Ce 19 aout 1812

La geometrie est la science de l'étendue. Elle considère la longueur, la surface, la profondeur, des lignes, des plans et des solides. Elle en [illisible] découvre les rapports. Elle a toujours vraie toujours positive, le raisonnement en établit les résultats, sur des par un enchaînement de propositions successt démontrées. L'expérience les vérifie, la pensée les conçoit et donne par avance ceux qu'aucune figure n'a encore présentés.

J'ai toujours cru, que l'on pourrait traiter de la géométrie dans un ordre philosophique et que les vérités mathématiques seraient toutes susceptibles de s'offrir à l'esprit, par une suite de propositions abstraites, et d'une justesse rigoureuse.

Les lignes sont droites, ou courbes. Toutes les [illisible] la ligne droite entre deux points donnés, est nécessairement la plus courte.

L'angle rectiligne est formé par la réunion de deux lignes droites qui se croisent en un point. Ce point considéré comme le centre d'un cercle, dont les côtés de l'angle seront les rayons, nous comprenons fort aisément que la mesure d'un angle est indépendante du prolongement de ses côtés, puisque l'arc du cercle compris entre ces mêmes côtés aura toujours la mesure aura toujours pour sa mesure un nombre égal de degrés.

le diamètre en son prolongement. Ainsi tous les angles formés d'un même point sur cette ligne, [illisible] ensemble pour mesure une demi circonférence, ou bien 180 degrés. Et toutes les fois que deux angles auront le même supplément, ou le même complément, ils seront égaux entre eux.

Cette vérité bien reconnue, nous aidera à concevoir sans figure comment deux angles opposés au sommet sont nécessairement égaux. Deux angles ne peuvent être opposés au sommet que par le croisement de deux lignes ; chacune de ces lignes étant droite, et passant au même point, peut tour à tour être considérée comme le diamètre d'un même cercle, dont le point d'intersection de deux lignes est le centre, les deux angles formés sur chacune de ces lignes, auront ensemble pour mesure les 180 deg de la demie circonférence ; les deux angles opposés auront tour à tour pour supplément le même angle, c'est à dire celui qui se trouvera formé par l'inclinaison réciproque des deux diamètres. Donc ils seront égaux entre aux.

Je sais que la moindre figure ferait saisir à l'œil cette vérité, mais il suffit au but que je me propose, que l'intelligence l'ait saisi. Et voilà la mesure, et les premiers rapports des angles, irrévocablement fixés.

Considérons maintenant deux lignes droites, à des distances toujours égales, nous les nommerons parallèles. La sécante qui les coupera plus ou moins obliquement, formera sur chacune, toujours du même côté des angles constamment égaux. Car les parallèles ayant toujours une direction semblable, la sécante forme avec s'incline également sur chacune un angle d'un égale [illisible] Il est également vrai, que les quatre angles formés sur chaque

parallèle auront tour à tour pour supplément l'angle [illisible] formé sur la même ligne, soit à droite, soit à gauche, car nous avons avant tout établi, que tous les angles formés d'un même point sur une ligne vaudraient toujours pris ensemble 180 degrés ou la demie circonférence.

Par une partie de conséquence de ces vérités, que nous venons d'établir deux angles dont les côtés seront parallèles les uns aux autres, seront encore égaux entre eux, car en prolongeant en sens inverse les côtés de l'angle qui paraît compris dans l'autre, de manière à ce qu'ils rencontrent les deux côtés de l'angle extérieur, les lignes qui les composent devenant sécantes tour à tour laisseront aux angles qu'elles forment, les propriétés nécessaires de ceux qui sont compris entre deux parallèles.

Nous avons reconnu connu qu'un angle, dont nous considérons le sommet comme le centre d'un cercle, avait pour sa mesure l'arc compris entre ses côtés, nous pouvons maintenant considérer les angles sous un rapport nouveau, en plaçant leur sommet à la circonférence d'un cercle ; [illisible] deux dans ce cas serviront de cordes à la circonférence, ou bien l'un des deux sera tangent

et l'autre sera corde.

Les angles disposés, et placés [illisible] de la sorte, [illisible] acquerront aussi de nouvelles propriétés ; ils n'auront plus pour leur mesure que la moitié de l'arc compris entre leurs côtés. En effet, nous avons constaté dans la belle théorie des parallèles et des sécantes que deux angles dont les côtés sont parallèles éraient égaux ; nous l'angle inscrit à la circonférence d'un cercle, sera donc égal, à celui dont le sommet serait au centre, et dont les côtés seraient parallèles aux siens, ils auront donc une égale mesure. Or, l'axe [illisible] sur lequel s'appuie l'angle central et qui fait la mesure, est justement moitié de celui qui ferait partie d'une circonférence double. C'est à dire d'une circonférence qui prendrait pour rayon le diamètre de la première, et [illisible] aurait désormais pour centre le point de la circonférence, où [illisible] la tête de l'angle objet de notre étude avait d'abord été placée. Mais si cette proportion comparable ne paraissait pas établie d'une façon assez rigoureuse, nous [illisible] pouvons encore l'enchaîner à un ordre de vérités success[ivemen]t reconnues. Les angles dont les côtés sont parallèles, sont égaux, donc l'angle central inscrit aura une mesure égale à celle de l'angle central dont les côtés sont parallèles aux siens. Maintenant pour démontrer que l'angle l'arc sur lequel s'appuie l'angle central est moitié de celui sur lequel s'appuie l'angle inscrit dont les côtés lui sont parallèles, je rappellerai deux vérités l'une que les angles opposés au sommet sont égaux, l'autre, que les arcs compris entre parallèles sont aussi necess[airemen]t égaux, puisqu'au moyen de la sécante, qu'au moyen de la sécante, ils mesurent des angles que le [illisible] Prolongeant donc en sens inverse les côtés de notre angle central, et nous verrons que l'angle central est égal à son opposé, formé des deux arcs compris entre les parallèles qui

[illisible] les côtés des deux angles, et que par conséquent l'arc qui [illisible] mesurer l'angle inscrit est la moitié de celui qui se trouve compris entre les deux côtés.

Cette règle doit s'appliquer à l'angle composé d'une tangente et d'une corde, car on peut supposer un angle [illisible] donc les côtés seront parallèles aux siens, et ils auront la même mesure. Or pour concevoir que l'arc qui appuie l'angle central est moitié de celui qui appuie l'angle formé par la tangente et la corde, parallèles a ses deux côtés, il convient encore de prolonger en sens inverse les côté de l'angle central puis de concevoir que son angle opposé lui sera égal ; or cet angle opposé a pour sa mesure et l'arc compris entre le rayon, et la corde parallèles l'un à l'autre, qui forment chacun, un des côtés de leurs angles ; et l'arc compris entre le rayon prolongée en sens inverse et celui qui est parallèle à la tangente, et qui forme ainsi [illisible] le second côté de leur angle respectif, car le rayon devenant sécant entre les parallèles, est dans la corde.

[illisible] la démonstration en paraîtra bien simple. La tangente, venons nous de dire, est perpendiculaire au rayon, et par conséquent au diamètre. Si nous abaissons deux un diamètre, du point où la tangente atteint le cercle, l'angle formé par ces deux lignes, sera un angle droit de 90 degrés, moitié précisément de la demie circonférence, comprise entre l'extrémité inférieure du diamètre, et celle qui coupe la tangente. Mais l'angle de la corde , et de la tangente qui nous occupe n'est pas complètement mesuré par celui que nous supposons formé par entre le diamètre et la tangente, il reste la valeur de celui qui se trouve maintenant compris entre le diamètre et la corde, qui se réunissent au point de la tangente mais cet angle inscrit à la circonférence a pour sa mesure aussi la moitié de l'arc sur lequel il s'appuye, et il nous demeure démontré que l'angle formé par une tangente et une corde peut avoir pour sa mesure que la moitié de l'arc compris [illisible]

La théorie des angles ne se borne pas aux considérations qui viennent de nous occuper. On peut relativement au cercle les considérer encore sous deux rapports ; l'un [illisible] que leur sommet est placé dans un point quelconque d'un cercle, et non au centre, ni à la circonférence, l'autre suppose leur sommet placé hors de la circonférence, sur laquelle retombent leurs côtés.

Dans ces deux cas Comment conviendra-t-il de mesurer ces angles, et [illisible] quel enchaînement de vérités nous conduira à les découvrir ? La théorie des parallèles vient de suite à notre secours. L'angle dont le sommet se trouve dans un point du cercle, est selon le principe des angles compris entre parallèles, égal à celui dont le sommet serait inscrit à la circonférence, et dont les côtés seraient formés d'une corde parallèle à l'un des côtés de l'angle, et du prolongement inverse du second côté de ce même angle, qui servirait de sécante aux parallèles. La mesure de l'angle inscrit serait la moitié de l'arc sur lequel s'appuie ses côtés ; la mesure de l'angle du cercle devant être la même, ils nous faudra la composer, et de la moitié de l'arc sur lequel il s'appuie, et de la moitié de l'arc compris entre les côtés parallèles qui complète la mesure de l'angle inscrit, ou ce qui revient au même de la moitié de l'arc compris entre les côtés prolongés de l'angle du cercle, parce que les arcs compris entre parallèles sont égaux. Et ici nous n'invoquons point le principe de l'égalité des angles opposés par le sommet pour faire l'angle compris entre les côtés prolongés en sens inverse de l'angle du cercle, égal à lui. Ce point pris dans le cercle pour tête de ces angles ne peut jamais être considéré comme centre, et la circonférence qui est ici la mesure de notre angle isolé, est indépendante de lui.

Nous comprendrons bien aisément et toujours pour cette règle si belle des parallèles et des sécantes, que l'angle placé hors de la circonférence a pour mesure la moitié de l'arc concave moins la moitié de l'arc convexe compris entre ses côtés. Cet angle ne sera-t-il pas égal à un angle inscrit dont un des côtés serait un de ceux de l'angle extérieur, et dont le 2e côté serait parallèle au 2é côté de l'angle extérieur. Le côté commun servirait de sécante à ces deux lignes parallèles. Mais qu'est ce que la moitié de l'arc concave sur lequel s'appuie l'angle extérieur moins la moitié de l'arc compris entre les côtés parallèles des deux angles qui se trouvent parallèles, ou la moitié de l'arc convexe égal à ce même arc, puisque tous deux se trouvent compris entre les deux lignes parallèles.

Il faut au moins trois lignes droites pour enfermer une espace quelconque et le triangle est la plus simple des figures, après le cercle dont nous traiterons ailleurs, est la plus simple des figures, que l'esprit puisse concevoir.

Toute la théorie des triangles est fondée sur celle des angles.

La somme des trois angles d'un triangle sera toujours égale à 180 deg. Car il faut leur supposer pour mesure les arcs d'une même circonférence, à laquelle on suppose que le triangles est inscrit, et chacun des angles inscrits a nécessairement pour sa mesure la moitié de l'arc sur lequel il s'appuie ou bien l'on supposera que la Une suite d'axiomes dérivent pour la théorie des angles triangles des vérités que nous avons reconnues. Entre autres Nous noterons [illisible] les côtés opposés à des angles égaux sont égaux, car ils servent de cordes à des arcs égaux, et réciproquement.

Deux triangles seront égaux, quand ils auront un angle égal, compris entre deux côtés égaux. Les trois angles devenant respectiv[emen]t égaux, par le rapport égal des côtés, la conséquence est rigoureuse. Réciproquem[en]t deux triangles seront égaux [illisible] ils auront un côté égal, adjacent à deux angles égaux.

La théorie si simple des triangles, fonde celle des polygones, car au moyen de diagonales menées d'un angle à un autre on les réduit tous au triangle. Or comme tout polygone peut être divisé selon ses angles, en autant de triangles qu'il a de côtés moins deux ; la somme de tous ses angles sera égale à 180 deg pris autant de fois, qu'il a de côtés moins deux.

Rien de plus simple d'après le principe que de supputer la mesure de chaque angle d'un polygone régulier. Il ne s'agit que de prendre 180 deg autant de fois que le polygone a de côtés moins deux, puis de diviser cette somme par le nombre de côtés du polygone, car il a autant d'angles nécessairement que de côtés.

Pour avoir la mesure de l'angle central d'un polygone régulier, il suffit de diviser les 360 deg de la circonférence par le nombre des côtés du polygone, car des cordes égales sous-tendent des arcs égaux. De ce principe fondamental, il résulte que le côté de l'hexagone, est égal au rayon du cercle, l'angle central de l'hexagone est de 60 degrés. Mais cet angle est formé par deux rayons du cercle, abaissés aux deux extrémités du côté de l'hexagone, les deux angles du triangle qu'ils forment avec ce côté seront donc égaux entre eux, puisque les deux rayons qui leur sont opposés ne peuvent pas manquer de l'être. Ils auront donc chacun pour mesure 60 deg moitié des 120 qui restent après la soustraction des 60 de l'angle central.Mais voilà 3 angles égaux, les trois côtés le sont donc encore, et le côté de [illisible] Est nécessairement égal comme nous l'avons dit au rayon de la circonférence circonscrite.

La théorie des lignes sera complète si nous cherchons d'après quelles bases elles peuvent devenir proportionnelles et former des lignes semblables. Mais ces bases existent dans le petit nombre de vérités que nous avons trouvées si facilement. Expliquons nous.

Si nous concevons un angle quelconque, et si nous divisons en parties égales un côté de cet angle. Si d'un de ces points de division, nous menons une ligne quelconque sur l'autre côté de l'angle, et si parallèlement à cette ligne, nous en menons autant d'autres, de chacun des points de division, nous aurons aussi divisé le côté de l'angle, en parties égales entre elles. Notre règle des parallèles, en effet nous suggère [illisible] a démontré par avance, que des petites lignes menées parallèles, au premier côté divisé, en partant de chacun des points de division nouv[ellemen]t établis sur le 2e côté, nous donnerons [illisible] triangles égaux seraient égales entre elles et que leurs deux angles adjacents seraient égaux ; mais la théorie des triangles nous a pareillement démontré, que les triangles sont égaux, quand ils ont un côté égal avec les angles adjacents. Or les divisions du 2e côté de l'angle sont chacune sur des côtés de ces triangles tous égaux, donc elles sont égales entre elles, et par conséquent susceptibles d'être mises en rapport exact, avec les divisions aussi égales entre elles du premier côté de l'angle. Nous pourrons donc établir sans erreur de rigoureuses proportions entre toutes les parties semblables des triangles formés par nos lignes parallèles et par les côtés du grand angle, que nous avions d'abord supposé au hasard.

L'application de ce principe qui permet de mettre en rapport des lignes semblables peut s'appliquer se modifier de mille manières ainsi dans un triangle une ligne menée d'un de ces côtés parallèlement à sa base, coupera l'autre côté, en parties proportionnelles à celles du [illisible]

1er côté. Si l'on divise un angle d'un triangle en deux parts égales, par une ligne, qui tombe sur le côté opposé. Les deux parties de ce côté seraient proportionnelles aux deux autres côtés correspondants [illisible]

Cette proposition sera bientôt éclaircie, en supposant l'existence d'une ligne extérieure parallèle à celle qui divise l'angle, et s'élevant de l'extrémité du côté opposé à cet angle. On prolongera le côté du triangle qui se termine en sommet de l'angle divisé jusqu'à ce qu'il atteigne cette ligne parallèle. Cette double opération donnera deux triangles, dont les côtés ou les partis ainsi que nous l'avons déjà dit pourront être mis en rapport ; mais la règle des parallèles qui détermine l'égalité des angles alternes et internes ; le principe qui veut que les côtés opposés à des angles égaux soient égaux permet de suppléer le 2e côté du triangle au prolongement ………. du 3e côté [illisible] qui lui était nécessairement égal, et la proportion que nous avons proposée se trouve ainsi déterminée, avec une exactitude absolue.

Deux triangles qui ont les trois angles égaux, sont semblables et leurs côtés sont proportionnels.

La perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle sur sa base, ou hypoténuse, est moyenne proportionnelle entre les deux segments de l'hypoténuse. Bien plus chacun des côtés de l'angle droit deviendra moyen proportionnel entre l'hypoténuse et le segment correspondant. C'est qu'en effet, le triangle principal, et les deux triangles formés par l'abaissement de la perpendiculaire seront semblables tous les trois entre eux et l'on ne pourra mettre en rapport leurs côtés homologues sans établir les trois proportions que nous venons d'[illisible]

On concevra comment une simple règle de trois aussi bien qu'une opération graphique, pour toujours donner le 4e terme, d'une proportion établie.

Les opérations trigonométriques les plus compliquées, reposent uniquement sur ce système de la théorie des triangles, et du rapport de leurs angles, et de leurs côtés, et ceci est appliqué [illisible] si petit nombre de vérités que l'homme a mesuré le ciel, ainsi que la terre.

Maintenant si nous cherchons dans le cercle, des lignes proport[ionne]lles nous [illisible]. à un problème dont la solution rigoureuse a jusqu'ici passé pour impossible. Celui de la quadrature du cercle, Tous les rapports de la circonférence aux lignes qui traversent le cercle, rentrent nécessairement toujours dans la théorie des triangles. Les côtés des polygones semblables, peuvent toujours les mettre en rapport, et par d'après un principe consacré en arithmétique la somme des côtés de chaque figure, comparée à celle des côtés de la figure semblable, [illisible] nécessairement entre elles, comme les côtés homologues ; Il s'ensuit que la circonférence d'un cercle étant considérée comme la somme des côtés d'un polygone indéfini, les circonférences des cercles, sont entre elles comme leurs rayons, ou leurs diamètres.

La théorie des triangles semblables, nous est encore à démontrer que deux cordes, qui se coupent dans un cercle en quelque point que ce soit, donneront un rapport tel que les deux parties de l'une, en seront les moyens, tandis que les deux parties de l'autre en seront les extrêmes. Donc si une de ces cordes passait par le centre du cercle, et en était un diamètre, la corde qui viendrait à la couper perpendiculairement aurait les deux parties pour moyens de la proportion, dont les deux segments du diamètre [illisible] les extrêmes. Mais comme dans le cas dont nous parlons, le diamètre partage en deux parties égales, la corde sur laquelle il s'abaisse perpendiculairement, on pourra dire avec la

même exactitude que la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de la circonférence sur son diamètre, sera moyenne proportionnelle, entre les deux segments de ce diamètre.

Les applications de la loi proportionnelle des triangles semblables peuvent se présenter sous différents aspects, mais le principe en sera toujours le même.

Nous avons donc considéré les angles, [illisible] leurs rapports leur diverse mesure, les triangles, donc toute la théorie repose sur celle des angles, les polygones dont et compose uniquement celle des polygones, enfin les proportions qui naissent de la comparaison des triangles semblables. Tout s'enchaîne, tout se tient, toute vérité dans ce système, dérive de celle qui la précède, et en fait [illisible] éclore de nouvelles. Cet ordre intellectuel, indépendant des erreurs de l'esprit, est éternel comme rien même, le type de toute vérité. Et c'est au-dessus, et hors de toute matière qu'il faut reconnaître les lois, par qui toute matière existe, et se modifie.

Ce 23 aout 1812

Nous avons étudié les lignes, étudions maintenant les surfaces ; quelques loix faciles à connaître, vous en baser la théorie. La géométrie ne consiste qu'en un enchaînement de vérités, dont une démonstration rigoureuse, fait autant d'axiomes, ou de formules, désormais applicables, à des propositions solutions plus compliquées. C'est une espèce d'échafaudage qui conduit l'esprit par degrés, aux hauteurs qu'il prétend atteindre dans cette la théorie nouvelle des surfaces. Nous revenons d'abord au triangle et comme ce sont des objets qui nous ont fait juger l'essence , nous reconnaîtrons en commençant qu'un triangle est toujours moitié d'un parallélogramme de même base, et de même hauteur. En effet, doublons le triangle et le côté devenu commun, deviendra aussi la diagonale d'un parallélogramme de même base, et de même hauteur que le triangle sur lequel on l'aura tracé. Or c'est la surface du triangle, c'est le rapport qui la donne, qui doit encore servir de type, à toutes les [illisible] destinées à faire connaître les surfaces de tous les [illisible] Il n'est point de polygone que l'on ne puisse réduire ou plutôt comparer à un triangle [illisible] de même surface.

Mesurer une surface, c'est déterminer combien de fois cette surface contient une autre surface connue. Pour avoir donc le nombre de mesures [illisible] contenues dans la surface d'un parallélogramme quelconque, il faudra en mesurer la base, et la hauteur avec une même mesure, et multiplier le nombre des mesures de la base par le nombre des mesures de la hauteur.

Il suit de cette définition et de la proposition que nous avons d'abord établie que pour avoir la surface d'un triangle, il faut

multiplier la base par la hauteur et prendre la moitié du produit ou ce qui est la même chose, multiplier la base par la moitié de la hauteur.

La réduction de toutes les figures planes au triangle nous apprend à travers leurs surfaces par un même procédé. On partagera le polygone quel qu'il soit, en triangles, au moyen de plusieurs diagonales, menées du même point, et l'on en calculera l'aire[illisible] l'autre les surfaces. Comme un cerclen'est vraiment qu'un polygone d'une infinité de côtés, on aura la surface d'un cercle, en multipliant sa circonférence par la moitié du rayon.

Ce problème en découvre un autre, qui selon toute apparence ne saurait jamais être rigoureusement résolu, le rapport de la circonférence [illisible] polygone infini n'est point exactement connu ; Archimède par approximation, l'a établi des 7 a 22 et cela en partant de cette base, pour établir une proportion que l'on a pu supputer, avec quelque succès, la circonférence d'un cercle, avant de la multiplier, par son demi rayon connu. Il est curieux de voir comment l'esprit humain trouve un obstacle invincible à la marche, ces océans sans rivages qu'il parcourait, en sondant constamment. Ici la nature toute entière s'oppose à ses progrès, et lui [illisible] l'obstacle ; et s'il se mêle quelque matière, au mécanisme si puissant des facultés intellectuelles de l'homme, c'est ici qu'il en sent le poids.

La propriété du triangle appliquée au cercle nous apprend par analogie, à trouver les surfaces des moindres sections dans le cercle. Celle du secteur ou de la portion du cercle, comprise entre deux rayons et l'arc qu'ils embrassent, il doit trouver dans le produit de l'arc lui même par la moitié du rayon. La surface

[illisible] ou de la portion de cercle comprise entre une corde [illisible] se trouvera en déduisant de la surface du secteur, [illisible] rayons appuyés aux extrémités de l'arc auraient formée [illisible] voici un rapport intéressant à établir. Les surfaces [illisible] figures semblables sont entre elles, comme les quarrés des côtés ou des lignes homologues de ces figures. Nous avons reconnu [illisible] que toute figure pouvait se rapporter au triangle. Nous avons également reconnu que tout triangle est la moitié d'un parallélogramme de même base, et de même hauteur. Comme c'est de surfaces qu'il s'agit, il paraîtra peut-être plus commode de prendre le parallélogramme pour base de la démonstration.

La surface d'un parallél[ogramme] n'est elle pas le produit de sa base par sa hauteur ? On peut donc établir une proportion exacte [illisible] les termes seront les surfaces des deux figures.

En effet, s'il s'agit d'un parallélogramme on ne saurait nier que la surface de l'une des figures ne [illisible] à la surface de la figure semblable dans le rapport de la base de l'une multipliée par sa hauteur perpendiculaire avec la base de l'autre multipliée aussi par la hauteur perpendiculaire, car ce ne sont que deux expressions d'une même idée. Or le cas qui se présente permet de substituer à l'expression de la base multipliée par la hauteur perpendiculaire, celle de cette base multipliée par elle même car les côtés des triangles semblables

sont proportionnels entre eux. Mais un côté multiplié par lui même, c'est le quarré de ce côté, donc il est vrai [illisible] que les surfaces des parallélogrammes, étaient entre elles comme les quarrés de leurs côtés homologues. Il en est de même nécessairement pour les surfaces des triangles semblables, puisqu'un triangle n'est autre chose que la moitié d'un parallél[ogramme] de même base et de même hauteur, et comme la figure la plus compliquée peut encore se rapporter au triangle, il sera encore vrai de dire que les surfaces de toutes figures semblables sont entre elles comme les quarrés des côtés ou lignes homologues de ces figures. Les surfaces des cercles sont donc entre elles, comme les quarrés de leurs rayons ou de leurs diamètres.

La comparaison des surfaces amène l'esprit à découvrir la solution de ces beaux problèmes, pour laquelle, Pythagore [illisible] offrit une hécatombe. Le quarré de l'hypoténuse, côté opposé à l'angle droit d'un triangle rectangle, est égal à la somme des deux carrés faits sur les deux côtés qui forment cet angle.

Établissons les rapports que présente le rapport des triangles et celui de leurs côtés dont nous venons de constater la justesse, et après avoir supposé un triangle rectangle, supposons également une perpendiculaire abaissée sur sa base, du sommet de l'angle droit. Cette perpendiculaire nous donne 3 triangles semblables entre eux, le grand triangle, et les deux petits formés par l'abaissement de la perpendiculaire. Les surfaces de ces trois triangles vont se trouver entre elles, comme les quarrés de leurs hypoténuses, qui sont effectivement les trois côtés du grand triangle, mais en toute proportion, on peut sans en changer le rapport, ajouter entre eux, deux ou plusieurs, des termes semblables des comparaisons, pourvu que l'antécédent est la conséquence [illisible]

à la fois l'altération semblable. Dans la proportion dont nous sommes occupés, il se trouve six termes. Si les quatre premiers sont les surfaces des deux petits triangles, et les quarrés de leurs côtés, on peut respectivement les ajouter joindre deux par deux. Les surfaces des deux petits triangles seront donc aux quarrés pris ensemble de leurs hypoténuses, comme la surface du grand triangle sera au quarré de son hypoténuse mais la surface du grand triangle équivaut à celle des deux triangles, le quarré de son hypoténuse sera donc égal aux quarrés des deux autres car en toute proportion, les conséquents se trouvent entre eux, dans les rapports où se trouvent leurs antécédents.

Tout le jeu des opérations mathématiques consiste à découvrir le terme inconnu, d'après la connaissance des êtres, dans un rapport quelconque avec lui. Souvent il n'appartient qu'au génie de saisir d'abord ce rapport, mais dès qu'il est trouvé une suite de démonstrations, et de conséquences, o, aura bientôt constaté la justesse, et l'esprit y serait graduellement parvenu si rien n'avait du entraver sa marche ses progrès. De ses opérations

La connaissance du rapport respectif, des quarrés des côtés d'un triangle rectangle, nous permettra toujours de découvrir celui calculer l'un de ces côtés, dont la mesure ne nous sera pas donnée. Et c'est ainsi sans doute qu'on vérifie les [illisible] importantes opérations trigonométriques, d'après lesquelles est le ciel et la terre, sont mis par le géomètre en rapport. La connaissance aussi de ce rapport respectif, nous apprend à doubler toute espèce de quarré, en élevant un quarré nouveau sur la diagonale du premier.

Mais ici, se présente une difficulté inattendue, car il faut que l'esprit trouve des bornes aux facultés qui lui servent d'instruments. Le quarré quel qu'il soit que l'on voudra doubler, sera nécessairement a celui qu'on élèvera sur la diagonale dans le rapport d'un, à deux. On comme supposerait d'autres nombres à l'infini, toujours dans ce rapport double, qu'ils retomberaient nécessairement dans le rapport de un à deux. Mais ces deux nombres n'expriment que des surfaces. L'expression des côtés de ces quarrés ne peut se trouver que dans leurs racines. Celle de l'unité se trouve en elle même, et rien ne la modifie, mais celle du nombre 2 ne saurait être trouvée en un nombre parfaitement exact. Ainsi le rapport du côté du quarré à la diagonale, n'aura jamais d'expression numérique absolument exacte, et cette diagonale demeure tout à fait incommensurable, c'est à dire sans aucune mesure commune avec son côté.

…….. de plus multiplié que les combinaisons des rapports. Je ne sais pas si elles ont un terme. Les surfaces des triangles qui sont entre elles, comme les quarrés de leurs côtés homologues sont aussi entre elles, comme leurs bases, quand les triangles sont de même hauteur ; les quarrés de leurs côtés homologues ou de leurs hypoténuses, sont donc aussi proportionnels à leurs bases, quand les hauteurs sont égales. Mais dans la supposition du rectangle sur la base duquel nous avions abaissé une perpendiculaire afin de former trois triangles semblables

[illisible] retrouver le quarré de l'hypoténuse du triangle principal, dans le même rapport successif avec les quarrés des deux autres hypoténuses que cet hypoténuse lui même, avec les deux segments qu'a déterminés la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit car ces deux segments [illisible]. les bases des deux autres triangles.

Les quarrés des cordes menées dans l'extrémité d'un diamètre sont par une conséquence de cette application, dans un rapport incontesttable avec les parties du diamètre comprises entre le point d'où partent les cordes et celui où tombent les perpendiculaires abaissées de leurs extrémités/ L'esprit semble s'illuminer des lumières qu'il produite par lui-même, quand à chaque découverte vérité qui se découvre à lui. C'est ainsi [illisible]

La théorie des plans, ou des rapports des surfaces planes, combinées selon leur inclinaison, ou leurs rencontres respectives, et entièrement fondée sur celle des lignes et des angles.

Le 7 7bre 1812

La théorie des corps solides se fonde sur celle des surfaces que nous venons d'établir, comme celle des surfaces fondée sur la théorie des angles, et des lignes.

La surface d'un prisme et celle d'un cône cylindre droit se trouveront toujours, non compris la surface de leurs bases, en multipliant la circonférence de ces bases, ou la somme de leurs côtés, par la hauteur du cylindre, ou du prisme. Car le prisme offre en surface celles prises ensemble d'un certain nombre de parallélogrammes, qu'on obtiendrait en multipliant pour chacune la base du parallél par sa hauteur, et le cylindre est un prisme d'une infinité de côtés.

Il sera bien aisé de conclure que la surface d'une pyramide ou d'un cône droit, non compris celle de [illisible] se trouve en multipliant la circonférence de la base, par la moitié de la hauteur perpendiculaire car la pyramide et le cône se doivent rapporter au triangle.

La surface d'une sphère est égale au produit de la circonférence d'un de ses grands cercles, multipliée par le diamètre ; car l'on peut bien considérer la sphère comme composée d'un gd nombre de triangles dont les sommets se rapporteront à son centre.

Il faut pour bien se rendre compte de cette importante proposition, reprendre avec quelque attention les principes d'après lesquels, on peut mesurer les surfaces. Toutes les surfaces nous l'avons démontré, se rapportent à celle du triangle. Un trapèze donc, ou figure quelconque à quatre côtés inégaux mais dont deux sont parallèles, se doit partager en deux triangles

quand on cherchera sa surface ; l'on multipliera en chacun la hauteur perpend[iculaire] commune aux deux triangles, par la moitié de leur base, on pourra avoir tout à la fois, la surface du trapèze entier, la demie somme de ses côtés parallèles, par la hauteur perpend[iculaire].

La surface du cône tronqué, résulte de celle d'un trapèze car le cône tronqué peut se considérer comme une réunion de trapèzes ; dans la réunion de ces trapèzes, la hauteur perpend[iculaire] se confond avec l'arête même du cône, et l'on obtient la surface du cône tronquée, sans celle de la base, en multipliant la demie somme de ses circonférences parallèles, ou la circonférence intermédiaire entre elles par le côté du cône, ou l'intervalle qui les sépare.

Maintenant nous considérerons la sphère, comme produit par l'évolution d'une demie circonférence, qui tourne autour de son diamètre. Mais cette demie circonférence peut se considérer comme divisée par une suite de lignes parallèles, partant de la courbe et son diamètre. Les intervalles de ces parallèles considérés comme autant de trapèzes ou de cônes décrivant des cônes tronqués, [illisible] dans l'évolution supposée de la demie circonférence qui doit nous donner une sphère. Or il est évident que la somme des surfaces de tous ces cônes tronqués sera celle de la sphère entière, et il ne s'agit plus que d'en trouver l'expression.

Nous avons déjà observé que le jeu des proportions c'est à dire le déplacement et la comparaison de leurs termes étaient le principe créateur des vérités mathématiques. Représentons nous donc cette demie circonférence destinée à devenir mobile, et ces parallèles qui la coupent en autant de trapèzes qui deviendront des cônes tronqués, dans leur évolution. Abaissant une perpendiculaire, dans l'intersection du cercle et d'une de ces lignes sur la parallèle inférieure, nous aurons un triangle

[petite feuille intercalée au milieu des pages] mais ici je m'arrête encore, et je trouve que cette expression de la surface d'un trapèze peut encore se modifier, en recourant au principe consacré dans la théorie des triangles semblables, et dans la comparaison de leurs côtés homologues. En effet, si après avoir partagé un trapèze en deux triangles par une diagonale vous menez une parallèle intermédiaire aux deux cotés parall|èles] du trapèze ; après …..que le point où cette ligne coupera la diagonale, sera pour chaque triangle, la moitié de la ligne du trapèze, qui forme l'un de ses cotés ; par conséquent cette ligne intermédiaire sera la moitié de tous deux, on la ……… somme des cotés parallèles du trapèze, et l'on aura la surface

du trapèze, en multipliant cette moyenne proportionnelle, par la hauteur de ce trapèze. [fin de la feuille intercalée]

formé par cette perpendiculaire, par la portion du cercle comprise entre les parallèles, et que nous confondons avec sa corde, et par la portion de parallèle inférieure, comprise entre les perpendiculaires et la circonférence.

Si maintenant nous …………. partageons l'intervalle de nos deux parallèles, par en deux parties égales par une troisième intermédiaire, ………………………………………………… et qu'au point d'intersection de cette ligne, et de la circonférence, nous faisions aboutir un rayon, nous aurons un triangle perpendiculaire au premier, et qui par conséquent lui sera semblable. Nous pourrons mettre en rapport leurs côtés homologues, or ce second triangle sera formé par le ………….. la parallèle intermédiaire, et la portion du diamètre comprise entre le centre, et l'intersection de la parallèle et du diamètre.

Nous dirons donc, mais après avoir mis en proportion, nous dirons donc, en prenant le petit triangle, que la portion d'arc, ou plutôt la corde qui fait un de ses cotés, est a la perpend[iculaire] qui forme la 2e comme dans le g[ran]d triangle, le rayon qui fait un de ces cotés, est a la ligne parallèle intermed[iaire] qui fait le second.

Maintenant nous changerons les termes, et comme les rayons dans tous les cercles, sont proportionnels aux circonférences, nous substituerons, les circonférences décrites, par le rayon, et par cette ligne perpendiculaire au diamètre, menée sur lui depuis la circonférence.

Ce n'est pas tout, invoquant le principe consacré que le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, nous multiplierons la portion d'un coté d'un petit triangle 1er terme de notre proportion par la circonférence de la ligne parallèle qui coupe le diamètre, substituée à l'un des cotés du 2e triangle, et nous mettrons ce produit en équation avec celui de la perpend[iculaire] second coté du petit triangle, qui fait le 2e

terme de la proportion, par la circonférence du rayon, substituée a ce rayon lui même, coté du gd triangle ; circonférence qui fait maintenant le 2e moyen, ou le troisième terme de la proportion.

Mais qu'est ce qu'exprime la circonférence produite, par cette parallèle intermédiaire, si non la demie somme des deux circonférences entre lesquelles est moyenne proportionnelle car nous avons consacré ce principe dans la théorie des triangles semblables, que toute ligne parallèle a la base d'un triangle coupe ses cotés proportionnellement. Et donc, après avoir partagé un trapèze en cette circonférence multipliée par la perpendiculaire portion d'arc comprise entre les parallèles, représente donc exactement la surface d'un cône tronqué produit dans l'évolution, car cette perpendiculaire est égale à la portion du diamètre comprise entre les parallèles portion d'arc est la hauteur du cône. Mais cette surface est égale au produit de la circonférence du rayon, et par conséquent d'un gd cercle par la portion du diamètre, comprise entre les parallèles, donc la surface de tous ces cônes tronqués, et par conséquent de la sphère, peut toujours être exprimée par la circonférence d'un grand cercle multipliée par le diamètre entier.

Je me suis longtemps étendue sur une proposition qui m'a paru d'une importance majeure. Beaucoup de vérités en découlent, et d'abord il en résulte que le cylindre est égal en surface a la sphere qui lui est inscrite, car la surface du cylindre se trouve en multipliant sa circonférence par sa hauteur, or sa hauteur, et en ce cas, et le diamètre de la sphère, sa circonférence et encore l'équateur, ou l'un des g[ran]ds cercles de cette sphère comparative. Cette belle proposition fit l'orgueil d'Archimède, et une sphère inscrite en un cylindre fit reconnaître Cicéron, la pierre qui recouvrait les cendres du grand homme.

A la surface d'un ………… sphérique la surface d'une sphère est égale, à celle d'un de ses g[ran]ds cercles, prise quatre fois, car l'une est le résultat de la circonférence par le diamètre, l'autre de la circonférence par la moitié du rayon.

Toutes les règles des surfaces planes s'appliquent à celles des corps solides. Les surfaces des prismes, ou des cylindres droits de même hauteur non compris leurs bases, sont entre elles comme les circonférences de leurs bases, et réciproquement. Les surfaces des solides semblables sont entre elles, comme les quarrés de leurs lignes ou côtés homologues en conséquence les surfaces des sphères sont entre elles comme les quarrés de leurs rayons, ou de leurs diamètres.

Mais ce n'est pas uniquement sous le rapport des surfaces que les corps solides se considèrent. On connaît la solidité d'un corps, en découvrant combien de fois une mesure cubique quelconque peut être comprise dans sa capacité. Il sera donc aisé de concevoir que la solidité d'un prisme est égale a la surface de sa base multipliée par la hauteur du prisme. Le cylindre considéré comme un prisme d'une infinité de cotés, aura nécessairement la même mesure solide.

Nous avons constamment en traitant des surfaces, comparé le prisme au parallélogramme, et la pyramide au triangle mais en traitant de la solidité, nous ne pourrons plus comme l'analogie semblait nous y conduire, multiplier la surface de la base de la pyramide par la moitié de sa hauteur, nous serons forcés de nous réduire au tiers sur la mesure de cette hauteur, car une pyramide est ……...le tiers d'un prisme de même base et de même hauteur. Un prisme triangulaire quelconque se divisera toujours en trois pyramides égales et en base et en hauteur ; or tout prisme peut se diviser en prismes triangulaires

et comme le cylindre n'est autre chose qu'un prisme d'un nombre infini de cotés, la solidité du cône aussi se trouvera devra se calculer comme celle de la pyramide.

Il pourrait arriver que le cône ou la pyramide fussent tronqués il faudrait alors, défalquer de la solidité totale, celle du petit cône, ou de la petite pyramide enlevés. Or pour connaître afin de les calculer la hauteur de la pyramide, ou du cône entiers, il suffira par la loi des triangles semblables, de mettre en rapport les deux circonférences du tronc, avec la hauteur ………………… du tronc, et celle du cône, ou de la pyramide, qui se déterminera par le calcul, comme tout 4e terme en toute proportion.

Une sphère est la réunion d'un nombre immense de pyramides dont les sommets répondent a son centre, ainsi pour obtenir la solidité d'une sphère, on multipliera sa surface par le tiers de son rayon et ainsi ; il arrivera donc que la sphère, dont la surface est égale a celle du cylindre circonscrit n'aura plus en solidité que les deux tiers de celle du cylindre. Car, en changeant les termes de l'opération, qui doit conduire au résultat unique de la solidité de la sphère, nous pourrons, si nous le désirons, multiplier le tiers du rayon par quatre fois la surface d'un de ses g[ran]ds cercles ; ou quatre fois le tiers du rayon, par la surface d'un des g[ran]ds cercles ; ou bien les deux tiers du diamètre, par la surface d'un des g[ran]ds cercles. Or la surface solidité du cylindre se trouve, en multipliant la surface de sa base, par toute sa hauteur. Quand le cylindre est circonscrit, sa hauteur est le diamètre exacte de la sphère, et la surface d'un g[ran]d cercle de la sphère, est celle de la base du cylindre.

Deux solides quelconques de même hauteur, sont entre eux, comme leurs bases, et réciproquement.

Les solidités des pyramides corps semblables sont entre elles comme les cubes de leurs lignes homologues. On le comprendra facilement en prenant pour exemple, deux pyramides semblables. On ne peut nier en effet, que deux pyramides semblables ne soient entre elles comme les produits des surfaces de leurs bases par leurs hauteurs. Mais les bases qui sont des surfaces semblables, sont entre elles comme les quarrés des hauteurs, multipliés par les hauteurs mêmes. Car on peut substituer en des figures semblables car que les rapports des quarrés des hauteurs, a celui des bases surfaces des bases. Mais les quarrés des hauteurs multipliés par elles mêmes sont les cubes de ces hauteurs. Il suit de ce principe général, que les solidités des sphères, sont nécessairement entre elles, comme les cubes de leurs rayons, ou comme ceux de leurs diamètres.

Ce 24 7bre 1812

Nous avons eu l'occasion de nous convaincre, que la théorie géométrique toute entière, reposait sur le triangle, et ses diverses propriétés, donc il ne s'agissait ensuite, que de varier les applications.

Les géomètres, ont compliqué, ou multiplié les propriétés du triangle, en découvrant certaines lignes, qui pouvant se trouver proportionnelles, aux cotés du triangle, peuvent aussi être substituées, en différents calculs, aux angles et qui se détermineront plus facilement qu'eux. Ces lignes sont les sinus, les tangentes, les sécantes, les cosinus, les cotangentes, les cosécantes.

Le sinus d'un angle ………………………………………………..perpendiculaire abaissée de l'extrémité d'un arc, sur le rayon qui passe, par l'autre extrémité de cet arc.

La partie de l'arc comprise, entre le sinus, et l'extrémité de l'arc, est le cosinus sinus verse de cet angle.

La tangente d'un angle ou d'un arc est la portion de la perpendiculaire élevée a l'extrémité du rayon inférieur de cet angle, et terminée par l'autre rayon, ou coté prolongé du même angle.

Ce rayon prolongé, jusqu'au point de la rencontre avec la tangente, est la sécante de l'angle, ou l'arc.

Maintenant, ajoutons, un complément a l'angle, ou l'arc que nous venons de munir de sinus, de tangente, des sécantes. Les sinus droit, sinus verse, tangente et sécante, de l'angle ou arc complémentaire, seront les cosinus droit, cosinus verse, cotangente, et cosécante de l'angle, ou de l'arc d'abord formé.

La seule définition de ces lignes différentes, nous permet de déduire, sans plus de démonstration, une première suite de rapports.

Ainsi le cosinus d'un arc quelconque est égal, a la partie du rayon inférieur de l'angle, comprise entre le sinus et le centre des rayons. En effet, le cosinus, et cette portion de rayon, sont deux parallèles comprises, entre deux parallèles. Le sinus droit est le diamètre, qui sera du second coté a l'angle complémentaire.

Le sinus verse, est égal a la différence qui se trouve entre le rayon, et le cosinus ; car le cosinus est égal a la partie du rayon comprise entre le centre, et le sinus, et le reste du rayon, est en effet le sinus verse.

Le sinus d'un arc quelconque, est la moitié de la corde d'un arc double ; car la corde de cet arc double, est formée par la réunion des sinus des deux angles simples.

Le sinus d'un angle de 30 deg vaut la moitié du rayon car il est la moitié de la corde d'un angle de 60 deg. Or la corde d'un angle de 60 deg est un coté d'hexagone, et elle le coté de l'hexagone, est égal au rayon.

La tangente d'un angle de 45 deg est égale au rayon. En effet il faut supposer le triangle, formé par le rayon, le rayon prolongé, et la tangente qui les réunit, l'angle formé par la tangente et le rayon auquel elle est perpendiculaire, nécess[airemen]t droit ou de 90 deg. Nous venons de dire que celui du centre avait 45 deg. Le 3e angle doit avoir également 45 deg. Or les cotés opposés aux angles égaux, sont égaux. Mais l'un de ces cotés est le rayon, et l'autre est la tangente.

Le sinus d'un angle de 90 deg est égal au rayon, car il se confond avec lui. On le nomme aussi sinus total.

Un angle de 90 deg ne peut avoir de cosinus, et le cosinus doit toujours diminuer, en raison de ce que l'angle approche davantage de 90 deg et que par cette raison, son sinus s'agrandit.

La tangente augmente avec l'angle et la cotangente diminue de sorte que la tangente d'un angle de 90 deg est infinie, et il n'y a plus de cotangente. Je pense a ce sujet, que l'imagination ne saurait concevoir, comment l'infini se crée tout a coup, car la tangente d'un angle de 90 deg est a jamais parallèle au rayon, et la moindre inclinaison de rayon, lui permettrait de rencontrer ce rayon, a une distance quelconque.

Le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle obtus, ou plus étendu que 90 deg ne se considèrent que comme ceux de son supplément.

[Sur un morceau de papier libre]

Toute fonction se compose des quantités constantes, et d'autres que l'état de la question soumet à certaines variations.

La base de l'exponentiel, peut être fixe ou constante, et l'exposant indéterminé.

La base de l'exponent[ielle] Peut être déterminée, ou constante, et l'exposant variable ou indéterminé.

C'est la quantité indéterminée sur laquelle on opère la différentielle, ….. ce que devient la différence quand la variable est inf[inimen]t petite.