Tableau des Nächste Vielfache et Nächste Theiler
Tableau des Nächste Vielfache et Nächste Theiler avec classes de nombres
Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle).
Fiche : Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR).
Résultat sur un cas de deux groupes de modules en correspondance
Si a>p>a+b, on construit pour chaque tel module p un module correspondant q=a-b, alors a-b>q>b et p=q+a. Réciproquement, si a-b>q>b, et on construit pour chaque tel module q un module p=q+a, alors a>p>a+b et q=p-b. Alors, le groupe P de tous les modules p vérifiant la condition a>p>a+b est en correspondance mutuelle uniforme avec le groupe Q de tous les modules q qui vérifient b<q<b-a. Dessin. En marge autour du résultat : calculs de combinaisons et chaînes mais est-ce vraiment en lien?
Courts calculs sur la divisibilité des modules
Définition de a''', b''', c''', a'', b'', c''. Quand a-t-on a'''<c''<c ?
Modules finis de la forme [p1+q1w, p2+q2w ... pm+qmw] = [n, p+qw]. Déterminer n, p, q.
[ha, hb+cw] avec a, b premiers entre eux. Calculs.
Trois modules a, b, c. Propriétés de divisibilité. Liste des "Abtheilungen" (sections, comme des sous-groupes) notés (a1), (a''), etc. et étude de leurs relations. Verso : nombre de classes, congruences, pour des Abtheilungen d'après la notation entre parenthèses MAIS lettres différentes — peut-être exemple sur modules finis.
Page 8. Deux chaînes de modules a (m membres) et b (n membres), on construit c=a-b et d=a+b. Étude des différentes relations. En marge : "Les PGCD formés par a, b, a-b correspondent aux PPCM formés par a, b, a+b et forment donc un groupe." Manipulation des opérations et relations autour du Modulgesetz. Généralisation de l'égalité à un nombre quelconque de modules. Théorème général et preuve. Au verso, quelques notes (mêmes égalités ?) avec la notation des morphismes / Abbildungen. Page 9. Suite des calculs pour la preuve du théorème. Séparation. Etude pour trois modules. Operations, Treppen, diagrammes, Ketten. Verso : Schöner Satz falsch, 1889. 1. 4. Calculs sur des modules finis (exemple ?)
Calculs sans contexte sur modules et chaînes.
Quand a-t-on c3>b''' et c3<b''' ?
Courte étude des conditions pour avoir c3>b''' et c3<b''' ? Puis de (a+b)-c<(a-c)+b suit (a+b)-c=(a-c)+b
Tableau de toutes les combinaisons possibles pour 4 modules notés 1, 2, 3 et 4 avec opérations + et – Colonne indiquant le nombre de cas possibles selon le nombre d'opérandes
Chaîne de modules b1 < ... < bn et un module a, alors on forme a+b1<a+b2<...<a+bn<a<a-b1<a-b2<...<a-bn diverses="" relations="" entre="" a="" et="" br="" bs="" selon="" si="" r="" s="" ou=""> Exemple avec n=2, modules b i notés 1, 2, 3 et a noté 0. Calcul de toutes les combinaisons possibles, Treppen, voisins...</a-bn>
Modulgruppen (ou chaînes) simples : 1<2<3<...<n Alors on a un module 0 et on peut construire des modules r'=0+r ; r''=0–r, et rs=r''+d=d'-sr avec r<s Liste des éléments du groupe de modules Étude des relations de < Treppen Nombre de classes "Encore une autre manière de présenter" : reformulation avec notation différente (modules indicés). Pas terminé, Dedekind note à la fin "Versuch !"
Dualgruppe engendré par a, b, c avec Modulgesetz
Groupe des 28 modules généré par les trois modules a, b, c
Avec condition particulière, étude des éléments générés par 3 modules, des relations entre éléments, propriétés de divisibilité, nombres de classes, etc. Petit tableau. Egalement quelques petits calculs avec des notations en majuscule cursive (groupes ?).
Brefs calculs et tableaux pour des éléments "de type module" où l'opération est représentée par φ.
Tableau sans titre avec plusieurs modules par colonne. Divisibilité et Treppen ?
Un O signifie que le module sur la colonne n'est pas divisible par le module sur la ligne. Une case vide signifie le contraire. + Comment retrouver le pgcd et le ppcm de 2 modules dans le tableau.
Réécriture des éléments générés par trois modules avec la notation a'''=b+c, a3=b–c, etc.
A groupe de modules, construction et étude d'un autre groupe de modules (appelé Moduln Gruppe). Étude des lois / propriétés, des éléments générés, des relations de divisibilité (avec les "Treppen")
Meilleure présentation pour 3 modules, tableau
Tableau des PGCD et PPCM. Liste du nombre de fois qu'apparaissent chaque PGCD, PPCM.
Meilleure présentation pour 3 modules a, b, c
Mise au propre des divers calculs pour 3 modules. Dans des cadres : liste éléments, unmittelbare Nachbaren, cas des idéaux, nombres de classes.
Calculs sur des modules finis (détails).
Au dos d'une facture du même marchand de vin.
Détails des calculs sur 3 modules finis a, b, c
Calcul de a–b pour les modules définis page précédente.
Deux parties : calculs sur modules finis, puis cas des idéaux.
Calculs sur des modules finis, congruences. Cas particulier.
Calculs sur des modules finis suivis des lois générales.
Calculs sur des modules finis + Théorème général
Coupé en deux, partie 1 : calculs sur modules finis Partie 2 : théorème général lié au Modulgesetz
Également le même papier (facture pour le même marchand de vin).
Propriétés des nombres de classes pour 3 modules a, b, c
Calculs nombres de classes, normes de modules
Calculs sur les nombres de classes et lien avec les normes des idéaux.
Propriétés des opérations, modules et idéaux
Calculs sur les nombres de classes et relations entre opérations. Application aux idéaux. Cas général : (b-b')+(c-c')=(c-c')+(a-a')=(a-a')+(b-b') et dual.
Liste éléments et "théorèmes" sur les relations entre éléments pour le Modulgruppe engendré par 3 modules. Unmittelbare Nachbaren, chaînes, application aux idéaux.
Tableau 3 modules et calculs nombres de classes
Recto : Calculs sur les classes de nombres. Verso : Tableau, chaînes.
Liste d'éléments pour 3 modules. Organisé en colonnes numérotées. Correction de la place de certains éléments. Pas terminé.
Recto : Tableau des éléments pour 3 modules a, b, c. Représentation diagrammatique des chaînes (treillis). Tentative de représentation des relations de divisibilité dans une sorte de tableau. Liste des modules dans l'ordre de leur nombre de diviseurs directs (nächste Vielfach), liste de chaînes. Étude de propriétés des nombres de classes. Verso : Avec une condition particulière, étude des éléments, chaînes, diagrammes.
Étude des opérations pour 3 idéaux a, b, c. Liste des éléments engendrés, étude des propriétés.
Calculs sur des congruences pour étudier relation divisibilité entre modules. Conclusion partielle : pour des modules quelconques, on a seulement a'''<a2 mais pas a'''>a2 donc les conditions données au début sont nécessaires mais en général pas suffisantes.
Calculs sur la divisibilité et les nombres de classes pour 3 modules. Conclusion : symétrie en fonction de a, b ,c.
Liste de relations de divisibilité et chaînes en deux "colonnes" (pour < et >).
Recto : liste d'égalités pour 3 modules a, b, c. PGCD, PPCM, divisibilité et chaînes. Verso : étude de certaines chaînes et tentative de représentation par des diagrammes similaires à ceux utilisés aujourd'hui pour les treillis.
Tableau + symétrie en fonction de a, b, c.
Recto : grand tableau corrigé au fur et à mesure de son élaboration. Verso : calculs divisibilité, nombre de classes. En fin de page : "Symétrie en fonction de a, b, c !!!".