Court texte sur les groupes. Deux groupes A et B forment un groupe H en prenant les couples (a,b). 8 propriétés sans preuve. 8 propriétés pour définir la nouvelle loi de composition. Au dos d'une lettre.
Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle).
Fiche : Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR).
Dualgruppe (ohne Modulgesetz) aus a, b, c under der speciellen Annahme : b-c=c-a=a-b
Dualgruppe (sans Modulgesetz) généré par a, b, c avec la condition spéciale Annahme : b-c=c-a=a-b. Propriétés du Dualgruppe étudié. Références à des lois numérotées mais lesquelles ? lois définissant les Dualgruppen ?
à compléter <- référence à des lois numérotées ? lois définissant les Dualgruppen ?
Über den Dualismus in den Gesetzen der Zahlen-Moduln
Texte rédigé mais incomplet? sur le "dualisme" dans la théorie des modules de nombres. (Description à compléter page à page)
Tableau comparant les modules et les groupes (Frobenius & Stickelberger)
Comparaison entre les modules (colonne de droite) et les groupes dans l'article de Frobenius et Stickelberger, "Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1886. Parallèle entre les deux approches, qui revient à un parallèle entre cas multiplicatif et cas additif pour les groupes.
Page 11r : Complexe de nombres et éléments distingués. Au crayon sur une invitation de 1893. Page 11v : calculs de + et - pour des éléments dont la nature n'est pas précisée. Tableaux. Page 12r : Calculs suite. Calculs sur nombres. Page 12v : tableau PGCD / PPCM, tableau divisibilité, calculs normes.
Etude d'une équation avec modules, reposant sur la théorie des trois modules
Pour ρ=0 et δ=1 solution unique des conditions ρ+δ=1, ρc1>b1, δc1>a, alors on doit avoir c1 différent de 0, et de plus c1>a et b1-a=a-b=c3=0. La suite se déduit de la théorie des trois modules.
p-ê un tableau avec la bonne notation pour les a''' etc ?
Petits calculs sur des ensembles ("Complex") avec ⊂ et inverses. Peut-être lié à Schröder ?
Calculs sur des modules finis. Congruences, théorie des nombres. Théorème page 16v : Soit un module dont la base a un élément [α1+β1, ..., αm+βm]= o=\sum[αi+βi]=[w], et soit a =\sum [αi], b=\sum [βi], c w=\sum [αiβi'-αi'βi], alors on peut trouver 2 modules dont la base a un élément, [α], [β] tels que a=[α]+c b=[β]+c Preuve interrompue. Le théorème suit-il des calculs ?
Calculs sur des modules finis. Congruences, théorie des nombres.
Calculs, modules finis et Modulgruppen 1
Calculs + et - sur des modules finis. Résultats sur les Modulgruppen avec hypothèse b+c=c+a=a+b et a+b+c=d'''' Dans le Modulgruppe généré par 3 modules, il faut que le nächste Vielfache de a, b, c soit a+b+c
Calculs des combinaisons. Tableau de nombres difficile à comprendre. Noté à la fin du tableau "Amben" qui semble signifier "Combinaison de deux variables dans le calcul de la combinaison".
Calculs, tableaux, diagrammes sur des "groupes".
Tableaux groupes. Distances entre modules
Recto : Tableaux de groupes et petit diagramme similaire à p. 20. Verso : Distances entre modules.
Recto : Tableau exactement similaire à la page précédente. Verso : notes personnelles et tableau de nombres (?). Quelques calculs de développement de fonctions au stylo.
Parallélisme entre modules et groupes abéliens
Tableau de comparaison entre les modules et les groupes. Comparaison systématique des diverses propriétés : opérations, divisibilité, lois, nombres de classes...
Recto : S système de modules. Définition d'une différentielle partielle, d'une intégrale, puis d'un système formé de modules de la forme a-∂S/∂a=a1, a+∂S/∂a=a', et itération... Verso : publicité, suite des calculs (avec seulement + et - entre modules comme définis au recto).
Soit [m,n,p]=[1], alors on doit choisir es nombres entiers rationnels u, v tels que k=[mv,mu-pv]=[1]. Résolution du problème.
Une partie des calculs est faite sur la page suivante.
Suite (ou morceau) des calculs de la page précédente.
Suite des calculs de la page précédente. Vers la fin de la page, question supplémentaire : Peut-être choisir q mod p tel quel q soit relativement premier à n ? Réponse au problème.
Soient [mα, pα+nβ] et uα+vβ; trouver le plus petit nombre naturel e pour lequel e(uα+vβ)=xmα+y(pα+nβ), et eu=mx+py ; ev=un. Résolution du problème.
Calculs sur des modules finis et sur leur base.
o=[α,β] irréductible, et soit le multiple m=[α',β'] avec α'=caα', β'=a'aα+bβ ; [c,a']=[1] ; a, b entiers naturels. Trouver tous les modules n=[α'', β''] qui sont diviseurs de m et multiples de o. Résolution du problème.
Trouver tous les modules [aα,cα+bβ] qui sont multiples de [α,β] et diviseurs de [mα, pα+nβ]. Résolution du problème.
Théorie des trois modules, divisibilité.
Tableau pour la théorie des trois modules, relations de divisibilité : le signe + signifie que le module sur la ligne est diviseur du module dans la colonne. Le signe – signifie que le module sur la ligne est multiple du module dans la colonne.
Sur la théorie des Modul-Gruppen (aussi groupes abéliens)
Soit deux modules a,b donnés avec conditions initiales. Trouver tous les modules c qui vérifient a+b<c<a-b. Résolution du problème.
Renvoi au tableau "Theorie der drei Moduln" pour la notation et les résultats.
Calculs sur des modules et nombres de classes
Petits calculs sur des modules et nombres de classes.
Calculs sur des modules et petits tableaux récapitulatifs. Tableaux donnant les "nächste Vielfache" et "Nächste Theiler" (chaînes). Brève considération d'une représentation (Abbildung) dans un Modulgruppe.
La notation gagne(?) quand on remplace c'' par d', c2par d1
Tableau de Nächste Vielfache et Nächste Theiler. Comparaison de deux notations (cf titre) ? Verso Tableau 3 modules.
Sur le dualisme dans la théorie des modules
Texte entièrement rédigé, initialement tiré "Sur le dualisme dans la théorie des modules", corrigé plus tard pour être titré "Sur les Dualgruppen". Transcription à venir.
Doit être lu avec "Quelques théorèmes sur les Modul-Gruppen".
Quelques théorèmes sur les Modul-Gruppen.
Définition des opérations entre modules, études des propriétés. Certains résultats se retrouvent dans les Dualgruppen, d'autres en théorie des nombres. NB seulement des modules.
A lire avec le texte sur le dualisme dans la théorie des nombres pour former un texte complet sur les Dualgruppen.
Théorème sur les modules : Les modules σr (r parcourt les entiers) forment une chaîne donnée, alors un groupe est engendré qui vérifie certaines conditions... Preuve du résultat.
Dualité dans la théorie des modules entre ppcm et pgcd.
Tableau mettant en avant la dualité entre les deux opérations pour les modules.
Théorie des modules (peut-être : Théorèmes généraux sur les modules, ordres et congruences)
Texte rédigé sur la théorie des modules. Titre alternatif : "Théorèmes généraux sur les modules, ordres et congruences". Définition des opérations et étude de diverses propriétés. Un des premiers écrits sur le sujet.
Même notation (exceptionnelle). Même papier, même graphie (rares dans les brouillons sur les Dualgruppen).
Exemple le plus simple d'un système S qui n'est pas modulaire
Etude assez générale semi-rédigée d'un système non-modulaire. Pas de mention des Dualgruppen. Références aux Vorlesungen 1894.
A partir de trois modules a, b, c, avec opérations + et –, génération
Calculs sur les modules finis et divisibilité.
Ensemble de calculs et petites rédactions autour des opérations et de la divisibilité entre modules.
Calculs sur les modules et nombres de classes
Pages de calculs sur des modules (supposément). Essentiellement nombres de classes.
Trois modules a, b, c (liste, notation3)
Liste des différentes combinaisons possibles + et – pour trois modules a, b, c
Etude de lois et propriétés des opérations (pour modules) dans des conditions particulières. Semi-rédigé.
Recto. Etude de propriétés des opérations + et –. Première liste (numérotée de 1 à 6) montre dualité. Liste de 3 hypothèses et étude de ce qui en résulte pour les 6 égalités données au dessus. Verso. Hypothèse supplémentaire. Théorème : Si m>d, et p quelconque, alors (p+m)-d=(y-d)+m. Preuve sans nouveau principe. (Pas la conclusion qu'il voudrait.)
Liste d'égalités pour les modules. Tableaux de multiples, sommes. Vérification selon conditions. Vérification associativité. Paragraphe sur la "source du dualisme" (qui est ici le Modulgesetz).
Quelques calculs au crayon. Remarque du 17.11.1890 : "Cet exemple d'un "Summengruppe" ..."
Si m>θ, alors on a toujours (p+m)-θ=(p-θ)+m. Preuve "insuffisante".
Recherches autour du Modulgesetz, petits calculs et tentative de preuve.
Tableau + symétrie en fonction de a, b, c.
Recto : grand tableau corrigé au fur et à mesure de son élaboration. Verso : calculs divisibilité, nombre de classes. En fin de page : "Symétrie en fonction de a, b, c !!!".
Recto : liste d'égalités pour 3 modules a, b, c. PGCD, PPCM, divisibilité et chaînes. Verso : étude de certaines chaînes et tentative de représentation par des diagrammes similaires à ceux utilisés aujourd'hui pour les treillis.
Liste de relations de divisibilité et chaînes en deux "colonnes" (pour < et >).
Calculs sur la divisibilité et les nombres de classes pour 3 modules. Conclusion : symétrie en fonction de a, b ,c.
Calculs sur des congruences pour étudier relation divisibilité entre modules. Conclusion partielle : pour des modules quelconques, on a seulement a'''<a2 mais pas a'''>a2 donc les conditions données au début sont nécessaires mais en général pas suffisantes.
Étude des opérations pour 3 idéaux a, b, c. Liste des éléments engendrés, étude des propriétés.