[Brouillon] Prima Calculi Magnitudinum Elementa demonstrata in additione et subtractione, usuque pro ipsis signorum + et -

(1) Explicatio vel definitio: a, b aut aliae notae quamvis magnitudinem designant. Et magnitudo exprimitur per Numerum cuius unitati respondet mensura, quae magnitudinem constituit toties repetita, quoties unitas in numero habetur.

(2) Expl. Defin. a=b, significat, ipsi a aequale esse b, seu ipsi a, ubique substitui posse b, salva magnitudine. Talis propositio solet dici aequatio.

(3) Axioma: a=a

(4) Theorema: Si a=b sequitur esse b=a.

Nam quia (per 3) a=a. Ergo pro priore a in haec aequatione substituendo b, quod fieri potest (per 2) quia (ex hyp.) a=b

Nam quia a=b (ex hypothesi). Ergo pro a (per 2) substitui potest b. Substituatur ergo b loco priore ipsius a, in aequatione a=a (vera per axiom 3) fiet b=a. Quod erat demonstradum.

(5) Theor. Si a=b et b=c erit a=c, vel ut vulgo enunciant: quae sunt aequalia uni tertio, aequalia sunt inter se. Nam quia a=b (ex hypothesi priore) poterit in ea pro b substitui (per 2) aequale (ex hyp. posteriore) c, et ex a=b fiet a=c. Q.E.D.

ADDITIO

(6) Si ponantur magnitudines a et b, ut inde fiat una magnitudo m quae vocatur summa, sic scribetur: +a+b=+m, ac m vocatur totum, sed a et b sunt partes. Et + vel plus erit signum additionis, erit cum … signum positionis, id est si positio det. cum aliis additionis, … alia autem inter se a, b, m homogenea dicuntur. Idem est in pluribus ut si +a+b+c=m.

[Scholium quos iis …+0 Intelligendum hic quantitates esse veras non nihilo minores, quo magnitudinem non augent. Oportet scilicet hoc loco omnes eodem esse signo affectas ut … per additiones partes sunt totum constituentes.

(7) Theorem +a+b=+b+a. Patet ex 6 quia ibi nihil refert, quo ordine collocentur, sufficit unum cum alio poni.

(8) Explic.: Saepe +a+b=a+b seu solet signum + omitti et sub intelligi initio atque ita a+b=+a+b

Explic: Signum + omni notae magnitudinis signo carent magnitudines sine signo sumtae praefigi potest, aut praefixum intelligi. Sed initio saepe omitti solet, itaque a=+a et a+b=+a+b. Hinc et ++a=+a ut si f=+a ponatur f=+a, fiet +f=+a sed +f= [espace vide dans le texte] Nam +a=f […illisible] fiet a=+a=f (ex hyp.. b) =+f=++a.

(9) Explic. 0+a=a. Seu 0 est signum nihili, quod nihil addit.

(10) Theor. Si aequalibus addas aequalia, fiunt aequalia. Seu: si sit a+b l, et b=m erit a+b=l+m. Nam a+b=a+b (per 3) itaque in altero posteriore a+b pro a ponendo l (ex hyp. priore) et pro b ponendo m (ex hyp. posteriore) quod licet (per 2) utique ex a+b=a+b fiet a+b=l+m. Q.E.D.

SUBTRACTIO

(11) +b-b=0 Explic. +a-a=0 seu signum minus Seu - signum denotans significans minus vel subtractionem significat id quod positum fuit rursus tollendo perinde esse ac si fact actum esset nihil. Si quid aliud adest, residuum appellatur.

(12) Theor. Si ab aequalibus auferas aequalia, residua sunt aequalia. Seu: si sit a=l et b=m erit a-b=l-m. Nam a-b=a-b (per 3) in posteriore pro a ponatur l (ex hyp. 1) et pro b ponatur m (ex hyp. 2). Ergo ex a-b=a-b fiet a-b=l-m. Q.E.D.

(13) Theor. Si a quantitatibus duabus auferas aequalia, et residua sint aequalia, ipsae quantitates sunt aequales. Seu: si sit a-b=l-m et b=m erit a=l. Nam si aequalibus a-b=(ex hyp. 1) l-m addas aequalia b et m (ex hyp. 2) b et m, nempe priori b posteriori m, fient (per 10) aequalia a-b+b=l-m+m, id est (per 11) a=l. Q.E.D.

(14) Theor. Si ab aequalibus auferas duas quantitates et residua sint aequalia; erunt quantitates aequales: seu si sit a-b=l-m et sit a=l et a-b=l-m; erit b=m. Nam a-b=l-m (per hyp. 2). Ergo addendo utrobique aequalia b+m et b+m fient (per 10) aequalia a-b+b+m=l-m+b+m. Ergo (per 11 junct. 7) a+m=l+b Ergo (per 12) m=l a quibus aequalibus si auferuntur aequalia a et l (per hyp. 1) auferantur fient (per hyp. 12) residua aequalia, m=b. Q.E.D.

(15) Theor. Si a=b+e erit a-b=e. Nam ab utroque aequalium auferendo b fient aequalia, a-b=b+e-b, id est (per 11) a-b=e. Q.E.D.

(16) Si a=-b erit b=-a. Nam a=-b (ex hyp)

Theor. Si a=-b erit b=-a.

Nam quia a=-b (ex hyp.). Ergo (per 10) addendo aequalibus istis aequalia b et b (per 3) fient (per 10) aequalia: a+b=-b+b. Ergo (per 11) a+b=0 seu (per 15) a+b=0 a=0-b, seu (per 7) a=-b. Q.E.D.

(17) Theor. -a - \(\overline{-a} \) =0. Nam -a sit f. Ergo ex hypothesis -a -- \(\overline{-a} \) fiat f-f=0. Nam -a sit = f jam (per 3) f-f=0. Erit

Nam -a designetur per f. Seu sit -a=f, jam f-f=0 (per 3). Ergo pro f ponendo aequale ipsi (ex hyp) -a fiet -a - -a=0. Q.E.D.

(18) Theor. - -a =+a Nam -a - -a=0 (per 17) et 0=-a+a (per 11). Ergo (per 5) -a- -a=-a +a. Ergo Unde utrobique addendo a fient (per 10) aequalia +a-a - -a= -a+a+a. Unde (per 11) –a=a Q.E.D 0- -a=0+a. Seu (per 9) - -a=+a Q.E.D.

[crossed text, substituted with 19, 20 below]

(18) Theor. Addenda ascribuntur signis retentis. Sit f cui addi debet a-b fiet f+a-b. Sit a-b=e. Ergo si ad f addi debet e, fit f+e (per 6). Ergo pro e substituendo valorem a-b (per 2) qui est a-b (ex hyp.) fiet f+a-b Q.E.D (19) Adde subtrahenda ascribuntur signis mutatis, + in – , vel – in + At f cui detrahi debet a-b fiet f-\(\overline{a+b} \)\( f-\overline{a-b} \)=f+a-b. Nam \( f-\overline{a-b} \)= f-a- -b et (per

[stop crossed text]

(19) Theor. -+a=-a aut +-a=-a. Patet ex 8 ex 8.

(20) Theor. In omni aequatione licet membrum abjicere ab una parte et signo contrario affectum ponere in altera. Sit f+a-b=h. Dico fore f=h-a+b. Nam in aequantione (ex hypoth. vera) f+a-b=h addatur utrobique -a+b, fiet unde f+a-b-a+b=h-a+b, id est (per 11) f=h-a+b. Q.E.D.

(21) Explic. Quod de toto sub formula sub vinculo comprehensa significatus, intelligendum est, de singulis membris vinculo inclusis ut –(a-b) significat -a- -b vel –\(\overline{a-b} \) significat -a- -b.

(22) Theor. Addenda ascribuntur signis retentis, seu sit f+(a-b)= (per 21) f+a-b. Nam f+(a-b) = f+a+-b= (per 20) (per 19) f+a-b.

(23) Subtrahenda ascribuntur signis mutatis + in -, et – in +, seu f-(a-b)=f-a+b. Nam f- (a-b)= (per 20) f-a- -b= (per 18) f-a+b Q.E.D.

[crossed text]

(22) Explicatio: positiva est quantitas, quae purgata potest a signo, dum unitatibus]. Formula positivam quantitatem designat, si explicando omina notas quod fit destruendo affecta hoc signo per abjcutionem ipsius per ipsorum parites ei mole aequalium affectorum signo + tandem maneat …??? Sin tandem

(23) In omni aequatione licet, membrum abjicere ab una parte, ut signo contrario affectum ponere in altero. Sit f+a-b=h, dico fieri posse f=h-a+b. Nam [illisible] utrobique a-b fit f+a-b [illisible…] Nam addendo utrobique -a+b in aequatione h=f+a-b=h (ex hyp. vera) fiet f+a-b= -a+b=h-a+b=f+a-b-a+b id est (per 11) h-a+b=f. Q.E.D.

[End crossed text]

Aliter: Sit a-b=e, aio esse -e=-a+b seu f-e=f-a+b. Nam f-e=f-e. Nam f Nam f+e-e=f (per 11) f+e-e=f. +e-e=+a-b-a+b (per 11). Ergo ab aequalibus tollendo aequalia, illinc +e, hinc +a-b restabunt (per 12) aequalia -e et -a+b. Q.E.D.

(24) Explic. … formula significat quantitatem positivam. Explic. Si explicando notas formulae per res ipsas, verbi gratia per lineas rectas sibi addendas vel subtrahendas purgari potest a sig, et semper destruehendo signo – affectum (verb. gr. -b) per aequalis molis signo + affectum, (nempe +b); remaneat in formula vel ei aequivalente se, ex gr. linea affectum signo + fit quantitas positiva; sin minus privativa, seu nihilo minore. Hoc est talis ut ad ipsam addenda sit ipsius moles, quo fiat nihil. Nempe quia (per 11) si ad -a addas a fit 0.

Scholium. Inspiciantur figurae ius, ubi in priore progressus fit per lineam rectam f et huic in directum adjectam rectam a, regressus autem per puncta designatus ab extremo adjectae a, in eadem recta totali f +a fit per rectam b, ita in recta f+a remanet e adeoque est f+a-b=+e. In posteriore progressus fit ut ante, sed regressus in eadem f+a per ipsam rectam d majorem quam f+a, et excedentem quantitate g. Unde talis progressus est falsus sive putativus, et qui sic progredi se putat revera regressus est quantitate sue mole g. et est f+a-d=-g. Itaque signum + designat progressum, signum – regressum.

Scholium Caeterum autem in definitione totius et partis expressa adda?? etiam ad maius minusque pertinens nempe. Aut a, b, f etc. sint hoc loco quantitates positivas necessaria est, aliqui si fiat a+b=m non sequitur m esse maius quam a vel b, aut b … esse partes ipsi m, etsi sint membru formules quali ipsi m; nam fieri potest ut b (verbi gratia) sit revera quantitas negativa aequalis ipsi -d, posita d esse positivam et tunc a exprimente positiva, pro a+b=m, fient a-d=m unde partes a fore maius quam m, tantum abes, ut possit esse eius pars.

Exempli causa sit formula f+a-b, cogitemus lineae rectae f addi in directum lineam rectam a, et a' summa detrahi lineam rectam b ab extremo incipiendo detrahi detrahi rectam b. Hic patet in ipso f+a sumi posse +b seu f+a esse aequale ipsi b cum aliquo excess e si plu qui vocetur e, habebimus f+a= b+e et pro f+a-b scribemus b+e-b. Ita in f+a invenimus +b, quod est mole aequale ipsi -b, et ipsi compar. Et cum ipso destruitur, ut restet +e itaque f+a-b erit =e, quod e aequale totos formualae est quantitas positiva. Sed si destructionibus istis nihil remaneat succedat destructio succedat quidem nihil tamen remaneat, erit f+a-b=0. Demo si non possint omnia detrahi, quae in mole ispius b continentur tunc id quod superest adhuc detrahendum, solum remanet in formula affectum signo - et cum id ultimum … toti fore mula ??? f=a-b solet. Nempe si recta subtrahenda esset majus quam f+a tunc detrahi non potest nisi pro parte dum ins a recta repohi?? Poterit, in duas partes et addendam aequalem ipsi f+a addendam … et pro -d scribetur, v…tur ?? nempre -g-f+a-a per pri?? f+a-d scribetur f+a-f-a-g=-g. Unde -g, quoi toti formuale f+a-d aequatum erit quantitas privatium, seu nihilo minor, adeo ut demum addendo +g, fiat nihilum. Ex lineis subjectis patet additionem concipi posse ut progressum, subtractionem ut regressum et minus nihilo regression… cuis ipsis adeo non progressus post totam operationem deprehenditur ut potius regressus… no datum unde … putativus … progressus … unum regressum seu quantitas putativa

(25) Defin. Si sibi a+b=f et sint a, b, f quantitates positivae; dicetur f totum, et a, b dicetur partes. Idem est si sint plura, ut a+b+c=f.

(26) Defin. Minus est quod aequale est parti alterius nempe majoris verb. gr. Sit f=a+b et g=a dicetur f maius et g minus.

(27) Theorem Pars est minor toto, vel totum est majus sua parte. Sit a+b=f, erit a misu quam f. Nam a aequale est ipsi a (per 3) jam quod aequale ipsis a est minus quod a+b sue quam f (per 26). Ergo a est minus quam f. Q.E.D.

[crossed]

(26) Maius majore est majus minore. Sit a⌈b et b⌈c erti a⌈c. Nam quia a⌈b (hyp. 1) erit (per 24) a=b+l et quia (hyp. 2) b⌈c erit (per 24) b=c+m qui valor ipsius b substituatur (per 2) in aequ. jam inventa a=b+l, fiet a=c+b+m, ergo (per 24) a⌈c. Q.E.D.

[stop crossing]

(28) Theor. Duo homogenea sunt aequalia si alterum altero nec minus sit nec majus. Nam si sint homogenea sunt ergo (per 27) unum eorum ab altero se… subtractum aut reliquit nihili, quo facto erunt aequalia (per 11), (per 11) aut aliquid se … minus, aut se majus, quid posito ad … subtrahiri potest utraque modo… erit eo aequo subtractione et eam parti … sita equale. aut aliquid (se rursus minus vel maius) et id quod subtrahitur est minus (per 20) Q.E.D.

(29) maius quantitate est maius aequali quantitatis seu si a⌈b et b=f erit a⌈f. Nam in enunciatione a⌈b (vera ex hyp. 1) pro b substituatur (per 2) aequalis (hyp. 2) f et in a⌈b fiet a⌈f.

(30) Theorema: Maius majore est majus minore, seu si a⌈b et b⌈c erit a⌈c. Nam quia a⌈b (hyp. Q) erit (per 26) a=b+l. Et quia (hyp. 2) b⌈c erit (per 26) b=c+m, qui valor ispius b substituatur (per 2) loco ipsius b in aequ. inventa a=b+l et fiet inde a=c+m+l. Ergo (per 26) a⌈c. Q.E.D

(31) Problema Invenire b medium arithmeticum inter a et c id est ita ut b tanto sit majore a minus quanto est eorum altero minus majore c majus.

Constructio Addantur in unum a et c et summae dimidium erit b quaesitum. Nam quia (ex hyp. Constructionis) b est dimidium ipsis a+c; erit duplum b aequale duabus … est toti a+c, f, a+c=b+b. Ergo (per 20) a-b=b-c, id est […] differentia extremorum a medium b, aequales sive excess a super b aequatur excessui b super c. Q.E.D.