Liste d'égalités pour les modules. Tableaux de multiples, sommes. Vérification selon conditions. Vérification associativité. Paragraphe sur la "source du dualisme" (qui est ici le Modulgesetz).
Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle).
Fiche : Emmylou Haffner (Institut des textes et manuscrits modernes, CNRS-ENS) ; Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen ; projet EMAN (Thalim, CNRS-ENS-Sorbonne nouvelle). Licence Creative Commons Attribution – Partage à l'Identique 3.0 (CC BY-SA 3.0 FR).
Petit tableau. Calcul d'Excidenzen et d'Incidenzen. Etude des "Stufen" dans un Dualgruppe donné.
Théorèmes de théorie des modules avec notation générale
Théorèmes de la "théorie des modules" (eg propriétés de la divisibilité) réécrites avec la notation générale de théorie des ensembles. Partie de la généralisation de la théorie des modules.
Bildung einer (Φ,Ψ)-Gruppe (logischer Calcul; Schröder S. 291) aus drei Basis-Elementen a, m, d under der Annahme mΦd=d, also auch mΨd=m.
Construction d'un "groupe" avec deux opérations phi et psi généré par 3 éléments vérifiant 2 conditions de divisibilité. Référence au calcul logique de Schröder. Au verso : un brouillon titré "Dualismus" qu'on ne peut pas rattacher aux autres.
Étude de la "Verwandschafdt" et des "familles" de modules telles que définis dans les Vorlesungen de Dirichlet (référence à édition de 1871, p. 490). Calcul de "distances" entre modules (ie nombres de "marches" dans "l'escalier") et organisation de ces distances dans un tableau.
Commence par une étude du "groupe" généré par 3 modules ou trois groupes abéliens. Reformulation dans la notation utilisée pour la théorie des groupes (eg Modulgesetz). Étude du treillis formé par les sous-groupes normaux.
Théorie des 3 modules, grand tableau et nombres de classes
Grand tableau PGCD/PPCM avec notation3 et détail des définitions. Etude de la dualité dans les nombres de classes.
Généralisation d'une partie de la théorie des modules
Généralisation des opérations définies pour les modules avec notation générale de théorie des ensembles. Notes pour trouver l'exemple le plus simple ne vérifiant pas le Modulgesetz
Courtes recherches sur le "groupe" généré par 3 éléments, avec opérations généralisées.
Comparaison Schröder / Dualgruppen / théorie des ensembles
Quelques résultats de théorie des ensembles exprimés en termes de treillis, avec référence explicite aux Dualgruppen et à Schröder.
Tableau + symétrie en fonction de a, b, c.
Recto : grand tableau corrigé au fur et à mesure de son élaboration. Verso : calculs divisibilité, nombre de classes. En fin de page : "Symétrie en fonction de a, b, c !!!".
Dualité dans la théorie des modules entre ppcm et pgcd.
Tableau mettant en avant la dualité entre les deux opérations pour les modules.
Théorie des modules (peut-être : Théorèmes généraux sur les modules, ordres et congruences)
Texte rédigé sur la théorie des modules. Titre alternatif : "Théorèmes généraux sur les modules, ordres et congruences". Définition des opérations et étude de diverses propriétés. Un des premiers écrits sur le sujet.
Même notation (exceptionnelle). Même papier, même graphie (rares dans les brouillons sur les Dualgruppen).
Über den Dualismus in den Gesetzen der Zahlen-Moduln
Texte rédigé mais incomplet? sur le "dualisme" dans la théorie des modules de nombres. (Description à compléter page à page)
Chaîne de modules b1 < ... < bn et un module a, alors on forme a+b1<a+b2<...<a+bn<a<a-b1<a-b2<...<a-bn diverses="" relations="" entre="" a="" et="" br="" bs="" selon="" si="" r="" s="" ou=""> Exemple avec n=2, modules b i notés 1, 2, 3 et a noté 0. Calcul de toutes les combinaisons possibles, Treppen, voisins...</a-bn>
Etude de lois et propriétés des opérations (pour modules) dans des conditions particulières. Semi-rédigé.
Modulgruppen (ou chaînes) simples : 1<2<3<...<n Alors on a un module 0 et on peut construire des modules r'=0+r ; r''=0–r, et rs=r''+d=d'-sr avec r<s Liste des éléments du groupe de modules Étude des relations de < Treppen Nombre de classes "Encore une autre manière de présenter" : reformulation avec notation différente (modules indicés). Pas terminé, Dedekind note à la fin "Versuch !"
Page 8. Deux chaînes de modules a (m membres) et b (n membres), on construit c=a-b et d=a+b. Étude des différentes relations. En marge : "Les PGCD formés par a, b, a-b correspondent aux PPCM formés par a, b, a+b et forment donc un groupe." Manipulation des opérations et relations autour du Modulgesetz. Généralisation de l'égalité à un nombre quelconque de modules. Théorème général et preuve. Au verso, quelques notes (mêmes égalités ?) avec la notation des morphismes / Abbildungen. Page 9. Suite des calculs pour la preuve du théorème. Séparation. Etude pour trois modules. Operations, Treppen, diagrammes, Ketten. Verso : Schöner Satz falsch, 1889. 1. 4. Calculs sur des modules finis (exemple ?)
Tableau de toutes les combinaisons possibles pour 4 modules notés 1, 2, 3 et 4 avec opérations + et – Colonne indiquant le nombre de cas possibles selon le nombre d'opérandes
[ha, hb+cw] avec a, b premiers entre eux. Calculs.
Tableau des Nächste Vielfache et Nächste Theiler
Tableau des Nächste Vielfache et Nächste Theiler avec classes de nombres
A groupe de modules, construction et étude d'un autre groupe de modules (appelé Moduln Gruppe). Étude des lois / propriétés, des éléments générés, des relations de divisibilité (avec les "Treppen")
Propriétés des opérations, modules et idéaux
Calculs sur les nombres de classes et relations entre opérations. Application aux idéaux. Cas général : (b-b')+(c-c')=(c-c')+(a-a')=(a-a')+(b-b') et dual.
Calculs nombres de classes, normes de modules
Calculs sur les nombres de classes et lien avec les normes des idéaux.
Calculs sur des modules finis + Théorème général
Coupé en deux, partie 1 : calculs sur modules finis Partie 2 : théorème général lié au Modulgesetz
Également le même papier (facture pour le même marchand de vin).
Calculs sur des modules finis suivis des lois générales.
Calculs sur des modules finis, congruences. Cas particulier.
Deux parties : calculs sur modules finis, puis cas des idéaux.
Au dos d'une facture du même marchand de vin.
Calcul de a–b pour les modules définis page précédente.
Détails des calculs sur 3 modules finis a, b, c
Calculs sur des modules finis (détails).
Quand a-t-on c3>b''' et c3<b''' ?
Courte étude des conditions pour avoir c3>b''' et c3<b''' ? Puis de (a+b)-c<(a-c)+b suit (a+b)-c=(a-c)+b
Tableau comparant les modules et les groupes (Frobenius & Stickelberger)
Comparaison entre les modules (colonne de droite) et les groupes dans l'article de Frobenius et Stickelberger, "Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1886. Parallèle entre les deux approches, qui revient à un parallèle entre cas multiplicatif et cas additif pour les groupes.
Première page, calculs sur modules finis générés par 2 éléments. Deuxième page : ancienne notation, application de la théorie générale des trois modules à des modules générés par 2 éléments.
Théorie des trois modules, divisibilité.
Tableau pour la théorie des trois modules, relations de divisibilité : le signe + signifie que le module sur la ligne est diviseur du module dans la colonne. Le signe – signifie que le module sur la ligne est multiple du module dans la colonne.
Recto : liste d'égalités pour 3 modules a, b, c. PGCD, PPCM, divisibilité et chaînes. Verso : étude de certaines chaînes et tentative de représentation par des diagrammes similaires à ceux utilisés aujourd'hui pour les treillis.
Liste de relations de divisibilité et chaînes en deux "colonnes" (pour < et >).
Calculs sur la divisibilité et les nombres de classes pour 3 modules. Conclusion : symétrie en fonction de a, b ,c.
Calculs sur des congruences pour étudier relation divisibilité entre modules. Conclusion partielle : pour des modules quelconques, on a seulement a'''<a2 mais pas a'''>a2 donc les conditions données au début sont nécessaires mais en général pas suffisantes.
Étude des opérations pour 3 idéaux a, b, c. Liste des éléments engendrés, étude des propriétés.
Recto : Tableau des éléments pour 3 modules a, b, c. Représentation diagrammatique des chaînes (treillis). Tentative de représentation des relations de divisibilité dans une sorte de tableau. Liste des modules dans l'ordre de leur nombre de diviseurs directs (nächste Vielfach), liste de chaînes. Étude de propriétés des nombres de classes. Verso : Avec une condition particulière, étude des éléments, chaînes, diagrammes.
Liste d'éléments pour 3 modules. Organisé en colonnes numérotées. Correction de la place de certains éléments. Pas terminé.
Tableau 3 modules et calculs nombres de classes
Recto : Calculs sur les classes de nombres. Verso : Tableau, chaînes.
Liste éléments et "théorèmes" sur les relations entre éléments pour le Modulgruppe engendré par 3 modules. Unmittelbare Nachbaren, chaînes, application aux idéaux.
Propriétés des nombres de classes pour 3 modules a, b, c
Meilleure présentation pour 3 modules a, b, c
Mise au propre des divers calculs pour 3 modules. Dans des cadres : liste éléments, unmittelbare Nachbaren, cas des idéaux, nombres de classes.