(1) Explicatio, vel definitio: a, b aut aliae notae quamvis magnitudinem designant. Et magnitudo exprimitur per numerum cuius unitati respondet mensura, quae magnitudinem constituit toties repetita, quoties unitas in numero habetur.

(2) Defin. a=b, significat, ipsi a aequale esse b, seu ipsi a, ubique substitui posse b, salva magnitudine. Talis proportio solet diri aequatio.

postulatus quam libet quantitatem ex formula quantitatem compos utcumque composita formata exprimere simplice nota

Definitiones vel explicationes Definitio. Magnitudo est quod exprimitur per numerum partium designatur determinatarum sic orgyiae (klafter) magnitudo exprimitur per numerum sex pedum vel (quia pes 12 pollicum est) per numerum 72 pollicum. Ulnae vel cubiti magnitudo exprimitur per numerum unius pedis et maius dimidii pedis. Vel per unum pedem et sex pollices.

(1) Magnitudo est quod in re exprimitur per numerum partium determinatarum. Scholium: Ex. gr. orgyiae (quantum homo brachia extendere potest) magnitudo censetur exprimi numero sex pedum vel (quia pes 12 pollicum est) per numerum 72 pollicum. Ulnae vel cubiti magnitudo per numerum unius et dimidii pedis vel per unum pedem et sex pollices.

(2) Explicatio characteristica (definitio)/ Explicatio [illisible]

a, b, signi et similes notae significant numeros magnitudinem rerum exprimentes sive certes ?, sed ?? incognitas vel dissimul ?? sive incertos ??? qui scilicet ipsis debent assignari, posito aliquam esse rem, cui unitas assignetur, quam mensuram appellamus. ??? si pedi assignetur unitas, orgyia assegnetur 6 pedis ??? … idem …facit quod 6 pedes six pollici assignatur, orgyia assignabitur 72 seu orgyia facit 72 pollici. Priore …?... pes, posteriore pollex … mensura… . Scholium: sit pes p, pollex π, erit orgyia orgyia a, cubitus c p erit 12 π, a erit 6p vel 72 π, Cubitus c erit 1p +1/2p vel 3/2p vel 1p+6 π vel 18 π. Hinc si p (pes) sit mensura vel si ei assignetur unitas a orgyia erit 6, cubitus c erit 3/2, erit 1/12; sin (pollex sit mensura vel unitas) pes p pes erit 12, cubitus c erit 18, orgyia a erit 72. Si L sit latus quadrati sit p diagonalis sit et, diag diagonalis erit ut √2 l √2 vel si latu si l sit 1 d erit √2. Homogenea inter se sunt, quorum magnitudines eadem mensura pro unitati sumta per numeros exprimi possunt.

(3) Definitio. Mensura est res cui unitas assignatur ut aliis … (mot: integri?) numeri convenientes assignari possint // erit mensura. Sic si pes sit mensura, cubiti numerus cubiti magnitudinem exprimens erit fractus nempe 1+1/2 seu 3/2 qui esset integer 18 si pollex mensura foret. Interduo numerus rei assignandus nec integer est nec fractus, sed surdus, ut si quadrati latus sit mensura seu diagonalis linea magnitudo erit exprimatur numeros 1. … constat linea diagonalis magnitudinem exprimi per , id est ope per numeri qui per se ipsum multiplicatus def 2.

(3) Definitio Aequalia sunt quorum unum alteri substituti posset salva magnitudine. Et ita designatur a=b, id est ipsi a ubique substitui potest b in magnitudinum calculo, et talis enuntiatio dicitur aequatio vel pes = 12 pollices. Numerus ½ = in lineis u velut in numeris ½=3/6 in lineis pes =12 pollices vel p=12 π areis quadratum super […] hypothenusa trianguli … aequale quod …. duplo quadrato super…{cateti} unde pollicem definiens per π, fiet p=12 π et pedem per p fiet p=12 π

(4) Axioma: a=a

(5) Theorema: Si a=b sequitur esse b=a. Nam quia a=b (ex hypothesi) ergo pro a (per 3) substitui potest b. Substituatur ergo b loco priore ipsius a in aequatione a=a (vera per axiom 3) fiet b=a. Quod erat demonstradum.

(5) Theor. Si a=b et b=c erit a=c, vel ut vulgo enuntiant: quae sunt aequalia uni tertio, aqualia sunt inter se. Nam quia a=b [ex hypothesi priore] poterit in ea (per 3) pro b substitui (per 3) ipsi b pro b ipsi aequale (ex hyp. posteriore) ipsi c, et ex a=b fiat a=c. Q.E.D.

(6) Defin. Si ponantur magnitudines a et b, ut inde fiat una magnitudo m quae vocatur summa, sic scribetur: +a+b=+m Si ex pluribus magnitudinibus simpliciter positis ut a, b ex hoc ipso fiat nova ipsis homogenea, ut m, operatio erit dicetur Additio, nova aequatio dicetur summa et representatio erit talis +a+b=+m. Et + vel plus erit signum additionis (id est simplicis positionis). Idem est in pluribus ut si +a+b+c=m. Schol.: res scilicet redit ad simplicem additionem numerorum, per quos scilicet ob eandem rerum pro unitate positam magnitudines exprimuntur.

(7) Theorem +a+b=+b+a. Patet ex 6 praecedenti quia ibi nihil refert, quo ordine collocentur, sufficit unum cum alio poni.

(8) Explic. Signum + omni notae magnitudinis sine signo sumtae praefigi potest, aut praefixum intelligi. Sed initio saepe omitti solet, itaque a=+a et a+b=+a+b. Hinc et ++a=+a, ut si ponatur f=+a, fiet a=+a=f (ex hypot. b) =+f=++a.

(9) Explic. +0+a+a. Seu 0 est signum nihili, quod nihil addit.

(10) Theor. Si aequalibus addas aequalia, fiunt aequalia. Seu: si sit a+b l, et b=m erit a+b=l+m. Nam a+b=a+b (per 3) itaque in altero a+b pro a ponendo l (ex hyp. priore) et pro b ponendo m (ex hyp. posteriore) quod licet (per 2) utique ex a+b=a+b fiet a+b=l+m. Q.E.D.

(11) Explic. a-a=0. Seu

(11) Ab a subtrahere b significat in magnitudine, in qua ponitur a, sumere aequalem ipsi b, eamque tollere, ideque indicatur scribenduo: a-b vel +a-b. Hinc si in magnitudine, in quo est a, nihil aliud esse ponantur qua… intelligatur quam a b restat nihil, adeoque a-a+0 +b-b=0 [si a-b+0 erit a+b. Nam si a-b=0 erit a-b=b-b sed -b=-b. Ergo per 13 a=b. si a=b erit].Et - (signum denotans minus vel subtractionem) significat id quod positum fuit vel ei aequale, seu uno verbo, qua eius quantitatem positam, rursus tollendo, perinde esse quoad magnitudinem sublatam ac si ponendo eam, et rursus tollendo actum esset nihil. Si quid aliud adest, residuum appellatur.

(12) Theor. Si ab aequalibus auferas aequalia, residua sunt aequalia. Seu: si sit a=l et b=m erit a-b=l-m. Nam a-b=a-b (per 3) in posteriore pro a ponatur l (ex hyp. 1) et pro b ponatur m (ex hyp. 2). Ergo ex a-b=a-b fiet a-b=l-m. Q.E.D.

(13) Theor. Si a quantitatibus duabus auferas aequalia, et residua sint aequalia, ipsa quantitates sunt aequales. Seu: si sit a-b=l-m et b=m erit a=l. in omni aequatione ubicuique? licet, quod est utrobique? Nam si aequalibus a-b=(ex hyp. 1) l-m addas aequalia (ex hyp. 2) b et m, nempe priori b posteriori m, fient (per 10) aequalia a-b+b=l-m+m, id est (per 11) a=l. Q.E.D.

(14) Theor. Si ab aequalibus auferas duas quantitates et residua sint aequalia; erunt quantitates aequales: seu si fit a=l et a-b=l-m; erit b=m. Nam a-b=l-m (per hyp. 2). Ergo addendo utrobique aequalia b+m et b+m fient (per 10) aequalia a-b+b+m=l-m+b+m. Ergo (per 11 junct. 7) a+m=l+b a quibus aequalibus si aequalia a et l (per hyp. 1) auferantur fient (per hyp. 12) residua aequalia, m=b. Q.E.D.

(15) Theor. Si a=b+e erit a-b=e. Nam ab utroque aequalium auferendo b fient aequalia, a-b=b+e-b, id est (per 11) a-b=e. Q.E.D.

(16) Theor. Si a=-b erit b=-a. Nam quia a=-b (ex hyp.). Ergo addendo aequalibus istis aequalia b et b a et a b et b (per 3) fient (per 10) aequalia: a+b=-b+b. Ergo (per 11) a+b=0 seu (per 15) b=0-a, seu (per 9) a=-b b=-a. Q.E.D. ostendendum ut si a=b esse -a=-b sequitur aeq(uatio) 1. Seu si -a=-b sequitur a=b

(17) Theor. \(-a - \overline{-a}=0\). Nam -a sit f. Ergo ex hypothesis -a - \( \overline{-a}=0\) fiat f-f=0. Nam -a sit = f jam (per 3) f-f=0. Erit Nam -a designetur per f seu sit -a=f. Iam f-f=0 (per 3). Ergo pro f ponendo aequale ipsi (ex hyp) -a fiet -a - -a=0. Q.E.D.

(18) Theor. - -a =+a Nam -a - -a=0 (per 17) et 0=-a+a (per 11). Ergo (per 5) -a- -a=-a +a. Ergo Unde utrobique addendo a fient (per 10) aequalia +a-a - -a= -a+a+a. Et proinde (per 11) -a=a Q.E.D. 0- -a=0+a. seu (per 9) - -a=+a Q.E.D.

(19) Theor. -+a=-a aut +-a=-a. Patet ex 8.

(20) Theor. In omni aequatione licet membrum abjicere ab una parte et signo contrario affectum ponere in altera. Sit f+a-b=h. Dico fore f=h-a+b. Nam in aequantione (ex hypoth. vera) f+a-b=h addatur utrobique -a+b, fiet inde f+a-b-a+b=h-a+b, id est (per 11) f=h-a+b. Q.E.D.

(21) Explic. Quod de formula sub vinculo comprehensa significatus, intelligendum est, de singulis membris vinculo inclusis ut –(a-b) –(+a-b) vel \( - \overline{+a-b} \) significat -a- -b –(+a)-(-b) seu (per 8) -a- -b id est (per 18) -a +b.

(22) Theor. Addenda ascribuntur signis retentis, seu f+(a-b)= (per 21) f+a-b. Nam f+(a-b) = f+a+-b= (per 19) f+a-b.(23) Theor. Subtrahenda ascribuntur signis mutatis + in -, et – in +, seu f-(a-b)=f-a+b. Nam f- (a-b)= (per 20) f-a- -b= (per 18) f-a+b Q.E.D. Aliter: Sit a-b=e, aio esse -e=-a+b seu f-e=f-a+b. Nam +e-e=+a-b-a+b (per 11). Ergo ab aequalibus tollendo aequalia, illinc +e, hinc+a-b restabunt (per 12) aequalia -e et -a+b. Q.E.D.

(24) Explic. Si explicando notas formulae per res ipsas, verbi gratia per lineas rectas sibi addendas vel subtrahendas; evanescat tandem subtractio, vel signum –, ita ut semper destruendo id quod est signo – affectum (verb. gr. -b) per aequalis molis signo + affectum, (nempe +b); tandem nihil aliud remaneat in formula vel ei aequivalente se, ex gr. Linea, quam quod sit affectum signo +: Tunc tota formula dicitur designare quantitatem positivam; sin contra(e) postemo signum + evanescat, remanente -, tunc formula denotat quantitatem privativam seu nihilo minorem hoc est, talem, ut ad ipsam addenda sit ipsius moles, quo fiat nihil. Nempe quia (per 11) si ad -a addas a fit 0. Exempli causa si esset +e+b-b et literas omnes significarent quantitates positivas, formula f+a-b, et esset f+a=e+b et hae literae omnes forent quantitates positivae, resultat quae explicatae per res, nullum in ultima resolutione deprehenderetur continere signum -, patet f+a-b significare +e. Nam in hac formula per f+a, substituendo e+b fiet e+b-b id est e. Sic esset Contrarium esset si in ultima resolutione nullum remaneret signum +, ut si esset formula f+a-d, et esset d=f+a+g tunc f+a-d significabit -g. Nam pro -d in fromula f+a-d substituendo valorem fiet f+a-f-g, id est -g. Hinc patet quando duae quantitates signis contrariis affectae conjuguntur semper alterutrum signorum penitus posse tolli per explicationem unius quantitas, quatenus contient alteram quantitatem (vid. 11). Patet etiam ut formula f+a-d (quae quantitatem privativam -g significat) fiat nihil, addi debere g (seu +g, ejusdem molis cum -g, sed affectum contrario signo) seu esse f+a-d+g=0, quia f+a-d=-g; iam -g+g=0 vel resolutione resumta f+a-d=f+a-f-a-g. Ergo f+a-d+g=f+a-f-a-g+g, ide est 0. Scholium. Inspiciantur figurae duae, ubi in priore progressus fit per lineam rectam f et huic in directum adjectam rectam a, regressus per puncta designatus ab extremo adjectae a in eadem recta totali f +a fit per rectam b, ita in recta f+a remanet e adeoque est f+a-b=+e. Scholium. Inspiciantur figurae duae, ubi in priore progressus fit per lineam rectam f et huic in directum adjectam rectam a, regressus autem (per puncta designatus) ab extremo adjectae a, in eadem recta totali f +a fit per rectam b, ita in recta f+a remanet e adeoque est f+a-b=+e. In posteriore progressus fit ut ante, sed regressus in eadem f+a fit per ipsam rectam d majorem quam f+a, et excedentem quantitate g. Unde talis progressus est falsus sive putativus, et qui sic progredi se putat revera regressus est quantitate sue mole g. et est f+a-d=-g. Itaque signum + designat progressum, signum – regressum, et quod in lineis idem in aliis augmentis et decrementis intelligi potest velut in accepto et expenso.

(25) Defin. Si sit a+b=f et sint ipsorum a, b, f, quantitates positivae, dicetur f totum et a, b, dicentur partes. Idemque est, si sint plura, ut a+b+c=f. Requisitur igitur, ut quantitates sibi addi, adimive possint, simulque ut sint positivae.

(26) Defin. Minus est, quod aequale est parti alterius nempe majoris verb. gr. sit f=a+b et g=a dicetur f majus et g minus et scribentur f⌈g et g⌉f. Scholium Caeterum cautio in definitione totius et partis expressa, adeoque etiam ad majus minusque pertinens, nempe ut a, b, f, etc. sint hoc loco quantitates positivae, necessaria est, alioqui si fiat a+b=m non sequisitur m esse majus quam a vel b, aut haec esse partes ipsius m, esti sint membra formulae aequalis ipsi m; nam fieri potest, ut b (verbi gratia) sit revera quantitas negativa aequalis ipsi -d, posito d esse positivam, et tunc a existente positiva pro a+b=m, fieret a-d=m. Unde patet a fore majus quam m, tantum abest, ut possit esse ejus pars.

(27) Theor. Pars est minor toto, vel totum et majus sua parte. Sit a+b=f, erit a minus quam f. Nam a aequale est ipsi a (per 3) jam quod aequale ipsi a est minus quam a+b seu quam f (per 26). Ergo a est minus quam f. Q.E.D.

(28) Defin. Homogenea vel comparabilia sunt quorum unius quantitas ab alterius quantitate semel aut saepius subtrahi potest, ut subtractum relinquat nihil aut aliquid se minus.

(29) Theor. Duo homogenea tunc sunt aequalia, si alterum altero nec minus sit nec majus. Nam homogenea sunt (ex hypoth.) ergo (per 28) quantitas unius eorum ab alterius quantitate semel subtracta aut relinquit nihil, quo facto erunt aequalia (per 11) aut relinquit aliquid, (se rursus minus vel majus) et is cujus quantitas subtrabitur est minus (per 26) Q.E.D. et tunc parti ejus aequo subtractio facta est, aequale erit (vid. 11) adeoque erit minus. Q.E.D.

(30) Theorema: Maius majore est majus minore. Seu si a⌈b et b⌈c erit a⌈c. Nam quia a⌈b (hyp. 1) erit (per 26) a=b+l. Et quia (hyp. 2) b⌈c, erit (per 26) b=c+m. Qui valor ipsius b substituatur (per 2) loco ipsius b in aequatione inventa a=b+l et fiat inde a=c+m+l. Ergo (per 26) aΓc Q.E.D.

(31) Problema: Invenire b medium arithmeticum inter a et c, id est, ita ut b tanto sit majore a minus quanto est minore c majus. Constructio. Addantur in unum a et c, et summae dimidium erit b quaesitum. Nam quia (ex hypth. constructionis) b est dimidium ipsius a+c, erit duplum b aequale duobus dimidiis, hoc est toti a+c, seu a+c erit aequale duplo b, sive fiet a+c=b+b. Ergo (per 20) a-b=b-c id est, erunt differentiae extremorum a medio b aequales, sive excessus a super b aequatur excessui b super c. Q.E.D.