Comparaison Schröder / Dualgruppen / théorie des ensembles
Quelques résultats de théorie des ensembles exprimés en termes de treillis, avec référence explicite aux Dualgruppen et à Schröder.
Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle).
Fiche : Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR).
Listes et tableaux très propres pour n=4. Clefs de lectures et calculs initiaux se trouvent dans les 2 dernières pages. Dedekind travaille avec "4 éléments (e.g. Idealbrücke).
Description du Dualgruppe formé par 3 idéaux. Mélange notation1 et notation3. Lié à article de 1897.
Plan détaillé d'une version antérieure de l'article de 1897
Plan détaillé proche de l'article de 1897. NB titre un peu différent : Über Zerlegung von Zahlen oder Idealen durch ihrer gr. gem. Theiler. Pages dans l'ordre inverse de lecture (pages 8 à 1).
Brouillon partiel et raturé de l'article de 1897
Brouillon partiel et entièrement raturé de l'article de 1897. Avant-dernière version ?
Calculs qui semblent être liés au contenu de l'article de 1897. Changements de notation au cours des calculs.
Calculs liés à ce qui est présenté dans l'article de 1897.
Deuxièmes notes sur l'Algebra der Logik de Schröder.
Deuxième set de notes sur l'Algebra der Logik. Plus développé (et propre) que le premier. Mentionne à la fois le nom "Dualgruppen" et l'idempotence comme propriété fondamentale, donc semble avoir été rédigé dans à un moment proche du texte "Dualismus".
Notes de lecture sur Algebra der Logik de Schröder
Notes de lecture. Cf. (Haffner, 2022) pour une traduction partielle en anglais.
Tableau théorie des 3 modules de type idéal
Tableaux très propres au dos d'un emploi du temps de 1878. Théorie des 3 modules de type idéal et théorie des trois modules cas général en vis-à-vis avec "nächste Vielfache" et "nächste Theiler" (pour étudier les chaînes ?). Théorie des 3 modules de type idéal, tableau des éléments du groupe.
Courtes recherches sur le "groupe" généré par 3 éléments, avec opérations généralisées.
Généralisation d'une partie de la théorie des modules
Généralisation des opérations définies pour les modules avec notation générale de théorie des ensembles. Notes pour trouver l'exemple le plus simple ne vérifiant pas le Modulgesetz
Généralisation de la théorie des modules
Recherches écrites au dos d'un emploi du temps universitaire plié en 2 et contenant plusieurs feuillets. p. 53r est une page intérieure de cet emploi du temps mais la 3e page des recherches de Dedekind p. 53v est la première page externe de l'emploi du temps p. 54r, sur une feuille séparée, est la première page des notes de Dedekind (au dos d'une lettre) p. 55-58 sont liées mais antérieures (cf. relations) p. 59r est la 2e page externe de l'emploi du temps p. 59v est une page intérieure de l'emploi du temps et la 2de page de notes de Dedekind p. 60 est également un feuillet séparé et poursuit la page 53r. Ordre de lecture : p. 54r, p. 59v, p. 53r, p. 60.
Théorie des 3 modules, grand tableau et nombres de classes
Grand tableau PGCD/PPCM avec notation3 et détail des définitions. Etude de la dualité dans les nombres de classes.
Commence par une étude du "groupe" généré par 3 modules ou trois groupes abéliens. Reformulation dans la notation utilisée pour la théorie des groupes (eg Modulgesetz). Étude du treillis formé par les sous-groupes normaux.
Étude de la "Verwandschafdt" et des "familles" de modules telles que définis dans les Vorlesungen de Dirichlet (référence à édition de 1871, p. 490). Calcul de "distances" entre modules (ie nombres de "marches" dans "l'escalier") et organisation de ces distances dans un tableau.
Corrections sur les Vorlesungen de Dirichlet (1894)
Corrections sur le §184 (= §178 de la 3e édition) pour l'édition de 1894 des Vorlesungen de Dirichlet. Il s'agit du paragraphe sur le nombre de classes d'idéaux. Attention les pages dans le désordre. L'ordre de lecture semble être : p. 57v (57r = imprimé) puis p. 53 à p. 56.
Recherches autour des propriétés des opérations pour 4 modules. Notation mixte car la notation 123 ne permet pas d'aller très loin. Dessins pour représenter les "niveaux".
Colonnes donnant notamment certaines relations entre modules. Manque de contexte pour être sûr de ce que signifient les autres colonnes + le tableau semble ne pas avoir été terminé.
Deux théorèmes avec (esquisse de) preuve : - Soit d module non divisible par des modules p, q, alors il existe toujours des nombres dans d qui sont ni dans p ni dans q. - Mais dès qu'on considère trois modules p, q, r, le théorème cesse d'être valide. On peut construire une infinité d'exemples.
Feuillet commence par un tableau non terminé. Liste des Treppen. Petits calculs autour du Modulgestz. NB : La disposition des écritures permet-elle de mettre en avant la "symétrie" ou "dualité" ?
Tentative de généralisation du Modulgesetz?
Tentative de généralisation du Modulgesetz (non nommé). Notation mixte. Plusieurs théorèmes avec tentative de preuves. Fin du manuscrit : Einfacher ausgedrückt + mention de la dualité. Ces réflexions autour de l'application du Modulgesetz à un nombre quelconque de modules donne : (d1-m)+(d2-m)+...+(dn-m)=d+m avec d=d1-d2-... et son dual.
Calculs sur les modules finis et un peu de Modulgesetz
Pages mélangées. p. 46r : quelques calculs, suite de p. 47v. p. 46v : vierge. p.47r : quelques recherches sur le Modulgesetz au crayon par dessus une invitation. p. 47v : calculs sur les modules finis (encre).
Grand feuillet plié en deux : - égalités / Modulgesetz - égalités / nombre de classes
Calculs sur des différentielles et quotients différentiels. Pas de contexte.
27 octobre 1890, théorème nombre de classes.
Théorème daté du 27 oct. 1890. Esquisse de preuve.
Calculs et tableau visiblement liés à la page suivante (p. 41, item 289)
Calculs sur les bases des modules finis. À lire avec la page précédente, ie l'item 285 (X 10 p. 38) ?
Récapitulatif d'égalités pour les opérations entre modules. Organisation en colonnes pour mettre en avant la dualité. Calculs sur les bases (bien que les modules ne soient pas présentés comme modules finis ?).
Recto : calculs qui ne sont pas liés aux modules ? Verso : quelques calculs sur les modules finis et la divisibilité
Calculs sur les modules finis - feuillets tenant ensemble d'autres feuillets
Calculs sur les modules finis a, b : calculs des bases de a–b
Page 34r : première moitié "Zweigliedrige Schaaren Ω, Ω'. Directe Basen Verwandschaft" raturé. Deuxième moitié Zweigliedrige Moduln.
Page 30r : publicité, calculs épars. Page 30v : calculs sur des modules finis (base 2 éléments), calculs sur exemples numériques. Page 31r : page avec le titre "Zweigliedrige Moduln". Réflexions sur la divisibilité. Calculs. Page 31v. Fin ? Proposition de notation différente.
Bildung einer (Φ,Ψ)-Gruppe (logischer Calcul; Schröder S. 291) aus drei Basis-Elementen a, m, d under der Annahme mΦd=d, also auch mΨd=m.
Construction d'un "groupe" avec deux opérations phi et psi généré par 3 éléments vérifiant 2 conditions de divisibilité. Référence au calcul logique de Schröder. Au verso : un brouillon titré "Dualismus" qu'on ne peut pas rattacher aux autres.
Théorèmes de théorie des modules avec notation générale
Théorèmes de la "théorie des modules" (eg propriétés de la divisibilité) réécrites avec la notation générale de théorie des ensembles. Partie de la généralisation de la théorie des modules.
Exemple pour la théorie générale des trois modules
Au dessus du titre original : "Ancienne notation". Mise au propre de calculs rencontrés de nombres fois (cf relations).
Petit tableau. Calcul d'Excidenzen et d'Incidenzen. Etude des "Stufen" dans un Dualgruppe donné.
Énoncé du Modulgesetz. Étude d'un Dualgruppe généré par 3 modules avec condition (1) (lié au Modulgesetz).
Présentation en colonnes des propriétés (duales) de + et –. Puis calculs sur des bases de modules finis.
La divisibilité d'un module m par un module n sera complètement exprimée par chacune de ces 3 égalités
Page 28r : liste de modules finis avec notation 123 (?) Page 28v : La divisibilité d'un module m par un module n sera complètement exprimée par chacune de ces 3 égalités : (m,n)=1 ; m+n=n ; m–n=n. Tableau montrant la dualité entre les propriétés de + et –. Page 29r : Propriétés des nombres de classes par à la divisibilité. Page 29v : Suite du recto.
Seulement 4 lignes, apparemment interrompu – lié au Modulgesetz.
Formation d'un groupe généré par trois modules quelconques
Formation d'un groupe engenrdré par 3 modules donnés quelconques a, b, c, rang d'un module engendré par application des opérations. Tableau des modules selon leur rang. Nombre de classes.
Tableau pour trois modules a, b, c. Difficile de statuer sur son contenu. Concerne des modules finis.Co
Première page, calculs sur modules finis générés par 2 éléments. Deuxième page : ancienne notation, application de la théorie générale des trois modules à des modules générés par 2 éléments.
Recherches autour des nombres de classes
Pour trois modules a, b, c, calculs sur les nombres de classes