<lb/> parce que la différence de potentiel décroissant progressi-<lb/> vement, la vitesse se ralentit à mesure : c'est donc un<lb/> phénomène compliqué ; qui dure et fait long feu.<lb/> Pour avoir un phénomène plus simple, et uniforme,<lb/> il faudrait réunir par un fil conducteur deux sources,<lb/> <del class="none del">l'une au</del> à des potentiels différents (et constants). On peut<lb/> concevoir théoriquement la possibilité d'un tel phénomène.<lb/> Prenons un condensateur <add class="below add" place="below">A</add> formé de 2 cylindres pouvant</p>
</div>
<p><ptr target="2102"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">127</p>
<p rend="left">glisser l'un dans l'autre : portons l'armature interne<lb/> au potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> </hi><unclear class="high unclear" cert="high"> 1</unclear> l'armature externe au potentiel 0.</p>
<p rend="left">Prenons un autre condensateur tout semblable B,<lb/> dont les armatures soient respectivement aux potentiels<lb/> V' et 0. réunissions les deux armatures internes par<lb/> un fil conducteur : les potentiels V et V' tendent à<lb/> s'égaliser. Pour empêcher ce fait, on retire l'armature <fig class="bottom fig" place="bottom"> <figdesc>Sous cette ligne, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/></p>
<p rend="left">interne de A, sa capacité diminue, donc la charge peut<lb/> diminuer, le potentiel restant constant ; inversement,<lb/> on enfonce l’armature interne de B, sa capacité augmente,<lb/> et sa charge augmente à potentiel constant. On peut<lb/> donc maintenir les potentiels constants malgré une<lb/> décharge continue de l'électricité le long du fil. La<lb/> vitesse à imprimer aux 2 armatures dépend de la<lb/> conductibilité du fil.</p>
<p rend="left">Des courants continus.</p>
<p rend="left">Faisons abstraction du procédé pratique par lequel on<lb/> obtient des sources d'électricité, et considérons un fil<lb/> conducteur dont les extrémités sont maintenues aux<lb/> potentiels constants V et V'. Il n'y a pas d'équilibre<lb/> possible sur un tel conducteur ; l'électricité s'écoulera</p>
</div>
<p><ptr target="2103"/></p>
<div>
<p rend="left">128</p>
<p rend="left">donc d'une manière continue par le fil : c'est ce qu'on<lb/> appelle un <hi rend="underline">courant</hi>.</p>
<p rend="left">L'expérience montre que le potentiel varie linéairement<lb/> le long du fil. Soit <hi rend="underline">l</hi> sa longueur totale, <hi rend="underline">x</hi> la distance<lb/> d'un point quelconque du fil à son origine ; V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> le<lb/> potentiel à l’origine, V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> le potentiel à l'extrémité ;<lb/> soit V le potentiel au point <hi rend="underline">x</hi> ; en le mettant en<lb/> communication avec un condensateur, on mesure<lb/> ce potentiel, et l'on vérifie la relation suivante :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">De même, si l'on met 2 points du fil en communication<lb/> respectivement avec les 2 paires de quadrants de<lb/> l'électromètre Mascart, on constate que la déviation<lb/> de l'aiguille est proportionnelle à la distance des 2<lb/> points ; on sait d'autre part qu'elle est proportionnelle<lb/> à la différence de potentiel des 2 paires de quadrants.</p>
<p rend="left">La force électrique a une valeur constante tout le<lb/> long du fil ; en effet, la dérivée du potentiel <add class="below add" place="below">en un point</add> est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>= <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> C<hi class="sup hi" rend="sup"> te</hi></abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice><lb/> Par suite, on a : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>dx</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et comme les autres dérivées secondes sont également<lb/> nulles (la force ayant la direction du fil), on trouve :</p>
</div>
<p><ptr target="2104"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">129</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Δ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or, en vertu d'un théorème qui ne dépend pas de la forme<lb/> des conducteurs ni de l'équilibre de leur charge, on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>Δ</default:mi><default:mi>V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkρ</default:mi></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:math> .</p>
<p rend="left">Ainsi, la densité électrique est nulle le long du fil, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/> qu'il n'a pas de charge libre d'électricité. Une certaine<lb/> charge disparaît à une extrémité, une charge égale<lb/> reparaît à l'autre ; l'électricité semble passer <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> le long</del> <add class="below add" place="below"> d'un bout</add></subst><lb/> à l'autre du fil, mais elle ne passe pas ; le fil semble<lb/> transporter de l'électricité, mais il n'en contient pas.</p>
<p rend="left">Dans l'hypothèse des deux fluides, on peut rendre<lb/> compte de ce fait en imaginant 2 courant égaux et<lb/> contraires des 2 fluides : chaque portion du fil contenant<lb/> des quantités égales des 2 fluides est comme à l'état neutre.<lb/> Cette théorie peut se préciser dans l'hypothèse atomique :<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> chaque</del> <add class="above add" place="above"> les</add></subst> atomes d'une molécule <add class="below add" place="below">binaire</add> prendrai <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> t</del> <add class="inline add" place="inline"> ent</add></subst><subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> une</del> <add class="below add" place="below"> des</add></subst> charges<lb/> opposées et les transmettraient de proche en proche, de<lb/> sorte qu'à chaque instant la charge de chaque molécule<lb/> serait nulle. C'est ce que semble confirmer la théorie de<lb/> l'électrolyse, et l'on peut admettre que ce qui est vrai des<lb/> conducteurs liquides l'est aussi des conducteurs solides.</p>
<p rend="left">Si dans un même circuit on intercale plusieurs</p>
</div>
<p><ptr target="2105"/></p>
<div>
<p rend="left">130</p>
<p rend="left">conducteurs différents, le potentiel croît ou décroît<lb/> linéairement dans chacun d'eux. De plus, l'expé-<lb/> rience montre que la différence de potentiel de leurs<lb/> extrémités est proportionnelle à leur résistance, de<lb/> sorte qu'on a les égalités :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>= …<lb/> La valeur de ces rapports, constante dans tout le circuit,<lb/> et qui caractérise la grandeur du courant, s'appelle<lb/> son <hi rend="underline">intensité</hi>, et se désigne par I ; on a la formule<lb/> générale : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>aI</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> <hi rend="underline">a</hi> étant un coefficient constant qui dépend seulement<lb/> du choix des unités.</p>
<p rend="left">Ohm a deviné ces lois en présumant l'analogie<lb/> de la conductibilité électrique avec la conductibilité<lb/> calorifique ; il les a ensuite vérifiées par l'expérience.<lb/> Sa découverte passa inaperçue en Allemagne, et resta<lb/> inconnue en France, où elle fut refaite par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m"> Pouillet</ref>.<lb/> Pour vérifier la loi d'Ohm, il suffit de mesurer les<lb/> différences de potentiel par la méthode électrostatique.<lb/> On constate d'ailleurs que la Constante I qui<lb/> caractérise le courant augmente quand croît ce<lb/> que l'on appelle vulgairement l'intensité du courant.<lb/> <hi rend="underline">Loi de Joule</hi>. En immergeant dans un calorimètre</p>
</div>
<p><ptr target="2106"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">131</p>
<p rend="left">des fils divers traversés par un courant, Joule trouva<lb/> que la quantité de chaleur dégagée par ces fils était<lb/> proportionnelle à leur résistance, au carré de l'intensité<lb/> du courant et au temps pendant lequel le courant<lb/> avait passé. C'est ce que résume la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:math> <lb/> où <hi rend="underline"><unclear class="high unclear" cert="high"> b</unclear></hi> est un coefficient dépendant du choix des unités.</p>
<p rend="left">Ni <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r"> Ohm</ref> ni <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12140688b ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12140688b"> Joule</ref> n'ont songé à vérifier le principe<lb/> de la conservation de l'énergie au moyen de leurs lois.<lb/> Soit M la quantité d'électricité qu'un courant donné<lb/> transporte en 1 seconde (on peut la mesurer au moyen<lb/> d'un condensateur). En <hi rend="underline">t</hi> secondes, la quantité est Mt.<lb/> Cette charge passant du potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> au potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>,<lb/> le travail effectué ou l'énergie perdue est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>Mt</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et, si l'on admet que cette énergie reparaît sous forme de<lb/> chaleur, on aura (en désignant par J l'équivalent méca-<lb/> nique de la chaleur) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>Mt</default:mi><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mfrac><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, si nous combinons les lois d'Ohm et de<lb/> Joule, nous trouvons la formule analogue :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi l'intensité du courant est proportionnelle à la</p>
</div>
<p><ptr target="2107"/></p>
<div>
<p rend="left">132</p>
<p rend="left">quantité d'électricité transportée en 1 seconde.<lb/> Pour que l'identification des 2 formules soit complète,<lb/> il suffit de poser : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">En conséquence, on est convenu de prendre pour unités<lb/> d'intensité et de résistance celles qui rendent <hi rend="underline">a</hi><lb/> égal à 1, et b égal à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>. Dans ces conditions,<lb/> on a : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que l'intensité d'un courant est égale à la quantité<lb/> d'électricité qu'il transporte par seconde.</p>
<p rend="left">Avec les unités ainsi choisies, les lois d'Ohm et de Joule<lb/> se traduisent par les formules simples et usuelles :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>RI</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mi mathvariant="script">j</default:mi></default:mfrac><default:msup><default:mi>RI</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:math></p>
<p rend="center">11e leçon</p>
<p rend="left">On introduit souvent dans la formule de la loi d'Ohm<lb/> la <hi rend="underline">force électromotrice</hi><add class="above add" place="above">E</add>, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> le travail effectué dans la<lb/> source pour produire l'unité d'électricité. Les deux<lb/> extrémités du fil conducteur sont en effet réunies par<lb/> une source qui a pour effet de produire la différence ou<lb/> chute de potentiel (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>). le travail effectué pour<lb/> produire la masse 1, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> pour l'élever du potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi><lb/> au potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, est précisément (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>). Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2108"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">133</p>
<p rend="left">Il faut se garder de confondre la force électromotrice et<lb/> la différence de potentiel. Toute différence de potentiel<lb/> suppose une force électromotrice, mais quand il y a une<lb/> force électromotrice, il n'y a pas toujours une différence<lb/> de potentiel. La notion de force électromotrice est donc<lb/> plus générale, comme on le verra dans la théorie de l'induction.<lb/> La loi d'Ohm se traduit alors sous sa forme habituelle :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>RI</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On peut également introduire la force électromotrice<lb/> dans la formule de la loi de Joule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Ces formules s'appliquent à un courant unique tra-<lb/> versant un circuit simple, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> formé de plusieurs<lb/> conducteurs mis bout à bout (en série).</p>
<p rend="left">On peut se poser un problème plus complexe, en consi-<lb/> dérant un circuit multiple, formé de conducteurs rami-<lb/> fiés, dans lesquels sont intercalés des forces électromotrices.<lb/> Dans ce cas, on applique les corollaires de la loi d'Ohm,<lb/> dus à <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12554746j ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12554746j"> Kirchhoff</ref>.</p>
<p rend="left">Considérons un <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> fil</del> <add class="above add" place="above"> circuit</add></subst> ABCDE composé de plusieurs<lb/> conducteurs et contenant diverses forces électromotrices.<lb/> Exprimons la différence de potentiel des 2 extrémités en<lb/> fonction de l'intensité du courant, des diverses résistances</p>
</div>
<p><ptr target="2109"/></p>
<div>134
<p rend="left">et des forces électromotrices, prises positivement ou négativement,<lb/> suivant qu<del class="none del">i</del>' elles relèvent ou abaissent le potentiel dans le<lb/> sens courant : <fig class="bottom fig" place="bottom"> <figdesc>Sous cette ligne, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:msub><default:mo>'</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msub></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:msub><default:mo>'</default:mo><default:mn>3</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msub><default:mi>IR</default:mi><default:mn>4</default:mn></default:msub></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Σ</default:mi><default:mfenced><default:mrow><default:mi>IR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mfenced><default:mo>=</default:mo><default:mi>ΣIR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi>ΣE</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>IΣR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi>ΣE</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">Considérons maintenant un circuit multiple ABCDEF,<lb/> dans lequel sont intercalés des <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> forces électromotrices quelconques<lb/> en des points quelconques.</p>
<p rend="left">Prenons un sommet, A par<lb/> exemple : chacun des fils qui y<lb/> aboutissent est parcouru par<lb/> un courant ; on considère comme positifs ceux qui apportent<lb/> de l'électricité en A, comme négatifs ceux qui en emportent.<lb/> Comme on suppose le régime permanent établi, le potentiel<lb/> du point A est constant, donc la quantité d'électricité qu'il<lb/> reçoit en 1 seconde est nulle. Cette quantité est égale à la<lb/> somme algébrique des intensités des courants aboutissant<lb/> à ce sommet : d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2110"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">135</p>
<p rend="left">On aura autant d'équations de cette forme qu'il y a<lb/> de sommets dans le circuit.</p>
<p rend="left">Prenons maintenant un circuit fermé simple,<lb/> par exemple ABF. On considère comme positifs<lb/> les courants dans le sens ABF, comme négatifs les<lb/> courants de sens contraire. Soient V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> V <hi class="sub hi" rend="sub"> 3</hi> les<lb/> potentiels aux 3 sommets ; on aura pour la portion<lb/> AB : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:munderover><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi></default:mrow></default:munderover><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi>IR</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> pour BF : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>3</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mstyle displaystyle="false"><default:munderover><default:mo>∑</default:mo><default:mi mathvariant="normal">b</default:mi><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi></default:munderover></default:mstyle><default:mfenced><default:mrow><default:mi>IR</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi></default:mrow></default:mfenced></default:math> <lb/> pour FA : <lb/> et pour le circuit total : <lb/> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>Σ</default:mi><default:mo/><default:mi>I</default:mi><default:mi>R</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>Σ</default:mi><default:mi>E</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">On obtient autant d'équations de cette forme qu'on peut<lb/> former de circuits simples fermés avec des portions du<lb/> circuit multiple.</p>
<p rend="left">Seulement toutes ces équations ne sont pas indépen-<lb/> dantes : en effet, tandis que le nombre des équations<lb/> est la somme du nombre des sommets et du nombre<lb/> des circuits simples. Par exemple, dans <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> le</del> <add class="below add" place="below"> un</add></subst> circuit ramifié<lb/> une fois, il y a 3 fils, 2 sommets et 3 circuits simples,<lb/> donc 5 équations pour 3 inconnues. Il y en a donc 2 qui<lb/> sont la conséquence des autres. En effet, les 2 sommets</p>
</div>
<p><ptr target="2111"/></p>
<div>
<p rend="left">136</p>
<p rend="left">donnent lieu à la même équation : <fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> De même, l'équation du 3e circuit<lb/> simple (par ex : ADBE) est la<lb/> conséquence de celles des 2 premiers (ACBD, ACBE).</p>
<p rend="left">Nous avons jusqu'ici considéré les courants continus<lb/> dans des fils. Mais, chaque fois que la distribution<lb/> de l'électricité change dans un conducteur, il se produit<lb/> des courants temporaires. Lorsqu'on met 2 conducteurs<lb/> en communication par un fil, le courant qui suit le fil<lb/> n'est que la résultante des courants qui sillonnent les<lb/> 2 conducteurs.</p>
<p rend="left">Nous traiterons seulement le problème des courants<lb/> continus dans les conducteurs. Pour cela, nous supposons<lb/> le régime permanent établi, et par cuite le potentiel<lb/> constant en chaque point.</p>
<p rend="left">Imaginons un conducteur creux et fermé, dont la surface<lb/> interne S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, est au potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, et la surface externe S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> au poten-<lb/> tiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>. Entre des 2 surfaces, le potentiel varie d'une manière<lb/> continue ; considérons la surface <add class="above add" place="above">S</add> de potentiel V (intermé-<lb/> diaire entre V1 et V2). La force électrique est normale à cette<lb/> surface en chaque point. Détachons-en <add class="above add" place="above">autour du point M</add> un élément ds,<lb/> et construisons sur lui un petit cylindre normal à la</p>
</div>
<p><ptr target="2112"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">137</p>
<p rend="left">surface, de hauteur dn, et terminé par une surface<lb/> équipotentielle infiniment voisine <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>. Appliquons la loi<lb/> d'Ohm à ce petit conducteur : sa résistance est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Donc l'intensité du courant qui le traverse est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Nous définirons l'intensité du courant au point M,<lb/> rapporté à l'unité de surface, par l'équation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dV</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mi>dV</default:mi><default:mi>dn</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Or la force au point M, rapportée à l'unité d’électricité,<lb/> est précisément : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Appliquons la loi de Joule au même petit conducteur.<lb/> La quantité de chaleur qui y est produite est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>ds</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mi>dn</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">J</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Or dn ds est le volume du petit cylindre, soit ds :<lb/> donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi>Q</default:mi><default:mo/><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>t</default:mi><default:mi mathvariant="script">j</default:mi></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:msup><default:mi>F</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>ρ</default:mi></default:mfrac><default:mi>d</default:mi><default:mi>v</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">La quantité d'énergie dissipée en 1 seconde dans ce<add class="below add" place="below">t</add><del class="none del">petit</del><lb/> élément du conducteur est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Proposons-nous de déterminer la résistance totale<lb/> R du conducteur, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> celle d'un fil qui, ayant la même</p>
</div>
<p><ptr target="2113"/></p>
<div>
<p rend="left">138</p>
<p rend="left">différence de potentiel entre ses extrémités, serait traversé<lb/> par le même courant (la même quantité d'électricité par<lb/> seconde). Cette résistance est, en vertu de la loi d'Ohm :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or I, intensité totale du courant, est l'intégrale de Jds<lb/> étendu à une surface équipotentielle quelconque S :<lb/> <lb/> Or <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo/><default:mi>ds</default:mi></default:math> est justement le flux de force F qui traverse<lb/> la surface équipotentielle S. On a donc finalement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo/><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">ρ</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msup><default:mo>-</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:mi mathvariant="script">F</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Signalons une analogie curieuse qui s'établit, par le<lb/> moyen des formules, entre ce problème d'Electrodynamique<lb/> et un problème tout différent d'Electricité statique.<lb/> Imaginons un condensateur ayant pour armatures les<lb/> surface S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, l’intervalle étant rempli par de l'air,<lb/> et cherchons sa capacité C. La charge de l'armature<lb/> interne étant M, on a l'équation (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074"> v. p. 99)</ref> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Or M est l'intégrale de la densité de l'armature : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mo>∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo/><default:mi>ds</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">D'autre part, on sait <add class="above add" place="above">(<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2053 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2053"> p. 78</ref>)</add> que : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>. Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et par suite : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="script">F</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πk</default:mi><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:mfrac></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2114"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">139</p>
<p rend="left">Remarquons que le flux de force est le même que dans<lb/> le problème précédent : multiplions membre à <unclear class="high unclear" cert="high"> membre</unclear> <lb/> les deux formules, celle de R et celle de C :</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>RC</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>= <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Const.</abbr> <expan class="undefined expan"> Constante</expan></choice></p>
<p rend="left">Ainsi la capacité du condensateur est en raison inverse<lb/> de la résistance du conducteur <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> conjugue</del> <add class="above add" place="above"> homologue</add></subst>. Si l'on sait<lb/> calculer la capacité d'un condensateur, on connaîtra<lb/> par la même la résistance d'un conducteur (de matière<lb/> déterminée, ayant une résistance spécifique ρ) qui<lb/> remplirait l'intervalle des deux armatures.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Exemple</hi> : On sait que la capacité d'un condensateur<lb/> sphérique, dont les armatures ont les rayons r<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et r<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>,<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2082 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2082"> p. 107</ref>)</p>
<p rend="left">Pour un conducteur sphérique creux limité par les<lb/> mêmes surfaces ayant les mêmes potentiels V<add class="below add" place="below">1</add> et V<add class="below add" place="below">2</add>,<lb/> la résistance totale au courant sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">De cette analogie en découle une autre entre le flux de<lb/> force et le courant. Pour une surface quelconque menée<lb/> à l'intérieur du conducteur, le flux de force est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> intégrale prise suivant cette surface. D'autre part, l'intensité</p>
</div>
<p><ptr target="2115"/></p>
<div>
<p rend="left">140</p>
<p rend="left">totale du courant qui traverse <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> le conducteur</del> <add class="above add" place="above"> la même surface</add></subst> est égale à :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Si l'on considère une surface qui entoure la surface S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>,<lb/> l'intensité du courant qui la traverse est celle du courant<lb/> qui passe de S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> à S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> ; elle est constante dans toute<lb/> l'épaisseur du conducteur. D'autre part, le flux de force<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkM</default:mi></default:math>, (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2021 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2021"> p. 46</ref>)<lb/> M étant la charge de l'armature interne du condensateur<lb/> homologue. Il est également constant quelle que soit la<lb/> surface considérée.</p>
<p rend="left">Si au contraire on prend une surface qui n'entoure<lb/> pas la cavité du conducteur, le flux de force sera nul,<lb/> et aussi l'intensité du courant qui la traverse : et en<lb/> effet, la quantité d'électricité que le courant y apporte<lb/> est égale à celle qu'il en emporte, de sorte que la somme<lb/> algébrique des quantités d'électricité qui entrent et sortent<lb/> est nulle.</p>
<p rend="left">Une autre analogie est celle qui a suggéré à <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r"> Ohm</ref></persname><lb/> la loi qu'il a découverte et vérifiée ensuite.</p>
<p rend="left">Rappelons les lois de la conductibilité calorifique.<lb/> Soit un corps limité par 2 surfaces S<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> S<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, que l'on<lb/> maintient respectivement aux températures t<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et t<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>.<lb/> Si l'on prolonge l'expérience, un régime permanent</p>
</div>
<p><ptr target="2116"/></p>
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<p class="right p" rend="right">141</p>
<p rend="left">finit par s'établir, de telle sorte qu'en chaque point intérieur<lb/> la température a une valeur constante et déterminée<lb/> (intermédiaire entre t<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et t<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>.), ainsi que la quantité de<lb/> chaleur qui traverse le corps en 1 seconde. Ce régime<lb/> permanent est l'analogue du courant électrique ; la<lb/> température, du potentiel; et les surfaces isothermes, des<lb/> surfaces équipotentielles. Le flux de chaleur en un point<lb/> est donné par la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dt</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> c étant le coefficient de conductibilité, et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi>dt</default:mi><default:mi>dn</default:mi></default:mfrac></default:math><lb/> la dérivée de la température par rapport à la normale à<lb/> la surface isotherme. D'autre part, le flux d’électricité<lb/> dans un conducteur analogue, <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> est</del> <add class="below add" place="below"> au</add></subst> point homologue, est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="script">F</default:mi><default:mi>ρ</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mi>ρ</default:mi></default:mfrac><default:mo/><default:mfrac><default:mrow><default:mi>d</default:mi><default:mi>V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>d</default:mi><default:mi>n</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Posons <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">γ</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>, coefficient de conductibilité électrique :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="script">J</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">γ</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On voit que les deux formules sont de forme identique.<lb/> C'est cette identité, supposée par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403907r"> Ohm</ref>, qui l'a conduit<lb/> à rechercher si la conductibilité électrique obéit aux<lb/> mêmes lois que la conductibilité calorifique.</p>
<p rend="left">Ainsi à tout problème de flux de chaleur corres-<lb/> pond un problème de flux électrique, et par l'intermé-<lb/> diaire de celui-ci, un problème de condensateur. Par<lb/> exemple, pour connaître la quantité de chaleur qui traverse</p>
</div>
<p><ptr target="2117"/></p>
<div>
<p rend="left">142</p>
<p rend="left">un conducteur creux sera donnée par la formule du<lb/> courant électrique, en y remplaçant <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">γ</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> par c,<lb/> et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On ne sait pas grand chose des conductibilités spéci-<lb/> fiques des conducteurs électriques : on n'a pas encore<lb/> trouvé de loi générale qui les relie aux <add class="above add" place="above">autres</add> propriétés<lb/> des divers corps, de manière que, connaissant ces<lb/> propriétés <add class="below add" place="below">pour un corps</add>, on puisse prévoir& calculer sa conductibilité.</p>
<p rend="left">On a remarqué que les corps conducteurs<lb/> de l’électricité sont opaques et ont l'éclat métallique.<lb/> Les corps transparents sont au contraire isolants. Ce<lb/> fait, purement empirique jusqu’ici, dénote une<lb/> corrélation cachée entre l'électricité et la lumière.</p>
<p rend="left">On a aussi remarqué que les corps bons conducteurs<lb/> de la chaleur sont aussi bons conducteurs de l'électricité.<lb/> M. M. <persname> </persname><ref class="http://www.isni.org/0000000108941196 ref" target="http://www.isni.org/0000000108941196"> Wiedemann</ref> et <persname> </persname><ref class="http://isni.org/isni/0000000017483951 ref" target="http://isni.org/isni/0000000017483951 "> Franz</ref> avaient cru pouvoir<lb/> affirmer la proportionnalité des deux conductibilités ;<lb/> mais on a reconnu que cette proportionnalité n'est pas<lb/> exacte. Il n'en est pas moins vrai que les corps se rangent<lb/> dans le même ordre par rapport à<add class="below add" place="below">aux</add><del class="none del">la</del> deux conductibilités,<lb/> de sorte qu'elles croissent en même temps & dans le même sens.</p>
<p rend="left">On a constaté que tous les métaux solides purs ont<lb/> une résistance qui croît quand leur température s'élève,</p>
</div>
<p><ptr target="2118"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">143</p>
<p rend="left">et qui est sensiblement proportionnelle à la tempéra-<lb/> ture absolue. Cette loi n'est pas rigoureuse : la résistance<lb/> de chaque métal éprouve pour 1 degré une variation<lb/> un peu plus ou un peu moins grande que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>273</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Les métaux liquides conduisent moins bien l’électricité,<lb/> ainsi que la chaleur. Mais le mercure solidifié a une<lb/> résistance quatre fois moindre, de sorte qu'il se comporte<lb/> comme les métaux solides.</p>
<p rend="left">Des impuretés, même faibles, altèrent nottablement<lb/> la conductibilité : ainsi les alliages conduisent moins bien<lb/> l'électricité que les métaux purs.</p>
<p rend="left">Toutes ces lois empiriques ne sont pas encore expliquées.<lb/> Pour cela, il faut attendre les progrès de la Chimie, qui<lb/> découvrira peut-être la constitution des corps.</p>
<p rend="center"><hi rend="underline">Des diélectriques</hi> (mot inventé par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref>.)</p>
<p rend="left">La propriété caractéristique des conducteurs est que, dans<lb/> un conducteur dont la charge est en équilibre, le champ<lb/> électrique est nul. Au contraire, dans un diélectrique,<lb/> le champ n'est pas nul en général. Par exemple,<lb/> un électroscope formé de 2 fils métalliques, plongé dans<lb/> un liquide diélectrique (pétrole) <del class="none del">et él</del> diverge quand il est<lb/> électrisé (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> v.</abbr> <expan class="undefined expan"> voir</expan></choice>expérience contraire <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> ds</abbr> <expan class="undefined expan"> dans</expan></choice> l'eau, <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2049 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2049"> p.74</ref>).</p>
<p rend="left">On sait que dans la formule de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2119"/></p>
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<p rend="left">144</p>
<p rend="left">le coefficient <hi rend="underline">k</hi> dépend de la nature du diélectrique.<lb/> En effet, la répulsion de 2 balles électrisées est plus de<lb/> 2 fois moindre dans le pétrole que dans l'air. On<lb/> pourrait mesurer k, pour les liquides, en plongeant<lb/> la balance de Coulomb dans le liquide à étudier ;<lb/> mais ce procédé serait incommode. Il vaut mieux<lb/> employer les formules dérivées de la loi de Coulomb,<lb/> où figure toujours k ; par exemple, la formule de<lb/> la capacité d'un condensateur (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074"> v. p. 99</ref>) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Supposons que cette formule corresponde au cas où le<lb/> diélectrique est l'air ; si on le remplace par un autre<lb/> diélectrique, on aura une autre capacité :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:math> <lb/> Si k est le coefficient relatif à l'air on pose : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:math>.<lb/> Le nombre K est la <hi rend="underline">constante diélectrique</hi> du corps<lb/> employé comme isolant.<lb/> De même qu'un corps conducteur est caractérisé par<lb/> sa résistance spécifique un corps isolant est caractérisé<lb/> par sa constante diélectrique.</p>
<p rend="left">On fait l'expérience avec l'électroscope condensateur</p>
</div>
<p><ptr target="2120"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">145</p>
<p rend="left">qu'on charge, et dont on écarte les plateaux d'une<lb/> quantité fixe : les feuilles divergent. On introduit<lb/> entre les plateaux une lame de paraffine : les feuilles<lb/> se rapprochent : donc la capacité du condensateur a<lb/> augmenté (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>, donc <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> ; <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>).</p>
<p rend="center">12 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Il s'agit de vérifier par expérience l'existence de la constante<lb/> diélectrique, par exemple, en cherchant si la loi de<lb/> Coulomb régit les condensateurs à lame diélectrique<lb/> comme les condensateurs à lame d'air étudiés jusqu'ici.<lb/> On peut notamment vérifier si les capacités de deux<lb/> condensateurs identiques, mais de lames différentes,<lb/> sont dans un rapport constant.</p>
<p rend="left">1° <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13538765h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13538765h"> Cavendish</ref> a eu le premier la notion des capacités<lb/> électriques, et l'idée de les comparer de la manière<lb/> suivante. Soient deux condensateurs identiques AB,<lb/> A'B' ; on porte les armatures A, A' au potentiel V,<lb/> et les armatures B, B' au potentiel 0 ; on réunit les<lb/> armatures en croix (AB', BA') et sur l'un des fils<lb/> de communication on place sur électroscope. Si les<lb/> capacités sont égales, les charges s'équilibrent, et<lb/> il ne passera pas d'électricité : l’électroscope ne diver-<lb/> gera pas. Ayant ainsi un criterium d'égalité pour</p>
</div>
<p><ptr target="2121"/></p>
<div>
<p rend="left">146</p>
<p rend="left">les capacités, on pourra mesurer la capacité d'un conden-<lb/> sateur donné en la comparant à des capacités connues<lb/> et graduées. <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13538765h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13538765h"> Cavendish</ref></persname> a eu le premier l'idée d'employer<lb/> un répertoire de capacités analogue à une boîte de poids.<lb/> Mais cette méthode donnerait dans la pratique de médiocres<lb/> résultats.</p>
<p rend="left">2° Méthode de Faraday. Soient deux conducteurs de<lb/> capacités C et C', respectivement aux potentiels V et O.<lb/> Mettons-les en communication ; ils prennent le potentiel<lb/> commun <hi rend="underline">x</hi>. Leur charge étant la même, on a l'équation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>CV</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:math> <lb/> Si , <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Inversement, si le potentiel diminue de moitié, c'est<lb/> que les 2 capacités sont égales. Dans tous les cas, le<lb/> rapport du nouveau potentiel x à l'ancien V est égal<lb/> au rapport de C à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>, et donne par suite le<lb/> rapport de C à C'.</p>
<p rend="left">Pour constater que le potentiel du 1er conducteur<lb/> a varié dans un certain rapport, il suffit de constater<lb/> que la densité électrique en un même point de sa surface<lb/> a varié dans le même rapport. Par exemple, on prendra<lb/> 2 condensateurs sphériques, l'un A à lame d'air,<lb/> l'autre B à lame diélectrique ; on charge A, et on le</p>
</div>
<p><ptr target="2122"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">147</p>
<p rend="left">touche avec un plan d'épreuve ; on met ensuite <add class="above add" place="above">A</add> en contact<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> A et</del> <add class="below add" place="below"> avec</add></subst> B (à l'état neutre) et l'on touche A avec un autre<lb/> plan d'épreuve. On porte les deux plans d'épreuve dans<lb/> la balance de Coulomb, pour mesurer leurs charges :<lb/> le rapport de ces charges est celui des densités et par<lb/> conséquent des potentiels V et <hi rend="underline">x</hi>.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname> employait des condensateurs sphériques,<lb/> mais il ne remplissait que la moitié de la cavité avec<lb/> le diélectrique à étudier (soit une calotte hémisphérique).<lb/> Il admettait que l'effet du diélectrique était la moitié<lb/> de celui qu'il aurait produit s'il avait rempli toute la<lb/> cavité ; hypothèse assez incorrecte. Il constate que tous<lb/> les diélectriques augmentent la capacité d'un conden-<lb/> sateur à lame d'air. Leurs constantes diélectriques<lb/> sont donc supérieures à <unclear class="high unclear" cert="high"> 1</unclear>.</p>
<p rend="left">3° Pour vérifier la constance de K, évaluons l'attrac-<lb/> tion exercée par une plateau du condensateur sur l'autre.<lb/> La tension électrique étant donnée par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">τ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> la force qui s'exerce sur la surface S du plateau est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:msup><default:mi>πμ</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">Soient V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> les potentiels des 2 armatures, <hi rend="underline">d</hi> leur<lb/> distance ; la densité a pour expression :</p>
</div>
<p><ptr target="2123"/></p>
<div>
<p rend="left">148</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et par suite la force :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi><default:mrow><default:mn>8</default:mn><default:mi>πk</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:msup><default:mfenced><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mfrac></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math></p>
<p rend="left">Si l'on remplace l'air par un autre diélectrique, auquel<lb/> correspond (par hypothèse) une autre constante k', on aura<lb/> une autre force : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>8</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> Donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">On vérifie l’hypothèse en constatant que le rapport des<lb/> forces est constant, quelles que soient les différences de<lb/> potentiel et la distance.</p>
<p rend="left">Ainsi, si <del class="none del">l'on</del> dans un condensateur à plateaux<lb/> on remplace l'air (ou le vide) par un diélectrique,<lb/> le rapport de l'attraction nouvelle à l'ancienne est<lb/> constant, et égal à la constante de ce diélectrique.</p>
<p rend="left">C'est là le principe de plusieurs méthodes destinées à<lb/> mesurer les constantes diélectriques des liquides.</p>
<p rend="left">4° On peut recourir à la formule de l'énergie électrique :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:math><lb/> où le coefficient k n’intervient pas directement, mais<lb/> par la charge. Si dans un condensateur on remplace<lb/> l'air par un diélectrique, on change sa capacité, donc<lb/> sa charge ( à potentiel égal), et par suite son énergie :</p>
</div>
<p><ptr target="2124"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">149</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi>CV</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math> <lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" class="mathml"><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math></p>
<p rend="left">Pour mesurer les énergies ou du moins leur rapport,<lb/> on peut employer le thermomètre de Riess (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2099 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2099"> p.124</ref>).</p>
<p rend="left">En résumé, toutes les formules obtenues pour les<lb/> condensateurs peuvent servir à mesurer les constantes<lb/> diélectriques. Elles prouvent en même temps l'existence<lb/> de ces constantes, et par conséquent l'existence <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> de la</del> <add class="below add" place="below"> d'une</add></subst><lb/> constante k propre à chaque diélectrique, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> càd</abbr> <expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que<lb/> les diélectriques obéissent à la loi de Coulomb.</p>
<p rend="left">Nous avons toujours considéré jusqu’ici le cas d'un seul<lb/> milieu diélectrique. Et en effet, dans un condensateur<lb/> fermé, le diélectrique intérieur seul importe, puisque<lb/> le système est absolument indépendant de l'extérieur.</p>
<p rend="left">Dans le cas de plusieurs diélectriques différents,<lb/> la loi de Coulomb n'est plus applicable, car elle a été<lb/> établie pour un milieu homogène. Elle ne <add class="above add" place="above">peut</add> nous apprendre<lb/> <del class="none del">pas</del> ce qui <subst class="undefined subst"> <del class="overtyped del" rend="overtyped"> se passe</del> <add class="above add" place="above"> arrive</add></subst> quand on passe d'un diélectrique<lb/> dans un autre.</p>
<p rend="left">Considérons un condensateur à plateaux, dont la<lb/> distance est <hi rend="underline">d</hi> ; interposons une lame diélectrique<lb/> d'épaisseur <hi rend="underline">e</hi>, parallèlement aux plateaux. L'expérience<lb/> montre que :</p>
</div>
<p><ptr target="2125"/></p>
<div>
<p rend="left">150</p>
<p rend="left">1° L'effet est indépendant de la position du diélectrique<lb/> (lors même qu'il est en contact avec l'une ou l'autre des<lb/> armatures) ;<lb/> 2° L'effet est le même que si l'on rapprochait les plateaux<lb/> de la distance : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Nous avons trouvé que, dans le cas où la <unclear class="high unclear" cert="high"> lame </unclear> d'air<lb/> est entièrement remplacée par une lame diélectrique, la<lb/> capacité est multipliée par K, ce qui revient à diviser<lb/> par K la distance des 2 armatures (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2119 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2119"> p.144</ref>). Ainsi<lb/> une lame diélectrique interposée entre les plateaux du<lb/> condensateur produit le même effet, qu'elle remplisse<lb/> ou non l’intervalle.</p>
<p rend="left">Dans le condensateur primitif (à lame homogène)<lb/> la distribution du potentiel entre les 2 plateaux était<lb/> linéaire, les surfaces de niveau étaient équidistantes.<lb/> Dans le nouveau condensateur, les surfaces de niveau<lb/> sont encore équidistantes dans l'air, d'une part, et<lb/> dans la lame diélectrique, d'autre part ; mais, comme<lb/> la lame correspond à une couche d'air d'épaisseur <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>,<lb/> la distance des surfaces équipotentielles à son intérieur<lb/> est égale à leur distance dans l'air multipliée par K.</p>
<p rend="left">Or on sait que : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dV</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dn</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> dn étant la distance de 2 surfaces équipotentielles</p>
</div>
<p><ptr target="2126"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">151</p>
<p rend="left">dont la différence de potentiel est dV, augmente dans<lb/> le rapport K ; donc la force exercée à l'intérieur de<lb/> la lame sur l'unité d'électricité est réduite dans<lb/> la même rapport K. Elle est d'ailleurs constante<lb/> dans toute l'épaisseur de la lame.</p>
<p rend="left">Ainsi la force varie brusquement d'un côté à<lb/> l'autre de la surface de séparation de 2 diélectriques.<lb/> <unclear class="medium unclear" cert="medium"> On va</unclear> la faire rentrer dans le cas d'application de la<lb/> loi Coulomb au moyen d'un artifice.</p>
<p rend="left">Lorsqu'on traverse la surface d'un conducteur,<lb/> on sait que la composante normale de la force varie<lb/> brusquement de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Quand on traverse la surface d'un diélectrique,<lb/> la force, qui à l'extérieur (dans l'air ou dans le vide)<lb/> était F, devient <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> L'effet produit est donc le même que si l'on rempla-<lb/> çait le diélectrique par un conducteur portant une<lb/> distribution d'électricité dont la densité μ' serait<lb/> déterminée par l'équation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πk</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mfrac></default:math><lb/> le coefficient k correspondant au milieu extérieur.<lb/> Seulement, ce n'est là qu'une fiction, car il n'y a pas<lb/> d'électricité à la surface d'un diélectrique, comme on</p>
</div>
<p><ptr target="2127"/></p>
<div>
<p rend="left">152</p>
<p rend="left">peut s'en assurer avec un plan d'épreuve. Mais cette<lb/> fiction permet de ramener les problèmes de diélectriques<lb/> aux problèmes de conducteurs, auxquels s'applique<lb/> la loi de Coulomb. Ce n'est qu'une traduction analytique<lb/> des lois expérimentales, destinée à les soumettre au calcul.<lb/> Grâce à cet artifice, on ramène le cas de plusieurs<lb/> diélectriques au cas d'un seul.</p>
<p rend="left">Par exemple, les théorèmes relatifs au flux de force<lb/> subsistent encore dans cette hypothèse. Considérons<lb/> en effet un élément <hi rend="underline">ds</hi> de la surface d'un diélectrique :<lb/> circonscrivons-lui un cylindre normal terminé par<lb/> deux surfaces équipotentielles infiniment voisines. Le<lb/> flux de force qui traverse la face externe est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math>, celui<lb/> qui traverse la face interne est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">κ</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math> ; celui qui traverse<lb/> la surface latérale du cylindre est nul. Le flux de force<lb/> totale qui pénètre dans le cylindre n'est pas nul :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">κ</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">κ</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">κ</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Mais, en vertu de la fiction, on doit supposer que la<lb/> surface du diélectrique porte une distribution μ',<lb/> donc la charge fictive de l'élément ds est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:math>.<lb/> Or la densité μ' est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πk</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo>·</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Κ</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Κ</default:mi></default:mfrac></default:math><lb/> On a donc identiquement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Κ</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Κ</default:mi></default:mfrac><default:mi>Fds</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkμ</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:math></p>
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<p><ptr target="2128"/></p>
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<p class="right p" rend="right">153</p>
<p rend="left">formule du théorème du flux de force (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2021 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2021"> p. 46</ref>).</p>
<p rend="left">Les propositions précédentes fournissent une méthode<lb/> très commode pour déterminer la constante des<lb/> diélectriques solides : car on n'est pas obligé de remplir<lb/> tout l'intervalle des armatures avec la lame diélectrique<lb/> (dont le frottement électriserait les plateaux).</p>
<p rend="left">Cherchons maintenant comment varie le champ<lb/> électrique à l'intérieur d'un diélectrique. En vertu<lb/> de l'hypothèse précédente, et si elle est bien conforme<lb/> aux faits, la composante normale de la force doit<lb/> varier de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> en traversant la surface du diélectrique.</p>
<p rend="left">Soit F la force dans le champ extérieur, X sa<lb/> composante tangentielle, Y sa composante normale.<lb/> On doit supposer que celle-ci varie dans le rapport <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> comme dans le cas du condensateur ; on doit donc<lb/> avoir : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mi mathvariant="normal">Κ</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mn>4</default:mn><default:mi>πkμ</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mi mathvariant="normal">Κ</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">La composante X restant la même, les lignes de force<lb/> se réfractent en traversant la surface du diélectrique.<lb/> Calculons leur loi de réfraction ; soit <hi rend="underline">i</hi> leur angle<lb/> d'incidence, r l'angle de réfraction :<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mrow><default:munder accentunder="true"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow><default:mo>̲</default:mo></default:munder><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi>tg</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:math><lb/> D'où l'on tire :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mtext>tgr</default:mtext><default:mtext>tgi</default:mtext></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mtext>Y</default:mtext><default:mtext>Y'</default:mtext></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mtext>K</default:mtext></default:math></p>
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<p><ptr target="2129"/></p>
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<p rend="left">154</p>
<p rend="left">Il est difficile de vérifier directement cette formule.<lb/> Mais on peut pousser plus loin les déductions fondées<lb/> sur l'hypothèse, et en tirer des conséquences vérifiables.<lb/> Par exemple, <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12095244p ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12095244p"> Boltzmann</ref></persname> a calculé l'action d'une<lb/> grosse sphère conductrice électrisée sur une petite sphère<lb/> diélectrique (c'est le problème du pendule électrique).</p>
<p rend="left">Il a trouvé que le rapport de l'attraction exercée est<lb/> à celle qui subirait une petite sphère conductrice<lb/> de même volume et de même position dans le rapport<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> Ainsi l'attraction exercée sur un diélectrique est moindre<lb/> que celle qui s'exerce sur un conducteur dans les mêmes<lb/> conditions.</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12095244p ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12095244p"> Boltzmann</ref>, admettant la vérité de cette formule,<lb/> a mesuré par ce procédé diverses constantes diélectriques,<lb/> et a trouvé des résultats conformes à ceux qu'on avait<lb/> obtenus par d'autres méthodes. C'est <subst class="undefined subst"> <del class="none del">donc</del> <add class="above add" place="above">là</add></subst> une vérifica-<lb/> tion <add class="above add" place="above">très délicate</add> de l'hypothèse d'où l'on est parti.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12095244p ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12095244p"> Boltzmann</ref></persname> a ainsi étudié certains corps qu'on obtient<lb/> que sous forme de petits cristaux, en taillant de petites<lb/> sphères dans un cristal de soufre, par ex. Il a trouvé qu'un<lb/> cristal a 3 constantes diélectriques différentes suivant ses<lb/> 3 axes principaux. On sait que les cristaux ont aussi 3</p>
</div>
<p><ptr target="2130"/></p>
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<p class="right p" rend="right">155</p>
<p rend="left">constantes élastiques et 3 indices de réfraction. C'est là<lb/> une analogie très intéressante.</p>
<p rend="left">Jusqu'ici nous avons nettement distingué deux<lb/> classes de corps : les conducteurs et les diélectriques.<lb/> Or, en dehors de l'air parfaitement sec, il n'y a pas<lb/> de corps absolument isolant. Dans un bon diélectrique,<lb/> comme le pétrole, un condensateur se décharge lente-<lb/> ment. Si l'on essaie d'électrolyser <subst class="undefined subst"> <del class="none del">le</del> <add class="below add" place="below">un</add></subst> pétrole conducteur,<lb/> sa conductibilité diminue, ce qui fait supposer qu'elle<lb/> tient à des impuretés.</p>
<p rend="left">On peut mesurer à la fois la constante diélectrique<lb/> et la conductibilité d'un diélectrique imparfait, qui<lb/> forme la lame isolante d'un condensateur. Supposons<lb/> le diélectrique parfait, et remplaçons-le par un fil de<lb/> grande résistance R qui relie les 2 armatures. Plaçons<lb/> ce condensateur imparfait en série avec un condensateur<lb/> parfait (à lame d'air) dans le circuit d'une pile : on<lb/> ferme le circuit pendant un temps très court t (au moyen<lb/> d'un commutateur automatique). Soient V et V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> les<lb/> potentiels des armatures du condensateur à air, V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi><lb/> ceux des armatures du mauvais condensateur. La<lb/> charge du 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">La charge du 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> sera égale à celle du 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi>, mais elle</p>
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<p><ptr target="2131"/></p>
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<p rend="left">156</p>
<p rend="left">comprend, outre la charge fixe, la quantité d'électricité<lb/> qui s'est écoulée par le fil pendant le temps t :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:math>.<lb/> En supposant que la résistance du circuit extérieur est<lb/> négligeable (fils gros et courts), la force électromotrice<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">E</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> On décharge le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> condensateur, et l'on mesure sa charge<lb/> M ; connaissant connaissant sa capacité C, on calcule <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math> ;</p>
<p rend="left">D'autre part, connaissant E, on en tire <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math> ;<lb/> enfin l'on connaît <hi rend="underline">t</hi>. Il reste 2 inconnues, C' et R.<lb/> On les déterminera en faisant 2 expériences de durée<lb/> différente. Au moyen de C' on calcule K, constante<lb/> diélectrique de la lame isolante ; au moyen de R, on<lb/> calcule sa résistance spécifique ρ.</p>
<p rend="left">La plupart des expérimentateurs ont disposé les appareils<lb/> de telle sorte que <hi rend="underline">t</hi> soit négligeable, et par suite aussi<lb/> la quantité d'électricité qui fait par le mauvais<lb/> diélectrique. Ils obtenaient ainsi C' et par suite K<lb/> seulement. Mais cette méthode est moins rigoureuse<lb/> et ne donne pas la conductibilité du diélectrique.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref></persname> a été conduit par des considérations<lb/> théoriques à énoncer une relation curieuse entre la<lb/> constante diélectrique K d'un corps et son indice de réfraction</p>
</div>
<p><ptr target="2132"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">157</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">n</hi> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:msup><default:mtext>K=n</default:mtext><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:math>.<lb/> Mais cette relation n'est pas vérifiée par l'expérience.<lb/> Elle <subst class="undefined subst"><del class="none del"> est</del> <add class="above add" place="above">paraît</add></subst> vraie pour les gaz, dont les constantes diélectriques<lb/> sont toutes très voisines de 1. Mais comme leurs<lb/> indices de réfraction sont aussi fort voisines de 1,<lb/> les mesures sont peu exactes et la vérification est peu<lb/> probante.</p>
<p rend="left">Pour les liquides communs, l'indice de réfraction<lb/> varie entre 1,33 et 1,5. Leurs constantes diélectriques<lb/> ne varient guère plus, et sont bien de l'ordre de n<hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi>.<lb/> Seulement, l'ordre des K croissants n'est pas exacte-<lb/> ment le même que celui des <hi rend="underline">n</hi> croissants, de sorte<lb/> que la loi n'est pas rigoureuse. Enfin, pour les<lb/> mauvais diélectriques, elle n'est plus du tout vraie :<lb/> par exemple l'eau a pour indice de réfraction <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1,33</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> :<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">et</del> <add class="above add" place="above">or</add></subst> sa constante diélectrique est environ 80 (de 78 à 82).</p>
<p rend="left">En revanche, la loi est plus exacte quand on prend<lb/> pour <hi rend="underline">n</hi> l'indice de réfraction des ondulations élec-<lb/> triques (et non plus lumineuses). Il semble donc que<lb/> la relation : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">n</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:math> soit plutôt applicable<lb/> aux oscillations hertziennes, dont on parlera plus tard.</p>
<p rend="left">La constante diélectrique d'un corps varie très peu<lb/> (comme son indice de réfraction). Ainsi celle du mica</p>
</div>
<p><ptr target="2133"/></p>
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<p rend="left">158</p>
<p rend="left">(qui sert d'isolant dans les condensateurs étalons) est 8.<lb/> Or il n'a pas de conductibilité sensible à la température<lb/> ordinaire, tandis qu'à 400° sa conductibilité devient<lb/> nottable (800 à 1000 fois plus grande). Sa constante<lb/> diélectrique reste au contraire la même.</p>
<p rend="left">De même, la conductibilité de la glace à 0° est déjà<lb/> beaucoup plus faible que celle de l'eau, et elle diminue<lb/> énormément avec la température ; mais la glace à<lb/> -23° a encore la même constante diélectrique que l'eau.</p>
<p class=" left p" rend="left">Les sels en dissolution (électrolytes) sont conducteurs.<lb/> Solides, ils sont bien moins conducteurs, et deviennent<lb/> diélectriques en se refroidissant.</p>
<p rend="left">Dans ce cas, on ne peut plus <unclear class="medium unclear" cert="medium"> alléger</unclear> les impuretés :<lb/> il faut donc bien admettre que le sel lui-même est<lb/> à la fois conducteur et diélectrique, à l'état pur.</p>
<p rend="left">En résumé, pour une durée suffisamment courte,<lb/> tous les corps sont diélectriques : pour une durée<lb/> suffisamment longue, ils sont tous conducteurs. La<lb/> différence des conducteurs et des diélectriques n'est<lb/> donc qu'une affaire de temps.</p>
</div>
<p><ptr target="2134"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">159</p>
<p rend="center">13<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon<lb/> Machines électriques.</p>
<p rend="left">Les machines électriques sont des appareils destinés à<lb/> produire entre des conducteurs une certaine différence de<lb/> potentiel.</p>
<p rend="left">Si l'on dispose d'une différence de potentiel, si faible<lb/> qu'elle soit, on peut par un travail mécanique obtenir une<lb/> différence de potentiel aussi grande qu'on veut.</p>
<p rend="left">Soit <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math> la différence de potentiel dont on dispose. On<lb/> l'emploie à charger un condensateur à plateaux dont la distance<lb/> (très petite) est ε. La charge correspondante est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Puis on sépare les plateaux et on les éloigne à l'infini (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/> assez pour que leur influence mutuelle soit négligeable).<lb/> Soit C la capacité d'un plateau seul ; son potentiel <hi rend="underline">x</hi><lb/> est déterminé par la relation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>Cx</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">ε</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> De même, l'autre plateau prend le potentiel -x ;<lb/> leur différence de potentiel est donc 2x :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi>πkεC</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math><lb/> On voit que son rapport à l'ancienne différence de<lb/> potentiel est d'autant plus grand que ε est plus petit.<lb/> Pour un plateau circulaire, on a :</p>
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<p><ptr target="2135"/></p>
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<p rend="left">160</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo stretchy="false">÷</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mn>2x</default:mn><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Le travail mécanique est celui qu'on dépense en éloignant<lb/> les 2 plateaux malgré leur mutuelle attraction. Mais<lb/> le travail mécanique ne peut produire d'électricité par<lb/> lui-même, si l'on n' a pas une différence de potentiel.</p>
<p rend="left">Reste à trouver des différences de potentiel données,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> des sources naturelles d’électricité.</p>
<p rend="center">Expérience de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb144246860 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb144246860"> Galvani</ref></persname> sur la grenouille.<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
<p rend="left">Où est la source d'électricité dans le circuit<lb/> ABC formé par les 2 fils de cuivre et de zinc<lb/> et la grenouille ? Selon <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb144246860 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb144246860"> Galvani</ref></persname>, c'était dans les tissus<lb/> de la grenouille ; et cette opinion est plausible, car il y a<lb/> des animaux qui produisent l'électricité (torpille,<lb/> gymnote). Selon <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t"> Volta</ref></persname>, c'était dans le contact A<lb/> des 2 métaux : la grenouille jouait le rôle d'un<lb/> simple conducteur, ou d'un électroscope. Enfin, selon<lb/> <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12148709d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12148709d"> Fabroni</ref>, c'était au contact des métaux avec les<lb/> tissus baignés de liquides organiques (en B et C) ; et <lb/> en effet, il est possible qu'il <subst class="undefined subst"><add class="above add" place="above">s'y</add><del class="none del">se</del> </subst> produit une action<lb/> chimique capable d'engendrer un courant (comme le<lb/> prouve l'exemple des piles chimiques).</p>
<p rend="left">Mais <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t"> Volta</ref></persname> n'avait pas tort non plus, car il parvint</p>
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<p><ptr target="2136"/></p>
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<p class="right p" rend="right">161</p>
<p rend="left">à produire de l'électricité sans réaction chimique ni<lb/> tissu organique, en touchant son électroscope condensateur<lb/> avec le cuivre d'une lame bimétallique dont on tient<lb/> le zinc à la main. Pourtant, les partisans de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12148709d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12148709d"> Fabroni </ref><lb/>pouvaient <unclear class="medium unclear" cert="medium"> alléger</unclear> l'action chimique de la main de<lb/> l'opérateur sur le zinc.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb124038033 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb124038033"> Péclet</ref></persname> et <persname> <ref class="http://www.idref.fr/087686287 ref" target="http://www.idref.fr/087686287"> Pfaff</ref></persname> ont encore simplifié l'expérience :<lb/> l'arc bimétallique se termine par des plateaux<fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> des mêmes métaux, placés l'un en face de l'autre<lb/> et très rapprochés : ils se chargent ; si l'on<lb/> supprime le contact des plateaux avec l'arc et<lb/> qu'on les éloigne l'un de l'autre, on les trouve chargés<lb/> d'électricité contraire. Ici aucune action organique ou<lb/> chimique n'intervient plus. Mais il y a encore un<lb/> intermédiaire, l'air. Or <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f"> M. Pellat</ref></persname> a montré que la charge<lb/> des plateaux et par suite leur différence de potentiel n'est<lb/> pas tout à fait la même quand on opère dans le vide<lb/> ou dans un autre gaz que l'air. Il faut donc tenir<lb/> compte de l'influence du diélectrique.</p>
<p rend="left">On a essayé de composer le circuit avec 2 métaux seule-<lb/> ment, en sondant aux deux bouts un arc de cuivre et un<lb/> arc de zinc. Mais on n'a ainsi obtenu aucun courant.<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t"> Volta</ref></persname> expliquait simplement ce fait en disant que les</p>
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<p rend="left">162</p>
<p rend="left">forces électromotrices produites par les deux soudures, étant<lb/> égales ou contraires, se neutralisent mutuellement. De<lb/> même, dans une chaîne formée de plusieurs métaux,<lb/> chaque métal étant à un potentiel constant, la somme <add class="below add" place="below">algébrique</add><lb/> des différences de potentiel est nécessairement nulle, et<lb/> par suite la force électromotrice du circuit. C'est ce que<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486203t"> Volta</ref></persname>appelait la <hi rend="underline">loi des tensions</hi> (Il appelait tension<lb/> ce que nous nommons potentiel).</p>
<p rend="left">On lui a objecté que les forces électromotrices qu'il<lb/> supposait à chaque contact de métaux différents, ne<lb/> pouvaient exister, attendu qu'un contact ne <subst class="undefined subst"> <del class="none del">peut produire</del> <add class="above add" place="above"><del class="none del">produit</del></add><add class="below add" place="below">fournit</add></subst><lb/> pas de travail ; mais c'est abuser du principe de l'équi-<lb/> valence, qui n'a de valeur qu'en Thermodynamique.</p>
<p rend="left">On sait que si, dans une chaîne de plusieurs<lb/> métaux soudés, on chauffe une des soudures, on produit<lb/> un courant, ce qui n'arrive pas quand on chauffe un<lb/> seul métal. Ce fait suffit à prouver que la soudure<lb/> est le siège d'une force électromotrice. Quand toutes<lb/> les soudures sont à la même température, Les forces<lb/> électromotrices se neutralisent, comme on vient de le dire ;<lb/> mais si l'on chauffe une des soudures, on augmente sa<lb/> force électromotrice et l'on détruit l'équilibre. Ce fait met<lb/> donc en évidence la différence de potentiel de deux corps</p>
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<p><ptr target="2138"/></p>
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<p class="right p" rend="right">163</p>
<p rend="left">hétérogènes en contact.</p>
<p rend="left">Il y a aussi des forces électromotrices au contact d'un<lb/> corps conducteur et d'un diélectrique : car l'expérience<lb/> de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f"> M. Pellat</ref></persname> prouve l'influence du diélectrique gazeux<lb/> sur le courant produit par les 2 métaux soudés.</p>
<p rend="left">Le potentiel étant constant dans chaque conducteur<lb/> homogène, il faut qu'il varie dans la surface de contact ;<lb/> aussi <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119071971 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb119071971"> Helmholz</ref></persname> la considère-t-il comme un condensateur.<lb/> Cette surface est en réalité une couche d'épaisseur molécu-<lb/> laire où les les 2 métaux sont modifiés et confondus. Le<lb/> zinc par ex. a une charge positive et un potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> ;<lb/> le cuivre a une charge négative et un potentiel <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false"><</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> De même que les charges s'accumulent dans les deux<lb/> plateaux, de même elles s'accumulent dans la couche<lb/> intermédiaire des 2 métaux. Pour expliquer que les deux<lb/> charges contraires et si voisines ne se réunissent pas, il<lb/> faut admettre que chaque métal attire l'électricité dont<lb/> il est chargé plus que les 2 électricités ne s'attirent<lb/> entre elles. Cela est conforme à la théorie unitaire, où l'on<lb/> tient compte de l'attraction de la matière sur l'électricité.</p>
<p rend="left">Voilà tout ce qu'on sait sur la force électromotrice due<lb/> au contact. Elle est néanmoins le principe des <hi rend="underline">machines</hi><lb/> <hi rend="underline">électriques à frottement</hi>, dont la machine de Ramsden est le <add class="below add" place="below">type</add>.</p>
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<p><ptr target="2139"/></p>
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<p rend="left">164</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Machine de Ramsden</hi>. Pour simplifier, imaginons qu'au<lb/> lieu d'embrasser le plateau de verre avec des peignes le<lb/> conducteur l'enveloppe et soit en contact avec lui. Le<lb/> contact du verre et du coussin développe une force électro-<lb/> motrice ; le<add class="below add" place="below">s</add><subst class="undefined subst"><del class="none del"> contact du plateau avec le conducteur</del> <add class="below add" place="below">surfaces en contact</add></subst> forment<lb/> le condensateur : si on les éloigne l'un de l’autre, ils<lb/> seront portés à un haut potentiel. Mais pour cela, il<lb/> faut que l'un des corps soit diélectrique : car s'ils étaient<lb/> tous deux conducteurs, comme on ne peut les séparer<lb/> instantanément, l<add class="below add" place="below">es</add> électricités contraires s'écoulent et se<lb/> réunissent par le dernier point de contact. Quand<lb/> on tourne le plateau de <add class="below add" place="below">verre,</add> il reste chargé d'électricité à un<lb/> haut potentiel V, et passe à l'intérieur du conducteur,<lb/> auquel il cède sa charge, jusqu'à ce que le conducteur<lb/> arrive lui-même au potentiel <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">ε</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> (ε étant la différence<lb/> de potentiel maxima entre le verre et le conducteur).</p>
<p rend="left">Le travail mécanique est dépensé à séparer le verre<lb/> du coussin qui l'attire ; mais il est beaucoup plus faible<lb/> que celui qui provient du frottement.</p>
<p rend="left">Les peignes qui terminent le conducteur sont destinés<lb/> à permettre l'échange des électricités et la neutralisation<lb/> du plateau, tout en supprimant le contact et par suite le<lb/> frottement.</p>
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<p><ptr target="2140"/></p>
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<p class="right p" rend="right">165</p>
<p rend="left">La théorie des <hi rend="underline">machines électriques à influence</hi> est<lb/> plus simple et plus claire. Nous prendrons pour type<lb/> le <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> <hi class="underline hi" rend="underline"> replenisher</hi></foreign> de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> lord Kelvin</ref></persname>, qui se compose essen-<lb/> tiellement de 3 organes, tous conducteurs : 1° les porteurs ;<lb/> 2° les inducteurs ; 3° les récepteurs.</p>
<p rend="left">Les porteurs sont des sphères A, B portées<fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> par un levier qui tourne dans un plan<lb/> vertical. Quand le levier est horizontal,<lb/> elles viennent toucher des balais qui les<lb/> mettent en communication avec le sol.</p>
<p rend="left">En face de cette position horizontale<lb/> se trouvent les inducteurs I, I', qui sont<lb/> des sphères électrisées au préalable en sens<lb/> contraire. Un peu plus loin (dans le sens de la rotation)<lb/> se trouvent les récepteurs R, R', qui communiquent<lb/> respectivement avec les inducteurs opposés, et qui<lb/> portent des ressorts que les sphères A, B viennent toucher<lb/> en tournant. Cela posé, et I étant électrisé positivement,<lb/> A s'électrise négativement sous l'influence de I en<lb/> passant auprès (l’électricité positive s'écoule dans le sol),<lb/> et il se décharge aussitôt sur R. Il augmente ainsi<lb/> la charge négative de R et par suite de I' ; en même temps<lb/> B, se déchargeant sur R', augmente la charge positive <add class="below add" place="below">de I</add></p>
</div>
<p><ptr target="2141"/></p>
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<p rend="left">166</p>
<p rend="left">A et B étant déchargés, le même phénomène se produit<lb/> quand ils viennent passer I' et I, et avec plus<lb/> d'intensité. On peut calculer l'augmentation de potentiel<lb/> à chaque demi-tour. Soit C la capacité de chacun des<lb/> systèmes (symétriques) <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>. Soient V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi><lb/> les potentiels primitifs des inducteurs I, I'. Leurs<lb/> charges primitives seront respectivement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi>CV</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi>CV</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Les porteurs, étant au potentiel 0, reçoivent des charges<lb/> proportionnelles aux potentiels des inducteurs :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math><lb/> puis ils les communiquent aux récepteurs, dont les<lb/> charges deviennent en conséquence :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi>CV</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi>aV</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>CV</default:mi></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mi>CV</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>CV</default:mi></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math><lb/> V' <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, V' <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> étant les nouveaux potentiels de I, I' ; d'où :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi la différence de potentiel après un demi-tour<lb/> est égale à la précédente multipliée par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">a</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">></default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Elle croît donc en progression géométrique ; et d'autant<lb/> plus rapidement que C est plus petit et <hi rend="underline">a</hi> plus grand.</p>
<p rend="left">Une telle machine est réversible : si on la fait tourner</p>
</div>
<p><ptr target="2142"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">167</p>
<p rend="left">en sens inverse, on diminue la différence de potentiel<lb/> en déchargeant progressivement les récepteurs, de sorte<lb/> qu'on peut obtenir telle différence de potentiel qu'on<lb/> veut. En même temps, on recouvre du travail au lieu<lb/> d'en dépenser, <subst class="undefined subst"> <del class="none del">à cause de</del> <add class="above add" place="above">parce que</add></subst> l'attraction des inducteurs sur<lb/> les porteurs favorise le mouvement au lieu de le contrarier.</p>
<p rend="left">Il en résulte qu'une machine électrique de ce genre<lb/> peut, grâce à la réversibilité, devenir un moteur électrique.<lb/> En effet, si l'on accouple les récepteurs de 2 machines<lb/> semblables, et qu'on fasse tourner l'une dans le sens<lb/> direct, elle consommera du travail et produira de l'élec-<lb/> tricité ; l'autre se mettra à tourner en sens inverse, en<lb/> perdant de l'électricité et en produisant du travail.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> Lord Kelvin</ref></persname> a imaginé une machine de ce genre qui<lb/> fonctionne automatiquement, au moyen d'un appareil<lb/> à écoulement : les inducteurs et les récepteurs<fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> sont des tubes cylindriques dans lesquels<lb/> tombent les gouttes d'eau qui jouent le<lb/> rôle de porteurs. Les gouttes, en communication<lb/> avec le sol par le robinet, s'électrisent en<lb/> traversant le tube inducteur, et cèdent leur<lb/> charge au tube récepteur terminé par un<lb/> entonnoir. Le travail mécanique est ici effectué par la pesanteur.</p>
</div>
<p><ptr target="2143"/></p>
<div>
<p rend="left">168</p>
<p rend="left">Nous nous dispenserons de faire la théorie de la machine<lb/> de Holtz, qui est fondée sur le même principe. Les<lb/> inducteurs sont les deux cartons, les récepteurs sont<lb/> les conducteurs terminés par des peignes. Les porteurs<lb/> sont les deux moitiés du disque mobile. Les inducteurs<lb/> communiquent avec les récepteurs, à travers ce disque,<lb/> au moyen des peignes qui facilitent l'échange des<lb/> électricités.</p>
<p rend="left">Le travail est mieux utilisé dans les machines à<lb/> influence que dans les machines à frottement, car<lb/> les frottements y sont bien moindres (plus de coussins).<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb131671886 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb131671886"> M. Rossetti</ref></persname> a mesuré le travail consommé par<lb/> une machine de Holz, amorcée et non amorcée,<lb/> en la faisant mouvoir par des poids. La différence<lb/> est le travail dépensé à produire l'électricité : il est<lb/> encore faible relativement au travail mécanique.<lb/> On trouve qu'il est proportionnel au débit de la<lb/> machine. Ce débit peut se mesurer par le nombre<lb/> d'étincelles que <subst class="undefined subst"><del class="none del">donne</del> <add class="below add" place="below">fournit</add></subst> en un temps donné la bouteille<lb/> de Lane reliée aux récepteurs de la machine.</p>
<p rend="left">Si l'on compare les machines à frottement et les machines<lb/> à influence (par ex. celle de Ramsden et celle de Holtz),<lb/> on trouve qu'elles donnent des potentiels à peu près égaux,<lb/> mais le débit des machines à influence est beaucoup plus grand</p>
</div>
<p><ptr target="2144"/></p>
<div>169
<p rend="center">Instruments de mesure électrostatique.</p>
<p rend="left">Les électromètres sont des instruments destinés à mesurer<lb/> les différences de potentiel électrostatique. On les divise<lb/> en électromètres absolus et <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> él.</abbr><expan class="undefined expan"> électromètres</expan></choice> relatifs, suivant qu'ils<lb/> servent à déterminer la valeur absolue des ou relative<lb/> des différences de potentiel.</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> L'électromètre sphérique de</hi><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"><hi class="underline hi" rend="underline"> M. Lippmann</hi></ref></persname> est un<lb/> électromètre absolu. On sait (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2086 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2086"> p.111</ref>) que la répulsion des<lb/> 2 hémisphères chargés au même potentiel V est :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>8k</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> Pour <subst class="undefined subst"> <del class="none del">mesurer</del> <add class="above add" place="above">avoir la valeur absolue</add></subst> de V, il suffit de connaître k et de mesurer<lb/> la répulsion F. Pour cela, l'hémisphère mobile est suspendu<lb/> par 3 fils à l'hémisphère fixe, et forme un pendule<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>électrique, dont la déviation mesurer la<lb/> répulsion : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>mg</default:mi></default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Il suffit de connaître le poids <hi rend="underline">mg</hi> de<lb/> l'hémisphère mobile, et l'angle α de<lb/> déviation. Pour le mesurer, on observe un<lb/> miroir qui est porté par 2 des fils de suspensions, et sur<lb/> lequel la lumière tombe par un petit trou percé dans<lb/> l'hémisphère. Cet appareil est surtout propre à la<lb/> mesure des forts potentiels.</p>
<p rend="left">Pour le rendre plus sensible, on l'entoure d'une sphère</p>
</div>
<p><ptr target="2145"/></p>
<div>
<p rend="left">170</p>
<p rend="left">conductrice au potentiel 0, qui forme avec lui un conden-<lb/> sateur sphérique. Soit R <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> le rayon de cette sphère, R <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> celui<lb/> de l'électromètre sphérique ; on sait que la capacité de<lb/> celui-ci augmente dans le rapport : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> et <add class="above add" place="above">que</add> la <del class="none del">charge augmente comme</del><add class="above add" place="above">force est proportionnelle</add> le carré de la <subst class="undefined subst"> <del class="none del">capacité</del> <add class="above add" place="above">charge</add></subst><lb/> (à potentiel égal) ; donc la force est multipliée par le<lb/> carré de ce même rapport (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2082 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2082"> p. 107</ref>, <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2086 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2086"> 111</ref>). Si par exemple<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>9</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>10</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>10</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> ; la répulsion est<lb/> donc centuplée.</p>
<p rend="left">L'électromètre de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref></persname> est un condensateur<lb/> sphérique <subst class="undefined subst"> <del class="none del">comme avec un</del> <add class="above add" place="above">formant un</add></subst> pendule <add class="above add" place="above">électrique</add> ; <hi rend="underline">l’électromètre</hi><lb/> <hi class="underline hi" rend="underline"> de M. M.</hi><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb134781378 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb134781378"> <hi class="underline hi" rend="underline"> Bichat</hi></ref></persname><hi class="underline hi" rend="underline"> et</hi><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb10300754j ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb10300754j"><hi class="underline hi" rend="underline"> Blondlot</hi></ref></persname> est un condensateur<lb/> cylindrique combiné avec une balance.<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> Un cylindre creux fixe reçoit à son<lb/> intérieur un cylindre plein mobile<lb/> verticalement, <del class="none del">t</del> porté par un fléau<lb/> de balance à bras inégaux et équilibré<lb/> par une tare. Si l'on porte les 2 cylindres respectivement<lb/> aux potentiels V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, l'attraction sera proportionnelle<lb/> au carré de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>. On équilibre cette force en mettant<lb/> des poids dans le plateau suspendu au cylindre mobile.<lb/> On calcule la différence de potentiel au moyen de la force<lb/> ainsi mesurée directement.</p>
</div>
<p><ptr target="2146"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">171</p>
<p rend="left">On sait que dans un condensateur dont les armatures<lb/> sont à potentiel constant (en relation avec des sources),<lb/> la force est exprimée par la formule (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2094 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2094"> p. 119</ref>) :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Soit C la capacité du condensateur par unité de longueur,<lb/> et <hi rend="underline">dx</hi> la longueur dont le cylindre mobile s'enfonce<lb/> dans le cylindre fixe. La capacité s'accroît de Cdx,<lb/> et la charge de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:math> ; donc l'énergie<lb/> s'accroît de : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mi>dx</default:mi><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi>log</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2083 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2083"> p. 108</ref>)<lb/> r<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et r<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> étant les rayons des 2 armatures cylindriques.</p>
<p rend="left">Cet appareil est le plus simple et le plus commode<lb/> des électromètres absolus. On peut le rendre plus sensible<lb/> en employant des cylindres fixes de plus en plus étroits.</p>
<p rend="center">14 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> L'électromètre de</hi><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> <hi class="underline hi" rend="underline"> lord Kelvin</hi></ref></persname> est essentiellement un<lb/> condensateur à plateau combiné avec un peson. C'est<lb/> le plus ancien et le plus parfait des électromètres absolus.<lb/> Le plateau inférieur B est fixe, le plateau supérieur A,<lb/> mobile, est porté par un ressort dont la flexion mesure<lb/> leur attraction. Pour éviter la distribution irrégulière<lb/> sur les bords, le plateau supérieur est divisé par une rainure</p>
</div>
<p><ptr target="2147"/></p>
<div>
<p rend="left">172</p>
<p rend="left">circulaire très mince qui détache l’<hi rend="underline">anneau de garde</hi> A.<lb/> La partie intérieure S est seule mobile. Pour que les<lb/> résultats soient exacts, il faut que le disque S soit dans<lb/> le plan de l'anneau de garde. Aussi est-il relié à un<lb/> levier <del class="none del">qui</del> dont l'autre extrémité se meut sur une règle<lb/> divisée portant un point de repère correspondant à la<lb/> position normale du disque. On observe l'extrémité du<lb/> levier avec une loupe. L'ensemble du levier et de la loupe<lb/> forme ce que <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> lord Kelvin</ref></persname> appelle une <hi rend="underline">jauge</hi>.</p>
<p rend="left">Le plateau fixe B est porté par une vis micrométrique<lb/> qui permet d'élever plus ou moins, et de mesurer sa<lb/> distance au plan de l'anneau de garde A. Pour cela,<lb/> il suffit de le monter jusqu'à ce qu'il touche l'anneau,<lb/> puis de l'abaisser en comptant les tours et fractions<lb/> de tour de la tête de la vis.</p>
<p rend="left">Cela fait, on met en communication le plateau S et<lb/> l'anneau de garde avec une source de potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, le<lb/> plateau B avec une autre source de potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>. On<lb/> trouvera toujours (par tâtonnement) une distance <hi rend="underline">e</hi><lb/> des 2 plateaux telle que le disque S soit en équilibre<lb/> dans le plan de l'anneau de garde. La différence de<lb/> potentiel à mesurer sera donnée par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>8</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2085 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2085"> p. 110</ref>)</p>
</div>
<p><ptr target="2148"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">173</p>
<p rend="left">Pour évaluer F, le ressort qui porte le plateau mobile S<lb/> est suspendu à une vis micrométrique, et on l'a préala-<lb/> blement <unclear class="medium unclear" cert="medium"> tari pour</unclear> ses diverses positions en chargeant<lb/> le plateau S (non électrisé) de poids gradués jusqu’à<lb/> ce qu'il se trouve dans le plan de l'anneau de garde.</p>
<p rend="left">Cet appareil permet ainsi de mesurer un potentiel<lb/> en valeur absolue, en le comparant au potentiel 0<lb/> (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> en mettant B en communication avec le sol).<lb/> On peut aussi le comparer à un potentiel connu. Pour <lb/> cela, la boîte qui contient l'électromètre porte un petit<lb/> <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> <hi class="underline hi" rend="underline"> replenisher</hi></foreign> qui permet de porter le plateau B a un<lb/> potentiel toujours le même (comme on le constate<lb/> à l'aide d'un petit disque à ressort et d'une jauge).<lb/> V<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> étant <del class="none del">const</del> connu d'avance, on mesure <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et l'on en tire la valeur de V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>.</p>
<p rend="left">Pour mesurer une différence de potentiel, on peut<lb/> mesurer d'abord <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>, puis <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>, la différence<lb/> est <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>. Cette quantité dépend seulement de la<lb/> différence (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>). Ainsi l'on peut se dispenser<lb/> d'amener le plateau B au contact de l'année A,<lb/> comme dans le cas d'une expérience unique : il suffit<lb/> de mesurer les 2 écarts successifs, et même simplement<lb/> leur différence.</p>
</div>
<p><ptr target="2149"/></p>
<div>
<p rend="left">174</p>
<p rend="left">Le plus souvent, on n'a qu'à évaluer la grandeur relative<lb/> des différences de potentiel. Leur mesure n'exige alors<lb/> que des appareils sensibles. On peut l'effectuer<lb/> par deux méthodes différentes :</p>
<p rend="left">1° On fait la théorie de l'appareil, et l'on obtient une<lb/> formule qui contient certaines constantes instrumentales.<lb/> On observe les déviations qu'il subit, à partir de sa<lb/> position d'équilibre, pour diverses différences de potentiel.<lb/> Il suffit de comparer ces déviations pour connaître les<lb/> valeurs relatives des potentiels, sans avoir à évaluer<lb/> les constantes instrumentales.</p>
<p rend="left">2° On s'astreint à observer l'appareil dans une posi-<lb/> tion fixe, et pour cela, on rétablit l'équilibre au moyen<lb/> d'une différence de potentiel connue et dont on dispose.<lb/> On n'a plus alors besoin de connaître la loi des déviations,<lb/> puisqu'on ramène toujours l'appareil à la même position :<lb/> il suffit qu'il soit sensible, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que les déviations soient<lb/> nottables pour une faible inégalité de potentiel.</p>
<p rend="left">Le plus simple des électromètres relatifs est l'<hi rend="underline">électromètre</hi><lb/> à <hi class="underline hi" rend="underline"> plateau de</hi><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb130138670 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb130138670"> <hi class="underline hi" rend="underline"> Hankel</hi></ref></persname> : entre 2 plateaux verticaux A, B<lb/> est suspendue une feuille d'or dont on note la position<lb/> d'équilibre. Si on l'électrise positivement, elle se déplacera<lb/> dans le sens de la force électrique (du potentiel <add class="below add" place="below">le plus</add> élevé au</p>
</div>
<p><ptr target="2150"/></p>
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<p class="right p" rend="right">175</p>
<p rend="left">moins élevé). On porte les 2 plateaux <add class="above add" place="above">respectivement</add> aux potentiels V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et V<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi><lb/> qu'il s'agit de comparer. S'ils sont égaux, la feuille d'or<lb/> prendra sa position d'équilibre (verticale). S'ils sont<lb/> inégaux, on la ramènera à cette position zéro en<lb/> neutralisant la différence de potentiel (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>) par<lb/> une différence de potentiel variable et connue : la valeur<lb/> ce celle-ci sera égale et contraire à celle de (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math>).</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> Electromètre à quadrants de</hi><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> <hi class="underline hi" rend="underline"> lord Kelvin</hi></ref></persname></p>
<p rend="left">Cet appareil se compose essentiellement d'une boîte circulaire<lb/> plate divisée en 4 quadrants, à l'intérieur desquels peut<lb/> tournée une aiguille d'aluminium formée de 2 quadrants<lb/> opposés, et suspendu à un fil de torsion : ce fil porte en bas<lb/> un miroir destiné à manifester les déviations, et <subst class="undefined subst"> <del class="none del">une aig</del> <add class="above add" place="above">se termine</add></subst><lb/> par une aiguille aimantée destinée à fixer la direction<lb/> de l'équilibre.</p>
<p rend="left">On porte les secteurs 1 et 3 au potentiel V<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>, les secteurs<lb/> 2 et 4 au potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>, et l'aiguille mobile au potentiel V <hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi>.<lb/> L'ensemble forme 2 condensateurs <add class="above add" place="above">doubles</add>. En effet, chaque qua-<lb/> drant forme un condensateur avec la partie de l'aiguille<lb/> qu'il contient ; de même le quadrant opposé, qui complète<lb/> ce condensateur. Les 2 autres quadrants forment avec le reste<lb/> de l'aiguille un autre condensateur. Evaluons la force à<lb/> laquelle l'aiguille est soumise. On sait que, dans un</p>
</div>
<p><ptr target="2151"/></p>
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<p rend="left">176</p>
<p rend="left">condensateur à potentiels constants, la force s'exprime par<lb/> la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2094 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2094"> p. 119</ref>)<lb/> Evaluons d'abord l'énergie totale du système. Soit C<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi><lb/> la capacité du condensateur formé par les secteurs 1 et<lb/> 3, C<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> celle du condensateur formé par les secteurs 2 et 4 :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>0</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mo>+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>0</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfenced></default:math><lb/> Pour un déplacement angulaire dα, la variation de<lb/> l'énergie sera (les potentiels restant constants).<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi>dW</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mfenced open="[" close="]"><default:mrow><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>0</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msub><default:mi>dC</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>+</default:mo><default:msup><default:mfenced><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mn>0</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:msub><default:mi>dC</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:mrow></default:mfenced></default:math><lb/> Calculons la variation de la capacité C<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> (celle de la<lb/> capacité C<hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi> lui sera égale et contraire). Soit <hi rend="underline">r</hi> le<lb/> rayon de l'aiguille : l'aire du secteur dont <subst class="undefined subst"> <del class="none del">s'est accru</del><add class="below add" place="below"> a tourné</add></subst><lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> condensateur</del> <add class="above add" place="above">l'aiguille</add></subst> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>dα</default:mi></default:math><lb/> Le 1 <hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> condensateur s'est accru du double de ce secteur,<lb/> et le 2 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> condensateur a diminué d'autant, soit de :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>dα</default:mi></default:math><lb/> La capacité d'un condensateur simple étant donnée par<lb/> la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mi>πke</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math><lb/> celle du condensateur <hi rend="underline">double</hi> formé par les 2 faces de<lb/> l'aiguille avec les 2 plaques <del class="none del">d</del> opposées <add class="below add" place="below">équidistantes</add> des quadrants sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi>πke</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math><lb/> Les variations des capacités sont par conséquent :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:msub><default:mi>dC</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi>dα</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi>πke</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:msub><default:mi>dC</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msub></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2152"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">177</p>
<p rend="left">Il vient finalement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dW</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">[</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">]</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> L'expression entre crochets revient simplement à :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mn>2V</default:mn><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dW</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>rd</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">D'autre part, on sait qu'avec un fil de torsion <subst class="undefined subst"><del class="none del">la</del> <add class="above add" place="above">l'angle de</add></subst> déviation<lb/> est proportionnel à la force ; d'ailleurs, la force ne dépend<lb/> pas de α, elle reste donc constante pendant la déviation.<lb/> <del class="none del">On doit donc avoir</del> La formule de l'instrument sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mn>2V</default:mn><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> P étant une constante instrumentale qu'il est inutile<lb/> de connaître pour des mesures relatives.</p>
<p rend="left">Cette formule présente 2 cas particuliers remarquables :<lb/> <hi class="underline hi" rend="underline"> 1</hi><hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi><hi class="underline hi" rend="underline"> cas</hi>. Si V <hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> est très grand par rapport à V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> et à V <hi class="sub hi" rend="sub"> 2</hi>,<lb/> le facteur <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mn>2V</default:mn><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> pourra être regardé comme<lb/> invariable ; la déviation sera alors proportionnelle à<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> C'est dans ce cas que se plaçait <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> sir William Thomson</ref></persname>.</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> 2</hi><hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi><hi class="underline hi" rend="underline"> cas</hi>. Si <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math>, on aura les relations :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mn>2V</default:mn><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mn>2V</default:mn><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:msub><default:mn>2V</default:mn><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>4</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math><lb/> Si V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> est fixe, l'angle de déviation sera proportionnel au</p>
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<p><ptr target="2153"/></p>
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<p rend="left">178</p>
<p rend="left">potentiel (inconnu) V <hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> de l'aiguille. C'est le cas<lb/> qu'a choisi <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb127363147 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb127363147"> M. Mascart </ref>dans son perfectionnement<lb/> de l’électromètre à quadrants.</p>
<p rend="left">Pour porter les 2 paires de quadrants à des potentiels<lb/> égaux et contraires, on emploie une pile de 200<lb/> éléments Volta, composés de cuivre, de zinc et eau pure<lb/> (on peut les faire aussi petits qu'on veut, on a la même<lb/> force électromotrice, et il n'y a pas d'inconvénient à<lb/> augmenter leur résistance). On met le milieu de la série<lb/> en communication avec le <unclear class="medium unclear" cert="medium"> sol</unclear>, et les extrémités avec<lb/> les 2 couples de quadrants. Enfin on fait communiquer<lb/> l'aiguille avec la source dont on veut <subst class="undefined subst"> <del class="none del">connaître</del> <add class="above add" place="above">mesurer</add></subst> le potentiel.</p>
<p rend="left">L'inconvénient de l'appareil ainsi disposé est que<lb/> le potentiel d'une pile n'est pas fixe ; on ne peut le<lb/> considérer comme constant d'un jour à l'autre, de<lb/> sorte que les mesures relatives prises à différents jours<lb/> ne sont pas comparables.</p>
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<p><ptr target="2154"/></p>
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<p class="right p" rend="right">179</p>
<p rend="center">Phénomènes magnétiques</p>
<p rend="left">C'est vers 1824 que le savant danois <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444"> Œrstedt</ref></persname> découvrit<lb/> l'action d'un courant électrique sur une aiguille aimantée.<lb/> Il se borna à répéter cette expérience en la variant, et<lb/> n'en tira aucune conséquence.</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref> supposa que les courants étaient analogues<lb/> aux aimants, et imagina les expériences qui lui firent<lb/> découvrir les lois électrodynamiques.</p>
<p rend="left">L'étude de l'électricité et celle du magnétisme ont<lb/> marché parallèlement jusqu'à ce siècle : les anciens<lb/> connaissaient l'attraction de la pierre magnétique<lb/> comme celle de l'ambre frotté ; <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> a découvert<lb/> les lois de l'attraction magnétique comme celles de<lb/> l'attraction électrique, et de l'identité de ces lois découle<lb/> une parfaite analogie entre les formules des actions<lb/> électriques et magnétiques : d'où deux points de vue<lb/> et deux systèmes d'unités (électrostatique, électromagné-<lb/> tique) qui subsistent encore aujourd'hui. De même<lb/> qu'on a imaginé 2 fluides électriques, on inventa 2<lb/> fluides magnétiques. Depuis <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname>, ces deux études<lb/> jusqu'alors indépendantes se sont fondues dans l'étude<lb/> des phénomènes électro-magnétiques. Nous étudierons<lb/> d'abord les phénomènes purement magnétiques, les plus</p>
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<p><ptr target="2155"/></p>
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<p rend="left">180</p>
<p rend="left">anciennement connus, puis nous les rattacherons aux<lb/> phénomènes électriques, conformément à la marche<lb/> historique de la science.</p>
<p rend="left">La première propriété connue des aimants est la direction<lb/> constante qu'ils prennent quand ils sont libres. Si l'on<lb/> prend une aiguille d'acier, qu'on détermine son centre<lb/> de gravité, puis qu'on l'aimante et qu'on la suspende<lb/> par son centre de gravité, elle prendra une direction<lb/> constante, déterminée par 2 coordonnées angulaires.<lb/> L'axe 0x étant dirigé vers le Nord,<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> l'axe 0y vers l'Orient, et l'axe 0z<lb/> au nadir ; 0A étant la direction<lb/> de l'aiguille, sa projection horizon-<lb/> tale fait avec l'axe 0x (méridien<lb/> géographique) l'angle δ, qu'on<lb/> appelle <hi rend="underline">déclinaison</hi>. La déclinaison se compte de 0 à 2π,<lb/> du côté de l'Ouest ; ou encore de 0 à π <subst class="undefined subst"> <del class="none del">des</del> <add class="above add" place="above">dans les</add></subst> deux <subst class="undefined subst"> <del class="none del">côtés</del> <add class="above add" place="above">sens</add></subst><lb/> (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> décl.</abbr><expan class="undefined expan"> déclinaison</expan></choice> occidentale <add class="above add" place="above">positive</add>, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> décl.</abbr><expan class="undefined expan"> déclinaison</expan></choice> orientale <add class="above add" place="above">négative</add>). Elle est aujourd’hui,<lb/> à Paris, de 150 à l'Ouest. Le plan vertical où se retrouve<lb/> l’aiguille est <hi rend="underline">le méridien magnétique du lieu</hi> : il fait<lb/> avec le méridien géographique un angle égal à la déclinaison.<lb/> L'angle<add class="above add" place="above">i</add> que fait 0A avec sa projection horizontale se<lb/> nomme <hi rend="underline">inclinaison</hi>. Il se compte 0 à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> dans les deux</p>
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<p><ptr target="2156"/></p>
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<p class="right p" rend="right">181</p>
<p rend="left">sens : positif quand le pôle Nord de l'aiguille est au-<lb/> dessous de l'horizon, négatif quand il est au-dessus.<lb/> L'inclinaison à Paris est de +65°.</p>
<p rend="left">En un même lieu, toutes les aiguilles aimantées ont<lb/> même déclinaison et même inclinaison. La Physique<lb/> du globe étudie comment la direction de l'aiguille aimantée<lb/> varie, soit d'un lieu à l'autre, soit avec le temps.</p>
<p rend="left">On peut constater que l'aiguille aimantée est nue et<lb/> dirigée, non par une force unique, mais par un couple :<lb/> elle n'a aucune tendance à la translation, même libre.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Le moment du couple directeur</hi>, <unclear class="medium unclear" cert="medium"> Μ</unclear>, dépend de 3<lb/> éléments : 1° d'un facteur <hi rend="underline">M</hi><add class="below add" place="below">moment magnétique</add> caractéristique de l'aiguille ;<lb/> 2° d'un facteur F caractéristique du champ ; 3° d'un<lb/> facteur μ caractéristique du milieu ; suivant la<lb/> formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">Μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>MF</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Considérons seulement une des deux forces du couple.<lb/> Elle peut se décomposer en deux composantes, l'une<lb/> verticale, l'autre horizontale, V et H, et l'on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>tg</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Si l'on équilibre par un contrepoids la composante V<lb/> de manière à rendre l'aiguille horizontale, elle n'est plus<lb/> soumise qu'au couple des forces H : le moment du couple<lb/> est alors : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>MH</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>MF</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow></default:math></p>
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<p><ptr target="2157"/></p>
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<p rend="left">182</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Théorème</hi>. Quand une aiguille aimantée est assujettie<lb/> à se mouvoir dans un plan vertical, son inclinaison<lb/> est minima dans le méridien magnétique.</p>
<p rend="left">En effet, dans <subst class="undefined subst"> <del class="none del">ce</del> <add class="above add" place="above">un</add></subst> plan vertical quelconque, faisant<lb/> avec le méridien magnétique l'angle α, agissent :<lb/> 1° la composante verticale V ; 2° une composante<lb/> horizontale : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Soit i' l'inclinaison de l'aiguille ; on a :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>tg</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> au lieu de : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>tg</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>tg</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mo stretchy="false">÷</default:mo><default:mi>cos</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math> ?<lb/> Or <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">⩽</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>, et atteint son maximum 1 pour <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:math>.</p>
<p rend="left">Donc <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi>tg</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>⩾</default:mo><default:mi>tg</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:math>, et a pour minimum tg i<lb/> quand <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Dans le plan vertical perpendiculaire au méridien<lb/> magnétique, la composante horizontale est nulle, donc<lb/> l'aiguille est verticale : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">∞</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Une aiguille ainsi disposée forme une <hi rend="underline">boussole</hi><lb/> <hi rend="underline">d'inclinaison</hi>. On peut s'en servir pour déterminer<lb/> le méridien magnétique, soit en cherchant le plan<lb/> d'inclinaison minima, soit (ce qui est plus exact)<lb/> en cherchant le plan où l'aiguille est verticale, lequel<lb/> est perpendiculaire au méridien magnétique.</p>
<p rend="left">On peut même se contenter d'observer l'inclinaison</p>
</div>
<p><ptr target="2158"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">183</p>
<p rend="left">de l'aiguille dans 2 plans rectangulaires quelconques.<lb/> En effet, on a dans le premier, comme on vient de le voir :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> et dans le second, pour la même raison :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>sin</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Elevons au carré et ajoutons :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi>tg</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>tg</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>tg</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math><lb/> Cette relation peut s'écrire symétriquement :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mi>cotg</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi>cotg</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mi>cotg</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Elle permet de calculer i, connaissant i' et i''.</p>
</div>
<div>
<p rend="center">Actions des aimants les uns sur les autres.</p>
<p rend="left">On appelle <hi rend="underline">pôle Nord</hi> ou <hi rend="underline">pôle austral</hi> d'une aiguille<lb/> aimantée celui qui se tourne vers le Nord ; <hi rend="underline">pôle Sud</hi><lb/> ou <hi rend="underline">pôle boréal</hi>, celui qui se tourne vers le Sud.</p>
<p rend="left">Les pôles de même nom se repoussent, les pôles de nom<lb/> contraire s'attirent.</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref> a étudié les attractions et répulsions magné-<lb/> tiques avant les actions électriques : mais <add class="above add" place="above">c'est</add> après avoir<lb/> inventé la balance de torsion pour mesurer celles-ci<lb/> qu'il l'employa à la mesure des forces magnétiques.</p>
<p rend="left">Avant toute expérience, il fallait mesurer le moment<lb/> du couple directeur de l'aiguille. Pour cela, <persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname><lb/> déterminait l'azimut où le fil se trouve en équilibre, en</p>
</div>
<p><ptr target="2159"/></p>
<div>
<p rend="left">184</p>
<p rend="left">y suspendant (à l'aide d'un étrier) une aiguille cylindrique<lb/> d'acier <hi rend="underline">non aimantée</hi>. Il amenait le zéro de la graduation<lb/> en face de cette position. Puis il remplaçait l'aiguille<lb/> par une aiguille aimantée, et faisait tourner tout<lb/> l'appareil jusqu'à ce que celle-ci fût en face du zéro.</p>
<p rend="left">Le plan de torsion nulle coïncidait alors avec le <del class="none del">p</del> <add class="above add" place="above">m</add>éridien<lb/> magnétique. Enfin il amenait l'aiguille aimantée<lb/> à 90° (de ce plan) en tordant progressivement le fil.<lb/> La force, mesurée par la torsion du fil, était égale à<lb/> celle du couple directeur <add class="above add" place="above">Μ</add> dont la direction était alors<lb/> perpendiculaire à l'axe de l'aiguille.</p>
<p rend="left">Cela fait, <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> introduisait, à la place de la boule<lb/> fixe, une aiguille fixe, verticale, dont le pôle austral<lb/> était en regard du pôle austral de l'aiguille mobile,<lb/> et correspondait au <hi rend="underline">zéro</hi> de la graduation. L'aiguille<lb/> mobile était déviée d'un angle α.<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
<p rend="left">Elle est soumise à 3 forces : la répulsion<lb/> magnétique à mesurer, <add class="above add" place="above">F</add> dirigée<lb/> suivant 0A ; la force directrice Μ,<lb/> parallèle à 0C ; enfin la force de<lb/> torsion <add class="above add" place="above">T</add> du fil, suivant la tangente.<lb/> L'équation qui exprime la condition d'équilibre est donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Μ</default:mo><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2160"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">185</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> trouva ainsi que la répulsion magnétique varie<lb/> en raison inverse du carré de la distance des deux pôles<lb/> (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> sensiblement de l'angle α).</p>
<p rend="left">Mais ces expériences sont sujettes à plusieurs causes<lb/> d'erreur ; d'abord parce qu'on réduit fictivement chaque<lb/> aiguille à ses 2 pôles, où l'on suppose concentrée la force<lb/> magnétique ; ensuite, parce qu'il y a 4 pôles dans le<lb/> système des 2 aiguilles, et qu'on ne tient compte que de<lb/> l'action mutuelle des 2 pôles austraux. On admet que<lb/> les autres actions sont négligeables, tant à cause de l'éloi-<lb/> gnement relatif des autres pôles qu'à cause de l'obliquité<lb/> des lignes d'action. Néanmoins, elles suffisent à troubler<lb/> les résultats obtenus par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref> ; ils n'ont donc plus<lb/> qu'un intérêt historique.</p>
<p rend="center">15<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>, poussant plus loin encore le parallélisme des<lb/> phénomènes électriques et magnétiques, a appliqué à<lb/> ceux-ci la méthode dynamique, et a mesuré les forces<lb/> magnétiques au moyen des oscillations du pendule.</p>
<p rend="left">Pour déterminer, d'abord, le moment du couple<lb/> directeur sur une aiguille aimantée (boussole d'inclinai-<lb/> son dans le plan du méridien magnétique), on écarte<lb/> l’aiguille de sa position d'équilibre ; dans le cas où les</p>
</div>
<p><ptr target="2161"/></p>
<div>
<p rend="left">186</p>
<p rend="left">oscillations sont infiniment petites, la durée d'une oscillation<lb/> double est donnée par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">Μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math><lb/> Si, comme <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>, on emploie une aiguille suspendue<lb/> horizontalement (boussole de déclinaison), on a la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">Μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math><lb/> Μ' étant la composante horizontale du moment Μ.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> a ensuite appliqué cette méthode à déterminer<lb/> la loi des actions magnétiques. Dans un champ magnétique<lb/> on place une aiguille aimantée <hi rend="underline">très courte</hi> suspendue à<lb/> un fil sans torsion, de sorte que la force F qui agit sur elle<lb/> en <add class="below add" place="below">ses</add> différentes positions soit sensiblement la même qu'en<lb/> son centre 0. On s'arrange pour que la force F soit <add class="below add" place="below">horizontale</add> dans<lb/> le plan du méridien magnétique. L'aiguille aimantée<lb/> (de déclinaison) est soumise d'abord au moment du<lb/> couple directeur : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Μ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>MH</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> H étant la composante horizontale du <subst class="undefined subst"> <del class="none del">couple</del> <add class="below add" place="below">champ</add></subst> terrestre ;<lb/> <del class="none del">La durée d'une</del> puis, quand on fait agir la force magnétique,<lb/> <add class="above add" place="above">égale et de sens contraire pour les 2 pôles</add> au nouveau couple : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Μ</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mfenced></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi></default:mfrac></default:math><lb/> et la durée d'oscillation devient alors :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:msub><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub><default:mo>=</default:mo><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">π</default:mi><default:msqrt><default:mfrac><default:mrow><default:mo>∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Μ</default:mi><default:mn>1</default:mn></default:msub></default:mfrac></default:msqrt></default:math><lb/> En mesurant la durée des oscillations dans les deux cas,<lb/> on <subst class="undefined subst"> <del class="none del">trouve</del> <add class="above add" place="above">peut</add></subst> calculer le rapport <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">Η</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:mo>+</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math> et obtenir la valeur</p>
</div>
<p><ptr target="2162"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">187</p>
<p rend="left">de F par rapport à H.</p>
<p rend="left">Ces expériences, bien qu'inexactes, suffirent à établir<lb/> la loi des actions magnétiques aux yeux de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb </ref><lb/>et de ses contemporains. Nous en trouverons bientôt<lb/> une vérification indirecte, mais plus précise. Cette<lb/> loi, que <persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> appliquait aux pôles des aimants,<lb/> se traduit par la formule suivante :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> où <hi rend="underline">r</hi> est la distance des 2 pôles considérés, <hi rend="underline">m</hi> et <hi rend="underline">m'</hi><lb/> sont des coefficients propres à chacun des 2 aimants,<lb/> et μ une constante caractéristique du milieu (ana-<lb/> logue à la constante k relative aux diélectriques).</p>
<p rend="left">En admettant cette loi, on essayait d'expliquer la<lb/> direction constante que prennent les aimants par<lb/> l'hypothèse de l'aimant terrestre. On supposait<lb/> placé au centre de la terre un aimant dont le pôle<lb/> austral A serait dirigé vers le Sud, et le pôle boréal B vers<lb/> le Nord. Les points où la ligne AB percerait la<lb/> surface de la terre seraient les <hi rend="underline">pôles magnétiques.</hi></p>
<p rend="left">Une aiguille A'B', en un point quelconque de la surface,<lb/> devrait tourner son pôle austral vers le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> N.</abbr><expan class="undefined expan"> Nord</expan></choice>, son pôle boréal<lb/> vers le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> S.</abbr><expan class="undefined expan"> Sud</expan></choice> et prendre une inclinaison déterminée par la<lb/> distance respective de ses pôles à ceux de l'aimant terrestre.</p>
</div>
<p><ptr target="2163"/></p>
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<p rend="left">188</p>
<p rend="left">A l'équateur <add class="above add" place="above">magnétique</add>, par exemple, l'aiguille aimantée devrait être<lb/> horizontale, et partout parallèle à l’aimant terrestre.</p>
<p rend="left">On croyait ainsi pouvoir expliquer la déclinaison et<lb/> l'inclinaison. Mais il est établi aujourd'hui qu'un<lb/> aimant, et même deux aimants placés excentriquement<lb/> à l'intérieur de la terre ne peuvent rendre compte des<lb/> variations de la déclinaison et de l'inclinaison à la<lb/> surface de la terre ; on a été ainsi amené à les expliquer<lb/> par des <hi rend="underline">courants terrestres</hi>. Les pôles <hi rend="underline">austral</hi> et <hi rend="underline">boréal</hi><lb/> des aimants réels n'en ont pas moins conservé leur<lb/> dénomination, <del class="none del">due</del> empruntée à la fiction de l'aimant<lb/> terrestre, et opposée à leur vérittable direction (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2158 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2158"> p. 183</ref>).</p>
<p rend="left">Jusqu'ici, nous avons considéré un barreau aimanté<lb/> comme réduit à 2 pôles très voisins de ses extrémités.<lb/> C'est qu'en effet, quand on le plonge dans la limaille de fer,<lb/> on constate qu'elle ne s'attache qu'aux extrémités. Il semble<lb/> donc que les pôles seuls de l'aimant soient capables d’attirer.</p>
<p rend="left">Mais l'expérience de <hi rend="underline">l'aimant brisé</hi> (que connaissait<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname>) montre que le milieu de l'aiguille (une fois<lb/> cassée) attire la limaille aussi bien que les extrémités.<lb/> On peut répéter indéfiniment cette scission, tous les<lb/> morceaux obtenus auront 2 pôles d'attraction. On est<lb/> conduit à considérer un aimant comme un ensemble</p>
</div>
<p><ptr target="2164"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">189</p>
<p rend="left">d'aimants très petits, de dimensions moléculaires. Dans<lb/> l'hypothèse des fluides magnétiques, on doit admettre<lb/> que les fluides ne peuvent <add class="below add" place="below">pas</add> se séparer dans toute la<lb/> masse d'un corps (comme les fluides électriques, <add class="above add" place="above">quand</add> une<lb/> extrémités du corps est chargée positivement et l'autre<lb/> négativement), mais seulement au sein des éléments<lb/> magnétiques. Enfin, pour expliquer le magnétisme réma-<lb/> nent de l'acier, opposé au fer doux qui ne garde pas<lb/> l'aimantation, on a inventé le <hi rend="underline">pouvoir coercitif</hi>,<lb/> qui n'est qu'un mot, comme la <foreign class="lat foreign" xmllang="lat"> </foreign><hi class="underline hi" rend="underline"> virtus dormitiva</hi>.</p>
<p rend="left">En tout cas, puisque tous les aimants (naturels & autres)<lb/> sont divisibles en aimants plus petits ayant deux pôles,<lb/> on ne peut plus <subst class="undefined subst"> <del class="none del">s'en tenir</del> <add class="below add" place="below">se contenter</add></subst> de les réduire à leurs pôles.<lb/> On les considérera comme des agrégats d'aimants infi-<lb/> niment petits, que l'on pourra réduire, eux, à leurs pôles.</p>
<p rend="left">Cherchons donc l'action exercée par un aimant infi-<lb/> niment petit, conçu comme l'ensemble d'une masse magné-<lb/> tique +m au point A (pôle austral) et d'une masse<lb/> magnétique -m au point B (pôle boréal). Soit <hi rend="underline">l</hi> la<lb/> longueur (infiniment petite) AB. On appelle <hi rend="underline">axe</hi><lb/> <hi rend="underline">magnétique</hi> de l'aimant la direction BA (avec son sens).<lb/> On suppose que son moment magnétique <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:math>,<lb/> et que les forces exercées par les 2 pôles obéissent à la loi</p>
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<p><ptr target="2165"/></p>
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<p rend="left">190</p>
<p rend="left">de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12486070d"> Coulomb</ref></persname> (On remarquera qu'on admet cette loi, non<lb/> plus pour les aimants finis, mais pour les aimants infini-<lb/> ment petits). Cherchons l'action<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> de cet aimant sur l'unité de<lb/> magnétisme <add class="above add" place="above">austral</add> placée en un point<lb/> P, à la distance <hi rend="underline">r</hi> du centre 0<lb/> de l'aimant, l'angle P0A étant α. La force exercée par le<lb/> pôle A sur le point P est, conformément à l'hypothèse :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> La force exercée par le <subst class="undefined subst"> <del class="none del">point</del> <add class="below add" place="below">pôle</add></subst> B sur le point P est de même :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>μr</default:mi><default:msup><default:mo>'</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:math><lb/> Pour calculer leur résultante, formons le potentiel de ces<lb/> forces, suivant la règle générale : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">Σ</default:mi><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi>μr</default:mi></default:mfrac></default:math>.<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi></default:mfrac><default:mfenced><default:mrow><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mfrac><default:mo>-</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi></default:mfrac><default:mo>×</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>rr</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:math><lb/> L'angle APB étant infiniment petit, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfenced><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mo>'</default:mo><default:mo>-</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfenced></default:math> est égal à BC,<lb/> qui est égal d'autre part à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi></default:math> (infiniment petit) :<lb/> on peut donc égaler <hi rend="underline">r</hi> et <hi rend="underline">r'</hi>. Il vient donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">μ</default:mi><default:mo/><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Tel est le potentiel élémentaire d'un aimant infiniment<lb/> petit sur un point extérieur P de <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> coord.pol.</abbr><expan class="undefined expan"> coordonnées polaires</expan></choice> r et α.<lb/> De cette expression on va tirer les composantes de la force<lb/> suivant le rayon vecteur OPY et une perpendiculaire PX :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
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<p><ptr target="2166"/></p>
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<p class="right p" rend="right">191</p>
<p rend="left"><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">x</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> (car <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math>)<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">δ</default:mo><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi>sin</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Connaissant les composantes, on peut évaluer la force :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:msup><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:msup><default:mi>sin</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math><lb/> ou : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>3</default:mn></default:mrow><default:msup><default:mi>cos</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Il y a deux cas particulièrement intéressants :<lb/> 1° : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2M</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> (1<hi class="sup hi" rend="sup">e</hi> position de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref></persname>)<lb/> 2° : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">α</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> (2<hi class="sup hi" rend="sup">e</hi> position de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref>)</p>
<p rend="left"><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> et <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> étant positifs, on voit<lb/> que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> est la moitié de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> et<lb/> dirigée en sens contraire.</p>
<p rend="left">Il n'est pas possible de vérifier cette loi et notamment<lb/> ces 2 résultats sur une seule masse magnétique. Mais<lb/> si l'on prend une aiguille aimantée très petite et qu'on<lb/> la mette à une grande distance de l'aimant AB (très<lb/> petit lui-même), ses 2 pôles seront soumis à des actions<lb/> sensiblement égales et opposées, qui formeront un couple.</p>
<p rend="left">L'aimant AB étant perpendiculaire au méridien<lb/> magnétique, plaçons la petite aiguille aimantée sur l'axe BA.</p>
</div>
<p><ptr target="2167"/></p>
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<p rend="left">192</p>
<p rend="left">(1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> position de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref>). Au couple<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> directeur terrestre (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:math>) viendra<lb/> s'ajouter le couple <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> dû à l'aimant fixe AB.<lb/> L’aiguille sera déviée dans la direction du couple résultant,<lb/> et elle fera avec le méridien magnétique un angle β tel que :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">Y</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Plaçons ensuite <add class="above add" place="above">(2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> position de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref></persname>)</add> la petite aiguille aimantée sur<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> la perpendiculaire au milieu du barreau AB.</p>
<p rend="left">Le couple <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:msub><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:math> se composant avec le couple<lb/> directeur <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:math> produira une déviation β', et<lb/> l'on aura : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">X</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On peut vérifier expérimentalement les <hi rend="underline">lois de Gauss</hi> : on<lb/> trouve en effet, dans chaque position, que <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo></default:mrow></default:math> varie en<lb/> raison inverse du cube de la distance (des centres des 2<lb/> aimants) et que, à distance égale, <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">C'est la meilleure vérification de la loi de Coulomb,<lb/> appliquée aux aimants infiniment petits.</p>
<p rend="left">Seulement les formules établies pour les aimants infini-<lb/> ment petits ne s'appliquent pas rigoureusement aux aimants<lb/> finis. Les formules exactes sont de la forme :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">(</default:mo><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mn>1</default:mn><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">A</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">B</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mn>...</default:mn></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">)</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2168"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">193</p>
<p rend="left">Les coefficients A, B, … sont fonctions des dimensions<lb/> de l'aimant. On peut les calculer empiriquement et<lb/> déterminer en même temps le nombre de termes qu'il<lb/> faut prendre dans la série : on place le barreau AB à<lb/> plusieurs distances différentes ; <del class="none del">et</del> l'on détermine 2, 3<lb/> coefficients par 2,3 expériences ; et l'on cherche <subst class="undefined subst"> <del class="none del">s'ils</del><add class="below add" place="below">si les</add></subst><lb/> valeurs trouvées sont conformes aux autres expériences.<lb/> Si toutes les expériences ne concordent pas, on prend<lb/> un terme de plus, et un coefficient de plus.</p>
<p rend="left">Ces expériences servent surtout à évaluer les deux<lb/> facteurs du couple directeur : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mo stretchy="false">Μ</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>MH</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> M étant le moment magnétique de l'aiguille. En<lb/> effet, on a vu que la durée d'une oscillation double<lb/> est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">Μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math><lb/> Pour calculer Μ', il suffit de connaître le moment<lb/> d'inertie <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:msup><default:mi>mr</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mrow></default:math> et de mesurer T. On a ainsi <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>MH</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> D'autre part, si l'on mesure l'angle β ou sa tangente,<lb/> on a par là : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2M</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Connaissant <hi rend="underline">r</hi>, on peut calculer <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> : le quotient<lb/> de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>MH</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> sera <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math> ; on connaîtra donc<lb/> d'une part H, et d'autre part le facteur <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> On <subst class="undefined subst"> <del class="none del">sépare</del> <add class="above add" place="above">obtient</add></subst> ainsi <add class="above add" place="above">en même temps et séparément</add> le facteur qui provient de la nature<lb/> de l’aimant et du milieu, et le facteur H qui <subst class="undefined subst"> <del class="none del">caractérise</del> <add class="below add" place="below">provient</add></subst></p>
</div>
<p><ptr target="2169"/></p>
<div>
<p rend="left">194</p>
<p rend="left">du champ terrestre (composante horizontale du couple).</p>
<p rend="left">Nous allons maintenant généraliser la loi de Coulomb<lb/> en cherchant la force exercée par un corps magnétique<lb/> de forme quelconque, ou encore le potentiel d'un système<lb/> magnétique sur un point extérieur.</p>
<p rend="left">Pour cela, il faut faire des hypothèses sur la nature<lb/> des aimants.</p>
<p rend="left">Si autour d'un point P d'un aimant on détache un<lb/> élément de volume dv, on admet que son aimantation<lb/> a une direction déterminée, et que son moment magnétique<lb/> est un infiniment petit du même ordre que son volume :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dM</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dv</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mi>dy</default:mi><default:mi>dz</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Le facteur I est une grandeur finie <add class="below add" place="below">dirigée</add> qu'on appelle :<lb/> <hi rend="underline">l'intensité d'aimantation</hi> au point P.</p>
<p rend="left">En outre, on admet que cette grandeur I varie d'une<lb/> manière continue (en grandeur et en direction) d'un<lb/> point à l'autre : en d'autres termes, qu'elle est une fonction<lb/> continue des coordonnées du point P.</p>
<p rend="left">Le potentiel de <app> <lem class="undefined lem"> l'aimant élémentaire</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> L'auteur a encadré les termes « de l'aimant » et « «élémentaire » pour signifier qu'il faut les inverser</note></app> infiniment petit<lb/> est, comme on sait : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dV</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Le potentiel total de l'aimant, sur le même point, sera :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mo>∫</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mo>∭</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo/><default:mi>cos</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">α</default:mi></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mfrac><default:mi>dx</default:mi><default:mo/><default:mi mathvariant="normal">y</default:mi><default:mo/><default:mi>dz</default:mi></default:math><lb/> intégrale triple étendue au volume total de l'aimant.</p>
</div>
<p><ptr target="2170"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">195</p>
<p rend="left">Nous allons étudier deux cas particuliers intéressants.<lb/> 1° <hi rend="underline">Solénoïdes magnétiques</hi>. Un solénoïde magnétique<lb/> est un corps aimanté qui a 2 dimensions infiniment<lb/> petites ; la 3 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> (droite ou courbe) s'appelle son <hi rend="underline">axe</hi>. En<lb/> chaque point l'intensité d'aimantation est dirigée<lb/> suivant l'axe (tangente à l'axe), et, si la section<lb/> normale à l'axe est σ, on a la relation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> P étant une constante qu'on nomme la <hi rend="underline">puissance</hi> du<lb/> solénoïde.</p>
<p rend="left">Evaluons le potentiel<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> du solénoïde AB par rapport<lb/> à un point extérieur P, où<lb/> se trouve placée l'unité de magnétisme. Divisons le solé-<lb/> noïde en éléments de volume par des plans normaux à<lb/> l'axe. Le moment magnétique de chaque élément, de<lb/> longueur dx, sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dM</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dv</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mrow><default:mi>dx</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Or, si l'on projette l'élément d'axe <hi rend="underline">dx</hi> sur le rayon<lb/> vecteur issu du point P, qui fait avec lui l'angle α,<lb/> on trouve : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>dx</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Par suite : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msubsup><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mi>r0</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>r1</default:mi></default:mrow></default:msubsup><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>dr</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mfenced></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On voit que la valeur du potentiel au point P ne dépend pas</p>
</div>
<p><ptr target="2171"/></p>
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<p rend="left">196</p>
<p rend="left">de la forme du solénoïde, mais seulement de la position de<lb/> ses extrémités. On pourrait donc réduire le solénoïde à ses<lb/> extrémités, en plaçant une masse magnétique +P en B<lb/> et une masse -P en A ; le potentiel sera encore le même :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>0</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> C'est ce qui explique qu'une aiguille aimantée puisse se<lb/> réduire idéalement à ses 2 pôles, alors que l'expérience<lb/> de l'aimant brisé montre qu'elle est également aimantée<lb/> dans toute sa longueur.</p>
<p rend="left">Une aiguille aimantée n'est pourtant pas rigoureusement<lb/> identique à un solénoïde, car ses pôles ne sont pas exacte-<lb/> ment à ses extrémités. En général,<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> on peut se figurer un barreau<lb/> aimanté comme un faisceau de solénoïdes qui, en vertu de<lb/> leur répulsion mutuelle, s'épanouissent aux extrémités.<lb/> <del class="none del">Comme</del> Chacun d'eux peut se remplacer par deux masses ma-<lb/> gnétiques placées à ses extrémités. Or si la plupart d'entre<lb/> eux aboutissent aux faces terminales du barreau, quelques-<lb/> uns aboutissent aux faces latérales ; toutes les masses ma-<lb/> gnétiques ne se trouvant pas sur <subst class="undefined subst"> <del class="none del">la</del> <add class="above add" place="above">chaque</add></subst> face terminale, le pôle<lb/> correspondant se trouve en arrière de cette face.</p>
<p rend="left">Dans le cas particulier où l'aimantation d'un barreau<lb/> est solénoïdale, on peut le remplacer par un ensemble de</p>
</div>
<p><ptr target="2172"/></p>
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<p class="right p" rend="right">197</p>
<p rend="left">masses magnétiques distribuées à sa surface.</p>
<p rend="left">Une aiguille très mince (droite ou courbe) aimantée<lb/> suivant sa longueur représente un solénoïde.<lb/> Si un solénoïde forme une courbe fermée, les 2 pôles<lb/> coïncident, donc leur action sur un point extérieur est<lb/> nulle, quelle que soit l'intensité de l'aimantation. Si<lb/> on sépare les 2 moitiés du solénoïde, on obtient deux<lb/> aimants dont la puissance peut-être considérable.</p>
<p rend="left">2° <hi rend="underline">Feuillets magnétiques</hi>. Un feuillet magnétique<lb/> est un corps aimanté qui a <hi rend="underline">une</hi> dimension infiniment<lb/> petite, et par conséquent se réduit à une surface. Son<lb/> aimantation est normale à cette surface en chaque point ;<lb/> de plus, si <hi rend="underline">e</hi> est l'épaisseur du feuillet en ce point,<lb/> on a : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>Ie</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> P étant une constante qu'on nomme la <hi class="underline hi" rend="underline"> puissance</hi><lb/> du feuillet.</p>
<p rend="left">Evaluons le potentiel d'un<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> feuillet magnétique sur un<lb/> point extérieur P. Décomposons-le<lb/> en éléments cylindriques normaux à la surface. Le moment<lb/> magnétique d'un élément <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mi>dv</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> (correspondant à l'élément<lb/> de surface ds) sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi>dM</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi>dv</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mi>ds</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>ds</default:mi><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2173"/></p>
<div>
<p rend="left">198</p>
<p rend="left">α étant toujours l'angle du rayon vecteur avec la direction<lb/> de l'aimantation, ici normale à la surface. Considérons<lb/> l'angle solide de sommet P et de base <hi rend="underline">ds</hi> : soit dω son<lb/> ouverture. Menons sa section droite par l'élément ds :<lb/> sa surface sera : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> D'autre part on a : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mo stretchy="false">σ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ds</default:mi></default:mrow><default:mi>cos</default:mi><default:mo stretchy="false">α</default:mo></default:mrow></default:math><lb/> Par conséquent : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">∫</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow></default:math>,<lb/> ω étant l'angle solide ayant pour sommet P et pour<lb/> base le feuillet.</p>
<p rend="left">On voit que le potentiel du feuillet sur un point<lb/> extérieur ne dépend que de son contour, et nullement<lb/> de la forme qu'il peut prendre à l'intérieur du contour.<lb/> Cette propriété curieuse fait pressentir qu'on pourra<lb/> remplacer un feuillet magnétique par son contour,<lb/> parcouru par un courant électrique.</p>
<p rend="center">16<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">On a trouvé pour le potentiel d'un feuillet magnétique<lb/> sur un point extérieur <hi rend="underline">du côté de la face australe</hi><lb/> l'expression : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi><default:mo stretchy="false">ω</default:mo></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> ω étant l'angle solide de sommet P ayant pour base<lb/> la face australe. Si le point P vient toucher cette face,<lb/> l'angle solide ω devient égal à 2π : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mn>2</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Si le point P traverse le feuillet et passe du côté de la</p>
</div>
<p><ptr target="2174"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">199</p>
<p rend="left">face boréale, l'angle ω doit, par continuité, dépasser<lb/> la valeur 2π : c'est l'angle solide <hi rend="underline">extérieur</hi> au cône<lb/> de sommet P ayant pour base la face boréale. Si<lb/> P s'éloigne indéfiniment, l'angle solide intérieur du cône<lb/> tend vers 0, et l'angle solide extérieur vers 4π. En résumé,<lb/> quand le point P passe de <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">+</default:mo><default:mo stretchy="false">∞</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mo stretchy="false">∞</default:mo></default:mrow></default:mrow></default:math> en traversant<lb/> le feuillet de la face boréale vers la face australe, le poten-<lb/> tiel varie de 0 à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">On peut maintenant <subst class="undefined subst"> <del class="none del">déterminer</del> <add class="above add" place="above">étudier</add></subst> le champ magné-<lb/> tique produit par un courant, et déterminer sa valeur<lb/> par les expériences suivantes :<lb/> <hi class="underline hi" rend="underline"> 1 e expérience</hi>. Si le fil suivi par le courant est replié<lb/> étroitement sur lui-même de façon que les deux courants<lb/> égaux et contraires coïncident sensiblement (soient<lb/> infiniment rapprochés) dans toute leur longueur, ce fil<lb/> double n'a pas d'action sur l'aiguille aimantée, quelle<lb/> que soit sa distance et sa position. Le champ magnétique<lb/> de ce courant est donc nul.</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> 2 e expérience</hi>, variante de l'expérience de Gauss. Les aimants<lb/> étant dans la 2 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> position de Gauss, la déviation de A'B'<lb/> est donnée par la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi>Hr</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Remplaçons l'aimant fixe AB par une boucle infini-<lb/> ment petite dont le plan est perpendiculaire à AB, donc</p>
</div>
<p><ptr target="2175"/></p>
<div>
<p rend="left">200</p>
<p rend="left">parallèle au méridien magnétique, et parcourue par un<lb/> courant dans un sens tel que<del class="none del">'i</del>l' observateur d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname><lb/> ait le pôle austral A à sa gauche. Le reste du circuit est<lb/> formé par un fil double, sans action magnétique. On<lb/> trouve que la déviation <del class="none del">ol</del> de A'B' obéit à la loi :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">×</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Si</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">S étant la surface de la boucle, et i l'intensité du courant,<lb/> affectée d'un signe (car la déviation change de sens quand on<lb/> renverse le courant). La forme de la boucle est indifférente,<lb/> pourvu que ses dimensions soient infiniment petites par<lb/> rapport à <hi rend="underline">r</hi>. Quant à <hi rend="underline">v</hi>, c'est un coefficient numérique.</p>
<p rend="left">On voit que le moment magnétique M de l'aimant AB<lb/> est remplacé dans la formule par <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Si</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>. On peut donc<lb/> identifier la boucle fermée à un aimant dont le<lb/> moment magnétique serait proportionnel à Si.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">3 e expérience</hi>, confirmant cette identification, et<lb/> montrant qu’elle est vraie pour la propriété fondamentale<lb/> des aimants. Si l'on suspend une boucle fermée suivie<lb/> par un courant, elle se dirige sous l'influence du<lb/> magnétisme terrestre comme l'aimant équivalent,<lb/> de telle sorte que le courant soit ascendant à l'Ouest<lb/> et descendant à l'Est. Le moment du couple directeur<lb/> de l'aimant (horizontal) serait : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>MH</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2176"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">201</p>
<p rend="left">Celui du couple directeur de la boucle est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Si</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">4 e expérience</hi>, autre variante de l'expérience de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref></persname>.<lb/> Substituons maintenant la boucle à l'aimant mobile<lb/> A'B', placé dans la 2 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> position. On trouve que la<lb/> déviation de la boucle sous l'influence de l'aimant fixe<lb/> obéit à la loi : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi>Hr</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> M étant toujours le moment magnétique de AB.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">5 e expérience</hi>. Si enfin on remplace les deux aimants<lb/> AB, A'B', par deux courants fermés infiniment petits,<lb/> la déviation se produit dans le même sens, et obéit à la<lb/> loi : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi>tg</default:mi><default:mo stretchy="false">β</default:mo><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">⋅</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Si</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mi mathvariant="normal">H</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> les quantités S, i étant relatives à la boucle fixe.</p>
<p rend="left">On a ainsi tous les cas possibles d'actions des aimants<lb/> sur les courants, des courants sur les aimants et des<lb/> courants sur les courants, et elles sont soumis<add class="below add" place="below">es</add> aux mêmes<lb/> lois que les actions des aimants sur les aimants.</p>
<p rend="left">Ces lois ont été découvertes par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref> (1824) qui<lb/> y est arrivé par une voie toute différentes : de l'expérience<lb/> d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444"> Œrstedt</ref></persname> il a immédiatement conclu l'identité des<lb/> courants et des aimants, et deviné les lois de leurs actions<lb/> réciproques en conséquence de cette hypothèse.</p>
<p rend="left">Nous allons généraliser ces lois, obtenues pour des<lb/> boucles infiniment petites, et imaginer des solénoïdes</p>
</div>
<p><ptr target="2177"/></p>
<div>
<p rend="left">202</p>
<p rend="left">et des feuillets électriques analogues aux magnétiques.</p>
<p rend="left">On remplacera chaque élément d'un solénoïde magnétique<lb/> par un courant fermé infiniment petit, tel que :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> dM étant le moment magnétique de l'élément ; or on sait<lb/> que : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi>dm</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>Idv</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>Iσdx</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>Pdx</default:mi></default:math></p>
<p rend="left">Toutes les boucles seront normales à l'axe du solénoïde ma-<lb/> gnétique, et formeront un <hi rend="underline">solénoïde électrique</hi> équivalent.<lb/> Comme elles sont toutes traversées dans le même sens par le<lb/> même courant, <hi rend="underline">i</hi> est constante. Si l'on suppose données<lb/> <hi rend="underline">i</hi> et <hi rend="underline">dx</hi> (longueur de chaque élément), on déterminera<lb/> dS (aire de chaque boucle) par la relation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mi>dx</default:mi></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Mais si <hi rend="underline">dx</hi> est arbitraire, à chaque valeur de <hi rend="underline">dx</hi> corres-<lb/> pondra une <del class="none del">système</del> valeur de dS, de sorte qu'il y aura<lb/> une infinité de solénoïdes électriques équivalents au<lb/> solénoïde magnétique donné. L'aire des boucles sera<lb/> proportionnelle à l'écartement <hi rend="underline">dx</hi> de 2 boucles consécutives.<lb/> On sait comment on peut former un solénoïde avec un<lb/> fil continu ; on sait aussi qu'il revient au même de<lb/> l'enrouler en hélice sur une bobine et de le ramener au<lb/> point de départ suivant l'axe de la bobine : car les<lb/> portions infiniment voisines d'un circuit, parcourues</p>
</div>
<p><ptr target="2178"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">203</p>
<p rend="left">en sens inverse par le courant, neutralisent leurs effets.</p>
<p rend="left">Les solénoïdes électriques peuvent se réduire à leurs pôles<lb/> comme les solénoïdes magnétiques équivalents.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> a le premier construit des solénoïdes et<lb/> inventé leur nom. C'est <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> lord Kelvin</ref></persname> qui a conçu les<lb/> solénoïdes magnétiques à leur image.</p>
<p rend="left">D'autre part, on peut considérer un courant fermé<lb/> quelconque comme équivalent à un feuillet magnétique<lb/> ayant pour contour ce courant.</p>
<p rend="left">En effet, si l'on partage l'aire du contour par un<lb/> quadrillé de fils doubles dont chacun est parcouru par<lb/> 2 courants inverses d’intensité égale à celle du courant<lb/> donné, on ne change rien au champ magnétique du<lb/> courant extérieur, chacun des fils doubles ayant une<lb/> action magnétique nulle. Mais, d'un autre côté, on peut<lb/> décomposer tout ce réseau en mailles contiguës parcou-<lb/> rues par des courants de même sens et de même intensité,<lb/> et remplacer chacune d'elles (boucle infiniment petite)<lb/> par un aimant de moment magnétique égale à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> On peut donc remplacer le courant extérieur donné (au<lb/> point de vue de son action magnétique) par l'ensemble<lb/> de ces aimants élémentaires. Or cet ensemble est un<lb/> feuillet magnétique. En effet, tous ces petits aimants</p>
</div>
<p><ptr target="2179"/></p>
<div>
<p rend="left">204</p>
<p rend="left">ont leur pôle boréal d'un même côté, et leur pôle austral<lb/> de l'autre. En outre, la puissance du feuillet est constante :<lb/> car on a d'une part : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">d</default:mi><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:math><lb/> et d'autre part, par construction : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi>dM</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>idS</default:mi><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mfrac></default:math>.</p>
<p rend="left">Donc la puissance est : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">P</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>,<lb/> et, comme i <add class="below add" place="below">est constante pour toutes les mailles</add>, elle est constante pour tous les aimants.</p>
<p rend="left">C'est la puissance du feuillet.<lb/> En vertu de ces relations entre les courants et les aimants,<lb/> des deux hypothèses des fluides électriques et des fluides<lb/> magnétiques, une au moins est superflue.<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> a<lb/> proposé d'expliquer les phénomènes magnétiques en conce-<lb/> vant chaque aimant comme composé d'aimants infini-<lb/> ment petits, et chacun de ceux-ci comme formé par un<lb/> courant fermé infiniment petit.</p>
<p rend="left">Qu'y a-t-il au fond dans les molécules d'un aimant ?<lb/> Est-ce un courant ou un aimant ? Cette question n'a pas<lb/> de sens, car nous ne connaissons ni la nature de l'aimant<lb/> ni celle du courant. Dire que chaque molécule est un<lb/> aimant, ou dire qu'elle est le siège d'un courant, c'est<lb/> énoncer deux affirmations équivalentes, entre lesquelles<lb/> l'expérience ne peut décider.</p>
<p rend="left">Pourtant, on sait qu'un courant éprouve toujours une<lb/> certaine résistance et dépense de l'énergie pour la vaincre ;</p>
</div>
<p><ptr target="2180"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">205</p>
<p rend="left">tandis qu'un aimant ne perd rien de son énergie avec<lb/> le temps, et ne s'échauffe nullement. L'hypothèse des<lb/> courants moléculaires est donc bien invraisemblable.<lb/> Toutefois, on peut dire que ce sont des courants qui ne<lb/> dépensent pas d'énergie et ne produisent pas de chaleur.<lb/> Seulement, on ne sait pas si tout courant ne suppose<lb/> pas une dépense d'énergie, ni, <unclear class="high unclear" cert="high"> pourtant</unclear>, si l'idée d'un<lb/> courant qui ne dépense pas d'énergie n'implique pas<lb/> contradiction : c'est une formule qui ne veut rien dire.<lb/> En somme, aimants et courants sont de simples images<lb/> qui nous permettent de prévoir les phénomènes et de<lb/> calculer leur grandeur ; et nous ne saurons jamais si<lb/> ces images correspondent à quelque réalité. Peu importe<lb/> à la science, puisque le résultat pratique est le même.</p>
<p rend="center">Systèmes d'unités électriques</p>
<p rend="left">Supposons qu'on n'ait d'abord connu que les courants,<lb/> et qu'en effectuant les expériences de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref> sur des boucles<lb/> on ait été amené à déterminer la constante <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Si</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> En appliquant <add class="below add" place="below">ensuite</add> la même méthode aux aimants, on<lb/> définira le moment magnétique M comme égal à <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Si</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math>.<lb/> <del class="none del">Si on contraire on <add class="above add" place="above">ne</add> connaissait d'abord que les aimants,</del>.</p>
<p rend="left">D'autre part, on peut réduire <subst class="undefined subst"> <del class="none del">les</del> <add class="above add" place="above">un</add></subst> aimant<del class="none del">s</del> à deux masses<lb/> magnétiques <add class="below add" place="below">de signe contraire</add>, de grandeur <add class="below add" place="below">absolue</add><hi rend="underline">m</hi>, reliée au moment M par</p>
</div>
<p><ptr target="2181"/></p>
<div>
<p rend="left">206</p>
<p rend="left">la relation : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ml</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> d'où : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi>Si</default:mi><default:mi>lv</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">Ainsi les masses magnétiques peuvent se définir en fonction<lb/> de l’intensité du courant électrique équivalent à l'aimant,<lb/> et par suite de la quantité d'électricité transportée par ce<lb/> courant.</p>
<p rend="left">Inversement, si l'on avait d'abord découvert et étudié les<lb/> aimants, on aurait commencé par définir les masses ma-<lb/> gnétiques, puis on aurait exprimé, en fonction de celles-ci,<lb/> l'intensité du courant équivalent et la quantité d'élec-<lb/> tricité.</p>
<p rend="left">En résumé, on peut indifféremment partir de la quantité<lb/> d'électricité pour aboutir à la quantité de magnétisme,<lb/> ou inversement, ces 2 quantités étant reliées par une série<lb/> de formules exprimant autant de lois expérimentales.</p>
<p rend="left">Suivant qu'on part d'une extrémité ou de l'autre, on<lb/> obtient le <hi rend="underline">Système Electro-Statique</hi> ou le <hi rend="underline">Système</hi><lb/> <hi rend="underline">Electro-Magnétique</hi> d'unités électriques.</p>
<p rend="left">Dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Syst.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice> toutes les unités électriques dépendent<lb/> de l'unité de masse électrique ; dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.Mg.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Magnétique</expan></choice>, toutes<lb/> les unités dépendent de l'unité de masse magnétique.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">A priori</hi>, les deux systèmes se valent ; mais en principe,<lb/> le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice> paraît préférable, car les charges électriques</p>
</div>
<p><ptr target="2182"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">207</p>
<p rend="left">sont accessibles à l'observation et à la mesure (on peut<lb/> obtenir des charges contraires sur les deux moitiés d'un<lb/> corps, les séparer et les manier) ; tandis que l'on ne peut<lb/> obtenir une masse magnétique séparée. Il est vrai que<lb/> <del class="none del">du</del> tout solénoïde équivaut à 2 masses magnétiques<lb/> égales et contraires placées aux 2 pôles ; mais c'est là<lb/> une fiction. Au fond, la quantité de magnétisme est<lb/> une <unclear class="medium unclear" cert="medium"> extraction</unclear> insaisissable.</p>
<p rend="left">Les deux systèmes d'unités sont indépendants du<lb/> choix des unités fondamentales de longueur, de temps et<lb/> de masse ; toutefois, <subst class="undefined subst"><del class="none del">nous</del> <add class="above add" place="above">on</add></subst> les rapporte habituellement<lb/> au système CGS. Nous allons exposer d'abord le<lb/> <hi rend="underline">Système Electro-Statique CGS</hi>.</p>
<p rend="left">La masse électrique est définie par la loi de Coulomb :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Supposons <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:math> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:msqrt><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi></default:mfrac></default:msqrt></default:math><lb/> On <del class="none del">adopte un</del> choisit l'unité de masse électrique de telle<lb/> sorte que, dans le vide : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:math>. On a alors :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:msqrt><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi></default:msqrt></default:math><lb/> et par suite la relation entre les unités est la suivante :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msup><default:mi>LF</default:mi><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:msup></default:math><lb/> Or : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msup><default:mi>MLT</default:mi><default:mrow><default:mo>-</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:math><lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:msup><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mfrac><default:mn>3</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac></default:msup><default:msup><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mo>-</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msup></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2183"/></p>
<div>
<p rend="left">208</p>
<p rend="left">Il ne faut attribuer aux formules de dimensions aucune<lb/> valeur objective. Elles indiquent comment la mesure d'une<lb/> grandeur <add class="above add" place="above">varie</add> quand on change d'unités fondamentales. Elles<lb/> ne servent qu'à transformer les formules numériques, et<lb/> n'ont rien à voir avec la nature des phénomènes. Aussi<lb/> n'est-il nullement nécessaire que la même espèce de gran-<lb/> deurs ait toujours les mêmes dimensions : cela dépend<lb/> des hypothèses et conventions adoptées, par exemple, de ce<lb/> qu'on pose <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math> dans le <choice class="undefined choice"><abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice>. Les formules de<lb/> dimensions n'auraient un sens <hi rend="underline">réel</hi> que si le mécanisme<lb/> était vrai, et si l'explication mécanique des phénomènes<lb/> était la seule possible : car alors tous les phénomènes seraient<lb/> mesurés par des longueurs, des masses et des temps. Mais<lb/> c'est ce qu'on ne peut affirmer dans l'état actuel de la science :<lb/> on ne sait pas si toute énergie est réductible à l'énergie<lb/> mécanique, ou au travail.</p>
<p rend="center">17 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Les formules de dimensions ont cet avantage, qu'elles indiquent<lb/> quelles grandeurs il faut mesurer pour avoir la valeur de la<lb/> grandeur considérée, et à quelle puissance elles figurent<lb/> dans son expression.</p>
<p rend="left">Par exemple, si dans la balance de Coulomb les 2 boucles,<lb/> également chargées, exercent l'une sur l'autre une répulsion</p>
</div>
<p><ptr target="2184"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">209</p>
<p rend="left">de 4 dynes à la distance de 10 centimètres, leur<lb/> charge sera mesurée par le nombre <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mn>10</default:mn><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow></default:msqrt><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>20</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Nous allons évaluer toutes les autres unités électriques<lb/> et magnétiques en fonction de l'unité de masse électrique ;<lb/> nous désignons par des minuscules les grandeurs mesu-<lb/> rées dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice>, et par des majuscules les mêmes<lb/> grandeurs mesurées dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.Mg</abbr></choice><expan class="undefined expan"> Système Electro-Magnétique</expan>.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">densité électrique solide</hi> ρ est définie par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> La <hi rend="underline">densité électrique superficielle</hi> μ est définie par :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Le <hi rend="underline">potentiel électrostatique</hi> est défini par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> (<default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>) Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:mrow></default:math>.<lb/> Ainsi la mesure du potentiel se ramène essentiellement<lb/> à la mesure d'une force (il est proportionnel à sa <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> rac.</abbr><expan class="undefined expan"> <unclear class="medium unclear" cert="medium"> racine</unclear></expan></choice> q).</p>
<p rend="left">La méthode de mesure la plus élégante sera celle qui<lb/> réduit <add class="below add" place="below">au minimum</add> le nombre des grandeurs à mesurer. Tel est ici<lb/> l'électromètre sphérique de <persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref></persname>,<lb/> dont la formule est (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2144 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2144"> p.169</ref>) : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mn>8</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Dans l'électromètre de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> lord Kelvin</ref>, la formule est plus<lb/> compliquée : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>8</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:msup><default:mfenced open="(" close=")"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mfenced><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math><lb/> d'où :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:msub><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:msub><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msub></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>8</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2185"/></p>
<div>
<p rend="left">210</p>
<p rend="left">On a à mesurer, outre F, e et S : seulement, ces deux<lb/> dernières grandeurs disparaissent de la formule des<lb/> dimensions, car <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math> se réduit à un coefficient numérique.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">capacité électrique</hi> est définie par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>cV</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">c</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">Par exemple, la capacité d'une sphère est égale à son rayon (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2070 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2070"> p.95</ref>).<lb/> Ainsi la méthode la plus élégante pour mesurer les<lb/> capacités consiste à les comparer à celle d'une sphère.<lb/> La capacité d'un condensateur à plateau est donnée par<lb/> la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">S</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mn>4</default:mn><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:mi mathvariant="normal">e</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> moins simple, car il y entre 2 grandeurs à mesurer S et<lb/> e, dont le rapport <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mfrac></default:math> se réduit à la dimension L.<lb/> Pour passer du vide à un autre milieu, il faut intro-<lb/> duire la <hi rend="underline">constante diélectrique</hi><add class="above add" place="above">du milieu</add> : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">K</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi><default:mo>'</default:mo></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">C</default:mi></default:mfrac></default:math><lb/> C étant la capacité du conducteur dans le vide, et C'<lb/> sa capacité dans le milieu considéré. C'est le rapport de<lb/> 2 grandeurs de même espèce, donc un simple nombre,<lb/> indépendant des unités fondamentales. On dit qu'il est<lb/> de dimension 0 (L°M°T°). Ce fait caractérise le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.</abbr><expan class="undefined expan"> Système</expan></choice><lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Electro-Statique</expan></choice> : il vient en effet de ce qu'on a posé : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">k</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:math> (<subst class="undefined subst"><del class="none del">ce qui</del> <add class="below add" place="below">pour le vide</add></subst>)<lb/> ce qui réduit tous les autres <hi rend="underline">k</hi> à des coefficients numériques.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">pression électrostatique</hi> est définie par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">τ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>2</default:mn></default:mrow><default:mo stretchy="false">π</default:mo><default:msup><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mstyle displaystyle="true"><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mstyle><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mfrac></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2186"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">211</p>
<p rend="left">L'<hi rend="underline">énergie électrostatique</hi> s'exprime par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mstyle displaystyle="true"><default:msup><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup></default:mstyle><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mi>LF</default:mi></default:math>.<lb/> On aboutit au même résultat en partant de la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mn>1</default:mn><default:mn>2</default:mn></default:mfrac><default:mi>ΣmV</default:mi></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi>QV</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mi>LF</default:mi></default:math>.</p>
<p rend="left">On voit que les dimensions de l'énergie sont les mêmes<lb/> que celles d'un travail, ce qui justifie l'assimilation<lb/> de l'énergie électrique aux autres formes de l'énergie.</p>
<p rend="left">Passons aux grandeurs électriques relatives aux courants.</p>
<p rend="left">L'<hi rend="underline">intensité d'un courant</hi> est la quantité d'électricité<lb/> qu'il transporte en l' unité de temps : donc :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">q</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mstyle displaystyle="true"><default:mi mathvariant="normal">Q</default:mi></default:mstyle><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:msqrt><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:msqrt></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">résistance</hi> se définit en fonction de l'énergie électrique<lb/> par la loi de Joule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi>Ri</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:math> d'où :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">W</default:mi><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">i</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">t</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mfrac><default:mstyle displaystyle="true"><default:mi>LFT</default:mi></default:mstyle><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mn>2</default:mn></default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo>=</default:mo><default:mfrac><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mfrac></default:math></p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">résistance spécifique</hi> ρ est définie <del class="none del">par</del> <add class="below add" place="below">en fonction de</add> la résistance<lb/> par la formule : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo></default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">s</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:math><lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">ρ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Rs</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">R</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>RL</default:mi></default:mrow><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On passe aux grandeurs magnétiques par la formule<lb/> qui exprime l'équivalence du moment magnétique d'un<lb/> aimant et d'un courant : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>Si</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On convient de choisir l'unité de moment magnétique<lb/> de telle sorte que le coefficient numérique v soit égal à 1.<lb/> Donc : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>Si</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
</div>
<p><ptr target="2187"/></p>
div>
<p rend="left">212</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">quantité de magnétisme</hi> ou masse magnétique <hi rend="underline">m</hi><lb/> se détermine en fonction du moment par la relation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi>ml</default:mi></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">l</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left"><del class="none del">L'intensité d'aimantation</del></p>
<p rend="left">Le <hi rend="underline">potentiel magnétique</hi> se définit par la formule :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">V</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mrow><default:mo stretchy="false">∑</default:mo><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">L’<hi rend="underline">intensité d'aimantation</hi> est définie par la relation :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi></default:mrow><default:mi>dv</default:mi></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">I</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">v</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>3</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">perméabilité magnétique</hi> μ est définie par la loi<lb/> de Coulomb : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> ou, si <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi></default:mrow><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow></default:math> :<lb/> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">f</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math> <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">m</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi>fr</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Dimensions : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>4</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math><lb/> Ce sont les dimensions du carré d'une vitesse.</p>
<p rend="left">Nous avons laissé partout <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt></default:mrow></default:math> dans ces expériences,<lb/> en considérant, pour simplifier, la force comme une unité<lb/> fondamentale. Pour exprimer les dimensions en unités<lb/> du système CGS, il suffit de faire : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:msqrt><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi></default:mrow></default:msqrt><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">M</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msup></default:mrow><default:msup><default:mi mathvariant="normal">L</default:mi><default:mrow><default:mfrac><default:mrow><default:mn>1</default:mn></default:mrow><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:msup><default:msup><default:mi mathvariant="normal">T</default:mi><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">−</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Dans le <hi rend="underline">Système Electro-Magnétique</hi>, on part<lb/> de la loi de Coulomb pour les actions magnétiques, qui<lb/> détermine la quantité de magnétisme : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mi mathvariant="normal">F</default:mi><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mfrac><default:mrow><default:mi>mm</default:mi><default:mi mathvariant="normal">'</default:mi></default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:msup><default:mi mathvariant="normal">r</default:mi><default:mrow><default:mn>2</default:mn></default:mrow></default:msup></default:mrow></default:mfrac></default:mrow></default:mrow></default:math></p>
<p rend="left">On convient de <del class="none del">prendre</del> choisir l'unité de magnétisme<lb/> de telle sorte que l'on ait dans le vide : <default:math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><default:mrow><default:mrow><default:mo stretchy="false">μ</default:mo><default:mo stretchy="false">=</default:mo><default:mn>1</default:mn></default:mrow></default:mrow></default:math>.</p>
<p rend="left">Dès lors, on sait d'avance que toutes les unités auront</p>
</div>
<p><ptr target="2188"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">213</p>
<p rend="left">des <subst class="undefined subst"> <del class="none del">grandeurs</del> <add class="above add" place="above">dimensions</add></subst> différentes, puisque les dimensions de μ<lb/> dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice> sont <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">quantité de magnétisme</hi>, étant définie par la loi de<lb/> Coulomb, doit avoir les mêmes dimensions que la quantité<lb/> d'électricité dans le <choice class="undefined choice"><abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Le <hi rend="underline">potentiel magnétique</hi>, défini par la même formule<lb/> que le potentiel électrostatique, aura les mêmes dimensions :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Le <hi rend="underline">moment magnétique</hi> est alors défini par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ml</mi></mrow></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></math></p>
<p rend="left">L'intensité d'aimantation est définie par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dv</mi></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">perméabilité magnétique</hi> μ devient une constante<lb/> numérique, de dimension 0 : car elle se réduit au rapport<lb/> de 2 nombres.</p>
<p rend="left">On passe aux quantités électriques par l'équation de<lb/> Gauss : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>Si</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.Mg.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Magnétique</expan></choice> comme dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice> on con-<lb/> vient de prendre <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math>. La formule précédente détermine<lb/> alors l’<hi rend="underline">intensité du courant</hi> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">quantité d'électricité</hi> est enfin définie par la relation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>It</mi></mrow></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2189"/></p>
<div>
<p rend="left">214</p>
<p rend="left">On en déduit aisément les dimensions de la <hi rend="underline">densité électrique</hi><lb/> <hi rend="underline">solide</hi> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math>, de la <hi rend="underline">densité électrique superficielle</hi> :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math>, de la <hi rend="underline">pression électrostatique</hi> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">résistance</hi> est déterminée par la loi de Joule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">W</mi><mo stretchy="false">=</mo><msup><mi>Ri</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">W</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">i</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>FL</mi></mrow><mrow><mi>FT</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> Ce sont des dimensions d'une vitesse.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">résistance spécifique</hi> est définie par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">ρ</mo></mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></mfrac></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">ρ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>RL</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">force électromotrice</hi> est déterminée par la loi d'Ohm :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>Ri</mi></mrow></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>RI</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">La force électromotrice étant égale à une différence de<lb/> potentiel, le <hi rend="underline">potentiel</hi> V a les mêmes dimensions.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">capacité électrique</hi> est définie par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>CV</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Enfin la <hi rend="underline">constante diélectrique</hi> est déterminée par la loi<lb/> de Coulomb relative aux actions électriques (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>)<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">f</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>mm</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> ou, si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><del class="none del"> <mrow><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow></del>
<msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mi>fr</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.<lb/> Dimensions : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mi>FL</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><msup><mi>FL</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Ce sont les dimensions de l'inverse du carré d'une vitesse.</p>
<p rend="left">On pouvait s'y attendre, puisque dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique</expan></choice> où<lb/> l'on part de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math>, on trouve : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">μ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>,<lb/> tandis que dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.Mg.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Magnétique</expan></choice> on fait <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">μ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Quand on compare les formules des dimensions dans les</p>
</div>
<p><ptr target="2190"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">215</p>
<p rend="left">deux systèmes, on remarque qu'elles ne différent que<lb/> par une puissance du rapport <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac></mrow></math>. Elles ne changent<lb/> donc pas quand l'unité de masse varie, ou encore<lb/> quand les unités de longueur et de temps varient dans<lb/> le même rapport.</p>
<p rend="left">Les unités électriques du <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.Mg.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Magnétique</expan></choice> CGS se trouvent être<lb/> beaucoup trop petites ou beaucoup trop grandes pour la<lb/> pratique. Aussi a-t-on essayé d'en déduire un<lb/> <hi rend="underline">Système d'unités pratiques</hi> qui fussent des multiples<lb/> exacts des unités théoriques CGS.</p>
<p rend="left">Pour cela, on conserve les relations suivantes, où l'on<lb/> a réduit tous les coefficients numériques à l’unité :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>It</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi>CE</mi></mrow></mrow></math><lb/> Loi d'Ohm : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>RI</mi></mrow></mrow></math><lb/> Loi de Joule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">W</mi><mo stretchy="false">=</mo><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">On choisit arbitrairement les unités pratiques de résistance<lb/> et de force électromotrice ; les autres s'en déduisent au<lb/> moyen des relations précédentes, qui déterminent leur<lb/> rapport aux unités <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> El.Mg.</abbr><expan class="undefined expan"> Electro-Magnétiques</expan></choice> CGS :<lb/> L'<hi rend="underline">unité pratique de résistance</hi> est <hi rend="underline">l'Ohm</hi> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mn>9</mn></mrow></msup></mrow></math>. CGS</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> L'unité pratique de force</hi><choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> <hi class="underline hi" rend="underline"> électrom.</hi></abbr><expan class="undefined expan"> <hi class="underline hi" rend="underline"> électromagnétique</hi></expan></choice> est le <hi rend="underline">Volt</hi> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mn>8</mn></mrow></msup></mrow></math>. CGS</p>
<p rend="left">L'<hi rend="underline">unité pratique d'intensité de courant</hi> est l'<hi rend="underline">Ampère</hi> : et<lb/> comme : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>, l'<hi rend="underline">ampère</hi> vaut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msup></mrow></math> CGS</p>
</div>
<p><ptr target="2191"/></p>
<div>
<p rend="left">216</p>
<p rend="left">L'<hi rend="underline">unité pratique de quantité d'électricité</hi> est le <hi rend="underline">Coulomb</hi> :<lb/> en vertu de la formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>It</mi></mrow></mrow></math>, il vaut aussi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msup></mrow></math>. CGS.</p>
<p rend="left">L'<hi rend="underline">unité pratique de capacité électrique</hi> est le <hi rend="underline">Farad</hi> :<lb/> et comme on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>, le <hi rend="underline">farad</hi> vaut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>9</mn></mrow></mrow></msup></mrow></math>. CGS.</p>
<p rend="left">Cette unité étant encore très-grande, on a adopté le<lb/> <hi rend="underline">microfarad</hi> (millionième de farad) qui vaut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>15</mn></mrow></mrow></msup></mrow></math>. CGS.</p>
<p rend="left">D'autres unités se sont introduites dans la pratique et<lb/> l'industrie : par exemple, l'unité usuelle de quantité<lb/> d'électricité est l'<hi rend="underline">ampère-heure</hi> ; et comme le <hi rend="underline">coulomb</hi><lb/> correspond à la <hi rend="underline">seconde</hi>, l'<hi rend="underline">ampère-heure</hi> vaut 3600<lb/> <hi rend="underline">coulombs</hi>.</p>
<p rend="left">Quand on a voulu réaliser les unités pratiques de résistance<lb/> et de capacité pour avoir des étalons de ces grandeurs, on<lb/> a trouvé diverses déterminations dont a pris les moyennes :<lb/> par exemple, l'<hi rend="underline">ohm</hi> a été représenté par une colonne de<lb/> mercure de 1 <unclear class="medium unclear" cert="medium"> mmq.</unclear> de section et de 106 cm de longueur<lb/> à 0°. Mais cette valeur moyenne était trop faible ; on l'a<lb/> corrigée en donnant à la colonne une longueur de 106,3.<lb/> cette valeur est encore inexacte ; mais, comme on ne peut<lb/> corriger indéfiniment l'étalon de résistance, on est convenu<lb/> de définir l'unité pratique de résistance par cet étalon, sans<lb/> se soucier de la définition théorique de l'<hi rend="underline">ohm</hi> comme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mn>9</mn></mrow></msup></mrow></math><lb/> unités CGS. Par suite, le système d'unités pratiques a</p>
</div>
<p><ptr target="2192"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">217</p>
<p rend="left">rompu tout lien avec le système CGS, et les unités élec-<lb/> triques appelées <hi rend="underline">ohm</hi>, <hi rend="underline">volt</hi>, <hi rend="underline">ampère</hi>, <hi rend="underline">coulomb</hi> et <hi rend="underline">farad</hi><lb/> n'ont qu'une existence légale, sans fondement théorique.</p>
</div>
<div>
<p rend="center">18 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">On a souvent besoin de passer d'un système à l'autre,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> connaissant la valeur d'une grandeur mesurée<lb/> dans un système, de trouver sa valeur dans un autre.</p>
<p rend="left">Pour cela, il faut d'abord connaître les dimensions<lb/> de la grandeur considérée dans chacun des systèmes. Par<lb/> exemple, les dimensions de l’intensité d'un courant et<lb/> de la force électromotrice sont respectivement:<ttable class="undefined ttableau"><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Statique:</expan></choice></cell><cell class="undefined cell">dans le <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> Sys.El.Mg.</abbr><expan class="undefined expan"> Système Electro-Magnétique</expan></choice></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac></mrow><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></mrow></math></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mo stretchy="false">=</mo><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></mrow></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac></mrow><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></msqrt></mrow></math></cell></row></ttable></p>
<p rend="left">Pour calculer le rapport des valeurs d'une même grandeur<lb/> dans les 2 systèmes, on se sert des formules qui expriment<lb/> les lois fondamentales, qui sont les mêmes dans les 2<lb/> systèmes. Par exemple, on a entre Q, I, E, R, C les<lb/> relations suivantes :<lb/> <ttable class="undefined ttableau"> <row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>it</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi>ce</mi></mrow></mrow></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>CE</mi></mrow></mrow></math></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>=</mo><mi>ri</mi></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mi>RI</mi></math></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">W</mi><mo>=</mo><msup><mi>ri</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mi>eit</mi></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">W</mi><mo>=</mo><msup><mi>RI</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mi>EIt</mi></math></cell></row></ttable></p>
Si l'on connaît par ex. le rapport <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, on en déduit les</div>
<p><ptr target="2193"/></p>
<div>
<p rend="left">218</p>
<p rend="left">autres de proche en proche. Dans la 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> formule, <hi rend="underline">t</hi> étant le<lb/> même nombre, on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Dans la 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> formule de W (dont la valeur est la même<lb/> dans les 2 systèmes), on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.<lb/> La loi d'Ohm donne : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">×</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math><lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mrow><mo stretchy="false">=</mo><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Enfin : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">×</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">×</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math><lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">On obtient ainsi une chaîne de proportions entre les<lb/> valeurs des diverses grandeurs dans les 2 systèmes :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mrow><mo stretchy="false">=</mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow></mrow></math><lb/> v étant un nombre constant qui a les dimensions<lb/> d'une vitesse : car : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Pour déterminer ce nombre, il suffit de prendre la<lb/> mesure absolue d'une même grandeur dans les 2 systèmes ;<lb/> <del class="none del">et de calculer leu</del> on a donc une foule de méthode pour<lb/> évaluer v. Inversement, une fois <hi rend="underline">v</hi> connu, on a immé-<lb/> diatement le rapport des valeurs d'une grandeur dans<lb/> les deux systèmes, au moyen des formules précédentes.</p>
<p rend="left">On a trouvé, à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>200</mn></mrow></mfrac></mrow></math> près : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi><mo stretchy="false">=</mo><msup><mn>3.10</mn><mn>10</mn></msup></mrow></mrow></math><lb/> Or la vitesse de la lumière est en centimètre, à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1000</mn></mrow></mfrac></mrow></math><lb/> près : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mn>3.10</mn><mn>10</mn></msup></mrow></math> (300 000 kilomètres).<lb/> Cette coïncidence curieuse ne peut pas être fortuite : car</p>
</div>
<p><ptr target="2194"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">219</p>
<p rend="left">les premières déterminations de <hi rend="underline">v</hi> donnèrent 288000<lb/> kilomètres ; mais à mesure qu'on obtenait des résultats<lb/> plus exacts et qu'on employait des méthodes plus précises,<lb/> les valeurs trouvées pour v se rapprochaient de la vitesse<lb/> de la lumière. Ce seul fait donne lieu de présumer<lb/> qu'il y a un lien entre la lumière et l'électricité, et<lb/> qu'une théorie mécanique pourrait expliquer à la fois<lb/> l'une et l'autre. La théorie électromagnétique de la<lb/> lumière de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref>, est un essai imparfait de ce genre<lb/> d'explication.</p>
<p rend="center">Instruments de mesure électromagnétiques</p>
<p rend="left">Se divisent en 2 classes : boussoles, électrodynamomètres.</p>
<p rend="left">1° <hi rend="underline">Boussoles</hi>. Le principe des boussoles est l'expérience<lb/> de Gauss, qui constitue le lien entre les phénomènes<lb/> électriques et magnétiques. Si dans la 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> position de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref></persname>,<lb/> on remplace l'aimant fixe AB par une boucle infini-<lb/> ment petite de surface S parcourue par un courant<lb/> d'intensité i, la déviation β de l'aimant mobile A'B'<lb/> est donnée par la formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>Si</mi></mrow><mrow><msup><mi>Hr</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Μ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>Si</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>, mais on prend <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math> dans les 2 systèmes).</p>
<p rend="left">Connaissant H et ayant mesuré β, on en déduit :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>Hr</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2S</mn></mrow></mfrac></mrow><mi>tg</mi><mo stretchy="false">β</mo></mrow></math><lb/> Telle est la mesure électromagnétique de l'intensité d'un courant,</p>
</div>
<p><ptr target="2195"/></p>
<div>
<p rend="left">220</p>
<p rend="left">en fonction de l'intensité horizontale H du champ magnétique<lb/> terrestre.</p>
<p rend="left">Les boussoles sont fondées sur le même principe, en remplaçant<lb/> la boucle de courant infiniment petite par un circuit fermé<lb/> de dimensions finies.</p>
<p rend="left">La <hi rend="underline">boussole des tangentes</hi>, de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m"> Pouillet</ref>,<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> réalise la 1 <hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> position de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref></persname>, avec un<lb/> courant circulaire placé dans le plan du<lb/> méridien magnétique, et une petite<lb/> aiguille aimantée. AB dont le centre P est sur l'axe du cercle 0.</p>
<p rend="left">Cherchons le potentiel du courant sur le point extérieur P.<lb/> En vertu de l'assimilation du courant à un feuillet, ce<lb/> potentiel a pour expression : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mo stretchy="false">Ω</mo></mrow></math> (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2173 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2173"> p.198</ref><add class="below add" place="below">et <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2179 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2179"> 204</ref></add>)</p>
<p rend="left">I étant l’intensité du courant, et Ω l'angle solide sous<lb/> lequel on voit du point P la face australe du feuillet.</p>
<p rend="left">Supposons P du côté de la face australe : soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>P0</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></mrow></math> ; et<lb/> R le rayon <add class="above add" place="above">α l'angle OPM</add>. L'angle solide Ω est la surface de la<lb/> calotte sphérique de rayon 1 circonscrite par le cône P :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Ω</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mi>cos</mi></mrow><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math><lb/> Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>cos</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>OP</mi></mrow><mrow><mi>MP</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> Donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></math></p>
<p rend="left">La force exercée sur une masse magnétique +1 (pôle austral)</p>
</div>
<p><ptr target="2196"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">221</p>
<p rend="left">placée en P sera dirigée suivant 0P prolongée :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dV</mi></mrow><mrow><mi>da</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Supposons maintenant que l’aiguille aimantée placée<lb/> en P ait un pôle austral +m ; un pôle boréal -m :<lb/> Chaque pôle sera soumis à la force mF de la part du<lb/> courant, et à la force mH de la part du champ terrestre :<lb/> ces 2 forces sont perpendiculaires l'une à l'autre, et la<lb/> position d'équilibre sera déterminée par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>mF</mi></mrow><mrow><mi>mH</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">×</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math><lb/> Connaissant a, R et H, on mesure la déviation β et l'on<lb/> calcule I (en unités électromagnétiques).</p>
<p rend="left">Dans la plupart des boussoles, l'aiguille est placée au<lb/> centre même du cercle ; alors , et l'on a simplement :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi>HR</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">On a supposé jusqu’ici que l'aiguille était assez courte<lb/> pour que la force sur chaque pôle fût sensiblement égale,<lb/> dans n'importe quelle position, à la force au centre P.</p>
<p rend="left">Dans la pratique, la longueur de l’aiguille n'est pas négligeable,<lb/> et l'on en tient compte en introduisant dans la formule<lb/> un facteur de correction qui est une série de puissances<lb/> paires de <hi rend="underline">l</hi> (formule due à <persname> </persname><ref class="http://www.idref.fr/119414392 ref" target="http://www.idref.fr/119414392"> Blanchet</ref>). Il suffit d'en<lb/> prendre <subst class="undefined subst"> <del class="none del">le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> terme</del> <add class="below add" place="below">les 2 premiers</add></subst> termes ; on a alors la formule :</p>
</div>
<p><ptr target="2197"/></p>
<div>
<p rend="left">222</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mrow><mrow><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>tg</mi><mo stretchy="false">β</mo></mrow></mfrac></mrow><mfenced open="[" close="]"><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>16</mn></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">×</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">−</mo><msup><mn>4a</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mn>5</mn></mrow><msup><mi>sin</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">β</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow></math></p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403909f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12403909f"> Gauguin</ref> a eu l'idée de faire disparaître le terme en l <hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi><lb/> en posant : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">−</mo><msup><mn>4a</mn><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2a</mn></mrow></mrow></math>,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> en plaçant l'aiguille à une distance <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math> du cercle.<lb/> Mais cette disposition ingénieuse théoriquement n'est pas<lb/> un perfectionnement pratique : car on sait pas si, en<lb/> annulant le terme <hi rend="underline">l</hi><hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi>, on ne rend pas très grand le<lb/> terme <hi rend="underline">l</hi><hi class="sup hi" rend="sup"> 4</hi>, de sorte que l'erreur commise peut être<lb/> aussi grande, mais inconnue et incorrigible. De plus,<lb/> il y a une difficulté pratique qui vient de ce que<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> le cadre de la bobine, au lieu d'être plat, doit être<lb/> conique : et il est plus difficile d'enrouler régu-<lb/> lièrement le fil, ce qui est une nouvelle cause<lb/> d'erreur. Les appareils simples sont toujours<lb/> préférables, parce qu'on peut aisément en découvrir les<lb/> défauts et y remédier ; de même, il faut employer des<lb/> formules très simples, pour pouvoir faire les corrections<lb/> avec sûreté et facilité.</p>
<p rend="left">On peut donner à la boussole des tangentes une autre<lb/> disposition : au lieu d'une bobine large et plate, on emploie<lb/> une bobine longue et étroite, <add class="above add" place="above">d'axe</add> perpendiculaire au méridien<lb/> magnétique, au centre de laquelle se trouve suspendue un</p>
</div>
<p><ptr target="2198"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">223</p>
<p rend="left">petite aiguille aimantée. C'est un ensemble de boucles fermées<lb/> juxtaposées ; soit <hi rend="underline">n</hi> le nombre de spires du fil par unité de<lb/> longueur de l'axe : une tranche de 1 cm. équivaut à <hi rend="underline">n</hi><lb/> boucles de courant, ou à <hi rend="underline">n</hi> feuillets magnétiques. Si <hi rend="underline">n</hi> est<lb/> très grand (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> le fil très fin et les spires très rapprochées),<lb/> on pourra, pour la commodité du calcul, considérer les<lb/> spires comme continues, de sorte que dans une tranche <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr><expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice><lb/> petite de longueur d'axe <hi rend="underline">dx</hi> il y en aura <hi rend="underline">ndx</hi>. Soit <hi rend="underline">x</hi><lb/> la distance (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> pos.</abbr><expan class="undefined expan"> positive</expan></choice> ou <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> nég.</abbr><expan class="undefined expan"> négative</expan></choice>) de la tranche au centre de la<lb/> bobine, et 2l la longueur totale de celle-ci. Le potentiel<lb/> élémentaire d'une spire ou boucle sur le centre 0 est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></math><add class="above add" place="above">(1)</add><app><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Appel de note renvoyant en marge inférieure</note><lem class="undefined lem"> <add class="bottom add" place="bottom">(1) Et par conséquent celui de la tranche <hi rend="underline">dx</hi>, contenant <hi rend="underline">ndx</hi> spires :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dV</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>nπI</mi><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">x</mi><msqrt><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></mrow></mfenced><mi>dx</mi></math></add></lem></app> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2195 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2195"> p.220</ref>)</p>
<p rend="left">Intégrons entre les limites -l et +l, pour avoir le potentiel<lb/> total de la bobine par apport à son centre (I est constante<lb/> dans toutes les spires, donc sort du signe ∫) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><msup><munder><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></munder><mrow><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mrow></msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow><mi>dx</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">La force exercée sur une masse magnétique +1 placée au<lb/> centre de la bobine sera : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dV</mi></mrow><mrow><mi>dx</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math><lb/> <hi rend="underline">dx</hi> étant le déplacement de cette masse suivant l'axe.</p>
<p rend="left">Or la même variation de potentiel dV peut être obtenue</p>
</div>
<p><ptr target="2199"/></p>
<div>
<p rend="left">224</p>
<p rend="left">en transportant <subst class="undefined subst"> <del class="none del">la</del> <add class="below add" place="below">une</add></subst> tranche de longueur <hi rend="underline">dx</hi> d'un bout à<lb/> l'autre de la bobine ; il faut donc faire dans la dérivée<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mrow></mrow></math>, et prendre la différence :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><mn>1</mn></mrow><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Dans le cas particulier où la bobine <unclear class="medium unclear" cert="medium"> a</unclear> une longueur<lb/> infinie, on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi>lim</mi><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La force prend alors une expression très simple :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Cette formule est applicable, par approximation, aux<lb/> bobines très longues par rapport à la longueur de l’aiguille :<lb/> 50 cm. par ex. Le facteur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></math> se traduit par un coef-<lb/> ficient numérique de correction (constante instrumentale).</p>
<p rend="left">Cela posé, et en supposant la longueur de l’aiguille négli-<lb/> geable par rapport au diamètre de la bobine, la déviation β<lb/> est donnée par la formule (cf. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2196 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2196"> p.221</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">×</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math><lb/> d'où l'on tire la valeur de I en fonction de H.</p>
<p rend="left">Cette forme de boussole des tangentes a été imaginée par<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref></persname>.</p>
<p rend="left">Toutes les boussoles supposent qu'on a la mesure absolue<lb/> de H, par ex. par l'expérience de Gauss. C'est l'inconvénient<lb/> de cette méthode, de faire intervenir un facteur météorologique</p>
</div>
<p><ptr target="2200"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">225</p>
<p rend="left">variable. Pour effectuer une mesure <subst class="undefined subst"> <del class="none del">exacte</del> <add class="above add" place="above">précise</add></subst>, il faut<lb/> mesurer H au moment même où l'on effectue la<lb/> mesure d'intensité, ce qui demande deux opérateurs :<lb/> ou bien il faut mesurer H avant et après l'expérience<lb/> d’intensité, et prendre la moyenne des deux résultats <del class="none del">e</del> <lb/> comme valeur probable de H au moment de l'expérience<lb/> (en vertu de la continuité des phénomènes naturels ;<lb/> et de la proportionnalité des variations infiniment petits).</p>
<p rend="left">Théoriquement, on ne peut répondre ni de l’exactitude<lb/> du résultat, ni même du degré d'approximation. Les<lb/> électrodynamomètres ont l'avantage de se passer du<lb/> champ terrestre, et de mesurer l’intensité du courant<lb/> par son action sur lui-même : ces instruments se<lb/> suffisent donc à eux-mêmes, et fournissent une mesure<lb/> absolue par une seule expérience.</p>
<p rend="left">Les <hi rend="underline">galvanomètres</hi> sont des instruments de mesure<lb/> <hi rend="underline">relative</hi> des intensités de courant. Le cadre où est enroulé<lb/> le fil étant de forme quelconque, on ne sait plus quelle<lb/> est la grandeur absolue de la force ; on sait seulement<lb/> qu'elle est perpendiculaire au plan du courant et<lb/> proportionnelle à l'intensité : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>mg</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math><lb/> <hi rend="underline">m</hi> étant la masse magnétique d'un pôle de l'aiguille, et <hi rend="underline">g</hi><lb/> une constante instrumentale. Si la longueur de l’aiguille</p>
</div>
<p><ptr target="2201"/></p>
<div>
<p rend="left">226</p>
<p rend="left">était très petite, on pourrait encore avoir une formule<lb/> de tangente : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>mg</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi>mH</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>gI</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> l'intensité à mesurer serait proportionnelle à la tangente.<lb/> On pourrait déterminer <add class="above add" place="above">empiriquement</add> le coefficient <hi rend="underline">g</hi> par comparaison<lb/> avec un instrument de mesure absolue.</p>
<p rend="left">Mais en général on ne s'astreint pas à employer une<lb/> aiguille très-courte. Alors la force varie en grandeur et<lb/> en direction par suite de la déviation, et l'on n'a plus<lb/> une tangente proportionnelle à l’intensité, ni même<lb/> une formule de tangente.</p>
<p rend="left">Aussi on ne peut employer le galvanomètre qu'avec<lb/> de faibles déviations, ou encore par une méthode qui ramène<lb/> toujours au zéro. Avec de faibles déviations, on peut encore<lb/> obtenir des mesures précises par la méthode de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v"> Gauss</ref></persname><persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb11904373v ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb120314530"> Poggen-<lb/> dorf</ref></persname> pour la mesure des angles.</p>
<p rend="left">La méthode du zéro est employée dans le <hi rend="underline">galvanomètre</hi><lb/> <hi rend="underline">différentiel</hi>, où l'on fait passer en sens inverse 2 courants,<lb/> l'un constant, à mesurer, l'autre variable à volonté et<lb/> d'intensité connue. On règle ce dernier de manière à<lb/> ramener l’aiguille au zéro : les deux courants sont alors<lb/> égaux et contraires.</p>
</div>
<p><ptr target="2202"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">227</p>
<p rend="center">19<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Un galvanomètre très sensible est celui de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13178939n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13178939n"> Melloni</ref> et<lb/> <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12043895q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12043895q"> Nobili</ref>, avec son aiguille astatique qui diminue énormé-<lb/> ment l'action du magnétisme terrestre et par suite aug-<lb/> mente les déviations de l'aiguille pour une intensité donnée.</p>
<p rend="left">Un galvanomètre plus sensible encore a été imaginé<lb/><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> lord Kelvin</ref></persname> : son système astatique est composé<lb/> non plus de 2 aiguilles longues, mais de 2 fais-<lb/> ceaux d'aiguilles courtes, parallèles et de même<lb/> sens dans chacun, les pôles des 2 faisceaux étant<lb/> contrariés. Chaque faisceau est mobile au centre<lb/> d'une bobine : les deux bobines sont parcourues<lb/> en sens inverse par le même courant, de sorte<lb/> que leurs actions sur le système s'ajoutent.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> Lord Kelvin</ref></persname> avait cherché la forme la plus favorable<lb/> à donner aux bobines ; mais il est commode de leur<lb/> donner simplement la forme circulaire.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb122895705 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb122895705"> M. Weiss</ref></persname> a encore perfectionné cet instrument en formant<lb/> le système astatique de 2 aiguilles aimantées <hi rend="underline">verticales</hi> et<lb/> accolées en sens inverse, <hi rend="underline">ab</hi>, <hi rend="underline">b'a'</hi>. Chaque aiguille pouvant<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>se réduire à ses pôles, ce système équivaut à<lb/> l'ensemble de 2 aiguilles horizontales très courtes :<lb/> <hi rend="underline">ab'</hi>, <hi rend="underline">ba'</hi>. Or des aiguilles longues sont capables</p>
</div>
<p><ptr target="2203"/></p>
<div>
<p rend="left">228</p>
<p rend="left">d'une aimantation bien plus forte que les aiguilles courtes.<lb/> Par cet ingénieux artifice on obtient des aimants à la fois<lb/> puissants et très-courts, qui conviennent aux galvanomètres<lb/> sensibles, car ceux-ci doivent avoir de faibles dimensions.</p>
<p rend="left">2°<hi rend="underline">Electrodynamomètres</hi></p>
<p rend="left">Un électrodynamomètre se compose essentiellement d'une<lb/> grande bobine fixe et d'une petite bobine mobile parcourues<lb/> par le même courant : l'effet produit est indépendant du<lb/> magnétisme terrestre et proportionnel au carré de l'intensité<lb/> du courant, de sorte qu'un tel instrument suffit à lui<lb/> seul à fournir une mesure absolue de cette intensité.</p>
<p rend="left"><hi class="underline hi" rend="underline"> L'électrodynamomètre absolue de</hi><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f"> <hi class="underline hi" rend="underline"> M. Pellat</hi></ref> est une<lb/> balance : la bobine fixe a (théoriquement) une longueur<lb/> infinie, et son axe est perpendiculaire<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> au méridien magnétique : la bobine<lb/> mobile, placée à <subst class="undefined subst"> <del class="none del">l'</del> <add class="below add" place="below">son</add></subst> intérieur, a son<lb/> axe vertical et est portée par un fléau<lb/> de balance : celui-ci est en équilibre<lb/> dans la position horizontale quand<lb/> le courant ne passe pas (Il porte un trait de repère qu'on vise avec<lb/> un microscope muni d'un micromètre <del class="none del">)</del> oculaire). Quand le<lb/> courant passe, la bobine est déviée : on rétablit l'équilibre<lb/> dans la position horizontale au moyen de poids dans le plateau</p>
</div>
<p><ptr target="2204"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">229</p>
<p rend="left">Nous allons chercher la relation qui existe entre ces<lb/> poids et l’intensité du courant I dans les 2 bobines.</p>
<p rend="left">L’intensité du champ magnétique produit par le<lb/> courant à l'intérieur de la grande bobine est la force<lb/> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199"> v. p. 224</ref>) : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math><lb/> <add class="marginRight add" place="marginRight"> (<hi rend="underline">n</hi>, nombre de spires<lb/> par unité de longueur)</add></p>
<p rend="left">Supposons la petite bobine remplacée par l'aimant<lb/> équivalent, de longueur l et de pôle <hi rend="underline">m</hi> : son moment<lb/> magnétique est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ml</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">La force qui agit sur le pôle austral est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi>mF</mi></mrow></mrow></math>, sur le<lb/> pôle boréal, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>mF</mi></mrow></mrow></math> : l'aimant est donc soumis à un<lb/> couple dont le moment : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>MF</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Revenons à la bobine : chaque spire, ayant une section S,<lb/> équivaut à un aimant de moment SI : soit N le<lb/> nombre total des spires de la petite bobine, son moment<lb/> magnétique est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>NSI</mi></mrow></mrow></math><lb/> et elle est soumise à un couple dont le moment est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math></p>
<p rend="left">Ce couple est équilibré par les poids <add class="above add" place="above">P</add> unis dans la balance ;<lb/> soit L la longueur du bras de fléau ; leur moment est<lb/> PL, et par conséquent l'équation d'équilibre est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>PL</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math><lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mi>PL</mi></mrow><mrow><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">On voit que I est proportionnelle à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow></msqrt></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2205"/></p>
<div>
<p rend="left">230</p>
<p rend="left">Si, au lieu d'une bobine infiniment longue, on emploie<lb/> une bobine finie, on n'a qu'à ajouter le facteur correctif<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></math>(<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199"> v. p. 224</ref>)</p>
<p rend="left">On a aussi supposé la bobine mobile infiniment<lb/> petite;si l'on emploie une bobine finie, on doit intro-<lb/> duire un autre facteur correctif constant. En somme, on<lb/> obtient la formule pratique : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow></msqrt></mrow></math></p>
<p rend="left">K étant une constante instrumentale. Si on la calcule<lb/> en fonction des dimensions et conditions de construction<lb/> de l'appareil, ce sera un instrument de mesure absolue, ce<lb/> sera un instrument secondaire ou dérivé. L'instrument<lb/> primitif de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f"> M. Pellat</ref> a une bobine de 75 cm. de longueur.<lb/> Les instruments secondaires ont des bobines de 10 à 20 cm.<lb/> Si l'on ne veut avoir que des mesures relatives, il est évi-<lb/> demment inutile d'évaluer la constante instrumentale.</p>
<p rend="left">Dans tous les cas, le magnétisme terrestre n’intervient<lb/> pas ; car le couple directeur agissant sur la bobine mobile<lb/> est annulé par la résistance du couteau de la balance.<add class="marginRight add" place="marginRight"> <handshift class="pencil handshift" medium="pencil" scribe=""/> ?</add></p>
<p rend="left">Un <hi rend="underline">électrodynamomètre relatif</hi> est celui de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb123383637 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb123383637"><hi class="underline hi" rend="underline"> Weber</hi></ref></persname>, qui est<lb/> l'inventeur de ces sortes d'appareils. La bobine fixe a son axe<lb/> perpendiculaire au méridien magnétique ; la bobine mobile</p>
</div>
<p><ptr target="2206"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">231</p>
<p rend="left">est suspendue de manière que son axe soit horizontal et<lb/> en équilibre dans le plan du méridien magnétique. Quand<lb/> le courant passe dans les deux bobines, leurs axes tendent<lb/> à de venir parallèles : et comme ils sont perpendiculaires,<lb/> la bobine mobile est soumise à un couple maximum.<lb/> La disposition est donc la même que dans la boussole des<lb/> tangentes ; seulement, la suspension est bifilaire (<subst class="undefined subst"><del class="none del">ce qui</del> <add class="above add" place="above">elle</add></subst><lb/> sert <add class="below add" place="below">en même temps</add> à amener le courant dans la bobine mobile), ce qui<lb/> produit un couple antagoniste beaucoup plus fort que le<lb/> couple directeur terrestre.</p>
<p rend="left">Cherchons les conditions de l'équilibre de la bobine sous<lb/> l'action de ces 3 couples. Soit α l'angle <subst class="undefined subst"> <del class="none del">dont</del> <add class="above add" place="above">que</add></subst> son axe fait<lb/> avec le méridien magnétique ; soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math> le moment ma-<lb/> gnétique de la bobine mobile : le moment du couple terrestre<lb/> horizontal sur cette bobine sera MH, et sa composante<lb/> efficace : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">H</mi><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mi mathvariant="normal">H</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>sin</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">Le moment du couple dû à la suspension bifilaire est aussi<lb/> proportionnel au sinus de l'angle d'écart : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi><mi>sin</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math><add class="marginLeft add" place="marginLeft"> <handshift class="pencil handshift" medium="pencil" scribe=""/> ?</add></p>
<p rend="left"><add class="marginLeft add" place="marginLeft"> <handshift class="pencil handshift" medium="pencil" scribe=""/><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2000 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2000"> p.25</ref></add>Le moment du couple exercé par la bobine fixe sur la bobine<lb/> mobile est <del class="none del">proportionn</del> le produit des moments magnétiques<lb/> des 2 bobines : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">G</mi><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">×</mo><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">G</mi></mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math><lb/> qu'il faut multiplier par pour avoir sa composante<lb/> efficace. L'équation de l'équilibre sera donc :</p>
</div>
<p><ptr target="2207"/></p>
<div>
<p rend="left">232</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mi mathvariant="normal">H</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math><lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">H</mi><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">G, g, et K sont des constantes instrumentales ; on mesure<lb/> H et α, et l'on en déduit l'inconnue I. Si K est<lb/> très grand par rapport à gHI, la formule se simplifie :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math><lb/> on n'a plus besoin de mesure H. <subst class="undefined subst"> <del class="none del">En mesurant</del> <add class="above add" place="above">Si l'on sait mesurer</add></subst> avec précision<lb/> une faible déviation, on pourra rendre le moment du<lb/> bifilaire assez grand pour que H soit négligeable (car<lb/> cela diminue nécessairement la sensibilité de l'appareil).<lb/> On peut éliminer H par un autre artifice. Si l'on renverse<lb/> le sens du courant, I change de signe, mais non <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math> : on a <lb/> une déviation α' différente de α, suivant la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">K</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mi mathvariant="normal">H</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> Du rapprochement des 2 formules on conclut :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>cot</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">+</mo><mi>cot</mi></mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2K</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> formule indépendante du magnétisme terrestre. Ainsi<lb/> moyennant 2 expériences, cet instrument se suffit à<lb/> lui-même et n'a pas besoin d'une mesure auxiliaire.</p>
<p rend="left">Nous allons maintenant indiquer les méthodes<lb/> qui permettent de mesurer les résistances et les forces<lb/> électromotrices en unités électro-magnétiques.</p>
<p rend="left">Pour mesurer une résistance en valeur absolue, on peut</p>
</div>
<p><ptr target="2208"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">233</p>
<p rend="left">combiner une mesure électro-magnétique d'intensité avec<lb/> une mesure calorimétrique. En effet, l'énergie dépensée<lb/> dans un fil de résistance R par un courant d'intensité<lb/> I <add class="below add" place="below">pendant un temps t</add> est donnée par la loi de Joule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">W</mi><mo stretchy="false">=</mo><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math>,<lb/> et la quantité de chaleur équivalente par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow></mfrac></mrow><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">On fait passer le courant pendant le temps connu t ; on<lb/> mesure I par <del class="none del">l'</del><add class="below add" place="below">un</add> électrodynamomètre, Q par un calori-<lb/> mètre ; on en déduit la valeur absolue de R.</p>
<p rend="left">Pour mesurer une force électromotrice en valeur<lb/> absolue, on emploie la loi d'Ohm : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>RI</mi></mrow></mrow></math>.<lb/> On mesure I, puis R par la méthode précédente : on<lb/> en déduit la valeur absolue de E.</p>
<p rend="left">Mais les mesures calorimétriques sont longues et<lb/> relativement peu précises. Aussi la mesure absolue des<lb/> résistances et des forces électromotrices se fait-elle par<lb/> d'autres méthodes, fondées sur les lois de l'induction,<lb/> qui permettent de remplacer le calorimètre par d'autres<lb/> instruments. Théoriquement, l'électrodynamomètre reste<lb/> le fondement des mesures électromagnétiques, comme<lb/> l'électromètre est celui des mesures électrostatiques.</p>
<p rend="left">Passons aux procédés de mesure relative.</p>
<p rend="left">La comparaison des résistances entre elles est fondée sur une</p>
</div>
<p><ptr target="2209"/></p>
<div>
<p rend="left">234</p>
<p rend="left">application des lois de Kirchhoff : pont de Wheatstone :<lb/> R et R' connues, fixes ; <hi rend="underline">r</hi> inconnue,<lb/> à mesurer ; r' connue et variable.<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
<p rend="left">On règle r' de manière à amener<lb/> le galvanomètre au zéro : on a :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">En effet, la loi de Kirchhoff appliquée aux 2 triangles donne :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>ir</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>iR</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math><lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Cette méthode suppose qu'on dispose de résistances variables<lb/> à volonté. Deux espèces d'appareils répondent à ce besoin :<lb/> 1° <hi rend="underline">Rhéostats</hi> : inventés par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12402520m"> Pouillet</ref></persname>. Le plus simple des<lb/> rhéostats consiste en 2 fils<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> semblables tendus parallèle-<lb/> ment sur une règle divisée, sur<lb/> lesquels peut glisser un pont conducteur EF muni de contacts.<lb/> Le courant arrivant A, B, on peut faire varier à volonté<lb/> la longueur du circuit et par suite sa résistance. Si les fils<lb/> sont bien réguliers, la résistance sera proportionnelle à la <lb/> longueur : il suffira de connaître la résistance de l'unité de<lb/> longueur du fil. Les rhéostats ont l'avantage théorique de<lb/> faire varier la résistance d'une manière continue ; mais<lb/> cet avantage est illusoire en pratique, car les contacts E et F</p>
</div>
<p><ptr target="2210"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">235</p>
<p rend="left">ne sont jamais réguliers ni précis, et l'on ne sait pas exac-<lb/> tement quelle est leur résistance.</p>
<p rend="left">2° <hi rend="underline">Boîtes de résistances</hi>. Ce sont des collections de<lb/> bobines disposées en série ; seulement, les deux extrémités<lb/> de chaque bobine communiquent avec deux<fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> plaques entre lesquelles on peut enfoncer une cheville<lb/> conductrice, de résistance négligeable (à cause de la<lb/> grande surface de contact). La pose de cette cheville<lb/> exclut la bobine du circuit, car le courant se répartit en<lb/> raison inverse des résistances. Quand toutes les chevilles<lb/> sont placées, la résistance de la boîte est <app><lem class="undefined lem">nulle presque</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> L'auteur indique par des crochets que les termes «nulle » et « presque » doivent être inversés</note></app> ;<lb/> quand on en enlève quelques-unes, la résistance est la<lb/> somme des résistances des bobines correspondantes. <subst class="undefined subst"> <del class="none del">Dans</del> <add class="below add" place="below">La</add></subst><lb/> résistance de chaque bobine est graduée en ohms. Dans les<lb/> boîtes en série linéaire, les résistances sont échelonnées<lb/> comme les poids (1, 2, 2, 5, 10, 10, 20, 50, 100, etc.)</p>
<p rend="left">Dans les boîtes à cadre, une seule cheville commande<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe,à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>une série de bobines égales (au nombre de 10) ;<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">suivant la</del> <add class="above add" place="above">si l'on</add></subst> place <del class="none del">de</del> la cheville<del class="none del">,</del> au numéro 3,<lb/> le courant passe dans 3 bobines, et si la résis-<lb/> tance de chacune est 1 ohm, la résistance totale<lb/> est de 3 ohms. De là il passe dans une série<lb/> de 10 autres bobines <del class="none del">de</del> <add class="below add" place="below">chacune de</add> résistance égale à 10 ohms :</p>
</div>
<p><ptr target="2211"/></p>
<div>
<p rend="left">236</p>
<p rend="left">si l'on met la cheville au n°5, on lui fait traverser une<lb/> résistance de 50 ohms. Il y a de même une série de<lb/> bobines de 100 ohms, et une autre de 1000 ohms,<lb/> qui permettent d'<subst class="undefined subst"> <del class="none del">évaluer</del> <add class="below add" place="below">produire</add></subst> des résistances de centaines<lb/> et de milliers d'ohms (jusqu'à 9999 ohms). On<lb/> voit qu'avec 4 chevilles seulement on peut obtenir<lb/> tel nombre d'ohms qu'on veut, de 0 à 10000 : on<lb/> écrit le nombre connu dans un ttableau à colonnes.</p>
<p rend="left">Pour des mesures rapides, on emploie aussi des rhéostats<lb/> avec des bornes disposées en cercle sur lesquelles tourne<lb/> un contact glissant : mais ce contact étant moins parfait<lb/> que celui des chevilles, la <del class="none del">procédé</del> mesure des résistances<lb/> est moins exacte.</p>
<p rend="left">Toutes les bobines sont formées de 2 fils enroulés en sens<lb/> inverse, pour éviter les phénomènes d'induction. Les fils<lb/> sont en un alliage métallique (maillechort) dont la<lb/> conductibilité varie 7 ou 8 fois moins que celle des<lb/> métaux purs suivant la température 'pour un métal<lb/> pur, la résistance varie de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>273</mn></mrow></mfrac></mrow></math> ? par degré). De plus<lb/> les résistances sont mesurées à une température indiquée,<lb/> 150, qui est la température moyenne des laboratoires.</p>
<p rend="left">On pourrait corriger les mesures de résistances effectuées à<lb/> une autre température, mais quand on tient à tant de</p>
</div>
<p><ptr target="2212"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">237</p>
<p rend="left">précision, on préfère employer d'autres méthodes.</p>
<p rend="left">Pour vérifier la graduation des boîtes, on emploie des<lb/> étalons dont la résistance est connue en valeur absolue.<lb/> On a des étalons d'ohm constitués par un tube fin<lb/> plein de mercure, joignant 2 vases pleins de mercure, le<lb/> tout ayant une résistance de 1 ohm à 0°. On a aussi<lb/> des étalons secondaires, formés de tubes remplis de mercure,<lb/> représentant des multiples ou des fractions de l'ohm.</p>
<p rend="left">L'usage si fréquent du pont de Wheatstone a amené<lb/> à fabriquer des boîtes de résistances comprenant les 3<lb/> branches connues du pont : les 2 résistances fixes (de 10,<lb/> 100 ou 1000 ohm, à volonté) et la résistance variable,<lb/> formée par la boîte de résistances proprement dite.</p>
<p rend="left">Mesure relative des forces électromotrices.</p>
<p rend="left"><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>On emploie la méthode d'opposition.<lb/> Dans un fil bien régulier AB tendu<lb/> sur une règle divisée, au fait passer le<lb/> courant d'une pile bien constante P.<lb/> Par la section variable BC du même fil<lb/> (au moyen du curseur C), on fait passer en sens<lb/> inverse le courant produit par une force électromotrice<lb/> quelconque Q, qui traverse aussi un galvanomètre G.<lb/> On dispose le curseur C de manière à amener le galvano-</p>
</div>
<p><ptr target="2213"/></p>
<div>
<p rend="left">238</p>
<p rend="left">mètre au zéro, et l'on fait l'expérience <add class="above add" place="above">en plaçant</add> tour à tour <subst class="undefined subst"><del class="none del">avec</del> <add class="above add" place="above">en Q</add></subst><lb/> la force électromotrice <hi rend="underline">e</hi> à mesurer et une force électro-<lb/> motrice connue <hi rend="underline">e'</hi>. Les résistances r, r' des <del class="none del">la</del> sections BC<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">au</del> <add class="above add" place="above">et</add></subst> BC' interceptées sur le fil sont proportionnelles à leur<lb/> longueur. Appliquons la loi de Kirchhoff au circuit<lb/> qui contient la force électromotrice et galvanomètre :<lb/> le courant étant nul, la seule intensité sur BC est celle du<lb/> courant de la pile P : <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> la constante <hi rend="underline">i</hi> : d'où les 2<lb/> équations : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi>ir</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>'</mo><mo>-</mo><mi>ir</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math><lb/> <del class="none del">et</del> on en tire : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac></math><lb/> ce qui permet d'évaluer <hi rend="underline">e</hi> par apport à <hi rend="underline">e'</hi> connue.</p>
<p rend="left">On prend pour terme de comparaison des piles-talons :<lb/> par exemple, l'élément Latimer-Clarke (mercure,<lb/> sulfate de mercure, zinc, sulfate de zinc) dont la force<lb/> électromotrice est très régulière, pourvu qu'elle ne fournisse<lb/> pas de courant (1,457 volt). On s'arrange pour placer<lb/> d'avance le curseur à peu près au point où il doit être<lb/> pour que le courant produit par Q soit nul. De<lb/> plus, on remplace le galvanomètre par un électromètre,<lb/> qui a l'avantage de ne pas fermer le circuit et de ne pas<lb/> <del class="none del">epu</del> faire fonctionner la pile ; <subst class="undefined subst"> <del class="none del">de plus</del> <add class="above add" place="above">en outre</add></subst>, <subst class="undefined subst"> <del class="none del">que</del> <add class="above add" place="above">il est</add></subst> beaucoup plus<lb/> sensible que le galvanomètre à une différence de potentiel<lb/> qui se traduit par un courant très faible.</p>
</div>
<p><ptr target="2214"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">239</p>
<p rend="left">Un autre étalon est la pile Gouy (zinc, sulfate de zinc,<lb/> mercure, oxyde de mercure) dont la force électromotrice<lb/> est 1,43. En général, on peut employer n'importe<lb/> quelle pile à 2 liquides, pourvu que leur débit soit<lb/> insensible et que par suite elles ne se polarisent pas<lb/> (ce qui affaiblit le courant). Pour cela, il suffit de leur<lb/> donner une résistance énorme qui empêche le courant<lb/> de passer. Par exemple, on composera un élément Daniell<lb/><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>de 2 vases, l'un de sulfate de zinc conte-<lb/> nant un bâton de zinc, l'autre de sulfate<lb/> de cuivre contenant un bâton de cuivre,<lb/> reliés par 2 siphons très fins plongeant dans une cuvette<lb/> d'eau ordinaire. La résistance intérieure d'une telle pile<lb/> est immense.</p>
<p rend="center">Courants variables</p>
<p rend="left">Les lois des courants continus ne sont pas applicables<lb/> sans restriction aux courants variables : par exemple,<lb/> on ne peut pas affirmer que l'intensité soit la même<lb/> un même instant en tous les points du circuit : cela est<lb/> faux pour les conducteurs très longs ou très résistants<lb/> (câbles transatlantiques) où la quantité d'électricité mise<lb/> en jeu à une extrémité met un temps appréciable à se<lb/> propager à l'autre bout, de sorte que la quantité d'électricité</p>
</div>
<p><ptr target="2215"/></p>
<div>
<p rend="left">240</p>
<p rend="left">qui passe en un point n'est pas égale à celle qui passe en un<lb/> autre point.</p>
<p rend="left">De même, si une partie du circuit possède une grande capacité ;<lb/> par exemple, si 2 points du conducteur sont reliés à un<lb/> condensateur : pour porter une armature du potentiel 0 au<lb/> potentiel V, il faudra lui communiquer une quantité<lb/> d'électricité CV : or cette quantité d'électricité sera<lb/> arrêtée là et ne passera pas plus loin, de sorte que l’intensité<lb/> du courant variable (pendant la charge du condensateur)<lb/> sera plus forte en-deçà du condensateur qu'au-delà.</p>
<p rend="left">Pour exclure ces cas embarrassants, nous admettrons<lb/> que les conducteurs ont tous une faible résistance et une<lb/> petite capacité. Dans ce cas, les lois de Joule et d'Ohm<lb/> s'appliqueront au courant variable pendant un temps<lb/> infiniment petit <hi rend="underline">dt</hi> (où il peut être regardé comme constant) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>RI</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dQ</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">J</mi></mfrac><msup><mi>RI</mi><mn>2</mn></msup><mi>dt</mi></math></p>
<p rend="left">C'est ce qu'on vérifie par l'expérience de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb13176451n"> Riess</ref> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2101 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2101"> p.126</ref>), où la<lb/> quantité de chaleur dégagée par un courant variable (provenant<lb/> de la décharge d'un condensateur) est proportionnelle à la<lb/> résistance.</p>
</div>
<p><ptr target="2216"/></p>
<div>
<p rend="center">20<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Nous étudierons spécialement deux espèces de courants<lb/> variables : 1° les courants oscillants (dont l'intensité<lb/> oscille périodiquement autour d'une valeur moyenne) ;<lb/> 2° les courants instantanés.</p>
<p rend="left">Pour un courant oscillant, la quantité d'électricité<lb/> transportée pendant le temps <hi rend="underline">dt</hi> est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dQ</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>,<lb/> I étant l'intensité à cet instant, et pendant le temps t :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">On appelle <hi rend="underline">intensité moyenne</hi><add class="above add" place="above">J</add> d'un courant variable<lb/> celle d'un courant constant qui transporte dans le<lb/> même temps <hi rend="underline">t</hi> la même quantité d'électricité :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>Jt</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">J</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">Q</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">t</mi></mfrac><mo>∫</mo><mi>Idt</mi></math></p>
<p rend="left">De même, le travail effectué par le courant pendant<lb/> le temps <hi rend="underline">dt</hi> étant : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dW</mi><mo stretchy="false">=</mo><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>,<lb/> le travail effectué pendant le temps t sera :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">W</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>,</p>
<p rend="left"><del class="none del">et</del> On appelle <hi rend="underline">énergie moyenne</hi> d'un courant variable<lb/> (<hi class="italic" rend="italic">W</hi>) celle d'un courant constant qui produit le même travail<lb/> dans le même temps <hi rend="underline">t</hi> :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">W</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">W</mi></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">W</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>∫</mo><msup><mi>RI</mi><mn>2</mn></msup><mi>dt</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mfrac><mo>∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mn>2</mn></msup><mi>dt</mi></math>,<lb/> R étant constante. Si l'on remplace l'intensité I par son</p>
</div>
<p><ptr target="2217"/></p>
<div>
<p rend="left">242</p>
<p rend="left">expression tirée de la loi d'Ohm, on a les intégrales :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>Rt</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi>Edt</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">W</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>Rt</mi></mfrac><mo>∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">E</mi><mn>2</mn></msup><mi>dt</mi></math>.</p>
<p rend="left">Dans les applications pratiques, c'est l'intensité moyenne<lb/> et l'énergie moyenne qu'il importe de connaître. On voit<lb/> que pour cela il suffit de connaître les 2 intégrales<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi>Idt</mi></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> ;<lb/> ou les 2 intégrales équivalentes :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi>Edt</mi></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On évaluera l'intensité moyenne et l'énergie moyenne<lb/> en unités <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> El.St.</abbr><expan class="undefined expan"> Electro-Statiques</expan></choice> au moyen de l'électromètre et du<lb/> calorimètre. En effet, le calorimètre reçoit chaque instant<lb/> une quantité de chaleur : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dq</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow></mfrac></mrow><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>dt</mi></mrow></math><lb/> et dans le temps <hi rend="underline">t</hi> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">q</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">J</mi></mfrac><mo>∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mn>2</mn></msup><mi>dt</mi></math></p>
<p rend="left">On peut, en mesurant <hi rend="underline">q</hi>, évaluer ainsi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> ou <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">D'autre part, l’électromètre permet d'évaluer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">En effet, si l'on emploie l'électromètre à quadrants avec<lb/> la disposition symétrique de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb127363147 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb127363147"> M. Mascart</ref></persname>, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">+</mo><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>,<lb/> la formule de la déviation est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2152 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2152"> p. 177</ref>).</p>
<p rend="left">Supposons <add class="above add" place="above">d'abord</add> qu<del class="none del">e le</del> <add class="above add" place="above">'un</add> courant constant passe dans le fil AB :<lb/> le point B communique avec le sol (potentiel 0), le point<lb/> A avec l'aiguille de l'électromètre (potentiel inconnu V<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi>) :<lb/> on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mi>RI</mi></mrow></mrow></math>,<lb/> R étant la résistance (connue) du fil AB. On calculera</p>
</div>
<p><ptr target="2218"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">243</p>
<p rend="left">l'intensité (constante) I au moyen de θ par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mi>RI</mi></mrow></math><lb/> V <hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> étant connue ; on mesure θ.</p>
<p rend="left">Supposons maintenant que le même fil soit suivi par<lb/> un courant oscillant avec une rapidité suffisante pour<lb/> que l'aiguille n'ait pas le temps de se déplacer pendant<lb/> une période. Sa déviation fixe θ mesurera alors<lb/> l’intensité moyenne J du courant, et l'on aura la<lb/> formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>,<lb/> d’où l'on tirera <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>, et par suite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On peut encore évaluer les 2 autres intégrales au moyen<lb/> de l'électromètre, mais avec une disposition différente :<lb/> on met un couple de quadrants en communication avec<lb/> le sol, et l'autre couple en communication avec l'aiguille<lb/> et le point A du courant. On doit faire :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La formule est alors : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow></mrow><msubsup><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2152 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2152"> p.177</ref>)<lb/> Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mi>RI</mi></mrow></mrow></math> pour un courant constant ;<lb/> remplaçons I par l'intensité moyenne J du courant<lb/> variable : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><msup><mi>AR</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">En mesurant la déviation θ (supposée constante), on<lb/> peut calculer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>, ou encore <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>, et par suite<lb/> l'énergie moyenne, en mesure Electro-Statique.</p>
</div>
<p><ptr target="2219"/></p>
<div>
<p rend="left">244</p>
<p rend="left">Pour mesurer l'<hi rend="underline">intensité moyenne</hi> et l'<hi rend="underline">énergie moyenne</hi><lb/> en unités Electro-Magnétiques, on emploie la boussole des<lb/> tangentes et l'électrodynamomètre.</p>
<p rend="left">Pour un courant constant, la déviation de la boussole<lb/> des tangentes est données par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>gI</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Si le courant <add class="above add" place="above">variable</add> oscille assez rapidement pour que l'aiguille<lb/> ne bouge pas, on aura l'intensité moyenne par la même<lb/> formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mi>Ht</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Dans l'électrodynamomètre de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f"> M. Pellat</ref></persname>, par exemple,<lb/> si le courant a l'intensité constante I et si le poids <hi rend="underline">p</hi><lb/> rétablit l'équilibre, on a la relation : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">=</mo><mi>Ap</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">En supposant toujours la période assez courte pour que<lb/> l'instrument ne bouge pas, on peut remplacer I<hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi> par sa<lb/> valeur moyenne : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>Ap</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">On obtient ainsi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>, ou encore <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On peut aussi évaluer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> au moyen de l'électro-<lb/> dynanomètre. Pour cela, il faut faire passer dans la<lb/> bobine fixe un courant constant d'intensité connue I<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>,<lb/> et dans la bobine mobile le courant variable qu'on étudie.<lb/> Si ce dernier avait l'intensité constante I, elle serait<lb/> donnée par la formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi>II</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mi>Ap</mi></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">L'intensité moyenne est donc donnée par la formule :</p>
</div>
<p><ptr target="2220"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">245</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>Ap</mi></mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">En général, tout phénomène dépendant de l'intensité<lb/> d'un courant et proportionnel à cette intensité permet<lb/> de mesurer les intensités moyennes ; tout phénomène<lb/> proportionnel au carré de l'intensité permet de mesurer<lb/> les énergies moyennes.</p>
<p rend="left"><del class="none del">On peut construire le graphique des intensités moyennes</del></p>
<p rend="left">Parmi les courants oscillants, les plus fréquents sont<lb/> les courants <hi rend="underline">sinusoïdaux</hi>, dont l'intensité varie selon<lb/> la formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mi>sin</mi><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow></mfenced></mrow></math></p>
<p rend="left">I étant la durée d'une période. On peut représenter cette<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>loi de variation par une courbe<lb/> sinusoïde. L'intensité moyenne<lb/> pendant un nombre entier de périodes<lb/> est nulle en effet, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> est représentée par l'aire de la<lb/> courbe, les aires au-dessous de l'axe devant être comptées<lb/> négativement : dans chaque période, les 2 demi-périodes<lb/> s'annulent. Au bout de n périodes plus une fraction,<lb/> l'intensité moyenne n'est pas nulle : car <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> est égale<lb/> à l'aire qui correspond à cette fraction de temps <add class="above add" place="above">θ</add> ; mais<lb/> comme on doit la diviser par t(=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>nT</mi><mo stretchy="false">+</mo><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></mrow></math>) pour avoir<lb/> l'intensité moyenne, celle-ci est très petite, et d'autant</p>
</div>
<p><ptr target="2219"/></p>
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<p rend="left">244</p>
<p rend="left">Pour mesurer l'<hi rend="underline">intensité moyenne</hi> et l'<hi rend="underline">énergie moyenne</hi><lb/> en unités Electro-Magnétiques, on emploie la boussole des<lb/> tangentes et l'électrodynamomètre.</p>
<p rend="left">Pour un courant constant, la déviation de la boussole<lb/> des tangentes est données par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>gI</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Si le courant <add class="above add" place="above">variable</add> oscille assez rapidement pour que l'aiguille<lb/> ne bouge pas, on aura l'intensité moyenne par la même<lb/> formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mi>Ht</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Dans l'électrodynamomètre de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12744499f"> M. Pellat</ref></persname>, par exemple,<lb/> si le courant a l'intensité constante I et si le poids <hi rend="underline">p</hi><lb/> rétablit l'équilibre, on a la relation : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">=</mo><mi>Ap</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">En supposant toujours la période assez courte pour que<lb/> l'instrument ne bouge pas, on peut remplacer I<hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi> par sa<lb/> valeur moyenne : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>Ap</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">On obtient ainsi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>, ou encore <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On peut aussi évaluer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> au moyen de l'électro-<lb/> dynanomètre. Pour cela, il faut faire passer dans la<lb/> bobine fixe un courant constant d'intensité connue I<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi>,<lb/> et dans la bobine mobile le courant variable qu'on étudie.<lb/> Si ce dernier avait l'intensité constante I, elle serait<lb/> donnée par la formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi>II</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mi>Ap</mi></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">L'intensité moyenne est donc donnée par la formule :</p>
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<p class="right p" rend="right">245</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>Ap</mi></mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">En général, tout phénomène dépendant de l'intensité<lb/> d'un courant et proportionnel à cette intensité permet<lb/> de mesurer les intensités moyennes ; tout phénomène<lb/> proportionnel au carré de l'intensité permet de mesurer<lb/> les énergies moyennes.</p>
<p rend="left"><del class="none del">On peut construire le graphique des intensités moyennes</del></p>
<p rend="left">Parmi les courants oscillants, les plus fréquents sont<lb/> les courants <hi rend="underline">sinusoïdaux</hi>, dont l'intensité varie selon<lb/> la formule : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mi>sin</mi><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow></mfenced></mrow></math></p>
<p rend="left">I étant la durée d'une période. On peut représenter cette<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>loi de variation par une courbe<lb/> sinusoïde. L'intensité moyenne<lb/> pendant un nombre entier de périodes<lb/> est nulle en effet, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> est représentée par l'aire de la<lb/> courbe, les aires au-dessous de l'axe devant être comptées<lb/> négativement : dans chaque période, les 2 demi-périodes<lb/> s'annulent. Au bout de n périodes plus une fraction,<lb/> l'intensité moyenne n'est pas nulle : car <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> est égale<lb/> à l'aire qui correspond à cette fraction de temps <add class="above add" place="above">θ</add> ; mais<lb/> comme on doit la diviser par t(=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>nT</mi><mo stretchy="false">+</mo><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></mrow></math>) pour avoir<lb/> l'intensité moyenne, celle-ci est très petite, et d'autant</p>
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<p rend="left">plus petite que <hi rend="underline">t</hi>, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><hi rend="underline">n</hi>, est plus grand. Ainsi<lb/> l'intensité moyenne tend vers 0 quand le nombre des<lb/> périodes augmente ; <del class="none del">et</del> si ce nombre est très grand par<lb/> seconde, et si l'instrument de mesure des intensités<lb/> a des oscillations lentes, il marquera l'intensité moyenne<lb/> d'un grand nombre de périodes, laquelle est nulle.</p>
<p rend="left">Au contraire, l'énergie moyenne n'est jamais nulle,<lb/> car dans l'intégrale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mi>dt</mi></mrow></math> tous les éléments sont<lb/> positifs (ou nuls) ; cette intégrale est donc toujours positive,<lb/> et va constamment en croissant avec le temps. Si<lb/> <subst class="undefined subst"><del class="none del">l'</del>on <add class="above add" place="above">la</add></subst> prend <add class="above add" place="above">sur</add> un nombre suffisant de périodes et qu'on la divise<lb/> par le temps, on aura l'énergie moyenne, et par suite<lb/> la quantité de chaleur produite par le courant.</p>
<p rend="left">Ainsi les courants sinusoïdaux n'ont pas d'action<lb/> sur la boussole des tangentes, mais ils en ont une sur<lb/> l'électrodynamomètre.</p>
<p rend="left">Si l'on emploie les mêmes instruments à l’étude des<lb/> courants qui varient lentement, ils indiqueront, non plus<lb/> l'intensité moyenne, mais l'intensité à chaque instant.<lb/> On peut alors construire le graphique des intensités, pour<lb/> calculer l'intensité moyenne et l'énergie moyenne. On<lb/> peut enregistrer automatiquement ce graphique en faisant<lb/> tomber un <del class="none del">f</del> rayon lumineux, réfléchi par le miroir de</p>
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<p class="right p" rend="right">247</p>
<p rend="left">l'électromètre ou de la boussole des tangentes, sur un papier<lb/> photographique qui se déroule avec une vitesse uniforme.</p>
<p rend="left">Les <hi rend="underline">courants instantanés</hi> sont surtout obtenus par<lb/> la décharge des condensateurs : leur durée est très courte,<lb/> de l'ordre du 100.000<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> de seconde.</p>
<p rend="left">On peut mesurer avec une boussole des tangentes la quan-<lb/> tité d'électricité transportée par un courant instantané :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Soit <hi rend="underline">l</hi> la longueur de l'aiguille aimantée, <hi rend="underline">m</hi> la charge<lb/> magnétique d'un de ses pôles ; la force F qui s'exerce<lb/> sur l'unité de magnétisme est proportionnelle à l'intensité<lb/> du courant : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>gI</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Supposons que pendant la durée du courant Δt, l'aiguille<lb/> tourne de l'angle Δα : évaluons le travail effectué par la<lb/> force F. La force qui s'exerce sur <subst class="undefined subst"> <del class="none del">un</del> </subst><add class="above add" place="above"> chaque</add> pôle est mF, le<lb/> déplacement est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math>, donc le travail est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">F</mi><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mo stretchy="false">Δ</mo><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi>mg</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mo stretchy="false">Δ</mo><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">Δ</mo><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math>,<lb/> M étant le moment magnétique <hi rend="underline">ml</hi> de l'aiguille, et<lb/> I étant supposée constante. Remplaçons I par l’intensité<lb/> moyenne J : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mo stretchy="false">Δ</mo><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">Q</mi><mfrac><mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow></math></p>
<p rend="left">Or <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mfrac></mrow></math> est sensiblement égale à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, vitesse angulaire<lb/> de l'aiguille au moment où le courant <del class="none del">passe</del> <add class="above add" place="above">cesse (1)</add><app><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Appel de note renvoyant en marge inférieure</note><lem class="undefined lem"><add class="bottom add" place="bottom">(1) En effet, la vitesse moyenne <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>Δα</mi><mi>Δt</mi></mfrac></math> peut être considérée comme la moyenne<lb/> des vitesses initiale (0) et finale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mfrac><mi>dα</mi><mi>dt</mi></mfrac></mfenced></math> de l'intervalle Δt.</add></lem></app> T est égal<lb/> à la force vive de l'aiguille :</p>
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<p><ptr target="2223"/></p>
<div>
<p rend="left">248</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mv</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mr</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mr</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Posons : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mr</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">Κ</mo></mrow></mrow></math>, moment d'inertie de l'aiguille :<lb/> on a finalement l'équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">Κ</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>MgQ</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">K</mi><menclose notation="verticalstrike"><mn>2</mn></menclose></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mi>dα</mi><mi>dt</mi></mfrac></math> (1)<lb/> d'où l'on tirera Q en fonction de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Pour évaluer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, on note la déviation maxima α<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> que<lb/> l’aiguille atteint en <subst class="undefined subst"><del class="none del">tournant</del> <add class="below add" place="below">continuant à tourner</add></subst> sous l'impulsion du courant<lb/> instantané. La force vive due à la vitesse angulaire initiale<lb/> est détruite à ce moment par le travail du couple directeur<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">terrestre</del> <add class="above add" place="above">horizontal</add></subst>. Or la force du magnétisme terrestre sur un pôle<lb/> est mH : le déplacement du pôle dans sa direction est :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mi>cos</mi></mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> ; donc le travail du couple terrestre est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn><mrow><mi>mH</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mi>cos</mi></mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi>MH</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mi>cos</mi></mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math><lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>-</mo><msub><mi>cosα</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo/><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac></math><lb/> Donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi mathvariant="normal">K</mi><mn>2</mn></mfrac><msup><mfenced><mfrac><mi>dα</mi><mi>dt</mi></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>MH</mi><mo/><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac></math> (2)<lb/> d'où l'on tire :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>dα</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mo/><mi>sin</mi><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac><msqrt><mfrac><mi>MH</mi><mi mathvariant="normal">K</mi></mfrac></msqrt></math></p>
<p rend="left">Transportons cette valeur dans la première équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="false">Κ</mo><mi>sin</mi><mfrac><mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mi>MH</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">Κ</mo></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mi>HK</mi></msqrt></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><msqrt><mi mathvariant="normal">M</mi></msqrt></mrow></mfrac><mi>sin</mi><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac></math>.</p>
<p rend="left">On a ainsi la quantité d'électricité en fonction de l'angle<lb/> d'écart maximum α<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> de l'aiguille aimantée. Il faut en<lb/> outre connaître son moment magnétique M <add class="below add" place="below">son moment d'inertie Κ</add> , le moment<lb/> horizontal terrestre H, enfin la constante instrumentale g.</p>
</div>
<p><ptr target="2223"/></p>
<div>
<p rend="left">248</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mv</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mr</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mr</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Posons : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><msup><mi>mr</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">Κ</mo></mrow></mrow></math>, moment d'inertie de l'aiguille :<lb/> on a finalement l'équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">Κ</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>MgQ</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">K</mi><menclose notation="verticalstrike"><mn>2</mn></menclose></mfrac><mo>×</mo><mfrac><mi>dα</mi><mi>dt</mi></mfrac></math> (1)<lb/> d'où l'on tirera Q en fonction de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Pour évaluer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, on note la déviation maxima α<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> que<lb/> l’aiguille atteint en <subst class="undefined subst"><del class="none del">tournant</del> <add class="below add" place="below">continuant à tourner</add></subst> sous l'impulsion du courant<lb/> instantané. La force vive due à la vitesse angulaire initiale<lb/> est détruite à ce moment par le travail du couple directeur<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">terrestre</del> <add class="above add" place="above">horizontal</add></subst>. Or la force du magnétisme terrestre sur un pôle<lb/> est mH : le déplacement du pôle dans sa direction est :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mi>cos</mi></mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> ; donc le travail du couple terrestre est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn><mrow><mi>mH</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mi>cos</mi></mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi>MH</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><mi>cos</mi></mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math><lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo>-</mo><msub><mi>cosα</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mo/><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac></math><lb/> Donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi mathvariant="normal">K</mi><mn>2</mn></mfrac><msup><mfenced><mfrac><mi>dα</mi><mi>dt</mi></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>MH</mi><mo/><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac></math> (2)<lb/> d'où l'on tire :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>dα</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mo/><mi>sin</mi><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac><msqrt><mfrac><mi>MH</mi><mi mathvariant="normal">K</mi></mfrac></msqrt></math></p>
<p rend="left">Transportons cette valeur dans la première équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="false">Κ</mo><mi>sin</mi><mfrac><mrow><msub><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mi>MH</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">Κ</mo></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msqrt><mi>HK</mi></msqrt></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><msqrt><mi mathvariant="normal">M</mi></msqrt></mrow></mfrac><mi>sin</mi><mfrac><msub><mi mathvariant="normal">α</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac></math>.</p>
<p rend="left">On a ainsi la quantité d'électricité en fonction de l'angle<lb/> d'écart maximum α<hi class="sub hi" rend="sub"> 1</hi> de l'aiguille aimantée. Il faut en<lb/> outre connaître son moment magnétique M <add class="below add" place="below">son moment d'inertie Κ</add> , le moment<lb/> horizontal terrestre H, enfin la constante instrumentale g.</p>
</div>
<p><ptr target="2224"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">249</p>
<p rend="left">Pour simplifier cette formule, on peut y introduire la durée<lb/> d'oscillation de l'aiguille sous l'influence du magnétisme<lb/> terrestre (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2161 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2161"> p.186</ref>) : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">Κ</mo></mrow><mrow><mi>MH</mi></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mrow></math> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><mfrac><mi mathvariant="normal">K</mi><mi mathvariant="normal">M</mi></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">T</mi><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfrac><msqrt><mi mathvariant="normal">H</mi></msqrt></math></p>
<p rend="left">La formule devient alors :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>HT</mi><mrow><menclose notation="verticalstrike"><mn>2</mn></menclose><mo>π</mo><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow></mfrac><mi>sin</mi><mfrac><msub><mo>α</mo><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></mfrac></math>.</p>
<p rend="left">Elle donne la valeur de Q en unités Electro-Magnétiques.<lb/> Telle est la <hi rend="underline">méthode du galvanomètre balistique</hi><add class="above add" place="above">(1)</add><app> <note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus">Appel de note renvoyant en marge inférieure : </note><lem class="undefined lem"><add class="bottom add" place="bottom">(1)ainsi appelé par analogie avec le <hi rend="underline">pendule balistique.</hi></add></lem></app></p>
<p rend="left">On pourrait employer la même méthode balistique avec<lb/> un électromètre ou un électrodynamomètre.</p>
<p rend="left">L'expérience précédente fournit un moyen de déterminer<lb/> le rapport des unités Electrostatiques et Electromagnétiques :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">v</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On charge un condensateur dans des conditions uniformes,<lb/> par exemple, au moyen d'une force électromotrice constante<lb/> et connue ; la charge s'exprime par la formule (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2074"> p.99</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">−</mo><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">On mesure (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">−</mo><msub><mi mathvariant="normal">V</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mrow></math>) au moyen de l'électromètre : connaissant<lb/> S et e, on calcule la valeur absolue de q en unités <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> El.St</abbr><expan class="undefined expan"> Electro-Statiques</expan></choice>.<lb/> Puis on décharge le condensateur sur une boussole des tangentes :<lb/> on détermine par la méthode précédente la valeur absolue<lb/> de Q en unités <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> El.Mg</abbr><expan class="undefined expan"> Electro-Magnétiques</expan></choice>.</p>
<p rend="left">Au lieu de la méthode balistique, on peut encore employer</p>
</div>
<p><ptr target="2225"/></p>
<div>
<p rend="left">250</p>
<p rend="left">un autre procédé. Si l'on décharge le même condensateur,<lb/> uniformément chargé, <hi rend="underline">n</hi> fois par seconde sur une boussole<lb/> des tangentes, l'aiguille subira une déviation permanente,<lb/> comme sous l'influence d'un courant périodique. La quan-<lb/> tité d'électricité qui passe par seconde, nQ, est égale à<lb/> l'intensité I du courant constant qui produirait la même<lb/> déviation ; donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi><mi>nQ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Pour réaliser cette expérience, on emploie un diapason <del class="none del">fai</del> dont<lb/> on connaît le nombre <hi rend="underline">n</hi> de vibrations par seconde, et qui met<lb/> le condensateur en communication alternativement avec<lb/> la pile qui le charge et le galvanomètre ou la boussole où il<lb/> se décharge. Si <hi rend="underline">n</hi> est compris<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> entre 200 et 1000, la durée<lb/> d'une vibration est largement<lb/> suffisante pour la charge et la<lb/> décharge du condensateur.</p>
<p rend="left">Dans l'industrie, on emploie pour mesurer les forces<lb/> électromotrices et les intensités les <hi rend="underline">voltmètres</hi> et les <hi rend="underline">ampère-</hi><lb/> <hi rend="underline">mètres</hi>. Ces appareils sont des galvanomètres fondés sur une<lb/> double application de la loi d'Ohm.</p>
<p rend="left">Si la résistance d'un galvanomètre est très petite par rapport<lb/> à celle d'un circuit, son introduction dans le circuit n'affai-<lb/> blira pas sensiblement l'intensité du courant, et par suite</p>
</div>
<p><ptr target="2226"/></p>
<div>
<p rend="left">sa déviation mesurera cette intensité : c'est un <hi rend="underline">ampèremètre</hi>.</p>
<p rend="left">Si au contraire la résistance <add class="above add" place="above">R</add> du galvanomètre est énorme<lb/> par rapport à la résistance <hi rend="underline">r</hi> des circuits où on l'intercale,<lb/> l'intensité du courant qui le traversera sera égale à :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow></math>, ou sensiblement à : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math>,<lb/> et comme R est constante, elle sera proportionnelle à E.</p>
<p rend="left">La déviation mesurera donc la force électromotrice : ce sera<lb/> un <hi rend="underline">voltmètre</hi>. On gradue empiriquement ces instruments<lb/> en volts et en ampères, par comparaison avec des instruments<lb/> de mesures absolues.</p>
<p rend="left">Un galvanomètre ordinaire serait trop délicat pour les<lb/> usages industriels. On rend les galvanomètres transporttables<lb/> et indépendants du magnétisme terrestre en dirigeant l'aiguille<lb/> par un fort aimant permanent fixé dans la boîte : la<lb/> force du champ terrestre est négligeable par rapport à celle de cet<lb/> aimant, de sorte que l'aiguille prend une <del class="none del">q</del>direction invariable,<lb/> <del class="none del">quelque</del> <add class="above add" place="above">quelle</add> que soit la position de l'instrument. On diminue<lb/> nottablement par là sa sensibilité. Pour que la graduation <add class="below add" place="below">empirique</add><lb/> soit exacte, il faut que l'aimant directeur ait une<lb/> intensité constante.</p>
<p rend="left">La définition du travail électromagnétique va nous<lb/> acheminer directement à l'étude des phénomènes<lb/> d'induction.</p>
</div>
<p><ptr target="2227"/></p>
<div>
<p rend="left">252</p>
<p rend="center">Travail électromagnétique</p>
<p rend="left">Nous allons évaluer le travail des forces magnétiques dans<lb/> un cas particulier. Soit une aiguille aimantée de longueur l,<lb/> de pôle <hi rend="underline">m</hi>, dans un champ magnétique uniforme, d'inten-<lb/> sité constante F <del class="none del">perpendiculaire au méridien magnétique</del>.</p>
<p rend="left">Elle est déviée <add class="above add" place="above">d'abord</add> d'un angle α <add class="above add" place="above">par rapport à la direction des forces magnétiques</add>. Supposons que la déviation<lb/> augmente de dα, et calculons le travail des forces magné-<lb/> tiques pour ce déplacement infiniment petit.</p>
<p rend="left">La force qui s'exerce sur chaque pôle est : mF.<lb/> Le chemin parcouru <subst class="undefined subst"> <del class="none del">est</del> <add class="below add" place="below">dans</add></subst> le sens de la force est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> :<lb/> donc le travail total des forces sur les 2 pôles sera :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mn>2mF</mn><mo stretchy="false">⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mi>sin</mi><mo stretchy="false">α</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math><lb/> travail négatif, car les forces s'opposent à l'accroissement dα.</p>
<p rend="left">Remplaçons maintenant l'aimant par un courant<lb/> fermé équivalent ayant pour axe AB : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>SI</mi></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Il vient : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">F</mi><mi>sin</mi><mo stretchy="false">α</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">Or le champ est uniforme, donc F est constante ; S aussi.</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi>cos</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Or <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi>cos</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math> est le <hi rend="underline">flux de force magnétique</hi> qui traverse<lb/> la boucle <del class="none del">infiniment petite</del>, soit F : on a finalement :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Si au lieu d'un courant élémentaire on a affaire à un<lb/> courant fini, on le décomposera en <subst class="undefined subst"><del class="none del">cour</del> <add class="above add" place="above">circuits</add></subst> infiniment petits (cf. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2178 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2178"> p. 203</ref>)</p>
</div>
<p><ptr target="2228"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">253</p>
<p rend="left">pour chacun desquels le travail élémentaire sera égal à<lb/> I ddF ; or le flux total est égal à la somme des flux<lb/> partiels, et le travail élémentaire total à la somme des<lb/> travaux élémentaires partiels, de sorte qu'on aura encore<lb/> pour un courant d'étendue finie la relation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Nous admettrons que cette loi est générale, et nous la<lb/> vérifierons par ses conséquences.</p>
<p rend="left">Pour avoir le travail qui correspond à un déplacement<lb/> fini, il faut intégrer l'équation précédente ; I étant<lb/> constante sort du signe ∫, et il vient :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">F</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">−</mo><msub><mi mathvariant="normal">F</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Ainsi le travail total ne dépend que de la position initiale<lb/> et de la position finale du courant, puisqu'il suffit pour<lb/> le calculer de connaître le flux de force en ces 2 positions.</p>
<p rend="center">21<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Précisons le sens dans lequel le flux de force est compté<lb/> par rapport au courant : α est l'angle qui fait la force<lb/> avec l'axe du courant du côté de la face australe ; donc<lb/> le flux de force est positif quand il entre par la face<lb/> boréale (à droite du courant), et négatif quand il entre<lb/> par la face australe (à gauche du courant).</p>
<p rend="left">La formule du travail électromagnétique est analogue à</p>
</div>
<p><ptr target="2229"/></p>
<div>
<p rend="left">254</p>
<p rend="left">celle du travail électrostatique : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">W</mi></mrow></math> ,<lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><msub><mi mathvariant="normal">W</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">−</mo><msub><mi mathvariant="normal">W</mi><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On voit que la quantité <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>IF</mi></mrow></mrow></math> joue en Électrodynamique<lb/> le même rôle que l'énergie W en Electrostatique.</p>
<p rend="left">On sait que l'on peut déduire de W la force exercée sur<lb/> un corps électrisé : sa composante X dans la direction x<lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dW</mi></mrow><mrow><mi>dx</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">De même l'expression du travail en fonction du flux de force<lb/> permet de trouver la force à laquelle est soumis un courant.</p>
<p rend="left">Si le courant est assujetti à se déplacer suivant la direction<lb/> <hi rend="underline">x</hi>, la force qu'il subit est donnée par la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><mi>dx</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Exemple</hi>. Cherchons la force exercée par un aimant infiniment<lb/> petit AB sur un courant fermé infiniment petit dont l’axe<lb/> est le prolongement de AB.</p>
<p rend="left">Soit r la distance CO, <hi rend="underline">l</hi> la<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> longueur AB ; +m le pôle<lb/> A, -m le pôle B. La force exercée par le pôle A sur l'unité<lb/> de magnétisme en O est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><msup><mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></math>. Donc l<subst class="undefined subst"> <del class="none del">a force</del><add class="above add" place="above">e flux de force</add></subst><lb/> <del class="none del">exercée sur</del> <add class="above add" place="above">qui traverse</add> le courant (équivalent à un feuillet) de surface S<lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow><msup><mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></math></p>
<p rend="left">De même, <subst class="undefined subst"><add class="above add" place="above">le flux de</add><del class="none del">la</del> </subst> force <subst class="undefined subst"><del class="none del">exercée</del> <add class="above add" place="above">envoyée</add></subst> par le pôle B <subst class="undefined subst"> <del class="none del">sur</del> <add class="below add" place="below">à travers</add></subst> le courant est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow><msup><mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mfrac></mrow></math></p>
</div>
<div>
<p class="right p" rend="right">255</p>
<p rend="left">Le flux de force magnétique total qui traverse le courant est<lb/> donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">F</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mn>1</mn><msup><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>−</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><msup><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>+</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mfrac></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><msup><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>−</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><msup><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>+</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">l</mi><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math></p>
<p rend="left">Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>ml</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow></mrow></math> moment magnétique de l'aimant</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mi>MS</mi><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><msup><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math></p>
<p rend="left">Si l'on suppose <hi rend="underline">l</hi> infiniment petit par rapport à <hi rend="underline">r</hi>, le déno-<lb/> minateur se réduit à r<hi class="sup hi" rend="sup"> 4</hi> ; on a alors simplement :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>MS</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> (On aurait pu obtenir ce résultat directement, sachant que la<lb/> force F exercée par l'aimant <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr><expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit AB sur l'unité de<lb/> magnétisme en O est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>2M</mn></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math> [v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2166 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2166"> p. 191</ref>]).</p>
<p rend="left">Supposons maintenant le circuit parcouru par un<lb/> courant d'intensité <add class="below add" place="below">constante</add> I positive, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> dans un sens tel que<lb/> le flux de force soit positif (passe de droite à gauche du courant) :<lb/> le courant est descendant en avant du ttableau. Calculons la<lb/> force X suivant la direction BA : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dx</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>dr</mi></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">X</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo>(</mo><mi>IF</mi><mo>)</mo></mrow><mi>dr</mi></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mfrac><mi>dF</mi><mi>dr</mi></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mi>MSI</mi></mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>4</mn></msup></mfrac></math></p>
<p rend="left">Cette force est attractive, et en raison inverse de la 4<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> puissance<lb/> de la distance. Cela se comprend, car on a vu que le couple<lb/> déviateur est en raison inverse du cube de la distance ; or<lb/> la force de translation, <del class="none del">est</del> étant la différence des 2 forces du<lb/> couple, est infiniment petite par rapport à elles, et par<lb/> conséquent infiniment petite du 4<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ordre.</p>
</div>
<p><ptr target="2231"/></p>
<div>
<p rend="left">256</p>
<p rend="center">Phénomènes d'induction</p>
<p rend="left">Nous venons d'étudier les lois des actions électromagnétiques,<lb/> découvertes par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname>. Vingt ans après lui, <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname><lb/> découvrit les phénomènes d'induction, qui ont élargi<lb/> considérablement le champ de l'Electrodynamique.</p>
<p rend="left"><del class="none del">On a prétendu qu</del> Ces phénomènes sont conformes au<lb/> principe de la conservation de l'énergie ; mais ce principe<lb/> ne pouvait suffire à les faire découvrir, comme on l'a<lb/> prétendu. En effet, ces phénomènes sont caractérisés par<lb/> la propriété particulière que voici :<lb/> Quand des circuits parcourus par des courants se<lb/> déplacent les uns par rapport aux autres, le principe de la<lb/> conservation de l'énergie s'applique à chacun d'eux, pris<lb/> isolément.</p>
<p rend="left">Or cette propriété ne peut évidemment se déduire du<lb/> principe de la conservation de l'énergie, car celui-ci<lb/> s'applique à l'ensemble des circuits en présence, ce qui<lb/> fournit une équation ; mais on n'a pas le droit, a priori,<lb/> de l'appliquer séparément à chaque circuit, de manière<lb/> à obtenir autant d'équations que de circuits. Cette<lb/> propriété se déduit des lois expérimentales trouvées par<lb/> <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref> et les résume toutes, de sorte que nous pouvons<lb/> les en déduire à leur tour.</p>
</div>
<p><ptr target="2232"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">257</p>
<p rend="left">Considérons un circuit comprenant des forces électro-<lb/> motrices quelconques, constantes ou variables, dont la<lb/> somme algébrique est E : on suppose que E varie de<lb/> telle sorte que l'intensité I du courant soit constante.<lb/> Soit R la résistance du circuit ; dΤ, le travail élémen-<lb/> taire des forces électromagnétiques pour un déplacement<lb/> infiniment petit du circuit. Supposons qu'il n'y ait pas<lb/> d'autre énergie mise en jeu que la chaleur de Joule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>dt</mi></mrow></math> et le travail des forces électromagnétiques dΤ.<lb/> Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">L'énergie dépensée est donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">D'autre part, la force électromotrice E, pour produire<lb/> par seconde l'unité d'électricité, consomme un travail<lb/> égal à E ; pour produire la quantité d'électricité I,<lb/> le travail est EI ; pendant le temps dt, le travail est<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>EI</mi><mi>dt</mi></mrow></math>. Appliquons le principe de la conservation de<lb/> l'énergie au circuit en écrivant que ce travail est<lb/> égal à l'énergie produite :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>EIdt</mi><mo>=</mo><mfenced><mrow><msup><mi>RI</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mfrac><mi>dF</mi><mi>dt</mi></mfrac></mrow></mfenced><mi>dt</mi></math></p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi>RI</mi><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math> ou <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">On voit qu'un courant ou mouvement n'obéit plus à<lb/> la loi d'Ohm : la force électromotrice est diminuée de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2233"/></p>
<div>
<p rend="left">258</p>
<p rend="left">autrement dit, le déplacement du circuit semble créer<lb/> une force électromotrice égale à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math>. En réalité,<lb/> c'est là une apparence : <subst class="undefined subst"><del class="none del">car</del> <add class="below add" place="below">c'est</add></subst> la force électromotrice réelle<lb/> E qui fournit, outre le courant I, le travail dΤ ;<lb/> c'est pourquoi l'intensité du courant baisse comme si<lb/> la force électromotrice E était diminuée de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La relation précédente est vraie quelle que soit la valeur<lb/> de E : en particulier, pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, on a simplement :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo stretchy="false">⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math><lb/> <choice class="undefined choice"><abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que tout se passe comme s'il y avait dans le circuit<lb/> la force électromotrice <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math>. Ainsi le mouvement<lb/> suffit à créer un courant dans un circuit ne contenant<lb/> aucune force électromotrice. C'est là un fait d'expérience<lb/> que rien ne pouvait faire prévoir : un <subst class="undefined subst"><del class="none del">courant</del> <add class="above add" place="above">circuit</add></subst> conducteur,<lb/> se déplaçant dans un champ magnétique, est parcouru<lb/> par un courant, donc s'échauffe et dépense de l'énergie.</p>
<p rend="left">Considérons d'abord un circuit fermé, d'aire S,<lb/> placé dans le champ magnétique terrestre perpendiculai-<lb/> rement à l'aiguille d'inclinaison : soit F la force<lb/> magnétique terrestre, le flux de force qui traverse le circuit<lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mi>FS</mi></math></p>
<p rend="left">Transportons le circuit parallèlement à lui-même, le flux<lb/> de force ne change pas, donc aucun courant ne se produit.</p>
</div>
<p><ptr target="2234"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">259</p>
<p rend="left">Faisons au contraire tourner le circuit d'un angle <90°,<lb/> le flux de force diminue, donc il se produit un courant<lb/> de sens positif (tel que le flux passe de droite à gauche) :<lb/> car si : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math>.</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mi>dF</mi></mrow></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math> s'appelle la <hi rend="underline">force électromotrice d'induction</hi>.<lb/> Il est facile de trouver la quantité d'électricité produite<lb/> quand le circuit a tourné de 90° : car le flux de force est<lb/> devenu nul, donc sa variation est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>FS</mi></mrow></mrow></math>. Or :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mrow><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">L'intégrale de dF, prise entre les limites SF et O, est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>SF</mi></mrow></mrow></math> ;<lb/> donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>FS</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">La quantité d'électricité est en raison inverse de la résis-<lb/> tance du circuit, proportionnelle à son aire et à l’intensité<lb/> du magnétisme terrestre.</p>
<p rend="left">Si l'on continue à faire tourner le circuit de 90°, la quan-<lb/> tité d'électricité produite dans le 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> quart de tour sera<lb/> égale à celle produite dans le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> : car le flux, devenant<lb/> négatif (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>SF</mi></mrow></mrow></math>) varie dans le même sens et de la même<lb/> quantité <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>SF</mi></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Si l'on fait tourner le circuit autour d'un axe <subst class="undefined subst"> <del class="none del">horizontal</del> <add class="above add" place="above">vertical</add></subst>,<lb/> la <del class="none del">force</del> composante efficace de la force sera H, donc le flux<lb/> utile sera SH. La quantité d'électricité produite pendant<lb/> 1 demi-tour (le flux étant nul au début et à la fin) sera :</p>
</div>
<p><ptr target="2235"/></p>
<div>
<p rend="left">260</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Si l'on fait tourner le circuit autour d'un axe horizontal<lb/> <subst class="undefined subst"><del class="none del">perpendiculaire</del> <add class="above add" place="above">parallèle</add></subst> au méridien magnétique, la composante<lb/> efficace sera la force verticale V : le flux utile sera SV,<lb/> et la quantité d’électricité produite en 1 demi-tour sera :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On a ainsi un procédé pour mesurer l'inclinaison : en<lb/> effet : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2156 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2156"> p.181</ref>)</p>
<p rend="left"><add class="above add" place="above">Inversement,</add> Quand on connaît l'intensité du magnétisme terrestre,<lb/> on peut calculer a priori la quantité d'électricité fournie<lb/> en 1 demi-tour (et par suite en un nombre connu de tours)<lb/> par un circuit de surface et de résistance connus. On<lb/> aura sa valeur en unités <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> El.Mg</abbr><expan class="undefined expan"> Electro-Magnétiques</expan></choice>.</p>
<p rend="left">Les courants induits par la terre ne sont pas les premiers<lb/> qu'ait découverts <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname> : ce sont les courants induits<lb/> par les aimants.</p>
<p rend="left">Considérons le cas particulier<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> d'un aimant <add class="above add" place="above">infiniment petit</add> AB et d'un circuit<lb/> O dont l'axe est dans le prolongement de BA. Si l'on l'éloigne<lb/> de l'aimant, le flux magnétique qui le traverse varie, donc<lb/> il y a production d'un courant : cherchons-en le sens.</p>
<p rend="left">Le flux de force qui traverse le courant est (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2229 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2229"> p. 254</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>MS</mi></mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>3</mn></msup></mfrac></math></p>
</div>
<p><ptr target="2236"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">261</p>
<p rend="left">Si <hi rend="underline">r</hi> augmente, F diminue : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>,<lb/> donc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">></mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> : le courant est positif par rapport au flux,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que le flux passe de la force boréale à la face australe.</p>
<p rend="left">Le courant a donc le même sens que celui qui équivaut<lb/> à l'aimant AB.</p>
<p rend="left">Si donc on remplace l'aimant AB par le courant fermé<lb/> équivalent (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>), le flux de force étant le même,<lb/> les mêmes phénomènes se produiront ; le courant induit<lb/> dans le circuit O sera de même sens, si O s'éloigne :<lb/> de sens contraire, s'il se rapproche.</p>
<p rend="left">Or deux courants de même sens s'attirent, de sens<lb/> contraire se repoussent ; ainsi le courant induit gêne<lb/> le mouvement. Cette propriété est générale, quelle que soit<lb/> la cause de l'induction ; le sens du courant induit est<lb/> donc déterminé par la <hi rend="underline">loi de Lenz</hi>.</p>
<p rend="left">Tout courant induit résultant d'un déplacement<lb/> <del class="none del">s'opp</del> est de sens tel qu'il s’oppose à ce déplacement.</p>
<p rend="left">La loi de Lenz est une conséquence de la conservation<lb/> de l'énergie dans le circuit : en effet, tout travail électro-<lb/> magnétique <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></math> produit dans le circuit<lb/> une force électromotrice de signe contraire <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On vérifie les lois précédentes avec un aimant ou un<lb/> solénoïde qu'on approche ou qu'on éloigne d'une bobine.</p>
</div>
<p><ptr target="2237"/></p>
<div>
<p rend="left">262</p>
<p rend="left">Nous venons de voir les courants induits : 1° par la terre ;<lb/> 2° par les aimants ; 3° par les courants constants qui<lb/> s'approchent ou s'éloignent. Il y a encore des courants<lb/> induits par la variation d'intensité de courants immobiles ;<lb/> en particulier, par l'apparition ou la cessation d'un courant<lb/> dans un circuit fixe.</p>
<p rend="left">Soit un circuit A parcouru par un courant constant <add class="above add" place="above">d'intensité I</add>, et<lb/> un circuit B qu'on amène de l'infini à une position déter-<lb/> minée B voisine de A : le courant induit dans B est de sens<lb/> contraire à celui de A, et l'on pourrait calculer la quantité<lb/> d'électricité développée dans B, connaissant le flux de force<lb/> émané de A qui traverse B.</p>
<p rend="left">Supposons maintenant que, les circuits A et B étant<lb/> immobiles, et n'étant traversés par aucun courant, on<lb/> lance dans A un courant d’intensité I (la même que ci-dessus) ;<lb/> l'expérience montre que le courant induit dans B a le même<lb/> sens et produit la même quantité d'électricité que dans<lb/> l'expérience précédente.</p>
<p rend="left">La première partie de cette loi (sens du courant induit) a été<lb/> découverte par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname>. La seconde partie (quantité d'élec-<lb/> tricité) a été devinée par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12371051j ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12371051j"> M. Neumann</ref>, et déduite du<lb/> principe de la conservation de l'énergie <hi rend="underline">dans le circuit</hi> B,<lb/> en supposant qu'il y a un courant induit ; elle a été vérifiée</p>
</div>
<p><ptr target="2238"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">263</p>
<p rend="left">expérimentalement par <persname> M. Felicz</persname>.</p>
<p rend="left"><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>Pour cela, on prend 3 circuits parallèles<lb/> A, B, C ; A et C communiquent entre<lb/> eux, mais le courant passe en sens<lb/> inverse en eux ; B communique avec<lb/> un galvanomètre. On lance un courant<lb/> dans le double circuit AC : si B est<lb/> au milieu des deux, en D, il n'y a pas de courant induit,<lb/> les deux courants B en D', l'action de A domine, et le<lb/> galvanomètre accuse un courant induit de sens contraire<lb/> à celui de A. On varie l'expérience : pendant que le courant<lb/> passe dans le circuit AC, on déplace brusquement le<lb/> circuit B de D en D' : il y a un courant induit de même<lb/> sens que précédemment, qui produit la même déviation<lb/> du galvanomètre.</p>
<p rend="left">Ainsi un courant qui commence induit un courant de<lb/> même sens que s'il s'approchait ; un courant qui cesse induit<lb/> un courant de même sens que s'il s'éloignait, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> un<lb/> courant de même sens que lui-même.</p>
<p rend="left">Un courant induit par variation d'intensité (de I<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> à I)<lb/> peut être considéré comme la somme des courants induits<lb/> par toutes les intensités successives, de I<hi class="sub hi" rend="sub"> 0</hi> à I. Par suite,</p>
</div>
<p><ptr target="2239"/></p>
<div>
<p rend="left">264</p>
<p rend="left">on peut calculer la force électromotrice induite par une<lb/> variation d'intensité donnée.</p>
<p rend="left">Le flux de force à un moment donné est proportionnel<lb/> à l’intensité du courant inducteur : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>,<lb/> M étant le <hi rend="underline">coefficient d'induction mutuelle</hi> des 2 circuits.<lb/> Pour une variation d’intensité dI, la variation du flux est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Si la force électromotrice induite est toujours donnée par la<lb/> formule (hypothèse de Neumann) : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>,<lb/> on aura : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Cette formule est l'expression du théorème de Neumann.<lb/> Elle suppose que l'on connaît le coefficient M, ou encore<lb/> la valeur du flux de force pour une intensité donnée I.<lb/> La quantité d'électricité développée par induction est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mrow><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">∫</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi>dt</mi></mrow></math><lb/> c'est-à-dire :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">R</mi></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>−</mo><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">R</mi></mfrac><mrow><mo>(</mo><mi mathvariant="script">F</mi><mo>−</mo><msub><mi mathvariant="script">F</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow></math> <lb/> Pour un courant qui commence : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>MI</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>.<lb/> Pour un courant qui finit : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On voit qu'en général, un courant qui augmente induit<lb/> un courant de sens contraire ; un courant qui diminue induit<lb/> un courant de même sens : car E est de signe contraire<lb/> à dI.</p>
</div>
<p><ptr target="2240"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">265</p>
<p rend="center">22<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Le coefficient d'induction mutuelle de 2 circuits dépend<lb/> de leur position relative. On peut calculer sa valeur dans<lb/> chaque cas particulier.</p>
<p rend="left">Soient 2 circuits infiniment petits O, O' ayant même<lb/> axe. Supposons le circuit O parcouru par un courant<lb/> d’intensité I : la force qu'il exerce sur le centre O' est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>00</mn></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math>)<lb/> et par suite le flux de force qui traverse le circuit 0' (d'aire S')<lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>3</mn></msup></mfrac></math></p>
<p rend="left">La force électromotrice induite dans le circuit O' est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Autre exemple</hi>. Considérons une bobine infiniment<lb/> longue, contenant <hi rend="underline">n</hi> spires par centimètre de longueur.<lb/> On sait que l’intensité du champ à son intérieur est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math> (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199"> p. 224</ref>)</p>
<p rend="left">Soit un circuit simple infiniment petit suspendu dans la<lb/> bobine parallèlement aux spires : soit S sa surface. Le flux<lb/> de force qui le traverse est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mi>MI</mi></math>, Donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Si l'on remplace le circuit simple par une petite bobine<lb/> de N spires ayant chacune la surface S, on trouve :</p>
</div>
<p><ptr target="2241"/></p>
<div>
<p rend="left">266</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">En général, le calcul du coefficient d'induction mutuelle en<lb/> fonction des données n'offre que des difficultés mathématiques.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname> a encore constaté qu'un courant exerce une<lb/> induction sur lui-même. Considérons 2 spires A et B<lb/> d'une bobine : le courant qui passe dans A ne peut <subst class="undefined subst"> <del class="none del">varier</del> <add class="below add" place="below">augmenter</add></subst><lb/> sans induire un courant de sens contraire dans B. Quand<lb/> les deux spires sont traversées par le même courant dans le<lb/> même sens, elles induisent l'une dans l'autre une force<lb/> électromotrice contraire au courant naissant, <del class="none del">qu</del> et qui<lb/> par suite s'oppose à son établissement. Quand le courant<lb/> cesse, l'induction mutuelle a lieu en sens contraire : la force<lb/> électromotrice induite a le même sens que le courant, et<lb/> s'oppose à son évanouissement.</p>
<p rend="left">Il est difficile de mettre en évidence l'existence du courant<lb/> induit, qui se superpose au courant primaire dans le même fil.<lb/> <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname> admit que la loi de l'induction s'applique aussi<lb/> aux courants instantanés (comme la loi d'Ohm dont elle<lb/> est dérivée). Il a imaginé une double expérience qui manifeste<lb/> le courant induit de fermeture, de sens contraire au courant<lb/> primaire, et le courant induit de rupture, de même sens que<lb/> le courant induit de fermeture, de sens contraire au courant<lb/> primaire, et le courant induit de rupture, de même sens que<lb/> le courant primaire (Voir <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb131632279 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb131632279"> Fernet</ref>, n°606).</p>
<p rend="left">Les forces électromotrices dites de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> <hi class="underline hi" rend="underline"> self-induction</hi></foreign> dépendent</p>
</div>
<p><ptr target="2242"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">267</p>
<p rend="left">de la variation du flux de force du courant à travers lui-<lb/> même (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> de chaque spire à travers toutes les autres).<lb/> Ce flux de force est proportionnel à l'intensité du courant,<lb/> et à un facteur L qui dépend de la forme du circuit :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mi>LI</mi></math></p>
<p rend="left">Le <hi class="underline hi" rend="underline"> coefficient de</hi><foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> <hi class="underline hi" rend="underline"> self-induction</hi></foreign> L peut se calculer a priori<lb/> comme M, mais plus difficilement.</p>
<p rend="left">Pour qu'il y ait <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign>, il n'est pas nécessaire<lb/> que le circuit soit enroulé sur lui-même : tout courant<lb/> qui varie exerce une induction sur lui-même. Cela se<lb/> comprend, car un circuit, même simple, est toujours formé<lb/> par un conducteur plus ou moins épais ; le courant est<lb/> en quelque sorte un faisceau de filets de courant parallèles<lb/> et juxtaposés, qui s'induisent les uns les autres, le flux<lb/> de force de chacun passant à travers les autres.</p>
<p rend="left">Néanmoins, la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> d'un circuit simple est<lb/> incomparablement plus petite que celle d'une bobine ; aussi<lb/> est-elle négligeable par rapport à celle d'une bobine : dans<lb/> les bobines de résistances, où l'on enroule en sens inverse<lb/> 2 fils traversés en sens inverse par le même courant ; on<lb/> peut considérer la self-induction comme nulle (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2211 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2211"> p.236</ref>).</p>
<p rend="left">Dans l'induction par le mouvement, la force électromotrice<lb/> induite s'explique, on l'a vu (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2233 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2233"> p.258</ref>) par le travail électro-</p>
</div>
<p><ptr target="2243"/></p>
<div>
<p rend="left">268</p>
<p rend="left">magnétique effectué. Mais dans l’induction par variation<lb/> d'intensité, en particulier dans la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-conduction</foreign>, il n'y<lb/> a pas de travail effectué : d'où vient la force électromotrice<lb/> induite ? Quand un courant s'établit, il produit un<lb/> champ magnétique, et par suite une énergie potentielle<lb/> des corps situés dans ce champ : la création de cette énergie<lb/> potentielle se traduit par la force électromotrice induite.</p>
<p rend="left">Le travail de la pile se dépense à la fois en chaleur de<lb/> Joule et en énergie potentielle magnétique. C'est pourquoi,<lb/> pendant la phase d'établissement du courant (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">/</mo><msup><mn>1000</mn><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msup></mrow></mrow></math><lb/> de seconde) on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false"><</mo><mi>EI</mi></mrow><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Inversement, quand <add class="below add" place="below">le courant cesse</add>, le champ magnétique disparaît, et<lb/> rend son énergie potentielle sous forme de force électromotrice,<lb/> avec production de chaleur. C'est pourquoi l'on a dans la<lb/> phase de rupture : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">></mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>dt</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">En résumé, le champ magnétique produit par un courant<lb/> possède une énergie potentielle correspondant à l'intensité<lb/> de ce courant. Ce sont les variations de cette énergie qui<lb/> engendrent les phénomènes d'induction.</p>
<p rend="left">Jusqu'ici nous avons considéré des circuits de forme<lb/> invariable. Il est intéressant d'étudier des circuits qui se<lb/> déforment.</p>
<p rend="left">Considérons par exemple le circuit<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
</div>
<p><ptr target="2244"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">269</p>
<p rend="left">formé par 2 rails parallèles dans un plan horizontal, et<lb/> une traverse qui roule sur eux. Le flux de force qui traverse<lb/> le circuit est dû à la composante verticale V du magné-<lb/> tisme terrestre. Si la traverse passe de BC en B'C', soit S<lb/> l'aire du rectangle BCC'B, le flux de force augmente de la<lb/> quantité VS. Soit v la vitesse de translation de la<lb/> traverse, <hi rend="underline">a</hi> sa longueur. En 1 seconde, elle balaie une<lb/> surface av ; en dt, une surface avdt. Donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mi>Vavdt</mi></math>,<lb/> et la force électromotrice induite dans le circuit sera :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></mrow><mi>dt</mi></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mi mathvariant="normal">V</mi><mi>av</mi></math></p>
<p rend="left">Pour se faire une idée de la grandeur de E, qu'on suppose<lb/> la traverse BC formée par l'essieu d'un wagon roulant à<lb/> la vitesse de 20 mètres par seconde : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2000</mn></mrow></mrow></math> ;<lb/> qu'on fasse approximativement : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>100</mn></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0,5</mn></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On trouve : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>100.000</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><msup><mn>10</mn><mrow><mn>5</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></math> CGS.</p>
<p rend="left">Ainsi E est égal (en valeur absolue) à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1000</mn></mrow></mfrac></mrow></math> de volt.</p>
<p rend="left">Dans ce cas, le courant induit est dû à un travail électro-<lb/> magnétique produit par le déplacement de la traverse BC :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">V</mi><mi>avdt</mi></math></p>
<p rend="left">D'autre part, soit X la force qui s'exerce sur la traverse<lb/> (en sens contraire de son mouvement, en vertu de la loi de Lenz)<lb/> et <hi rend="underline">dx</hi> son déplacement infiniment petit.</p>
</div>
<p><ptr target="2245"/></p>
<div>
<p rend="left">270</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">X</mi></mrow><mrow><mi>dx</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">X</mi></mrow><mi mathvariant="normal">v</mi><mi>dt</mi></mrow></math><lb/> Donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Si par exemple le courant lancé dans le circuit est d'un<lb/> ampère (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><msup><mn>10</mn><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msup></mrow></mrow></math> CGS), on trouve : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>5</mn></mrow></mrow></math> [dynes]</p>
<p rend="left">Plus généralement, cherchons la force qui s'exerce<lb/> sur un élément de courant d’intensité I, de longueur ds,<lb/> mobile dans un champ magnétique et faisant l'angle θ<lb/> avec la direction de la force.</p>
<p rend="left">Imaginons que cet élément fait<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> partie d'un circuit fermé dans<lb/> un plan normal à la direction<lb/> de la force, et tel que le flux de<lb/> force <add class="above add" place="above">qui le traverse</add> soit positif (passe de la droite à la gauche du courant).</p>
<p rend="left">Pour trouver la direction de la force qui s'exerce sur <hi rend="underline">ds</hi>,<lb/> il suffit de chercher pour quel déplacement virtuel de <hi rend="underline">ds</hi><lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">la variation</del> <add class="below add" place="below">aura lieu</add></subst> : le plus grand accroissement du flux de force.</p>
<p rend="left">En effet, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">X</mi><mi>dx</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></math>,<lb/> et le travail est maximum quand le déplacement <hi rend="underline">dx</hi> a lieu<lb/> dans le sens de la force (la composante X est alors maxima)<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> égale à la force elle-même. Or on voit que ce maximum<lb/> correspond à un déplacement de ds perpendiculaire à sa position<lb/> et à la force magnétique F ; en d'autres termes, la force <add class="below add" place="below">électromagnétique</add> X<lb/> est perpendiculaire au plan de l'élément ds et de la force magnétique.</p>
</div>
<p><ptr target="2246"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">271</p>
<p rend="left">De plus (pour que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></math> soit un accroissement, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><add class="above add" place="above">que le travail soit</add> positif)<lb/> il faut que le déplacement de <hi rend="underline">ds</hi> ait lieu en dehors du<lb/> circuit : donc, quand l'observateur d'<persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref> couché<lb/> le long de ds <del class="none del">et</del> reçoit le flux magnétique en face, la<lb/> force X est dirigée vers sa droite. Elle a pour expression :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>FI</mi></mrow><mrow><mi>ds</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>sin</mi></mrow><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">On voit que cette expression ne diffère de la précédente<lb/> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></math>) que par le facteur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math>, qui était alors égal à 1.</p>
<p rend="left">Nous allons appliquer que formule à quelques problèmes.</p>
<p rend="center"><hi rend="underline">Galvanomètre à mercure</hi> de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12733363q"> M. Lippmann</ref></persname>.</p>
<p rend="left">L’élément de courant <del class="none del">ds</del> mobile est liquide : il est formé<lb/><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>par le mercure qui remplit une petite boîte de hauteur<lb/> <hi rend="underline">l</hi>, d'épaisseur <hi rend="underline">e</hi>, comprise entre les 2 pôles d'un<lb/> fort aimant, et que le courant traverse de bas en haut,<lb/> par exemple. Les lignes de force traversent la boîte<lb/> de gauche à droite ; la force électromagnétique X<lb/> pousse alors le mercure en arrière du ttableau. Pour<lb/> lui faire équilibre, on emploie une force hydrostatique : la<lb/> boîte est entre les 2 branches d'un tube en U, et le mercure<lb/> monte <add class="above add" place="above">d'une hauteur</add><hi rend="underline"><add class="above add" place="above">h</add></hi> dans la branche d'arrière, étroite ; la branche d'avant<lb/> est assez large pour que le niveau n'y varie pas sensiblement.</p>
<p rend="left">La force électromagnétique est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></math> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ds</mi></mrow></mrow></math>)</p>
<p rend="left">D'autre part, la force hydrostatique est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2247"/></p>
<div>
<p rend="left">272</p>
<p rend="left"><choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> la pression sur la face latérale de la boîte, laquelle s'oppose<lb/> au déplacement horizontal du mercure. Calculons la<lb/> pression <hi rend="underline">p</hi> (par unité de surface) : elle est égale à :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">h</mi></mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow></math> δ densité de mercure.</p>
<p rend="left">L'équation d'équilibre est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></math>,<lb/> ou : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">h</mi><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>FI</mi></mrow></mrow></math><lb/> d'où l'on tire : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">h</mi><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mi mathvariant="normal">h</mi></mrow></math>,<lb/> en posant : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow></mrow></math> (constante instrumentale).</p>
<p rend="left">Ainsi l’intensité du courant est proportionnelle à la<lb/> dénivellation du mercure. Le sens de cette dénivellation<lb/> indique le sens du courant, car si l'on renverse celui-ci,<lb/> le mercure baisse dans la branche étroite au-dessous du 0.</p>
<p rend="left">On peut graduer cette branche en <hi rend="underline">ampères</hi>. Cet instru-<lb/> ment a l'avantage d'être apériodique : comme il arrive<lb/> lentement et progressivement à sa position d'équilibre,<lb/> il n'oscille pas.</p>
<p rend="left">Comme toujours, au travail électromagnétique produit<lb/> dans cette expérience correspond un phénomène d'induction.<lb/> Si, aucun courant en passant dans la boîte, ou <subst class="undefined subst"> <del class="none del">produit</del> <add class="above add" place="above">obtient</add></subst><lb/> mécaniquement la dénivellation du mercure <add class="above add" place="above">dans le même sens</add>, l'écoulement<lb/> du mercure produit un courant induit de même sens que<lb/> le courant de la 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> expérience : car le mercure se déplace alors<lb/> en sens inverse : or le courant induit doit, en vertu de la loi de</p>
</div>
<p><ptr target="2248"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">273</p>
<p rend="left">Lenz, s'opposer au déplacement.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Roue de Barlow</hi>. C'est un disque de cuivre rouge pou-<lb/> vant tourner autour d'un axe horizontal : le courant<lb/> entre par l'axe et sort par le bord inférieur, qui plonge<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>dans une rigole pleine de mercure. On place<lb/> la partie inférieure du disque entre les pôles<lb/> d'un fort aimant. Quand le courant passe,<lb/> la roue se met à tourner vers la droite de<lb/> l'observateur d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname>. Si l'on renverse<lb/> le courant, elle tourne en sens contraire.</p>
<p rend="left">Réciproquement, si, aucun courant ne passant, on fait<lb/> tourner la roue, on produit un courant induit, qui<lb/> change de sens avec la rotation.</p>
<p rend="left">On a ainsi des exemples de la réversibilité des moteurs<lb/> électriques (le galvanomètre à mercure peut-être considéré<lb/> comme une machine élévatoire ou comme un moteur hy-<lb/> draulique) qui deviennent des machines magnéto-électriques.<lb/> Seulement les appareils précédents ne produisent que des<lb/> forces électromotrices très faibles ou un travail très petit.</p>
<p rend="left">Considérons maintenant, non plus un élément de courant,<lb/> mais un courant fermé qui se déplace tout d'une pièce<lb/> de A en B <add class="above add" place="above">en se déformant</add>. On peut le décomposer en éléments de courant<lb/> qu'on peut concevoir comme se mouvant séparément. Ce</p>
</div>
<p><ptr target="2249"/></p>
<div>
<p rend="left">274</p>
<p rend="left">n'est pas là une fiction mathématique, comme celle qui<lb/> consiste à décomposer un circuit par un quadrillé (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2178 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2178"> p.203</ref>)<lb/> pour l'assimiler à un feuillet magnétique, mais une hypo-<lb/> thèse physique réalisable par expérience : car on peut rendre<lb/> indépendante telle portion du circuit qu'on veut. La 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e </hi><lb/>conception est de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12270383k"> lord Kelvin</ref></persname> : elle a l'avantage de relier<lb/> intimement et directement les phénomènes électriques aux<lb/> phénomènes magnétiques <add class="above add" place="above">et de fournir des formules plus simples</add>. La 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> est celle d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> : elle<lb/> est plus conforme à l'ordre historique, et aussi à la réalité<lb/> physique ; elle est plus satisfaisante pour l'esprit.</p>
<p rend="left">Le courant étant donc décomposé en <add class="below add" place="below">ses</add> éléments réels (et non<lb/> plus en petits courants fermés fictifs), le travail total des<lb/> forces électromagnétiques sera la somme des travaux<lb/> élémentaires effectués sur les éléments du <subst class="undefined subst"><del class="none del">circuit</del> <add class="above add" place="above">courant</add></subst>, et l'on<lb/> aura encore les formules :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></mrow><mi>dt</mi></mfrac></math>,<lb/> applicables cette fois au circuit tout entier pour un<lb/> déplacement infiniment petit (avec ou sans déformation).</p>
<p rend="left">La force qui s'exerce sur un élément <hi rend="underline">ds</hi> du courant dans<lb/> un champ magnétique d'intensité F, est comme on sait :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mi>ds</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>sin</mi></mrow><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math><lb/> car pour le déplacement <add class="above add" place="above">dx</add> qui correspond au travail maximum,<lb/> on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dF</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="script">F</mi><mi>ds</mi><mo>⋅</mo><mi>sin</mi><mo>θ</mo><mo>⋅</mo><mi>dx</mi></math></p>
</div>
<p><ptr target="2250"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">275</p>
<p rend="left">Si le champ magnétique est produit par une masse<lb/> magnétique +m, la force de cette masse, à la distance <hi rend="underline">r</hi>,<lb/> est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></math> ; donc la force qu'elle exerce sur l'élément <hi rend="underline">ds</hi><lb/> situé à cette distance sera :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>ds</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">Cette formule élémentaire a été trouvée par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname>, et<lb/> probablement suggérée par lui à <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12150160s ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12150160s"> Biot</ref></persname> et <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb126378349 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb126378349"> Savart</ref></persname>. Ceux-ci<lb/> ont alors fait l'expérience suivante :</p>
<p rend="left">Soit une petite aiguille aimantée de déclinaison ; dans<lb/> le plan perpendiculaire au méridien magnétique et passant<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>par le milieu de l’aiguille, on place un fil<lb/> vertical, de longueur indéfinie, parcouru par un<lb/> courant de sens tel que son action s'ajoute à<lb/> celle du magnétisme terrestre. Si donc l'on fait<lb/> osciller l'aiguille, on pourra mesurer la force qui<lb/> la sollicite : l'excès de cette force sur la composante<lb/> horizontale H du champ terrestre est la force <add class="above add" place="above">X</add> exercée par le<lb/> courant. Théoriquement, on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dX</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>ds</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">En supposant le fil de longueur infinie, on trouve :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mrow><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">π</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>ds</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>sin</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">θ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">π</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mrow><mi>ds</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>sin</mi></mrow><mo stretchy="false">θ</mo></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Or, soit a la distance du centre 0 de l'aiguille au fil : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ds</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">a</mi><mi>tgθ</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mi>adθ</mi></mrow><mrow><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">θ</mi></mrow></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mo>∫</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac><mn>0</mn></msubsup><mfrac><mrow><mi>ds</mi><mo>·</mo><mi>sinθ</mi></mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">a</mi></mfrac></math>. Donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">X</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>mI</mi></mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mfrac></math></p>
</div>
<p><ptr target="2251"/></p>
<div>
<p rend="left">276</p>
<p rend="left">Telle est la <hi rend="underline">loi de Biot et Savart</hi>, qu'ils ont vérifiée par<lb/> l'expérience : la force exercée par le courant rectiligne indéfinie<lb/> sur l'aimant est en raison inverse de la distance.</p>
<p rend="center">23<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Cette loi permet de calculer l'action d'un courant rectiligne<lb/> indéfini sur une aiguille aimantée (expérience d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444 ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb125467444"> Œrstedt</ref></persname>).<lb/> En général, cette action se compose d'un couple et d'une<lb/> force, car les actions sur les 2 pôles ne sont pas, en général,<lb/> égales et contraires.</p>
<p rend="left">Comme la formule est indépendante de l'azimut où le pôle<lb/> se trouve placé par rapport au courant, la force est la même<lb/> dans tous les azimuts : elle est toujours perpendiculaire au<lb/> plan du pôle et du courant. Donc si <del class="none del">l'</del>on <subst class="undefined subst"> <del class="none del">fait</del> <add class="above add" place="above">laisse</add></subst> tourner le<lb/> pôle autour du courant comme axe, le travail de la force<lb/> sera le produit de la force par la longueur de la circonférence<lb/> parcourue : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mn>2</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Ainsi le travail <add class="below add" place="below">effectué en 1 tour</add> est indépendant de la distance du pôle au<lb/> courant. Le mouvement pouvant continuer indéfiniment,<lb/> on a ainsi un moteur électrique.</p>
<p rend="left">Inversement, si l'on fait tourner le pôle austral P isolé, autour<lb/> du fil rectiligne (formant un circuit fermé à grande distance),<lb/> on y produit un courant induit dont on peut calculer<lb/> l'intensité. Soit ω la vitesse angulaire ; le chemin parcouru</p>
</div>
<p><ptr target="2252"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">277</p>
<p rend="left">dans le temps dt est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>dt</mi></mrow></math>. le travail effectué en<lb/> un tour complet étant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>, le travail effectué en<lb/> un temps <hi rend="underline">dt</hi> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>π</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>×</mo><mfrac><mrow><mo>ω</mo><mi>dt</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>π</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>ω</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>dt</mi></math></p>
<p rend="left">Or on a toujours : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></math><lb/> On en conclut : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>ω</mo><mi>dt</mi></math><lb/> et par suite : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></mrow><mi>dt</mi></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>ω</mo></math></p>
<p rend="left">Telle est la force électromotrice induite dans le fil par le<lb/> pôle de masse +m tournant avec la vitesse angulaire ω.</p>
<p rend="left">Si ω est constante, le courant induit sera constant.</p>
<p rend="left">On peut calculer autrement et a priori le travail<lb/> correspondant à un tour entier du pôle autour du courant.<lb/> En effet, il est égal (le mouvement étant relatif) à celui<lb/> qu'<del class="none del">on</del> effectuerait le courant en tournant autour du pôle.<lb/> Quel est le flux de force coupé par le courant pendant un tour ?<lb/> Le courant engendrant un cylindre droit indéfini, inter-<lb/> cepte (successivement) la totalité du flux de force émané<lb/> du pôle +m, lequel est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></math> (même démonstration que<lb/> pour le flux de force électrique, fondée sur la loi de Coulomb <add class="below add" place="below">(v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2019 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2019"> p. 44</ref>)</add>)</p>
<p rend="left">Or le travail est toujours : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="script">F</mi></math></p>
<p rend="left">Donc le travail en un tour est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mn>4</mn><mo>π</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></math></p>
<p rend="left">La même méthode permet d'évaluer encore le travail<lb/> électromagnétique dans d'autres cas.</p>
<p rend="left">Soit par exemple un arc de courant PQR mobile autour de</p>
</div>
<p><ptr target="2253"/></p>
<div>
<div>
<p rend="left">278</p>
<p rend="left">l'axe de PR sur lequel se trouve un pôle austral A, de masse<lb/> magnétique <hi rend="underline">m</hi>. On voit que toutes les forces<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> concourent à faire tourner le courant<lb/> dans le même sens. Si le courant fait<lb/> un tour entier, il engendre une surface<lb/> fermée qui intercepte le flux de force<lb/> tout entier. Donc le travail total en<lb/> un tour est encore : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">On peut ainsi évaluer le travail sans connaître la force.</p>
<p rend="left">Inversement, si l'on fait tourner le fil PQR (faisant<lb/> partie d'un circuit fermé) autour du pôle A avec la vitesse<lb/> angulaire ω, la force électromotrice induite sera encore :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mo stretchy="false">ω</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">Ces propositions paraissent inapplicables à la réalité,<lb/> car on ne peut jamais obtenir pratiquement un pôle isolé.</p>
<p rend="left">Mais prenons un aimant dont le pôle<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> austral A soit sur PR, et le pôle boréal<lb/> B sur le prolongement PR, en dehors<lb/> du circuit (au même sur le circuit). Le<lb/> travail correspondant au pôle A pour un tour<lb/> est, comme on sait, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi>mI</mi></mrow></math>. Le travail<lb/> correspondant au pôle B est nul, car le flux<lb/> de force qui <unclear class="high unclear" cert="high"> émané</unclear> de B traverse la surface fermée engendrée</p>
</div>
$$$
<p><ptr target="2254"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">279</p>
<p rend="left">par PQR en tournant est nul, B étant extérieur (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2020 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2020"> p.45</ref>).<lb/> Tout se passe donc comme si le pôle A était isolé.</p>
<p rend="left">Il est aisé de voir que c'est la seule disposition qui donne<lb/> un effet électromagnétique avec un aimant complet<lb/> (à 2 pôles) ; car si les pôles étaient tous deux à l'inté-<lb/> rieur ou à l'extérieur du circuit, le flux de force total<lb/> qui traverse la surface de révolution serait nul.</p>
<p rend="left">Il semble, en vertu de l'assimilation d'un courant<lb/> fermé à un feuillet, qu'on doive pouvoir produire la<lb/> rotation continue d'un feuillet avec un aimant : on<lb/> réaliserait ainsi le mouvement perpétuel, car on obtien-<lb/> drait du travail indéfiniment sans dépenser d'énergie.<lb/> Mais l'analogie du courant et du feuillet est ici fausse.<lb/> En effet, étant donné un feuillet, et une masse magnétique<lb/> <add class="marginLeft add" place="marginLeft"> positive</add><app> <lem class="undefined lem">A</lem><note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus">Précédé de « positive » </note></app> sur <subst class="undefined subst"> <del class="none del">une de ses faces</del> <add class="above add" place="above">sa face australe</add></subst>, <subst class="undefined subst"> <del class="none del">la répulsion</del> <add class="above add" place="above">les forces</add></subst> magnétiques peuvent<lb/> l'amener sur la face boréale en faisant le tour du feuillet.</p>
<p rend="left">Mais pour revenir à sa position initiale, il lui faudrait<lb/> percer le feuillet ; lors même qu'un trou y serait préparé,<lb/> il faudrait dépenser, pour lui faire traverser le feuillet, un<lb/> travail égal à celui qu'elle aurait produit en passant d'une<lb/> face sur l'autre. En effet, le potentiel V produit par un<lb/> feuillet sur un point extérieur est en général PΩ (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2173 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2173"> p. 198</ref>) ;<lb/> il est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow></math> sur la face australe, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>2</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow></math> sur la face boréale ;</p>
</div>
<p><ptr target="2255"/></p>
<div>
<p rend="left">280</p>
<p rend="left">sa variation d'une face à l'autre est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow></math> : c'est le travail<lb/> qu'il faut effectuer pour ramener le pôle A de la face boréale<lb/> sur la face australe. Le système est donc soumis au principe<lb/> de la conservation de l'énergie.</p>
<p rend="left">La loi précédente explique la rotation d'un pôle d'aimant<lb/> autour d'un courant vertical (expérience de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref>). L'autre<lb/> pôle, plongé dans le mercure qui conduit le courant, est annulé.</p>
<p rend="left">Dans le cas où le courant vertical passe par l'aimant<lb/> lui-même (variante de l'expérience), la rotation de l'aimant<lb/> s'explique par l’action du courant sur les pôles latéraux.</p>
<p rend="left">Tous<del class="none del">tes</del> les <subst class="undefined subst"> <del class="none del">espère</del> <add class="above add" place="above">appareils</add></subst> précédents sont des moteurs électriques,<lb/> qui ne sont pas pratiques, car ils ne produisent qu'un faible<lb/> travail ; mais ils sont intéressants au point de vue théorique,<lb/> car ils produisent des courants constants (ce qui n'est pas<lb/> le cas de la plupart des machines magnéto-électriques) et<lb/> fournissent des exemples parfaits de réversibilité des moteurs<lb/> électriques.</p>
<p rend="center">Action des courants sur les courants</p>
<p rend="left">Si l'on admet, avec <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref>, qu'un aimant est un solénoïde<lb/> électrique, on peut conclure des actions des aimants sur les<lb/> courants (et vice-versa) aux actions des courants sur les courants.</p>
<p rend="left">On est ainsi amené à chercher d'abord l'action d'un élément<lb/> de courant sur un élément de courant, pour en déduire</p>
</div>
<p><ptr target="2256"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">281</p>
<p rend="left">ensuite l'action d'un courant fini sur un autre.</p>
<p rend="left">Mais ce problème est artificiel, et insoluble par expérience :<lb/> car si l'on peut rendre mobile une portion de courant et<lb/> observer l'action d'un aimant sur elle, on ne peut isoler<lb/> deux éléments de courant pour observer leur action mutuelle.<lb/> On ne peut que constater l'action d'un circuit fermé sur<lb/> un élément de courant mobile ; et comme cette action peut<lb/> se déduire d'un infinité de lois de l'action mutuelle de<lb/> 2 éléments, entre lesquelles l'expérience ne peut décider,<lb/> le problème reste indéterminé. En effet, supposons connue<lb/> la loi des actions de 2 éléments, on peut y introduire un<lb/> terme qui disparaisse quand on intègre suivant un circuit<lb/> fermé : de telle sorte que le résultat vérifiable soit le même.<lb/> Ces diverses lois sont donc indiscernables pour l'expérience.</p>
<p rend="left">Toutefois, <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> a rendu le problème déterminé<lb/> en lui imposant a priori certaines restrictions. D'abord,<lb/> il a admis que l'action totale d'un courant est la somme<lb/> des actions de tous ses éléments. Mais de plus, il a supposé :<lb/> 1° que l'action était égale à la réaction entre 2 éléments<lb/> de courant ; 2° que l'action mutuelle des 2 éléments<lb/> est dirigée suivant la droite qui les joint (ce qui n'est pas<lb/> évident a priori, car on a vu que l'action d'un courant sur<lb/> un aimant est perpendiculaire à la droite qui les joint).</p>
</div>
<p><ptr target="2257"/></p>
<div>
<p rend="left">282</p>
<p rend="left">Enfin, il a présumé que l'action était fonction de la distance<lb/> seulement, et même qu’elle était en raison inverse d'une<lb/> puissance finie de la distance (comme les forces électrostatiques,<lb/> <del class="none del">et</del> magnétiques et électromagnétiques).</p>
<p rend="left">Par des expériences bien connues, il obtient les lois élémen-<lb/> taires 1° des courants parallèles : 2° des courants angulaires ;<lb/> 3° des courants sinueux ; 4° de la loi de la répulsion de 2 portions<lb/> consécutives d'un même courant (fondée sur l'expérience<lb/> des 2 rigoles parallèles, qui ne prouve rien : car on ne sait pas<lb/> si l'action s'exerce sur les tiges parallèles ou sur le pont).</p>
<p rend="left">De ces lois expérimentales <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> déduisit les 4 lois<lb/> suivantes concernant l'action de 2 éléments de courant :</p>
<p rend="left">1° Deux éléments parallèles s'attirent s'ils sont de<lb/> même sens, se repoussent s'ils sont de sens contraire.</p>
<p rend="left"><persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref> admit que leur action mutuelle X était<lb/> proportionnelle à leurs longueurs, ds, ds', et aux inten-<lb/> sités des courants I, I', et il posa la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">2° Deux éléments consécutifs d'un même courant se<lb/> repoussent : <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> admit que la force était en raison<lb/> inverse de la même puissance (<unclear class="medium unclear" cert="medium"> n<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi></unclear>) de la distance, et que<lb/> le coefficient A seul pouvait changer ; d'où la formule :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2258"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">283</p>
<p rend="left">3° Deux éléments dont l'un est perpendiculaire au milieu<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>de l'autre n'ont aucune action l'un sur l'autre.</p>
<p rend="left">En effet, AB attire la moitié CM et repousse la<lb/> moitié MD ; et comme CD est infiniment petit,<lb/> les 2 actions contraires, dirigées suivant AM, se neutralisent.</p>
<p rend="left">4° Deux éléments perpendiculaires entre eux et<lb/> à la droite qui les joint n'ont aucune action l'un sur l'autre.</p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> admit cette loi pour des raisons de symétrie analogues<lb/> aux considérations qui justifient la précédente.</p>
<p rend="left">Telles sont les lois infinitésimales admises par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère </ref><lb/>dans les 4 positions particulières. Pour en déduire l'action<lb/> de 2 éléments dans une position relative quelconque, il<lb/> invoqua la loi des courants.</p>
<p rend="left"><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>Pour cela, il décomposait les<lb/> deux éléments de courant<lb/> en les projetant sur 3 axes<lb/> rectangulaires, et appliquant cette loi à la ligne brisée<lb/> formée par ces projections, il en concluait que l'action<lb/> mutuelle des 2 éléments était la somme des actions de<lb/> leurs projections. Pren<del class="none del">ant</del><add class="below add" place="below">ons</add> pour axe des <hi rend="underline">x</hi> la droite qui joint<lb/> les centres 00' des 2 éléments : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>AB</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ds</mi></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>CD</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ds</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math>,e t<lb/> pour plan des xy le plan où se trouve AB ; <subst class="undefined subst"> <del class="none del">les projections</del> <add class="below add" place="below">soient θ, θ'</add></subst></p>
</div>
<p><ptr target="2259"/></p>
<div>
<p rend="left">284</p>
<p rend="left"><add class="above add" place="above">les angles</add> des 2 éléments avec l'axe des <hi rend="underline">x</hi> (<del class="none del">pris</del> chaque élément étant pris<lb/> positivement dans le sens du courant), et soit ε l'angle<lb/> du plan 00'CD avec l'axe des <hi rend="underline">z</hi>, les projections sont :</p>
<p rend="left"><tabl class="undefined ttableau"><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dx</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ds</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dx</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>ds</mi><mo>'</mo><mo/><mi>cosθ</mi><mo>'</mo></math> </cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dy</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ds</mi></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dy</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>ds</mi><mo>'</mo><mo/><mi>cosθ</mi><mo>'</mo><mo/><mi>cosε</mi></math></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dz</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math></cell><cell class="undefined cell"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>dz</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>ds</mi><mo>'</mo><mo/><mi>sinθ</mi><mo>'</mo><mo/><mi>sinε</mi></math></cell></row></tabl></p>
<p rend="left">Si l'on accouple chaque élément de l'un à chaque élément<lb/> de l'autre, on obtient des couples qui présentent une des<lb/> 4 positions définies ci-dessus. Si l'on élimine les couples<lb/> qui sont dans la 3<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ou la 4<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> position (dont l'action est nulle),<lb/> il ne reste plus que les couples dxdx' et dydy' dont on<lb/> a à tenir compte. En leur appliquant les 2 lois élé-<lb/> mentaires, on trouve pour l'action totale (dirigée suivant<lb/> ) la formule suivante :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mfrac><mrow><mi>II</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">ε</mo><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi>cos</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfenced></mrow></math></p>
<p rend="left"><persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> a fait des expériences pour déterminer les constantes<lb/> inconnues A, B et <hi rend="underline">n</hi> : c'étaient des expériences d'équilibre.</p>
<p rend="left">De la formule précédente il déduisait <del class="none del">(</del> certains cas<lb/> d'équilibre dont les équations fournissaient les valeurs des<lb/> constantes qui y figuraient. Ampère trouva ainsi :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></mrow></mrow></math> ; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>. Quant à A, il ne s'en occupait pas,<lb/> car il ne faisait que des mesures relatives. Par ses expériences<lb/> de mesure absolue, on a trouvé : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow></mrow></math> (le signe -</p>
</div>
<p><ptr target="2260"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">285</p>
<p rend="left">indique une attraction, de sorte que B, auquel nous avons<lb/> attribué le signe -, doit être positif, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> correspond à<lb/> une répulsion). La formule d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname> est en définitive :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow><mfrac><mrow><mi>II</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">ε</mo><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi>cos</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfenced></mrow></math></p>
<p rend="left">(on écrit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></math> pour indiquer qu'il faut une double intégra-<lb/> tion, en ds et en ds', pour trouver la force finie qui<lb/> s'exerce entre 2 courants finis).</p>
<p rend="left">Cette formule peut par des transformations analytiques<lb/> être mise sous les formes suivantes, plus commodes<lb/> pour certains cas particuliers :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>2</mn></mrow></mrow><mfrac><mrow><mi>II</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi>cos</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfenced></mrow></math><lb/> ω étant l'angle que les 2 éléments ds, ds' font entre eux.<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">F</mi><mo>=</mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mfrac><mrow><mi>II</mi><mo>'</mo><mo/><mi>ds</mi><mo/><mi>ds</mi><mo>'</mo></mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">δ</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi>δs</mi><mo/><mi>δs</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mi>δr</mi><mi>δs</mi></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mi>δr</mi><mrow><mi>δs</mi><mo>'</mo></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math><lb/> formule d'où les angles sont exclus.</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>II</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msqrt></mrow></mfrac><mo stretchy="false">×</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mo stretchy="false">δ</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><msqrt><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msqrt></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mo stretchy="false">δ</mo></mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math><lb/> formule la plus simple, où ne figure qu'une dérivée seconde.</p>
<p rend="left">Cette dernière formule est intéressante, parce qu'elle permet<lb/> de trouver une expression élégante du travail électromagnétique<lb/> <del class="none del">exercé</del> effectué par un courant <hi rend="underline">fermé</hi> sur un autre courant<lb/> également fermé. Le travail élémentaire, pour un dépla-<lb/> cement infiniment petit, est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mo>Τ</mo><mo>=</mo><mi>II</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mo>∬</mo><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo>ω</mo><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mfrac></math>,<lb/> l’intégrale double étant étendue à la totale des 2 circuits <hi rend="underline">fermés</hi>.</p>
</div>
<p><ptr target="2261"/></p>
<div>
<p rend="left">286</p>
<p rend="left">On peut tirer de cette formule la loi de l'induction des<lb/> courants par les courants. On a les formules générales :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">F</mi></mrow><mi>dt</mi></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">T</mi><mo>=</mo><mi>Id</mi><mi mathvariant="script">F</mi></math><lb/> d'où l'on conclut : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mi mathvariant="normal">I</mi></mfrac><mo>·</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="script">T</mi></mrow><mi>dt</mi></mfrac></math><lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">ce</del> <add class="above add" place="above">formule</add></subst> qui exprime la force électromotrice induite <add class="below add" place="below">dans le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> circuit</add> en fonction<lb/> du travail. Substituons-y l'expression du travail :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mrow><mo stretchy="false">∬</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">or on sait (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2239 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2239"> p.264</ref>) que, M étant le coefficient d'induction<lb/> réciproque, le flux de force émané du 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> courant qui traverse<lb/> le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>MI</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math>,<lb/> et si I' est constante : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dF</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>dM</mi></mrow></math><lb/> (le coefficient d'induction varie par suite de déplacement)<lb/> On a dans ce cas : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>'</mo><mfrac><mi>dM</mi><mi>dt</mi></mfrac></math></p>
<p rend="left">Rapprochons cette formule de la précédente ; on en conclut :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∬</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Cette formule permet de calculer pratiquement le coefficient<lb/> d'induction réciproque de 2 circuits (dans une position<lb/> donnée fixe). Elle est d'ailleurs indépendante des lois d'<persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12050947m"> Ampère</ref></persname>.</p>
<p rend="left">Dans le cas courants induits par variation d’intensité<lb/> (les 2 circuits restant fixes), on a au contraire (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2239 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2239"> p.264</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow></mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math><lb/> et par suite, en vertu du résultat précédent :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mi>dI</mi><mo>'</mo></mrow><mi>dt</mi></mfrac><mo>∬</mo><mfrac><mrow><mi>cosω</mi><mo/><mi>ds</mi><mo/><mi>ds</mi><mo>'</mo></mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mfrac></math></p>
</div>
<p><ptr target="2262"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">287</p>
<p rend="left">La formule de M permet aussi de calculer le coefficient<lb/> de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> (mais plus difficilement). En effet, si<lb/> l'on considère l'action de chaque élément du courant<lb/> sur les autres, on a encore l’intégrale :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∬</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></math><lb/> seulement ds et ds' appartiennent cette fois au même<lb/> circuit. C'est la seule formule par laquelle on puisse<lb/> calculer le coefficient de self-induction.</p>
<p rend="center">24<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon<lb/> <hi rend="underline">Problème de l'établissement d'un courant</hi></p>
<p rend="left">Dans un circuit simple, de résistance R, on intercale à un<lb/> moment donné une force électromotrice E. Soit L le coeffi-<lb/> cient de self-induction du circuit. Pour connaître l'inten-<lb/> sité I <add class="below add" place="below">du courant</add> à chaque instant, on applique la loi d'Ohm à<lb/> la force électromotrice totale, qui se compose de la force E<lb/> et de la force électromotrice de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math> :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mi>RI</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">L</mi><mfrac><mi>dI</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi>RI</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></math><lb/> équation différentielle linéaire du 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> ordre à coefficients cons-<lb/> tants, avec 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> membre, dont la solution est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">L</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">R</mi></mfrac><mo>+</mo><msup><mi>Ae</mi><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></mfrac><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></math></p>
<p rend="left">La constante d'intégration A est déterminée par les conditions<lb/> initiales : or à l'instant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, on avait : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> ; donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">A</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">R</mi></mfrac></math></p>
</div>
<p><ptr target="2263"/></p>
<div>
<p rend="left">288</p>
<p rend="left">L'équation du courant est donc finalement :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">−</mo><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mfenced></mrow></math></p>
<p rend="left">Pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">∞</mo></mrow></mrow></math>, on trouve : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mo stretchy="false">∞</mo></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Ainsi I varie de 0 à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, valeur limite qui est celle<lb/> que donne la loi d'Ohm sans <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign>. La courbe<lb/> qui représente la variation de I<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> en fonction du temps a pour<lb/> asymptote la droite : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">y</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La dérivée de I est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow></math> et pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>dI</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></mfrac></math>.<lb/> c'est le coefficient angulaire de la tangente à l'origine.</p>
<p rend="left">Comme l'exponentielle décroît très rapidement, l’intensité<lb/> du courant s'approche très vite de sa valeur-limite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math>,<lb/> qu'on peut considérer <add class="below add" place="below">pratiquement</add> au bout de très peu de temps comme<lb/> sa valeur constante.</p>
<p rend="left">Si le courant avait tout de suite sa valeur limite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mo stretchy="false">∞</mo></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>,<lb/> la quantité d'électricité transportée dans le temps t serait <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mo stretchy="false">∞</mo></mrow></msub><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math>,<lb/> et serait représentée par l'aire du rectangle OAB. Mais, en vertu<lb/> de la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign>, la quantité d'électricité n'est que :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msubsup><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mrow><mi>dt</mi></mrow></math><lb/> que représente l'aire de la courbe, soit OAC. Si l'on attribue<lb/> le retard que subit l'établissement du courant à la production<lb/> d'un courant induit de sens contraire dont l'intensité serait</p>
</div>
<p><ptr target="2264"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">289</p>
<p rend="left">le déficit de l'intensité du courant primaire : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mrow></math>,<lb/> on peut dire que cet <hi class="underline hi" rend="underline"> extra-courant</hi> transporte, en sens inverse,<lb/> une quantité d'électricité égale à :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">∞</mo></mrow></msubsup><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>EL</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> que représente l'aire comprise entre la courbe et son asymptote.</p>
<p rend="left">On peut de même évaluer l'énergie employée à établir le<lb/> courant. L’énergie dépensée par la pile (de force E) est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>EI</mi><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>LI</mi></mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mi>dt</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">L'énergie employée par le courant (sans forme de chaleur)<lb/> étant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi>RI</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi>dt</mi></mrow></math>, l'énergie perdue par suite de la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign><lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">W</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">∞</mo></mrow></msubsup><mi>LI</mi></mrow></mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mrow><mi>dt</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></msubsup><mi>IdI</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo stretchy="false">⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>.<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">W</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><msubsup><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mo stretchy="false">∞</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msubsup></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Telle est l'énergie employée à l'établissement du courant<lb/> (ou à la formation du champ magnétique correspondant).<lb/> On voit que le courant s'établit d'autant plus lentement<lb/> que L est plus grand et que R est plus petit.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Problème inverse</hi> : de la rupture d'un courant.</p>
<p rend="left">Le phénomène de la rupture d'un courant est en réalité<lb/> très compliqué, parce qu'il se produit une étincelle : quand<lb/> on l'examine au spectroscope, on y trouve à la fois les raies<lb/> du métal des électrodes et celles du gaz où passe l'étincelle.<lb/> Ainsi l'étincelle rend le gaz luminescent, sinon incandescent.<lb/> C'est là un phénomène trop complexe pour être mis en équation.</p>
</div>
<p><ptr target="2265"/></p>
<div>
<p rend="left">290</p>
<p rend="left">Supposons, pour simplifier, qu'à un moment donné on<lb/> supprime la pile et que, sans interrompre le circuit, on la<lb/> remplace par un conducteur de résistance égale, de sorte qu'il<lb/> n'y ait pas d'étincelle : par exemple, si le courant était<lb/> produit par une machine de Holtz, on arrêterait brus-<lb/> quement le plateau. C'est là une hypothèse irréalisable,<lb/> mais du moins concevable. Dans ce cas, la force électromotrice<lb/> E de la pile étant supprimée, il en reste que la force électro-<lb/> motrice d'induction ; et l'on a l'équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>RI</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">L</mi><mfrac><mi>dI</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi>RI</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math><lb/> équation différentielle linéaire sans 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> membre, dont la solution<lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>=</mo><msup><mi>Ae</mi><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></mfrac><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></math></p>
<p rend="left">La constante A est déterminée par les conditions initiales.<lb/> En supposant que le courant passe depuis un temps infini,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> a atteint sa valeur, on a, au moment de la rupture :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math> pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>.</p>
<p rend="left">On en conclut : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">L'équation définitive est donc :<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow></math></p>
<p rend="left">L'intensité du courant part de la valeur<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math> et décroît rapidement en tendant vers 0. La courbe qui la<lb/> représente est la même que celle de l'établissement du courant,<lb/> mais renversée. La quantité d'électricité qui passe après la</p>
</div>
<p><ptr target="2266"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">291</p>
<p rend="left">rupture (dans le sens direct) est représentée par l'aire de la<lb/> courbe (qui a pour asymptote l'axe des <hi rend="underline">x</hi>). Elle est donc égale<lb/> (au signe près) à la quantité d'électricité <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>EL</mi></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> qui manque au début, et qui était censée transportée en<lb/> sens inverse par l'extra-courant. Dans le cas présent, elle<lb/> est réellement transportée par l'extra-courant de rupture,<lb/> qui a le même sens que le courant primaire.</p>
<p rend="left">Quand l'étincelle se produit, elle prolonge le circuit et<lb/> augmente beaucoup sa résistance. On ne sait pas comment<lb/> varie la résistance de l'étincelle avec le temps. Si on le savait,<lb/> on n'aura qu'à faire R, non plus constante, mais fonction<lb/> du temps dans l'équation différentielle :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">La quantité d'électricité transportée par l'extra-courant<lb/> est toujours la même : seulement, si la résistance est grande,<lb/> l'extra-courant sera très court, et par suite très intense.<lb/> Mais cette formule ne représente pas exactement le phénomène,<lb/> car il se produit sur chaque électrode une force électromotrice.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Problème</hi> de deux circuits exerçant une induction<lb/> l'une sur l'autre (on les suppose enroulés en bobine <add class="below add" place="below">et juxtaposés</add> sur<lb/> une partie de leur longueur, pour augmenter l'induction).</p>
<p rend="left">Soient R, R' leurs résistances, L, L' leurs coefficients de<lb/> self-induction, M leur coefficient d'induction réciproque</p>
</div>
<p><ptr target="2267"/></p>
<div>
<p rend="left">292</p>
<p rend="left">Soient E, E' les forces électromotrices intercalées dans les 2<lb/> circuits. Appliquons-leur la loi d'Ohm en tenant compte<lb/> des forces électromotrices de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> et d'induction mutuelle :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>RI</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math></p>
<p rend="left">En ordonnant cette équation, et en écrivant l'équation semblable<lb/> pour le 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> circuit, on trouve :<lb/></p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mttable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">L</mi><mfrac><mi>dI</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">M</mi><mfrac><mrow><mi>dI</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi>RI</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mfrac><mrow><mi>dI</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">M</mi><mfrac><mi>dI</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mtd></mtr></mttable></mfenced></math><add class="marginRight add" place="marginRight"> (1)<lb/> (2)</add></p>
<p rend="left"><del class="none del">On élimine par ex Pour résoudre</del> La solution de ce système<lb/> dépend d'une équation différentielle linéaire du 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ordre.</p>
<p rend="left">En effet, on différentie les 2 équations précédentes : entre<lb/> les 4 équations ainsi obtenues on élimine I', <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></math> :<lb/> l'équation résultante est la suivante :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">−</mo><msup><mi mathvariant="normal">M</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><msup><mi>dt</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>LR</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mi>RR</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math><lb/> c'est une équation de la forme :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">p</mi><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><msup><mi>dt</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">q</mi><mfrac><mi>dI</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi>rI</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">s</mi></math><lb/> dont l'équation caractéristique est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>px</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>qx</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math></p>
<p rend="left">Soient α et β les racines de celle-ci ; l'intégrale est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><msup><mi>Ae</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi>Be</mi><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Les constantes A et B sont déterminées par les conditions<lb/> initiales, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> par les valeurs de I, I' à <unclear class="medium unclear" cert="medium"> l'origine des temps</unclear>.</p>
</div>
<p><ptr target="2268"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">293</p>
<p rend="left">On trouverait pour I' une intégrale de la même forme :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow></math><lb/> α et β sont les mêmes, car l'équation caractéristique<lb/> est la même (symétrique en L, L', R, R') ; seules les<lb/> constantes A', B' diffèrent. En se donnant les valeurs<lb/> initiales des intensités I, I', on a 2 relations entre les<lb/> coefficients : en portant ces valeurs dans les équations 1<lb/> et 2, on obtient 2 autres relations, en tout 4 équations<lb/> qui déterminent les 4 constantes.</p>
<p rend="left">On remarquera que l'équation caractéristique :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">−</mo><msup><mi mathvariant="normal">M</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>LR</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>RR</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math><lb/> a ses racines toujours réelles, car la quantité (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi mathvariant="normal">B</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn><mi>AC</mi></math>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mo>'</mo><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>+</mo><mi>LR</mi><mo>'</mo></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>RR</mi><mo>'</mo><mfenced><mrow><mi>LL</mi><mo>'</mo><mo>-</mo><msup><mi mathvariant="normal">M</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mo>'</mo><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>-</mo><mi>LR</mi><mo>'</mo></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>RR</mi><mo>'</mo><msup><mi mathvariant="normal">M</mi><mn>2</mn></msup></math><lb/> est <subst class="undefined subst"> <del class="none del">toujours</del> <add class="below add" place="below">essentiellement</add></subst> positive. Donc les intensités I, I' sont<lb/> exprimées par des exponentielles réelles.</p>
<p rend="left">De plus, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">−</mo><msup><mi mathvariant="normal">M</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> est toujours positif (en vertu d'une<lb/> relation physique entre les 3 coefficients d'induction). Par<lb/> suite, les racines α et β sont toujours négatives. Donc,<lb/> quand le temps croît indéfiniment, les exponentielles<lb/> tendent vers 0 : I a pour limite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, I' a <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> pr.lim</abbr><expan class="undefined expan"> pour limite</expan></choice><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Pour obtenir une solution déterminée, particularisons le<lb/> problème : cherchons le courant induit par la fermeture du 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er </hi><lb/>circuit dans le 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> circuit, de force électromotrice nulle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math>.</p>
</div>
<p><ptr target="2269"/></p>
<div>
<p rend="left">294</p>
<p rend="left">On a simplement : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow></math></p>
<p rend="left">On doit faire : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On détermine ainsi les constantes A, B, A', B'.</p>
<p rend="left">Si l'on représente graphiquement<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> les deux intégrales, on voit que I<lb/> part de 0 et tend vers <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math> ;<lb/> I', négative, part de 0 et tend vers 0.</p>
<p rend="left">Cherchons maintenant le courant induit de rupture.</p>
<p rend="left">En supposant que I a atteint sa valeur limite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math>,<lb/> on ouvre le 1<add class="above add" place="above">er</add> circuit (sans produire d'étincelle). On a les<lb/> mêmes équations, mais avec d'autres conditions initiales :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mn>0</mn></math> pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>.</p>
<p rend="left">Cette fois, le courant étant direct,<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> I' est positive et la même courbe<lb/> se trouve au-dessus de l'axe.</p>
<p rend="left">Si au lieu de circuits simples, comme dans les problèmes<lb/> précédents, on a affaire à des circuits ramifiés, on leur<lb/> applique les lois de Kirchhoff : pour tous les points de<lb/> ramification on pose l'équation : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> ;<lb/> pour tous les circuits fermés simples on pose l'équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mi>IR</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>,<lb/> en faisant figurer dans E les forces électromotrices d'induction.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Exemple</hi> : Expérience de <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref> sur les extra-courants (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2241 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2241"> p.266</ref>)</p>
</div>
<p><ptr target="2270"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">295</p>
<p rend="left"><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>Soit E la force électromotrice de la pile P ;<lb/> Soient I, R, L l'intensité, la résistance et<lb/> le coefficient de la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> de la bobine<lb/> AB ; soient i, r, l les quantités correspon-<lb/> dantes pour la branche AGB (galvanomètre G), et<lb/> J, ρ, λ les quantités correspondantes pour la branche APB.</p>
<p rend="left">On a d'abord pour le sommet A l'équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Le sommet B donnerait la même. On a d’autre part pour<lb/> le circuit fermé ABP l'équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">ρ</mo><mo stretchy="false">+</mo><mi>IR</mi></mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mo stretchy="false">λ</mo></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dJ</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">(On néglige les inductions mutuelles, parce qu'on peut<lb/> éloigner autant qu'on veut les diverses branches du courant.)</p>
<p rend="left">Pour le circuit fermé BAG on a l'équation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>di</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">La solution de ce système de 2 équations linéaires du 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> ordre<lb/> dépend d'une équation linéaire du 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> ordre. Les intensités<lb/> se composent de leurs valeurs-limites et de 2 termes en<lb/> exponentielles. Ces valeurs-limites sont celles qu'on trouve<lb/> en négligeant les forces électromotrices d'induction, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice><lb/>en résolvant les équations : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Jp</mi><mo>+</mo><mi>IR</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ir</mi><mo>-</mo><mi>IR</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math></p>
</div>
<p><ptr target="2271"/></p>
<div>
<p rend="left">296</p>
<p rend="left">On trouve, en éliminant J et I :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">ρ</mo><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">i</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">R</mi></mfrac></math>.<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">i</mi><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">R</mi></mfrac></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">ρ</mi><mo>+</mo><mi>ir</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">i</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>+</mo><mfenced><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">R</mi></mfrac></mstyle></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">ρ</mi></mrow></mfrac></math><lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi mathvariant="normal">i</mi><mo>∞</mo></msub><mo>=</mo><mfrac><mi>RE</mi><mrow><mi>Rr</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">ρ</mi><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi mathvariant="normal">i</mi><mo>∞</mo></msub><mo>=</mo><mfrac><mi>rE</mi><mrow><mi>Rr</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">ρ</mi><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math><lb/> et : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi mathvariant="normal">J</mi><mo>∞</mo></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi>Rr</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">ρ</mi><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math></p>
<p rend="left">Les solutions générales sont donc les suivantes :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mrow><mi>Rr</mi><mo stretchy="false">+</mo><mo stretchy="false">ρ</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi>Ae</mi><mrow><mo stretchy="false">α</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi>Be</mi><mrow><mo stretchy="false">β</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>rE</mi><mrow><mi>Rr</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">ρ</mi><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">A</mi><mo>'</mo><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mi>αt</mi></msup><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">B</mi><mo>'</mo><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mi>βt</mi></msup></math></p>
<p rend="left">Les constantes A, B, A', B' sont déterminées par les conditions<lb/> initiales : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">i</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Quand les coefficients l et λ<lb/> sont beaucoup plus petits que L,<lb/> le courant induit de fermeture<lb/> est représenté par la courbe ci-contre :<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> i dépasse sa valeur limite.</p>
<p rend="left">Le courant induit de rupture est<lb/> représenté par la courbe ci-contre :<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig></p>
</div>
<p><ptr target="2272"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">297</p>
<p rend="left">i tombe rapidement au-dessous de 0 pour tendre ensuite<lb/> vers 0 par des valeurs négatives.</p>
<p rend="left">C'est dans ces conditions particulières que l'on voit<lb/> l'aiguille du galvanomètre dépasser, dans un cas et<lb/> dans l'autre, l'obstacle posé à côté d'elle. Ainsi<lb/> les expériences de <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname>ont un caractère contingent,<lb/> <subst class="undefined subst"> <del class="none del">qui</del> <add class="above add" place="above">elles</add></subst> dépendent de la grandeur relative des coefficients :<lb/> si le coefficient l du galvanomètre était égal ou supé-<lb/> rieur au coefficient L de la bobine (ce qui est possible),<lb/> elles ne réussiraient pas.</p>
<p rend="left">On emploie fréquemment les circuits dérivés pour étudier<lb/> les courants variables, notamment pour comparer et évaluer<lb/> les coefficients de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> de 2 courants, suivant<lb/> la méthode inventée par <persname> </persname><ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12113496h"> Maxwell</ref>.</p>
<p rend="left"><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>On emploie le pont de Wheatstone :<lb/> les deux branches de droite BD, CD<lb/> ont des résistances R, R', et pas de<lb/> <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> (bobines à fils doubles) :<lb/> les deux branches de gauche, AB, AC,<lb/> ont des résistances r, r', et des coefficients de self-induction<lb/> L, L'. On sait que pour des courants constants (<choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> établis)<lb/> la condition pour qu'il ne passe aucun courant par le galvano-<lb/> mètre (le pont BC) est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
</div>
<p><ptr target="2273"/></p>
<div>
<p rend="left">298</p>
<p rend="left">Supposons qu'aucun courant ne passe même pendant la<lb/> période d’établissement (où les courants sont variables).</p>
<p rend="left">Soient I, I' les intensités respectives sur les branches ABD,<lb/> ACD. Ecrivons les équations en tenant compte des <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-inductions</foreign> :<lb/> (ABC) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>Ir</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi>Ir</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>.<lb/> (BCD) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>IR</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Pour que ces 2 équations soient compatibles avec la première,<lb/> il faut qu'on ait : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Cela posé, voici comment on procède. On règle le pont de<lb/> manière qu'il y ait équilibre pour les courants permanents :<lb/> on a alors : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">En général, il n'y a pas en même temps équilibre pour<lb/> l'établissement des courants : au moyen de 2 rhéostats<lb/> interposés sur les branches AB, BD, on modifie le<lb/> coefficient L en maintenant r et R proportionnels,<lb/> jusqu’à ce que l'aiguille du galvanomètre ne bouge plus<lb/> <subst class="undefined subst"><del class="none del">sur mo</del> <add class="above add" place="above">quand</add></subst> ferme le circuit. Les 3 équations étant vérifiées<lb/> alors simultanément, on a la proportion :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> et comme on connaît les résistances R, R', on mesure par là<lb/> le rapport de L, L'.</p>
<p rend="left">On peut comparer, par une méthode analogue, les coefficients<lb/> d'induction réciproque, soit entre eux, soit avec ceux de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign>.</p>
</div>
<p><ptr target="2274"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">299</p>
<p rend="center">25<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon<lb/> Problème de la décharge d'un condensateur</p>
<p rend="left">Soit un condensateur de capacité C, dont on réunit les<lb/> armatures par un conducteur de résistance R, dont le<lb/> coefficient de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> est L. Pour une différence<lb/> de potentiel E entre les 2 plateaux, la charge est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>CE</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Soit I l'intensité du courant variable qui traverse le conduc-<lb/> teur dans le temps <hi rend="underline">dt</hi> : il transporte la quantité d'électri-<lb/> cité Idt, la charge diminue d'autant :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>dQ</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi>Idt</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mi>dQ</mi><mi>dt</mi></mfrac></math></p>
<p rend="left">D'autre part, appliquons la loi d'Ohm à ce courant :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>RI</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math> Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">E</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">Q</mi><mi mathvariant="normal">C</mi></mfrac></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mi>dQ</mi><mi>dt</mi></mfrac></math> :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">L</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow><msup><mi>dt</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">R</mi><mfrac><mi>dQ</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">Q</mi><mi mathvariant="normal">C</mi></mfrac><mo>=</mo><mn>0</mn></math>,<lb/> ou :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>LC</mi><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">Q</mi></mrow><msup><mi>dt</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>+</mo><mi>RC</mi><mfrac><mi>dQ</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>,<lb/> équation linéaire du 2<add class="above add" place="above">e</add> ordre, dont l'intégrale est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><msup><mi>Ae</mi><mi>αt</mi></msup><mo>+</mo><msup><mi>Be</mi><mi>βt</mi></msup></math>,<lb/> α et β étant les racines de l’équation caractéristique :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>LCx</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>RCx</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></math>.</p>
<p rend="left">Ces racines peuvent être réelles ou imaginaires, suivant<lb/> que : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mrow><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">−</mo><mn>4LC</mn></mrow><mo stretchy="false">></mo><mi>ou</mi></mrow><mo stretchy="false"><</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>,<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">></mo><mi>ou</mi></mrow><mo stretchy="false"><</mo><mn>4</mn></mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac></mrow></math>.</p>
<p rend="left">D'autre part, l'équation de I est la suivante :</p>
</div>
<p><ptr target="2275"/></p>
<div>
<p rend="left">300</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mi>dQ</mi><mi>dt</mi></mfrac></mrow></mfenced></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><msup><mi>Aαe</mi><mrow><mo>-</mo><mi>αt</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mi>Bβe</mi><mrow><mo>-</mo><mi>βt</mi></mrow></msup></math></p>
<p rend="left">Les constantes A et B sont déterminées par les<lb/> conditions initiales : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><msub><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math> (pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>)<lb/> or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><msub><mi mathvariant="normal">E</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></math> donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">A</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">B</mi><mo>=</mo><msub><mi mathvariant="normal">Q</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi mathvariant="normal">E</mi><mn>0</mn></msub><mi mathvariant="normal">C</mi></math>.</p>
<p rend="center">25<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon</p>
<p rend="left">Quand les racines α, β sont réelles, elles sont négatives :<lb/> donc Q et I tendent rapidement vers 0, suivant<lb/> les courbes figurées ci-contre :<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> Quand les racines sont imaginaires,<lb/> les constantes A et B doivent aussi<lb/> avoir des valeurs imaginaires <add class="above add" place="above">conjuguées</add>.</p>
<p rend="left">La partie imaginaire des exponentielles donne une fonction<lb/> trigonométrique <hi rend="underline">périodique</hi> réelle. En effet, si l'on a :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mttable><mtr><mtd><mrow><mo stretchy="false">α</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mo stretchy="false">β</mo></mrow></mtd></mtr></mttable></mrow></math> } = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mo stretchy="false">±</mo><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">−</mo><mn>4</mn></mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac></mrow></msqrt></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mo stretchy="false">±</mo><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow><msqrt><mrow><mn>4</mn><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow><mrow><mn>2L</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mn>4</mn><mfrac><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">C</mi></mfrac><mo>-</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mn>2</mn></msup><mo>></mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math> posons : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><msqrt><mn>4</mn><mstyle displaystyle="true"><mfrac><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">C</mi></mfrac></mstyle><mo>-</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Κ</mi></math><lb/> il vient :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo>=</mo><msup><mi>Ae</mi><mrow><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msup><mo>·</mo><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>Κt</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">φ</mi></mrow></mfenced></math></p>
<p rend="left">Les 2 constantes d'intégration A et φ sont déterminées<lb/> par les conditions initiales : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">Q</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mo stretchy="false">φ</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dQ</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mttable><mtr><mtd><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><msup><mi>Ae</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mn>2L</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mrow></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">⋅</mo><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mi>Kt</mi><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mn>2L</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">e</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow><mrow><mn>2L</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></mrow></mrow></msup><mo stretchy="false">⋅</mo><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mi>Kt</mi><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mtd></mtr></mttable></mrow></mfenced></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><msub><mi mathvariant="normal">I</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">K</mi><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi>AR</mi></mrow><mrow><mn>2L</mn></mrow></mfrac></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2276"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">301</p>
<p rend="left">d'où l'on tire : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>2KL</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sinφ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>ΚL</mi></mrow><msqrt><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi mathvariant="normal">Κ</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi mathvariant="normal">Q</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>AΚL</mi></mrow><msqrt><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>4</mn><msup><mi mathvariant="normal">Κ</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math><lb/> d'où l'on tire la valeur de la constante A.</p>
<p rend="left">La loi de variation de Q<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> montre que la charge oscille<lb/> (comme le sinus) en dimi-<lb/> nuant de plus en plus<lb/> (comme l'exponentielle). C'est la décharge oscillante,<lb/> découverte par <persname> <ref class="http://www.idref.fr/137426003 ref" target="http://www.idref.fr/137426003"> Feddersen</ref></persname> bien avant qu'on en trouvât<lb/> l'équation. Il avait remarqué qu'une feuille de papier<lb/> passant très vite entre les 2 pôles d'un condensateur qu'on<lb/> décharge était percée d'une série de petits trous, qui indi-<lb/> quaient autant d'étincelles ; et il admit que ces décharges<lb/> successives, pour être discontinues, devaient être de sens<lb/> contraire alternativement.</p>
<p rend="left">On voit qu'on peut obtenir, soit la décharge continue,<lb/> soit la décharge oscillante, suivant que R<hi class="sup hi" rend="sup"> 2</hi> est plus grand<lb/> ou plus petit que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>4L</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></mfrac></mrow></math>. Par exemple, on peut faire varier<lb/> à volonté la résistance du conducteur. Si cette résistance<lb/> est nulle (ou pratiquement très faible), la décharge sera<lb/> nécessairement oscillante.</p>
<p rend="left">Les oscillations électriques dans une telle décharge sont</p>
</div>
<p><ptr target="2277"/></p>
<div>
<p rend="left">302</p>
<p rend="left">très courtes (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>100</mn><mn>000</mn></mrow></mfrac></mrow></math> ou <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>1</mn><mn>000</mn><mn>000</mn></mrow></mfrac></mrow></math>). La décharge<lb/> totale elle-même dure à peine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>10</mn><mn>000</mn></mrow></mfrac></mrow></math> de seconde (bien<lb/> que théoriquement elle dure un temps infini). Ces oscil-<lb/> lations prouvent ce fait important, que la propagation<lb/> de l'induction n'est pas instantanée.</p>
<p rend="left">Jusqu'ici nous avons traité de l'induction par variation<lb/> d'intensité dans des circuits fixes ; nous allons étudier<lb/> maintenant l'induction par le mouvement.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Problème</hi>. Soit un cadre de surface S mobile autour d'un<lb/> axe vertical dans le champ magnétique terrestre. On sait<lb/> que la force électromotrice induite change de signe à chaque<lb/> demi-tour (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2234 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2234"> p. 259</ref>). Nous avons calculé la quantité<lb/> d'électricité produite par demi-tour, mais non l'intensité<lb/> du courant induit, parce qu'il faut tenir compte de la<lb/> <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign>.</p>
<p rend="left">La force électromotrice induite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>, F étant le<lb/> flux de force qui traverse le circuit. La loi d'Ohm donne<lb/> l'équation : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>RI</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">−</mo><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Supposons qu'à l'origine des temps le cadre soit perpen-<lb/> diculaire au méridien magnétique, et qu'il tourne avec<lb/> la vitesse angulaire uniforme ω. Au bout du temps t,<lb/> il aura décrit l'angle ωt. Or, dans sa position initiale,<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>SH</mi></mrow></mrow></math>, H étant la composante horizontale du</p>
</div>
<p><ptr target="2278"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">303</p>
<p rend="left">magnétisme terrestre. A l'époque t, on aura :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>SH</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math><lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dF</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>SH</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">L'équation devient donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mi>RI</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi>SH</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math><lb/> équation linéaire dont le 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e </hi>membre est fonction du temps.<lb/> La solution complète se compose d'une partie périodique<lb/> et d'une partie non périodique. Celle-ci est négligeable,<lb/> parce que les exponentielles décroissent très rapidement<lb/> et deviennent sensiblement nulles après quelques tours,<lb/> quand le régime est établi. En conservant seulement<lb/> la partie périodique, on a une intégrale :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Il est facile de vérifier que c'est une solution de l'équation<lb/> différentielle : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>LAω</mi><mo/><mi>cos</mi><mfenced><mrow><mi>ωt</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">φ</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>AR</mi><mo/><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>ωt</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">φ</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>SHω</mi><mo/><mi>sinωt</mi></math></p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi>LA</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi>AR</mi></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">φ</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math></p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false">+</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi>LA</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">+</mo><mi>AR</mi></mrow><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi>SH</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Pour que cette équation soit vérifiée quel que soit t, il<lb/> suffit que les coefficients soient nuls. On a ainsi<lb/> 2 équations qui déterminent les constantes A et φ :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>LA</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi>AR</mi></mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mo stretchy="false">ω</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>LA</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">+</mo><mi>AR</mi></mrow><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi>SH</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2279"/></p>
<div>
<p rend="left">304</p>
<p rend="left">Remplaçons <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>sin</mi><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></math> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></math> par leurs valeurs connues :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><msup><mi>AL</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi mathvariant="normal">ω</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>AR</mi><mn>2</mn></msup></mrow><msqrt><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi mathvariant="normal">ω</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mi>SHω</mi></math></p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>SH</mi><mo stretchy="false">ω</mo></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><msup><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">On a définitivement :</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>SH</mi><mo stretchy="false">ω</mo></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><msup><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Cette formule est très remarquable : le numérateur est<lb/> la force électromotrice <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>SH</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math>, <hi rend="underline">décalée</hi> de l'angle φ :<lb/> <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que le zéro d’intensité suit le zéro de force électro-<lb/> motrice à un intervalle constant : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>=</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">φ</mi><mi mathvariant="normal">ω</mi></mfrac></math>.</p>
<p rend="left">La durée d'une période (correspondant à un tour entier)<lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo stretchy="false">π</mo></mrow><mrow><mo stretchy="false">ω</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Le <hi rend="underline">décalage</hi> φ est<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> d'autant plus grand<lb/> que Lω est plus grand<lb/> par rapport à R.</p>
<p rend="left">D'autre part, au lieu<lb/> de la résistance R du circuit, nous avons en dénominateur<lb/> la quantité plus grande <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><msup><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msqrt></mrow></math>, qu'on appelle<lb/> l'<hi rend="underline">impédance</hi>, puisqu’elle empêche le courant de s'établir<lb/> et diminue son intensité. Le terme additif <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>,<lb/> par lequel l’impédance surpasse la résistance, s'appelle<lb/> l'<hi rend="underline">inductance</hi>, parce qu'il provient de la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> L.</p>
</div>
<p><ptr target="2280"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">305</p>
<p rend="left">Si l'on avait <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>, on aurait à la fois : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>,<lb/> et : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><msup><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></msqrt><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Ainsi la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> a un double effet : le décalage,<lb/> et la diminution d'intensité équivalant à un accrois-<lb/> sement de résistance : la résistance <hi rend="underline">apparente</hi> est l'impé-<lb/> dance. Dans l'autre cas-limite, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>,<lb/> on trouve : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>tg</mi><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">∞</mo></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">φ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">π</mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Le décalage maximum est donc d'un quart de tour :<lb/> dans ce cas extrême, l'intensité est maxima (en<lb/> valeur absolue) au moment où la force électromotrice<lb/> est nulle. La formule de l'intensité devient <add class="marginRight add" place="marginRight"> (1)</add><app> <note class="criticalApparatus note" type="criticalApparatus"> Appel de note renvoyant en marge inférieure </note><lem class="undefined lem"><add class="bottom add" place="bottom">On arriverait directement à la même équation en faisant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">R</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math> :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">L</mi><mfrac><mi>dI</mi><mi>dt</mi></mfrac><mo>=</mo><mi>SHω</mi><mo/><mi>sinωt</mi></math> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>LI</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>SH</mi><mo/><mi>cosωt</mi></math></add></lem></app><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi>SH</mi></mrow></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">On voit que, dans ce cas particulier, la valeur maxima<lb/> de I : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi>SH</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, est indépendante de la vitesse de rotation ω.</p>
<p rend="left">Cette solution s'applique approximativement aux cas<lb/> où l'inductance est très grande par rapport à la résistance.</p>
<p rend="left">L'instrument théorique que nous venons d'étudier est le<lb/> type de tous les <hi rend="underline">alternateurs</hi> (machines produisant des<lb/> courants alternatifs) employés dans l’industrie ; c'est<lb/> ce qui fait l'importance pratique de la formule sinusoïdale<lb/> d'intensité qui s'applique dans une foule de cas.</p>
</div>
<p><ptr target="2281"/></p>
<div>
<p rend="left">306</p>
<p rend="left">Nous allons la retrouver en traitant un problème tout<lb/> différent en apparence.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Problème</hi>. Soit une bobine infiniment longue au milieu<lb/> de laquelle on fait tourner un petit aimant AB (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2199"> p. 224</ref>).<lb/> Soit <hi rend="underline">m</hi> la charge de ses pôles, <hi rend="underline">l</hi> sa longueur. Si la bobine<lb/> est parcourue par un courant d'intensité I, l'intensité<lb/> du champ magnétique à son intérieur est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>,<lb/> et par suite la force qui s'exerce sur chaque pôle de l'aimant<lb/> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">D'autre part, soit ωt l'angle que fait l'aimant avec sa<lb/> position initiale (perpendiculaire à la force) ; pendant<lb/> un temps <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> inf.</abbr><expan class="undefined expan"> infiniment</expan></choice> petit <hi rend="underline">dt</hi>, il subit un déplacement élémentaire :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>dt</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Le travail accompli par la force magnétique sur les 2 pôles est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mrow><mo stretchy="false">Τ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>dt</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>dt</mi></mrow></mrow></math><lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ml</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math>. Or la force électromotrice induite est (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2261 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2261"> p.286</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">Τ</mo></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac></mrow></math><lb/> donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">M</mi><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>sin</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math><lb/> L'équation du courant induit est par conséquent :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>RI</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">L</mi></mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>dI</mi></mrow><mrow><mi>dt</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mn>4</mn></mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi>sin</mi><mo stretchy="false">ω</mo><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></math><lb/> équation de même forme que celle du problème précédent (SH<lb/> est remplacé par <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">M</mi></mrow></math>) ; la solution est donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">ω</mo></mrow><mrow><msqrt><mrow><mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">R</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">+</mo><msup><mi mathvariant="normal">L</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><msup><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow><mi>sin</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mo stretchy="false">ω</mo><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mo stretchy="false">−</mo><mo stretchy="false">φ</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
</div>
<p><ptr target="2282"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">307</p>
<p rend="left">Au moyen de ces formules on peut évaluer en unités<lb/> électromagnétiques une force électromotrice ou une résistance,<lb/> sans avoir besoin du calorimètre (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2208 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2208"> p.233</ref>).</p>
<p rend="left">Soit par exemple à mesurer en valeur absolue une force<lb/> électromotrice constante. On la met en communication<lb/> en série avec un cadre qui tourne <subst class="undefined subst"> <del class="none del">dans un p</del> <add class="above add" place="above">autour d'un axe</add></subst> vertical,<lb/> de telle sorte que le circuit ne soit fermé qu'au moment<lb/> où la force électromotrice induite dans le cadre a sa<lb/> valeur maxima : SHω. On règle la vitesse de rotation<lb/> du cadre de telle sorte qu'un galvanomètre placé dans<lb/> le circuit ne dévie pas au moment où il se ferme : les<lb/> deux forces électromotrices sont égales et de sens contraire.<lb/> On <del class="none del">mesure</del> a ainsi la valeur de la force électromotrice à<lb/> mesurer, sans avoir à tenir compte de la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign>,<lb/> puisque le courant est nul.</p>
<p rend="left">Cet instrument ne serait pas pratique pour des forces<lb/> électromotrices ordinaires ; <add class="above add" place="above">celle d'une pile, par ex.</add>, parce que, le magnétisme terrestre<lb/> étant très faible, il faudrait <add class="below add" place="below"><unclear class="medium unclear" cert="medium"> donner</unclear></add> une trop grande vitesse<lb/> au cadre. Mais on peut faire passer le courant de la pile<lb/> dans une résistance R infiniment grande par rapport à<lb/> celle de la pile elle-même, de telle sorte que la différence<lb/> de potentiel aux 2 extrémités de la résistance soit égale à la<lb/> force électromotrice E de la pile. En établissant un circuit</p>
</div>
<p><ptr target="2283"/></p>
<div>
<p rend="left">308</p>
<p rend="left">dérivé sur une portion r de la résistance R, on aura dans<lb/> cette banche une force électromotrice <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math>,<lb/> que l'on pourra mesurer par la méthode précédente.<lb/> Connaissant le rapport <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></math>, on pourra calculer E.</p>
<p rend="left">Si l'on se propose au contraire de mesurer la résistance<lb/> inconnue R du circuit, on intercalera dans le circuit<lb/> une boussole des tangentes qui mesure l’intensité I<lb/> en valeur absolue ; on mesurera d'autre part la force<lb/> électromotrice E comme ci-dessus, en l'opposant dans<lb/> une dérivation à la force électromotrice induite dans<lb/> un cadre tournant ; on en déduire : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.<lb/> On remarquera que H disparaît de l'expression de R.</p>
<p rend="left">En effet, on a d'une part : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>SH</mi></mrow><mo stretchy="false">ω</mo></mrow></math>,<lb/> et d'autre part : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>AH</mi></mrow><mi>tg</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></math> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2196 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2196"> p. 221</ref>).</p>
<p rend="left">Il <del class="none del">e</del> reste simplement : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><mo stretchy="false">ω</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mi>tg</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.<lb/> Ainsi la mesure absolue des résistances est indépendante<lb/> de l’intensité du magnétisme terrestre.</p>
<p rend="left">C'est par une méthode analogue, fondée sur l'induction,<lb/> qu'on a obtenu les mesures les plus exactes de l'<hi rend="underline">ohm</hi>.<lb/> Les méthodes calorimétriques sont moins précises.</p>
<p rend="left">Nous allons donner un autre exemple d'une méthode de<lb/> mesure des résistances fondée sur l'induction.</p>
<p rend="left">Considérons 2 bobines dont le coefficient d'induction réciproque</p>
</div>
<p><ptr target="2284"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">309</p>
<p rend="left">M est connu. Soit I le courant lancé dans l'une, R<lb/> sa résistance ; la quantité d'électricité qui passe dans<lb/> l'autre en vertu de l'induction est (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2239 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2239"> p.264</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Q</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">±</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>MI</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">On mesure Q et I, et l'on en déduit R.</p>
<p rend="left">On peut mesurer Q de deux manières : soit en faisant<lb/> passer le courant induit dans un galvanomètre balistique<lb/> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2224 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2224"> p. 249</ref>), soit en employant comme interrupteur un diapa-<lb/> son, et en s'arrangeant pour qu'il ne fasse passer que<lb/> le courant induit direct (ou inverse) par le galvanomètre :<lb/> ou encore en employant un commutateur qui renverse<lb/> les communications avec le galvanomètre chaque fois<lb/> que le courant induit change de sens. Soit <hi rend="underline">n</hi> le nombre<lb/> de décharges par seconde : θ la déviation du galvanomètre :<lb/> tgθ sera proportionnelle à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>nQ</mi><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>nMI</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Si d'autre part on fait passer le courant d'intensité I<lb/> dans le galvanomètre, et si θ' est la déviation correspon-<lb/> dante, tgθ' sera proportionnelle à I. On a donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>tg</mi><mo stretchy="false">θ</mo></mrow><mrow><mi>tg</mi><mo stretchy="false">θ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mi>nM</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></math><lb/> d'où l'on tire la valeur de R.</p>
<p rend="left">Nous n'avons jusqu'ici étudié les courants induits que<lb/> dans des fils conducteurs. Mais ils peuvent se produire dans<lb/> des masses métalliques de forme quelconque, comme le prouve</p>
</div>
<p><ptr target="2285"/></p>
<div>
<p rend="left">310</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">la roue de Barlow</hi> (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2248 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2248"> p.273</ref>). Voici une variante de la même<lb/> expérience : Entre les 2 pôles d'un fort<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig> <lb/> électro-aimant on suspend un cube<lb/> de cuivre à un fil, qu'on tord et qu'on<lb/> abandonne ensuite à lui-même :<lb/> le cube se met à tourner rapidement ; dès qu'on fait passer<lb/> le courant dans l'électro-aimant, il s'arrête brusquement.<lb/> Ainsi les courants induits de forme quelconque obéissent<lb/> à la loi de Lenz : ils s'opposent au déplacement qui les produit.</p>
<p rend="left">Quand un fil cylindrique est traversé par des courants<lb/> alternatifs, la distribution du courant ne peut être homogène,<lb/> à cause de la self-induction (v. <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2242 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2242"> p. 267</ref>).</p>
<p rend="left">En effet, si l'on calcule le coefficient de <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∬</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>ds</mi><mi>ds</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ω</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math>,<lb/> l'élément différentiel est d'autant plus grand que <hi rend="underline">r</hi> est<lb/> petit, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> que les éléments linéaires ds, ds' sont<lb/> plus voisins. Où il y a 2 fois plus d'éléments de courant<lb/> dans le voisinage d'un élément linéaire intérieur, sur<lb/> l'axe notamment, que dans le voisinage d'un élément<lb/> superficiel, suivant une génératrice du cylindre. Donc<lb/> l'induction doit être plus forte dans l'axe du fil qu'à<lb/> sa surface, et comme elle s'oppose à l’établissement du<lb/> courant, le courant doit être plus intense à la surface</p>
</div>
<p><ptr target="2286"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">311</p>
<p rend="left">qu'à l'intérieur. Cet effet doit être d'autant plus marqué<lb/> que l'alternance est plus fréquente. Par exemple, la<lb/> décharge d'un condensateur, dont les oscillations sont<lb/> beaucoup plus rapides que celles d'un courant alternatif,<lb/> doit suivre uniquement la surface des conducteurs.<lb/> En général, les oscillations électriques sont localisées à<lb/> la surface des conducteurs.</p>
<p rend="center">26<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> leçon.</p>
<p rend="left">L'influence du milieu se fait sentir dans l'induction<lb/> magnétique comme dans l'induction électrique. Il<lb/> faut donc étudier les propriétés spécifiques des corps à<lb/> l'égard du magnétisme.</p>
<p rend="left">Jusqu'ici nous avons admis l'aimantation comme un<lb/> fait donné, et supposé qu'on n'avait que des aimants<lb/> naturels. Or l'expérience montre que les aimants naturels<lb/> attirent le fer comme les corps électrisés attirent les corps<lb/> électrisés, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> par influence. Nous allons étudier l'aiman-<lb/> tation par influence.</p>
<p rend="left"><fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>Une parcelle de fer ou un petit barreau<lb/> placé dans un champ magnétique<lb/> s'aimante dans la direction des lignes de force, le pôle boréal<lb/> étant du côté où elles entrent et le pôle austral du côté<lb/> où elles sortent. Si le barreau est entre les pôles d'un aimant,</p>
</div>
<p><ptr target="2287"/></p>
<div>
<p rend="left">312</p>
<p rend="left">il présente à chaque pôle un pôle de nom contraire <add class="above add" place="above">de telle sorte qu'ils s'attirent</add>.<lb/> Pendant longtemps on ne connut que le fer et l'acier qui<lb/> pussent s'aimanter par influence ; puis on découvrit que le<lb/> nickel et le cobalt possèdent la même propriété magnétique.</p>
<p rend="left">En suspendant entre les pôles d'un fort électro-aimant<lb/> des barreaux de différentes matières, <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12349936f"> Faraday</ref></persname> reconnut<lb/> que la propriété magnétique appartient aux dissolutions<lb/> des sels de fer, de nickel et de cobalt, et même à certains<lb/> gaz, comme l'oxygène. On <del class="none del">le r</del> constate en effet que<lb/> l'électro-aimant attire leurs pôles de manière à empêcher<lb/> ou à raccourcir leurs oscillations, en un mot exerce une<lb/> action directrice sur les barreaux. Exemple : <add class="above add" place="above">un</add> barreau de<lb/> paraffine plongé dans la limaille de fer, puis essuyé,<lb/> subit encore l'action directrice à cause des parcelles de fer<lb/> restées adhérentes.</p>
<p rend="left">On constate au contraire que des barreaux de certains corps<lb/> se placent transversalement par rapport aux lignes de force<lb/> (ex : le bismuth). On les appelle <hi rend="underline">diamagnétiques</hi>, tandis<lb/> que les premiers s'appellent <hi rend="underline">magnétiques</hi> ou <hi rend="underline">paramagnétiques</hi>.<lb/> Pour expliquer la propriété des diamagnétiques, on suppose<lb/> que l'aimantation par influence <subst class="undefined subst"> <del class="none del">développe en</del> <add class="below add" place="below">est chez eux inverse</add></subst> de ce qu'elle<lb/> est chez les corps magnétiques, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> qu'elle développe en face de<lb/> chaque pôle de l'aimant inducteur un pôle de même nom :</p>
</div>
<p><ptr target="2288"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">313</p>
<p rend="left">les pôles induits étant repoussés par les pôles inducteurs<lb/> tendent à s'éloigner le plus possible, et c'est pourquoi<lb/> les barreaux diamagnétiques se mettent en travers du champ.</p>
<p rend="left">Il n'y a pas de corps fortement diamagnétiques. Le plus<lb/> diamagnétique de tous, le bismuth, a un coefficient<lb/> d'aimantation qui est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>2.000.000</mn></mrow></mfrac></mrow></math> de celui du fer, le<lb/> plus magnétique de tous les corps.</p>
<p rend="left">Aussi, quand on a découvert les corps diamagnétiques,<lb/> s'est-on demandé si leur aimantation inverse n'était pas<lb/> une illusion, produite par une différence d'aimantation<lb/> directe. Par exemple, si l'air est magnétique, il doit<lb/> être attiré par les pôles de l'aimant inducteur, et par<lb/> suite il pourrait repousser des lignes de force les corps<lb/> moins magnétiques que lui. Mais on constate que les<lb/> corps diamagnétiques le sont même dans le vide, de sorte<lb/> que, pour ne pas admettre la propriété diamagnétique<lb/> comme irréductible, il faudrait supposer que le vide<lb/> a un pouvoir paramagnétique sensible ; les corps dits<lb/> diamagnétiques seraient moins paramagnétiques que le<lb/> vide. Cette hypothèse n'est pas absurde, mais improbable.</p>
<p rend="left">Le problème général de l'aimantation par influence<lb/> est celui-ci : Etant donné le champ magnétique où un corps<lb/> est placé, déterminer son aimantation. Ce problème a</p>
</div>
<p><ptr target="2289"/></p>
<div>
<p rend="left">314</p>
<p rend="left">été étudié théoriquement par <persname> <ref class="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12471381g ref" target="http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb12471381g"> Poisson</ref></persname> et d'autres mathématiciens.<lb/> On peut aussi le traiter par l'expérience. On trouve une relation<lb/> très simple pour les corps faiblement magnétiques : leurs<lb/> propriétés sont caractérisées par un <hi rend="underline">coefficient d'aimantation</hi><lb/> constant : en effet, leur intensité d'aimantation est sim-<lb/> plement proportionnelle à l'intensité du champ inducteur.<lb/> Soit H l'intensité du champ, J l'intensité d'aimantation<lb/> d'un élément de volume dv, son moment magnétique est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Μ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow><mi>dv</mi></mrow></math> Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>kH</mi></mrow></mrow></math><lb/> donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">Μ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi>kHdv</mi></mrow></mrow></math><lb/> <hi rend="underline">k</hi> est le coefficient d'aimantation du corps ; <subst class="undefined subst"> <del class="none del">on</del> <add class="above add" place="above">si l'on</add></subst> mesure le<lb/> moment magnétique Μ, on en déduira k.</p>
<p rend="left">Donnons au corps étudié la forme d'un petit barreau,<lb/> de longueur <hi rend="underline">dl</hi> et de section <hi rend="underline">ds</hi>, et suspendons-le dans un<lb/> champ d'intensité variable dont on connaît les lignes de force.<lb/> La force magnétique sur un pôle étant F, elle sera sur<lb/> l'autre : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>dl</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Soient +m, -m les masses magnétiques des 2 pôles ; la force<lb/> résultante sera : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">l</mi></mrow></mfrac></mrow><mi>dl</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Or le moment magnétique est, d'une part : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>ml</mi></mrow></mrow></math>,<lb/> et d'autre part : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow><mrow><mi>ds</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow><mrow><mi>dl</mi><mo stretchy="false">⋅</mo><mi>ds</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">J</mi></mrow><mi>ds</mi></mrow></math><lb/> et la force est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">J</mi><mfrac><mi>δF</mi><mi>δl</mi></mfrac><mi>dl</mi><mo>·</mo><mi>ds</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">J</mi><mfrac><mi>δF</mi><mi>δl</mi></mfrac><mi>ds</mi></math></p>
</div>
<p><ptr target="2290"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">315</p>
<p rend="left">On mesure la force qui s'exerce sur le petit barreau, dont<lb/> on connaît le volume ds, et l'on en déduit la valeur de<lb/> J ; on trouve que : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">J</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>kF</mi></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Cela n'est vrai que pour les corps très peu magnétiques,<lb/> car dès qu'un corps est nottablement magnétique, sa<lb/> propre aimantation modifie le champ, ce qui complique <add class="below add" place="below">beaucoup</add><lb/> le problème.</p>
<p rend="left">On a considéré un aimant comme un <del class="none del">faisceau</del> paquet<lb/> de petits aimants, en supposant que le moment magnétique<lb/> d'un élément de volume <hi rend="underline">dx dy dz</hi> est :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi>dM</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>dx</mi><mi>dy</mi><mi>dz</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">I étant l'intensité (variable) de l'aimantation en ce point.<lb/> Le potentiel en un point extérieur A est (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2169 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2169"> p.194</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">V</mi><mo>=</mo><mo>∭</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi>dx</mi><mi>dy</mi><mi>dz</mi></mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mi>cos</mi><mo>ε</mo></math></p>
<p rend="left">r étant la distance du point A à l'élément dx dy dz,<lb/> et ε l'angle du rayon vecteur avec la direction de l’aimantation.<lb/> La force magnétique en ce point a pour composantes :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Y</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Z</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">z</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Il ne suffit pas de déterminer la force en un point extérieur ;<lb/> il faut encore l'évaluer pour les points intérieurs (comme<lb/> la force électrique, qu'on a trouvé nulle à l'intérieur des<lb/> conducteurs) pour savoir comment l'aimantation se distribue<lb/> dans un corps placé dans un champ magnétique. Mais cela</p>
</div>
<p><ptr target="2291"/></p>
<div>
<p rend="left">316</p>
<p rend="left">est beaucoup plus difficile pour la force magnétique que<lb/> pour la force électrique. En effet, pour évaluer la force<lb/> électrique en un point intérieur, on supprimait la charge<lb/> électrique de l'élément de volume environnant, et sans<lb/> changer le potentiel ni ses dérivées en ce point. Au<lb/> contraire, si l'on creuse une petite cavité dans un<lb/> corps magnétique, la force en un point intérieur de<lb/> cette cavité est indéterminée, car elle dépend de la forme<lb/> de la cavité, à la surface de laquelle se produit une<lb/> distribution magnétique.</p>
<p rend="left">Nous allons déterminer la valeur de la force magnétique<lb/> en un point intérieur en donnant deux formes particulières<lb/> à la cavité infiniment petite qu'entoure ce point P.</p>
<p rend="left">1° Supposons que la cavité soit un cylindre dont l'axe<lb/> est dirigé dans le sens de l'aimantation, et dont les<lb/> dimensions transversales sont infiniment petites par rapport<lb/> à sa longueur (infiniment petite elle-même). La force<lb/> qui s'exerce sur le point P provient d'abord du potentiel<lb/> de la masse magnétique extérieure sur le point et elle<lb/> est dirigée suivant l'axe du cylindre.</p>
<p rend="left">A cette force s'ajoute la force exercée<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> par les 2 bases <hi rend="underline">a</hi> et <hi rend="underline">b</hi> de la cavité,<lb/> qui sont des pôles magnétiques (l'action</p>
</div>
<p><ptr target="2292"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">317</p>
<p rend="left">de la surface latérale est nulle). Cette force est : I ds.</p>
<p rend="left">Or ds étant infiniment petite par rapport à la longueur<lb/> de la cavité, cette force complémentaire n'ajoute rien<lb/> à l'autre ; la force totale est donc égale à celle-ci : c'est<lb/> par définition la <hi rend="underline">force magnétique</hi> au point P.</p>
<p rend="left">2° Supposons que la cavité soit un cylindre ayant<lb/> toujours pour axe la direction de l'aimantation, mais<lb/> <fig class="left fig" place="left"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à gauche du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig>infiniment aplati, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> dont la<lb/> longueur est infiniment petite par<lb/> rapport aux dimensions transversales.</p>
<p rend="left">Les 2 bases du cylindre constituent<lb/> deux pôles, boréal et austral, de sorte que le point P est<lb/> constitué comme entre les 2 plateaux d'un condensateur.<lb/> La force que ces 2 pôles ensemble exercent sur le point P<lb/> est dans le même sens que la force du champ. On sait que,<lb/> entre 2 plateaux de condensateur de densité électrique μ,<lb/> la force est <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mo stretchy="false">μ</mo></mrow></math> (p. <gap class=" gap" reason=""> </gap> ) ; entre 2 <del class="none del">plateaux</del> <add class="above add" place="above">feuillets</add> magnétiques<lb/> de densité magnétique I, elle doit être : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>. La force<lb/> totale est donc : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></math>.</p>
<p rend="left">La force F' est appelée <hi rend="underline">induction magnétique</hi>.</p>
<p rend="left">En donnant à la cavité des formes différentes & déterminées,<lb/> on obtiendrait pour la force en P des valeurs différentes<lb/> de F et de F'.</p>
</div>
<p><ptr target="2293"/></p>
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<p rend="left">318</p>
<p rend="left">On va justifier les noms donnés aux forces F et F'.</p>
<p rend="left">Si l'on comble la 1<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> cavité avec de la matière magnétique<lb/> neutre, elle s'aimantera sous l'influence de la <hi rend="underline">force magnétique</hi><lb/> F, de manière à combler le vide pratiqué dans l'aimant.<lb/> Son intensité d'aimantation sera : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>kF</mi></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Cette force F provient à la fois du champ extérieur et de<lb/> l'aimantation du corps. Elle peut être toute différente de<lb/> celle qui <del class="none del">cign</del><add class="above add" place="above">exerc</add>erait au même point P <del class="none del"> su</del> le même champ<lb/> si le corps n'existait pas.</p>
<p rend="left">On a entre F et F' la relation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mrow><mi>kF</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>4</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">L'expérience montre que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mn>1</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>4</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> est égal au coeffi-<lb/> cient de perméabilité magnétique μ ; on a donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi mathvariant="normal">F</mi><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">μ</mo></mrow><mi mathvariant="normal">F</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Le nom d'<hi rend="underline">induction magnétique</hi> donné à la force F'<lb/> provient de ce que le flux de force, qui produit tous les<lb/> phénomènes d'induction, est proportionnel au nombre μ.</p>
<p rend="left"><hi rend="underline">Théorème</hi>. Etant donné un corps magnétique aimanté <del class="none del">par influence</del><lb/> dans un champ magnétique, on peut toujours lui substituer<lb/> une double distribution de pôles magnétiques, l'une de densité<lb/> solide ρ, l'autre de densité superficielle σ, de telle sorte que<lb/> le potentiel et la force en un point intérieur quelconque<lb/> restent les mêmes.</p>
</div>
<p><ptr target="2294"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">319</p>
<p rend="left">Le corps étant rapporté à 3 axes rectangulaires, soient<lb/> ξ, η, ζ les coordonnées (fixes) du point P où l'on veut<lb/> évaluer le potentiel, x, y, z les coordonnées (variables)<lb/> d'un point M du corps ; soit <hi rend="underline">r</hi> la distance MP, et ε<lb/> l'angle qu'elle fait avec la direction de l'aimantation en M ;<lb/> soient α, β, γ et α', β', γ' les angles que font <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> respectivem<hi class="sup hi" rend="sup"> t</hi></abbr><expan class="undefined expan"> respectivement</expan></choice><lb/> avec les 3 axes la direction de l'aimantation en M et<lb/> la direction MP : on a la relation :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">ε</mo><mo stretchy="false">=</mo><mi>cos</mi></mrow><mo stretchy="false">α</mo><mi>cos</mi><mo stretchy="false">α</mo><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>cos</mi></mrow><mo stretchy="false">β</mo><mi>cos</mi><mo stretchy="false">β</mo><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>cos</mi></mrow><mo stretchy="false">γ</mo><mi>cos</mi><mo stretchy="false">γ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Evaluons séparément ces 6 angles. Soient A, B, C les 3<lb/> composantes de l'intensité d'aimantation I suivant<lb/> les 3 axes : on a :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">α</mo></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">β</mo></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">γ</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">D'autre part, les projections de MP sur les 3 axes sont :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">ξ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">α</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">η</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">β</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">ζ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">z</mi></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">γ</mo><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Substituons dans l'expression de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>cos</mi><mo stretchy="false">ε</mo></mrow></math> :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>cos</mi><mrow><mo stretchy="false">ε</mo><mo stretchy="false">=</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>Ir</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">ξ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">η</mo><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">ζ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">z</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mo stretchy="false">]</mo></mrow></mrow></math></p>
<p rend="left">Portons cette expression dans la formule du potentiel (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2290 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2290"> p. 315</ref>) :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∭</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">ξ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">η</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">ζ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">z</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mi>dx</mi><mi>dy</mi><mi>dz</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Cette intégrale est la somme de 3 autres de la forme :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">∭</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">ξ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi>dx</mi><mi>dy</mi><mi>dz</mi></mrow></math><lb/> Or : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mfrac><mrow><mrow><mo stretchy="false">ξ</mo><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mrow><mrow><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi>dx</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mfenced></mrow></math>. Intégrons par parties :</p>
</div>
<p><ptr target="2295"/></p>
<div>
<p rend="left">320</p>
<p rend="left"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mo stretchy="false">∭</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>Ad</mi></mrow><mrow><mi>dx</mi></mrow></mfrac><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mfenced><mi>dx</mi><mi>dy</mi><mi>dz</mi></mrow></mrow></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∬</mo><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mi>dy</mi><mrow><mi>dz</mi><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mo stretchy="false">∭</mo><mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">⋅</mo><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow><mi>dx</mi><mi>dy</mi><mi>dz</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">De même pour les 2 autres intégrales. Nous allons transformer<lb/> les intégrales doubles. Considérons l'élément ds de la surface<lb/> du corps, et soient l, m, n les cosinus des angles que la<lb/> normale à cet élément fait avec les 3 axes. Les projections<lb/> de l'élément ds sur les 3 plans sont :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>dy</mi><mrow><mi>dz</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>lds</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>dz</mi><mrow><mi>dx</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>mds</mi></mrow></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>dx</mi><mrow><mi>dy</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>nds</mi></mrow></mrow></math>.</p>
<p rend="left">Réunissons les 3 intégrales doubles et les 3 intégrales triples :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">∬</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mi>Al</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>Bm</mi></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi>Cn</mi></mrow></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mrow><mi>ds</mi><mo stretchy="false">−</mo><mrow><mo stretchy="false">∭</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">z</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mrow><mi>dx</mi><mi>dy</mi><mi>dz</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Ces 2 intégrales sont susceptibles d'une interprétation simple.<lb/> Supposons que sur la surface du corps soient distribués<lb/> des pôles magnétiques dont la densité superficielle soit :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">σ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mrow><mi>Al</mi><mo stretchy="false">+</mo><mi>Bm</mi></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mi>Cn</mi></mrow></mrow></mrow></math><lb/> cette distribution fournira le 1<hi class="sup hi" rend="sup"> er</hi> terme du potentiel.</p>
<p rend="left">Supposons que dans le volume du corps soient distribués<lb/> des pôles magnétiques<hi class="italic" rend="italic"/> dont la densité solide soit :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">ρ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">z</mi></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced></mrow></mrow></mrow></math><lb/> cette distribution fournira le 2<hi class="sup hi" rend="sup"> e</hi> terme du potentiel.</p>
<p rend="left">Ainsi l'on peut remplacer l'aimantation réelle du corps,<lb/> ayant intensité I en chaque point, par une distribution<lb/> de masses magnétiques de densité superficielle σ et de densité</p>
</div>
<p><ptr target="2296"/></p>
<div>
<p class="right p" rend="right">321</p>
<p rend="left">solide ρ. Dans le cas particulier où l'aimantation<lb/> est solénoïdale, le corps aimanté peut se décomposer<lb/> en solénoïdes, tous réductibles à 2 pôles situés à leurs<lb/> extrémités, <choice class="undefined choice"> <abbr class="undefined abbr"> c-à-d</abbr><expan class="undefined expan"> c'est-à-dire</expan></choice> sur la surface du corps. Dans ce cas,<lb/> l'aimantation du corps équivaut à une simple distri-<lb/> bution superficielle de pôles ; la densité solide est nulle.<lb/> Donc l'équation qui caractérise l'aimantation solénoï-<lb/> dale est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><mi mathvariant="normal">z</mi></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow></math>.<lb/> (appelée <hi rend="underline">équation solénoïdale</hi>).</p>
<p rend="left">Or l’aimantation <hi rend="underline">par influence</hi> est toujours solénoïdale.<lb/> En effet, on a la relation : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>kF</mi></mrow></mrow></math>,<lb/> d'où : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>kX</mi></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>kY</mi></mrow></mrow></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mo stretchy="false">=</mo><mi>kZ</mi></mrow></mrow></math><lb/> ou : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">A</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mfrac><mi>δV</mi><mi>δx</mi></mfrac></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">B</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mfrac><mi>δV</mi><mi>δy</mi></mfrac></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">C</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mfrac><mi>δV</mi><mi>δz</mi></mfrac></math>.</p>
<p rend="left">La densité solide est donc :<lb/> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">ρ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow></mrow><mrow><mfenced open="(" close=")"><mrow><mrow><mrow><mfrac><mrow><msup><mo stretchy="false">δ</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><msup><mi>dx</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><msup><mo stretchy="false">δ</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><msup><mi mathvariant="normal">y</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mfrac><mrow><msup><mo stretchy="false">δ</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">δ</mo><msup><mi mathvariant="normal">z</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mfenced><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mi mathvariant="normal">k</mi></mrow></mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow></math></p>
<p rend="left">Or on sait que (<ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2044 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2044"> p.69</ref>) : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false">Δ</mo><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>4</mn></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mo stretchy="false">ρ</mo></mrow></math></p>
<p rend="left">Donc on a : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo stretchy="false">ρ</mo><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mo stretchy="false">−</mo><mn>4</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">π</mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo stretchy="false">ρ</mo></mrow></math><lb/> et comme <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">k</mi><mo>⩾</mo><mn>0</mn></math>, il faut que : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">ρ</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>, c. q. f. d.</p>
<p rend="left">Ainsi un corps aimanté par influence équivaut à un<lb/> faisceau de solénoïdes : les pôles positifs sont d'un côté, les<lb/> pôles négatifs de l'autre, séparés par une zone neutre. Ces<lb/> pôles agissent en sens inverse du champ magnétique sur les<lb/> points situés à l'intérieur du corps. En effet, la force du</p>
</div>
<p><ptr target="2297"/></p>
<div>
<p rend="left">322</p>
<p rend="left">champ pousse une masse magnétique<fig class="right fig" place="right"> <figdesc>En face de ce paragraphe, à droite du texte, l'auteur a dessiné un schéma</figdesc></fig><lb/> positive vers le pôles A, tandis que<lb/> ce pôle austral la repousse et que<lb/> le pôle boréal B l'attire. C'est<lb/> un phénomène analogue à celui que a lieu dans les corps<lb/> conducteurs, où les 2 actions s'annulent exactement.</p>
<p rend="left">Dans les corps faiblement magnétiques, l'action des<lb/> pôles développés par influence est négligeable ; et c'est<lb/> pourquoi l'aimantation induite est proportionnelle<lb/> à l'intensité du champ. Dans les corps fortement<lb/> magnétiques, au contraire, <hi rend="underline">l’action démagnétisante</hi><lb/> des pôles s'oppose à l'aimantation induite, ce qui<lb/> complique le phénomène. Par suite, pour obtenir des<lb/> aimants puissants, il faut autant que possible éloigner<lb/> les pôles : c'est pourquoi l'on donne aux aimants<lb/> la forme de barreaux longs. Un tore aimanté suivant<lb/> son axe circulaire n'a pas de pôle superficiel, donc<lb/> pas d'action démagnétisante : son aimantation est<lb/> par suite maxima. Il est vrai qu'il n'a aucune action<lb/> au dehors. Mais on peut obtenir cette action en coupant<lb/> le tore en deux ; on a <subst class="undefined subst"> <del class="none del">du moins</del> <add class="above add" place="above">ainsi conservé</add></subst> son aimantation<lb/> jusqu'au moment où l'on veut l'employer.</p>
</div>
<p><ptr target="2298"/></p>
<div>
<p rend="center">Table des matières</p>
<ttable class="undefined ttableau"><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Notions préliminaires : énergie. </cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1976 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1976"> Page 1</ref>.</cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Classification des phénomènes électriques<lb/> et magnétiques</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1980 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1980"> 5.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Electricité statique</hi>. Sources. Fluides.</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1987 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1987"> 12.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Mesure des forces : méthode statique</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1997 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/1997"> 22.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> méthode dynamique</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2003 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2003"> 28.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Lois de Coulomb</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2007 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2007"> 32.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Masses électriques</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2013 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2013"> 38.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Champ électrique, flux de force</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2016 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2016"> 41.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Potentiel électrostatique</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2025 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2025"> 50.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Propriétés des conducteurs</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2048 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2048"> 73.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Distribution de l'électricité</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2056 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2056"> 81.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> id. Etude expérimentale</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2066 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2066"> 91.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Condensateurs</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2072 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2072"> 97.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Tension électrique</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2084 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2084"> 109.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Energie électrique</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2087 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2087"> 112.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Lois de Riess. Résistance</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2097 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2097"> 122.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Electricité dynamique</hi>. Courants continus.<lb/> Lois d'Ohm et de Joule</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2102 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2102"> 127.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Lois de Kirchhoff</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2108 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2108"> 133.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Courants dans la masse des conducteurs</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2111 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2111"> 136.</ref></cell></row></ttable></div>
<p><ptr target="2299"/></p>
<div><ttable class="undefined ttableau"><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Propriétés des diélectriques</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2118 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2118"> Page 143.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Machines électriques</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2134 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2134"> 159.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Electromètres</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2144 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2144"> 169.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Magnétisme</hi>. Champ magnétique terrestre.</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2154 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2154"> 179.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Actions des aimants les uns sur les autres</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2158 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2158"> 183.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Lois de Gauss</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2165 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2165"> 190.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Solénoïdes et feuillets magnétiques</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2170 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2170"> 195.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Champ magnétique d'un courant ;<lb/> solénoïdes et feuillets électriques</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2174 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2174"> 199.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Systèmes d'unités</hi></cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2180 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2180"> 205.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Système pratique d'unités</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2190 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2190"> 215.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Appareils de mesure électromagnétiques :<lb/> boussoles et galvanomètres</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2194 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2194"> 219.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Electrodynanomètres</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2203 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2203"> 228.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Mesure des résistances (boîtes, rhéostats)</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2209 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2209"> 234.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Mesure des forces électromotrices</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2212 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2212"> 237.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Courants variables</hi> : oscillants</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2214 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2214"> 239.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> id. instantanés (galvanomètre balistique)</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2222 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2222"> 247.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Ampèremètres, voltmètres</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2225 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2225"> 250.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Travail électromagnétique</hi></cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2227 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2227"> 252.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Courants induits</hi> : par déplacement</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2231 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2231"> 256.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> id. : par variation d’intensité</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2237 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2237"> 262.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Courants de forme variable</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2243 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2243"> 268.</ref></cell></row></ttable></div>
<p><ptr target="2300"/></p>
<div><ttable class="undefined ttableau"> <row class="undefined row"> <cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Action des aimants sur les courants :</hi><lb/> galvanomètre à mercure, roue de Barlow</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2245 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2245"> 270.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Action des courants sur les aimants :</hi><lb/> loi de Biot et Savart</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2250 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2250"> 275.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Action des courants sur les courants </hi>:<lb/> lois d'Ampère</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2255 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2255"> 280.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Etablissement et rupture d'un courant</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2262 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2262"> 287.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Induction réciproque et self-induction</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2266 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2266"> 291.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Décharge d'un condensateur</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2274 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2274"> 299.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Courants induits alternatifs</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2277 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2277"> 302.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Mesure des forces électromotrices et des résistances</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2282 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2282"> 307.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Courants induits de forme quelconque ;<lb/> influence de la <foreign class="eng foreign" xmllang="eng"> self-induction</foreign> sur un courant</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2285 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2285"> 310.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Aimantation par influence :</hi> corps<lb/> diamagnétiques et paramagnétiques.</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2286 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2286"> 311.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Force magnétique, induction magnétique</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2291 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2291"> 316.</ref></cell></row></ttable><ttable class="undefined ttableau">
<p rend="left">(La suite se trouve dans <ref class="http://eman-archives.org/coursENS/items/show/26 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/items/show/26"> un autre cahier</ref> :)</p>
<row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Aimantation par les courants :</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2318 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2318"> page 1.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Propriétés magnétiques du fer</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2320 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2320"> 3.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Transformateurs de courants</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2328 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2328"> 11.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Machines d'induction, moteurs électriques</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2335 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2335"> 18.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> Champs tournants et courants polyphasés</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2345 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2345"> 28.</ref></cell></row></ttable></div>
<p><ptr target="2301"/></p>
<div><ttable class="undefined ttableau"> <row class="undefined row"><cell class="undefined cell">Propagation de l'électricité dans un fil</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2347 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2347"> 30.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"><hi rend="underline">Oscillations électriques </hi>: dans un diélectrique</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2356 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2356"> 39.</ref></cell></row><row class="undefined row"><cell class="undefined cell"> id. : dans un conducteur</cell><cell class="undefined cell"><ref class="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2365 ref" target="http://eman-archives.org/coursENS/files/show/2365"> 48.</ref></cell></row></ttable></div>
<p><ptr target="2302"/> <ptr target="2303"/> <ptr target="2304"/> <ptr target="2305"/></p>
</div></body>
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0003]
Title
A name given to the resource
[2ème de couverture]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
Rights
Information about rights held in and over the resource
Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Numérisation : bibliothèque Ulm-Lettres de l’École normale supérieure, Public Domain Mark
Fiche : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Bouty, Edmond
Contributor
An entity responsible for making contributions to the resource
Camus, Elsa (transcription & encodage)
Dessaint, Charlotte (responsable éditoriale)
Walter, Richard (édition numérique)
Publisher
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Bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle)
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0004]
Title
A name given to the resource
[garde]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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Bouty, Edmond
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Camus, Elsa (transcription & encodage)
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Walter, Richard (édition numérique)
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[ENS01_Ms0122_01_0005]
Title
A name given to the resource
[page blanche non foliotée]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Français
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Manuscrit
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Walter, Richard (édition numérique)
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0006]
Title
A name given to the resource
[page blanche non foliotée]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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Walter, Richard (édition numérique)
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0007]
Title
A name given to the resource
[carte de France imprimée]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0008]
Title
A name given to the resource
[tableau imprimé]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0009]
Title
A name given to the resource
[page blanche non foliotée]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0010]
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[page non foliotée]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0011]
Title
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[page blanche non foliotée]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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Bouty, Edmond
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[ENS01_Ms0122_01_0012]
Title
A name given to the resource
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0013]
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A name given to the resource
2
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0014]
Title
A name given to the resource
3
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0015]
Title
A name given to the resource
4
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
Type
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Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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Fiche : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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[ENS01_Ms0122_01_0016]
Title
A name given to the resource
5
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0017]
Title
A name given to the resource
6
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0018]
Title
A name given to the resource
7
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0019]
Title
A name given to the resource
8
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0020]
Title
A name given to the resource
9
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0021]
Title
A name given to the resource
10
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0022]
Title
A name given to the resource
11
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0023]
Title
A name given to the resource
12
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0024]
Title
A name given to the resource
13
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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Title
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14
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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15
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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16
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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A name given to the resource
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[ENS01_Ms0122_01_0031]
Title
A name given to the resource
20
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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[ENS01_Ms0122_01_0032]
Title
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21
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0033]
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A name given to the resource
22
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0034]
Title
A name given to the resource
23
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0035]
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A name given to the resource
24
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0036]
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A name given to the resource
25
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0037]
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26
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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27
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0039]
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28
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0040]
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A name given to the resource
29
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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30
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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31
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A name given to the resource
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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[ENS01_Ms0122_01_0046]
Title
A name given to the resource
35
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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[ENS01_Ms0122_01_0047]
Title
A name given to the resource
36
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0048]
Title
A name given to the resource
37
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0049]
Title
A name given to the resource
38
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0050]
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39
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0051]
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40
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0053]
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42
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0054]
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43
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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44
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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45
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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46
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[ENS01_Ms0122_01_0062]
Title
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51
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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[ENS01_Ms0122_01_0063]
Title
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52
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0064]
Title
A name given to the resource
53
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0065]
Title
A name given to the resource
54
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0066]
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A name given to the resource
55
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0067]
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56
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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57
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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58
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0070]
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59
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0071]
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A name given to the resource
60
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0072]
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61
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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62
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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A name given to the resource
63
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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[ENS01_Ms0122_01_0077]
Title
A name given to the resource
66
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0078]
Title
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67
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0079]
Title
A name given to the resource
68
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0080]
Title
A name given to the resource
69
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0081]
Title
A name given to the resource
70
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0082]
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71
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0083]
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72
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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73
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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74
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0086]
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A name given to the resource
75
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0087]
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76
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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77
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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Date
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[ENS01_Ms0122_01_0093]
Title
A name given to the resource
82
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Français
Type
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0094]
Title
A name given to the resource
83
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0095]
Title
A name given to the resource
84
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0096]
Title
A name given to the resource
85
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0097]
Title
A name given to the resource
86
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0098]
Title
A name given to the resource
87
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0099]
Title
A name given to the resource
88
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0100]
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A name given to the resource
89
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0101]
Title
A name given to the resource
90
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0102]
Title
A name given to the resource
91
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0103]
Title
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92
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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Title
A name given to the resource
93
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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A name given to the resource
94
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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[ENS01_Ms0122_01_0108]
Title
A name given to the resource
97
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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Title
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98
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0110]
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A name given to the resource
99
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0111]
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100
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0112]
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101
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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A name given to the resource
102
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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103
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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104
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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105
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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106
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0124]
Title
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113
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Type
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[ENS01_Ms0122_01_0125]
Title
A name given to the resource
114
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0126]
Title
A name given to the resource
115
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0127]
Title
A name given to the resource
116
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0128]
Title
A name given to the resource
117
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0129]
Title
A name given to the resource
118
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0130]
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A name given to the resource
119
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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A name given to the resource
120
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0132]
Title
A name given to the resource
121
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0133]
Title
A name given to the resource
122
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0134]
Title
A name given to the resource
123
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0135]
Title
A name given to the resource
124
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A name given to the resource
125
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0139]
Title
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128
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0140]
Title
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129
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0141]
Title
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130
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0142]
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131
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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132
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0144]
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A name given to the resource
133
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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134
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0146]
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135
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0147]
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136
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0148]
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137
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0149]
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138
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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139
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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144
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0156]
Title
A name given to the resource
145
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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146
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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147
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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148
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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149
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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150
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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151
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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152
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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153
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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154
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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155
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[ENS01_Ms0122_01_0170]
Title
A name given to the resource
159
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Type
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Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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Fiche : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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[ENS01_Ms0122_01_0171]
Title
A name given to the resource
160
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0172]
Title
A name given to the resource
161
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0173]
Title
A name given to the resource
162
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0174]
Title
A name given to the resource
163
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0175]
Title
A name given to the resource
164
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0176]
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A name given to the resource
165
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0177]
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166
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0178]
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167
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0179]
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168
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0180]
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A name given to the resource
169
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0181]
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A name given to the resource
170
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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171
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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172
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0186]
Title
A name given to the resource
175
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0187]
Title
A name given to the resource
176
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0188]
Title
A name given to the resource
177
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0189]
Title
A name given to the resource
178
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0190]
Title
A name given to the resource
179
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0191]
Title
A name given to the resource
180
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0192]
Title
A name given to the resource
181
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0193]
Title
A name given to the resource
182
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0194]
Title
A name given to the resource
183
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0195]
Title
A name given to the resource
184
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0196]
Title
A name given to the resource
185
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0197]
Title
A name given to the resource
186
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0198]
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A name given to the resource
187
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0199]
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1896/1897
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A name given to the resource
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0201]
Title
A name given to the resource
190
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Français
Type
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Manuscrit
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Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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Fiche : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
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[ENS01_Ms0122_01_0202]
Title
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191
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0203]
Title
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192
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0204]
Title
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193
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0205]
Title
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194
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0206]
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A name given to the resource
195
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0207]
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196
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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197
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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198
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0210]
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199
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0211]
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200
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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201
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0217]
Title
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206
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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[ENS01_Ms0122_01_0218]
Title
A name given to the resource
207
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0219]
Title
A name given to the resource
208
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0220]
Title
A name given to the resource
209
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0221]
Title
A name given to the resource
210
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0222]
Title
A name given to the resource
211
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0223]
Title
A name given to the resource
212
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0224]
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213
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0225]
Title
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214
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0226]
Title
A name given to the resource
215
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0227]
Title
A name given to the resource
216
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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[ENS01_Ms0122_01_0228]
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217
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0229]
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A name given to the resource
218
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A name given to the resource
219
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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220
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0232]
Title
A name given to the resource
221
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0233]
Title
A name given to the resource
222
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0234]
Title
A name given to the resource
223
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0235]
Title
A name given to the resource
224
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0236]
Title
A name given to the resource
225
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0237]
Title
A name given to the resource
226
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0238]
Title
A name given to the resource
227
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0239]
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228
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0240]
Title
A name given to the resource
229
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0241]
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A name given to the resource
230
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0242]
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231
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0243]
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232
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0244]
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233
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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234
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[ENS01_Ms0122_01_0247]
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0248]
Title
A name given to the resource
237
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Type
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[ENS01_Ms0122_01_0249]
Title
A name given to the resource
238
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0250]
Title
A name given to the resource
239
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0251]
Title
A name given to the resource
240
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0252]
Title
A name given to the resource
241
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0253]
Title
A name given to the resource
242
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0254]
Title
A name given to the resource
243
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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244
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0256]
Title
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245
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0257]
Title
A name given to the resource
246
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0258]
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247
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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248
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A name given to the resource
249
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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250
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1896/1897
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251
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0263]
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252
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0264]
Title
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253
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0265]
Title
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254
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0266]
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A name given to the resource
255
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0267]
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256
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0268]
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257
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0269]
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A name given to the resource
258
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0270]
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259
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0271]
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260
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0272]
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261
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0273]
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262
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0274]
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263
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0276]
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0279]
Title
A name given to the resource
268
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0280]
Title
A name given to the resource
269
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0281]
Title
A name given to the resource
270
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0282]
Title
A name given to the resource
271
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0283]
Title
A name given to the resource
272
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0284]
Title
A name given to the resource
273
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0285]
Title
A name given to the resource
274
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0286]
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A name given to the resource
275
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0287]
Title
A name given to the resource
276
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0288]
Title
A name given to the resource
277
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0289]
Title
A name given to the resource
278
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0290]
Title
A name given to the resource
279
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0291]
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A name given to the resource
280
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0292]
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A name given to the resource
281
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0293]
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0294]
Title
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283
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0295]
Title
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284
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0296]
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A name given to the resource
285
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0297]
Title
A name given to the resource
286
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0298]
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287
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0299]
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288
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0300]
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289
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0301]
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290
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0302]
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291
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0303]
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292
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0304]
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293
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0305]
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294
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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[ENS01_Ms0122_01_0310]
Title
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299
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Type
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0311]
Title
A name given to the resource
300
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0312]
Title
A name given to the resource
301
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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Manuscrit
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[ENS01_Ms0122_01_0313]
Title
A name given to the resource
302
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0314]
Title
A name given to the resource
303
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0315]
Title
A name given to the resource
304
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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Français
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[ENS01_Ms0122_01_0316]
Title
A name given to the resource
305
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
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[ENS01_Ms0122_01_0317]
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A name given to the resource
306
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0318]
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307
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0319]
Title
A name given to the resource
308
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0320]
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A name given to the resource
309
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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Bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle)
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[ENS01_Ms0122_01_0321]
Title
A name given to the resource
310
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0322]
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A name given to the resource
311
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
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312
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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[ENS01_Ms0122_01_0325]
Title
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314
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0326]
Title
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315
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0327]
Title
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316
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0328]
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A name given to the resource
317
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0329]
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318
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0330]
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319
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0331]
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A name given to the resource
320
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0332]
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321
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0333]
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322
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0334]
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[folio non paginé]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0335]
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0336]
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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[ENS01_Ms0122_01_0337]
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Date
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1896/1897
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[garde]
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[ENS01_Ms0122_01_0339]
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1896/1897
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Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
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1896/1897
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Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Numérisation : bibliothèque Ulm-Lettres de l’École normale supérieure, Public Domain Mark
Fiche : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Bouty, Edmond
Contributor
An entity responsible for making contributions to the resource
Camus, Elsa (transcription & encodage)
Dessaint, Charlotte (responsable éditoriale)
Walter, Richard (édition numérique)
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle)
https://eman-archives.org/coursENS/files/original/76c7ab54abacd179a52755fcf0da696c.jpg
c165120f46391d0cf5c0872479322d85
Dublin Core
The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/.
Source
A related resource from which the described resource is derived
[ENS01_Ms0122_01_0341]
Title
A name given to the resource
[4e de couverture]
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Language
A language of the resource
Français
Type
The nature or genre of the resource
Manuscrit
Rights
Information about rights held in and over the resource
Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Numérisation : bibliothèque Ulm-Lettres de l’École normale supérieure, Public Domain Mark
Fiche : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Bouty, Edmond
Contributor
An entity responsible for making contributions to the resource
Camus, Elsa (transcription & encodage)
Dessaint, Charlotte (responsable éditoriale)
Walter, Richard (édition numérique)
Publisher
An entity responsible for making the resource available
Bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle)
Document pédagogique
Cours, plan de cours et autres documents pédagogiques créés par l’auteur.
Dublin Core
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Title
A name given to the resource
Edmond Bouty. Cours d'électricité et magnétisme. 1. - [Paris].
Creator
An entity primarily responsible for making the resource
Bouty, Edmond (1846-1922)
Description
An account of the resource
Notes de cours prises par Louis Couturat.
Source
A related resource from which the described resource is derived
Ms 122/1 - bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure
Date
A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource
1896/1897
Format
The file format, physical medium, or dimensions of the resource
Papier ; 322 p. ; 220 x 170 mm
Language
A language of the resource
Français
Contributor
An entity responsible for making contributions to the resource
Couturat, Louis (1868-1914) - Copiste
Rights
Information about rights held in and over the resource
Numérisation : bibliothèque Ulm-Lettres de l’École normale supérieure, Public Domain Mark
Transcription : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, Public Domain Mark ; projet EMAN, Thalim (CNRS-ENS-Sorbonne Nouvelle), Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Fiche : bibliothèque Ulm-Lettres de l'École normale supérieure, ITEM (CNRS-ENS). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l’Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR)
Subject
The topic of the resource
Notes de cours
Relation
A related resource
<a href="http://www.calames.abes.fr/pub/ms/Calames-201551995597911">http://www.calames.abes.fr/pub/ms/Calames-201551995597911</a>
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Promotion 1887 L
Notes de cours
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