Première leçon
Notions préliminaires.
L'énergie est la faculté de produire un travail
mécanique.
L'énergie revêt des formes très variées. Par exemple,
soit un mobile de masse m, animé d'une vitesse v :
sa force vive est . Il peut produire un travail,
par ex. soulever un poids p à une hauteur h ; ce
travail sera mesuré par ph. On constate d'autre part
que ce travail est égal à sa demi-force vive :
Cette espèce d'énergie, due à la vitesse acquise,
s'appelle énergie cinétique.
Un autre mode d'énergie est l'énergie potentielle.
Un ressort bandé peut produire du travail en se détendant,
par ex. soulever un poids. Tous les corps élastiques possèdent
une telle énergie : tel est un gaz comprimé par un piston
dans un cylindre : il soulèvera en se détendant les poids
dont on charge le piston.
La chaleur peut communiquer à un corps de l'énergie
potentielle. Si l'on fixe le piston dans une position
2
d'équilibre, et qu'on chauffe le gaz, sa pression augmente
(devient supérieure à la pression atmosphérique) ; si l'on
dégage le piston, le gaz le soulèvera avec les poids
qui le chargent.
On sait qu'il existe une relation entre la chaleur
communiquée au corps et le travail qu'il produit.
Il faut en préciser les conditions. Soit un phénomène
dans lequel un système de corps se trouve isolé :
ces corps peuvent recevoir ou donner de la chaleur,
produire ou consommer du travail. Quand le système
sera revenu à son état initial, il y aura un rapport
constant entre le travail produit et la chaleur absorbée.
Exemple : expérience de Joule. Soit Τ le travail
produit par les poids en tombant ; soit Q la quantité
de chaleur acquise par le calorimètre : le rapport
est constant :
E est l'équivalent mécanique de la calorie (ou de la
chaleur). Dans l’ancien système (kilogrammètre,
grande calorie)
(erg, petite calorie) :
Le frottement est un moyen de transformer d'une
manière continue le travail en chaleur. Expérience
de Tyndall.
3
Parmi les énergies potentielles se rangent les
énergies chimiques, par ex celle de la poudre à canon.
Elle est capable d'effectuer un travail en chassant le
projectile, et son énergie se transforme en force vive.
Les formes précédentes de l'énergie paraissent
localisées dans les corps (ressort bandé, poudre à canon)
de telle sorte qu'ils la transportent partout avec eux.
Voici une autre espèce d’énergie potentielle, toute
différente. Considérons un rayon de soleil (à la fois
lumineux et chaud) qui parcourt 300 000 kilom.
par seconde (sa vitesse CGS est de
La chaleur solaire peut-être emmagasinée par une
chaudière à vapeur, par les végétaux, etc. et produire
ainsi du travail. La lumière solaire peut effecteur
un travail chimique (photographie) équivalent en
fin de compte à un travail mécanique. Supposons
le soleil anéanti en ce moment ; la terre recevra encore
son énergie pendant 8 min. 30 sec. Où est l'énergie
solaire pendant ce temps ? Dans le vide. Un cylindre
de
recevra sa surface de base pendant 1 seconde. C'est
de l'énergie qui voyage.
Pour expliquer ce mystère, ou plutôt pour ramener
4
ce phénomène à un fait connu, on a imaginé un fluide
qui remplirait le vide : l'éther lumineux, et on lui a
attribué précisément l'élasticité nécessaire pour expliquer
la transmission de la lumière, comme l'élasticité de
l'air explique la transmission du son. L'éther n'est donc
rien de réel ; c'est une fiction destinée à assimiler
un fait inconnu à un fait connu et à l'expliquer
d'une manière analogue.
Principe de la conservation de l'énergie
On a vu que le travail est dans un rapport constant
avec la force vive :
et dans un autre rapport constant avec la chaleur :
On a généralisé ces relations entre diverses formes
de l'énergie, et posé en principe (hypothétique) que,
si une certaine quantité d'énergie disparaît sous une
forme, elle doit reparaître sous une autre.
Ce principe n'a rien d'obscur : puisque toute énergie
est une puissance de travail et se manifeste par un
travail mécanique, elle doit se mesurer par le
travail produit. C'est le travail qui assure l'équi-
valence des différentes formes de l'énergie. Ainsi
5
les transformations du travail en force vive, en chaleur,
etc. ne sont que des cas particuliers de ce principe.
Ce principe est une vérité expérimentale,
une affirmation à laquelle certains faits ont donné
naissance, qu'on a généralisée, et qui n'a été
démentie jusqu'ici par aucun autre fait. Mais elle
est à la merci d'une expérience contraire, fort peu
probable d'ailleurs.
Revue et classification
des phénomènes électriques et magnétiques.
1° Il y a d'abord les phénomènes magnétiques bien
connus : l'aimant attire la limaille de fer. Il effectue
donc un travail mécanique. Mais il ne peut en porter
qu'une certaine quantité : quand il est saturé, il n'en
attire plus. Il n'est donc capable que d'un travail fini,
son énergie potentielle s’épuise comme celle d'un ressort
d'étendu. Si l'on dépouille l'aimant de la limaille qui
s'y attache, on lui rend son énergie
tend le ressort.
D'autre part, les aimants exercent les uns sur les autres
des attractions et des répulsions : aiguille aimantée.
C'est une autre espèce de phénomènes magnétiques.
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2° Phéno Il y a d'autres phénomènes magnétiques,
bien plus curieux. Si l'on fait tourner un disque de cuivre
(corps non magnétique, que l'aimant n'attire pas) entre
les pôles d'un aimant (électro-aimant) il s'arrête, et
l'on ne peut le faire tourner qu'avec difficulté (expérience
de Foucault). Il y a donc destruction de force vive (presque
instantanée) et par suite travail. En compensation,
on constate un échauffement du disque. Quand le
système est revenu à l'état primitif, on doit trouver
l'équivalence du travail et de la chaleur.
fait mouvoir l'appareil par des poids dont il mesure
la hauteur de chute, et plonge brusquement le disque
de cuivre dans un calorimètre. Il a ainsi trouvé
pour l'équivalent mécanique de la chaleur le nombre
435 (trop fort, à cause des pertes de chaleur).
Cette expérience est analogue à celle de Tyndall :
l'action de l'aimant est tout à fait semblable au
frottement (qui n'est pas moins obscur au fond). Ce
n'est pas le frottement de l'air : car le phénomène
se produit aussi bien dans le vide. Il semble qu'il y ait
un frottement du disque contre le vide, ou du moins
les effets sont les mêmes (nous ne connaissons pas
nature du frottement dans un cas que dans l'autre).
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Sans doute, l'énergie d'un aimant semble localisée
dans ce corps et l'accompagne dans ses déplacements.
Mais on peut tout aussi bien se figurer l'attraction
de l'aimant sur une molécule comme produite
par un ressort qui serait tendu entre les deux.
On localise ainsi l'énergie magnétique dans le milieu
ambiant, en le conservant comme déformé par
l'aimant à une certaine distance (
l'on s'explique aussi bien par là que l'aimant
transporte partout son énergie. Comme l'énergie
lumineuse et calorifique, l'énergie magnétique
peut donc être localisée dans le vide, et s'expliquer
comme elle par l'élasticité de l'éther.
2° Phénomènes électro-magnétiques
Faisons maintenant tourner entre les pôles d'un
aimant, au lieu du disque de cuivre, une bobine
enroulée d'une certaine manière et formant un
circuit dans lequel est intercalée une lampe à incan-
descence. C'est pour ainsi dire le disque de Foucault
qu'on a étiré en fil, et dont une partie est éloignée
de l'aiment (Machine magnéto-électrique de Gramme).
Dans ce cas la chaleur développée tout le long du fil
produit de la lumière en faisant rougir le fil de la lampe.
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Cette chaleur n'est pas produite par conductibilité :
la lampe peut être à des kilomètres de l'aimant ;
d'ailleurs la chaleur se produit simultanément
et également dans toutes les parties du fil ; la
lumière apparaît et disparaît instantanément.
On dit que ce fil est parcouru par un courant
électrique, et la quantité de chaleur produite est
censée mesurer l'intensité de ce courant. Cette
expression de courant est une métaphore tirée
de l'hydraulique (dans une canalisation d'eau,
on peut tirer de l'eau d'un point
de l'hypothèse d'un fluide électrique. Pour nous,
ce phénomène d'échauffement du fil est un cas
particulier de la conservation de l'énergie.
Le courant électrique se manifeste par d'autres
propriétés. Le fil doit être un métal (comme le disque
de Foucault) conducteur, non
en un corps isolant au diélectrique, comme le soufre.
Sont conducteurs non seulement les métaux, mais
aussi les dissolutions de sels métalliques, que nous
appellerons conducteurs électrolytiques. Dans ces
conducteurs, il se produit une décomposition : par ex
l'eau acidulée du voltamètre se décompose en O
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et H (celui-ci en volume double de celui-là). En général,
un conducteur électrolytique est composé d'un métal
M (en particulier H), et d'un radical (acide) R ;
quand un courant le traverse, il se décompose, le
métal d'un côté et le radical de l'autre. Exemple :
KCl se décompose en K et en Cl.
L'analogie des effets calorifiques et chimiques du
courant semble indiquer que la chaleur est un
travail moléculaire, puisque dans un conducteur
électrolytique la molécule est décomposée.
Un courant électrique produit d'autres effets en
dehors des conducteurs : expérience d'
Le fil de cuivre, sans action sur l'aiguille aimantée,
la fait dévier quand le courant y passe. C'est
encore un phénomène électro-magnétique.
Si l'on met deux machines magnéto-électriques
en communication, et si l'on fait tourner l'une,
l'autre se met à tourner : c'est le même effet que
dans l'expérience d'
Une lampe intercalée dans le circuit ne rougit pas : mais
si l'on arrête la seconde machine, elle rougit aussitôt.
Pour expliquer ce curieux phénomène, il faut
remarquer que la cause du courant est le travail
10
mécanique dépensé à faire tourner la 1 e machine :
on l'appelle (improprement) force électromotrice.
La 2e machine produit du
étant mobile par rapport à l'aimant fixe). Ce travail
est une
le courant : c'est pourquoi la lampe ne rougit que
quand la 2e machine est au repos. En somme, la
dépense de travail effectuée sur le 1 e machine pour
produire le courant se retrouve, tantôt sous forme de
travail mécanique produit par la 2e machine, tantôt
sous forme de chaleur et de lumière dans la lampe.
Soient Q et Q' les quantités de chaleur reçues par
la lampe dans les deux cas ; on a tour à tour :
donc :
c'est pourquoi la lampe ne rougit pas.
3° Phénomènes électriques
Soit un courant ; mettons 2 points alignés A, B
du circuit en communication avec deux plateaux
métalliques très rapprochés M, M' formant ce qu'on
nomme un condensateur. Quand le courant passe,
les deux plateaux s'attirent ; si au contraire ils étaient
reliés au même point du circuit, ils se repousseraient.
11
Ce sont des phénomènes d'un ordre nouveau
(électrostatiques).
Exemple : électromètre de Mascart
creux, les deux opposés étant en communication,
à l’intérieur desquels peut tourner une aiguille
d'aluminium formée de deux secteurs opposés,
suspendue à un fil (ou à deux). Si l'on met les
deux couples de quadrants en communication
avec 2 points d'un circuit, l’aiguille sera
attirée par les uns et repoussée par les autres.
Si l'on renverse le courant, l'aiguille est déviée
en sens inverse.
Dans ces phénomènes se produisent des courants
temporaires, presque instantanés, suivant les fils
AM, BM' ; ils disparaissent dès que les plateaux sont
chargés.
Des 3 ordres de phénomènes que nous venons
d'énumérer, les
anciennement connus, et les plus simples au
point de vue de la représentation mathématique.
Nous commencerons donc par les étudier.
12
2 e leçon
Electricité statique
On connaît l'électroscope condensateur inventé par
On peut charger cet instrument au moyen d'une
machine magnéto-électrique : on met les deux pôles
de la machine en communication avec les 2 plateaux
de l'électroscope, puis on enlève le plateau supérieur :
on voit les feuilles diverger.
Toutes les fois qu'on pourra ainsi charger l'électroscope,
on dira qu'on a une source électrique.
Une autre source est une lame double formée de
cuivre et de zinc soudés bout à bout ; on tient le
zinc à la main, on touche le plateau inférieur avec le
cuivre, et le plateau supérieur avec la main, pour le
mettre en communication avec le sol, et par suite avec
le zinc. On obtient le même effet, plus ou moins fort,
avec d'autres métaux soudés. Ainsi deux métaux en
contact constituent une source électrique.
Les corps isolants (diélectriques) ne deviennent source
électrique que si l'on assure le contact par le frottement,
qui chasse l'air interposé. Mais ces sources sont bien
plus fortes que les précédentes : aussi pour les manifester
n'a-t-on pas besoin d'un appareil délicat et sensible
13
comme l'électroscope : on emploie simplement un double
pendule formé par deux boules de moelle de sureau
suspendues à des fils de cocon : leur divergence révèle
leur électrisation : car les corps électrisés en commun
se repoussent.
C'est ce qu'on voit en frottant avec une peau de chat
un bâton d'ébonite, et en touchant avec le bâton ainsi
électrisé un double pendule : les balles s'écartent, et
le bâton les repousse.
Même expérience avec un bâton de verre frotté avec
un morceau de drap, et un second double pendule.
Mais ces deux mordes d'électrisation sont différents :
car le verre électrisé attire le premier pendule, et
l'ébonite électrisée attire le second.
On en conclut que les corps électrisés par l'ébonite
attirent les corps électrisés par le verre, et inversement ;
de plus, les expériences montrent qu'il n'y a pas
d'autre mode d'électrisation : aucun corps n'attire
ou ne repousse à la fois les deux pendules électrisés
respectivement par le verre et par l'ébonite.
Autre expérience : si l'on frotte l'un contre l'autre
deux plateaux, l'un de verre, l'autre de drap, et qu'on
touche avec chacun d'eux un double pendule, chacun
14
d'eux repousse le pendule qu'il a électrisé et attire l'autre.
Ainsi deux corps frottés l'un contre l'autre s'électrisent
en sens inverse, de sorte qu'on ne peut pas produire l'une
des électricités sans produire l'autre. On les distingue
par les épithètes de positive (celle du verre) et de négative
(celle de l'ébonite). Ces expressions se justifient par ce fait
que les deux électricités ont des efforts géométriques opposés
contraires ou de signe contraire (attraction, répulsion).
Expérience d'Œpinus : Electrisation par influence
(ou par induction, disent les Anglais) d'un cylindre
par une sphère
du cylindre divergent ; mais les deux extrémités ont des
électricités contraires, car un bâton électrisé attire les
pendules de l'une et repousse ceux de l'autre. De
plus, l'extrémité voisine de la sphère a une électricité
contraire à celle de la sphère : car celle-ci attire le pendule
de cette extrémité.
Expérience de Gray : Un fil conducteur très long,
suspendu à des fils isolants, est électrisé à un bout ;
immédiatement on voit diverger le double pendule
suspendu à l'autre bout. Ainsi l'électricité se transmet
à grande distance et presque instantanément le long
des corps conducteurs.
15
Tous ces faits étaient connus dès le siècle dernier.
Pour les expliquer, ou plutôt pour les résumer
et les coordonner, on a imaginé diverses hypothèses.
1° La première hypothèse qui ait prévalu est la
théorie des deux fluides, inventée par Symmer.
Tout d'abord, on a imaginé l’électricité comme un
fluide qui coulait dans les conducteurs, et comme
l'électrisation ne change pas le poids des corps, on
concevait ce fluide comme impondérable
d'une âme dans l'ambre frotté. Nous disons aujourd’hui que le
corps possède une énergie. Thalès entendait par âme une puissance
motrice, une faculté d'agir, ce que nous appelons une énergie. Nous
ne sommes donc pas plus avancés que lui ; les deux expressions ne sont
que des moyens, équivalents au fond, de voiler notre ignorance.
Pour expliquer les deux modes d'électrisation contraires,
on imagina deux fluides distincts : le fluide vitreux ou
positif ; le fluide résineux ou négatif. Et comme on
répugnait à concevoir ces deux fluides comme créés
ex nihilo par le frottement, on admit que les deux
fluides sont mélangés dans les corps à l'état naturel
et composent le fluide neutre. Il s'ensuit que les quan-
tités des fluides contraires dégagées par le frottement
16
doivent être égales : et en fait, les deux plateaux électrisés
en sens contraire par leur mutuel frottement neutralisent
leurs effets :
Enfin, comme on peut électriser indéfi-
niment le même corps, en faisant chaque fois disparaître
l'un des deux fluides (électroscope par
admettre que tout corps a une provision indéfinie de
fluide neutre, de sorte qu'il soit une source inépuisable
de chacun des deux fluides provenant de la décomposition
du fluide neutre.
Cette hypothèse a été très utile à l'Electrostatique,
et fournit encore un moyen commode d'exprimer et de
figurer les faits. Mais elle est invraisemblable : en effet,
la séparation des deux fluides, qui une fois séparés pro-
duisent des effets mécaniques intenses et parfois violents,
n'exige pour ainsi dire aucun travail.
2° Hypothèse de Franklin ou théorie unitaire
de trop, et qu'il suffisait d'admettre un seul fluide, qui
exercerait une action tant sur la matière que sur lui-même.
L’électricité positive serait due à un excès ou à une conden-
sation du fluide, la négative à un déficit ou à une raréfaction.
L'état neutre correspondrait à la quantité normale de fluide
17
que chaque corps contient. Cette hypothèse suffirait à
expliquer, non seulement tous les phénomènes électro-
statiques, mais encore la gravitation universelle. Elle
tient compte en effet de 3 sortes d'actions : Action
de la matière sur la matière ; action de la matière sur
le fluide électrique (et inversement) ; action du fluide
électrique sur lui-même.
obéissent à la même loi, à un coefficient numérique près.
On peut donc considérer toutes les actions comme propor-
tionnelles aux masses gravifiques et électriques des corps.
Considérons deux corps, de masses m et m'.
Soient a et a' les quantités de fluide qu'ils sont censés
contenir à l'état neutre.En désignant par K le coef-
ficient relatif à l'attraction de la matière sur la matière,
k le coefficient relatif à l'attraction de la matière et de
l'électricité, par κ le coefficient relatif à l'attraction
du fluide électrique sur lui-même (c'est une répulsion,
par hypothèse), la somme des 3 actions exercées par
les deux corps l'un sur l'autre sera :
et cette somme doit être égale à l'attraction newtonienne,
18
donc positive (les deux corps étant à l'état naturel).
Supposons maintenant les deux corps électrisés
positivement,
est respectivement α et α'. Leur action totale
l'un sur l'autre sera :
et comme il y a répulsion, cette somme doit être
plus petite que celle qui exprime la gravitation ; car
l'effet sensible
Changeons maintenant le signe de α',
le second corps électrisé négativement ; l'action apparente
des deux corps (attraction) sera la différence (positive) :
Comme ces deux actions sont dues à des quantités égales
d'électricité contraire, elles se détruisent mutuelle ;
donc leur somme doit être nulle :
d'où l'on tire :
On aurait obtenu de même, en changement le signe α :
Cette relation détermine la quantité de fluide électrique
que doit contenir un corps à l'état neutre. Elle
19
permet en outre de simplifier l'expression de la gravitation :
Or l'on connaît le coefficient de mm' dans le cas de la
gravitation (par les expériences de Cavendish, par exemple).
On devra égaler
ainsi une relation entre les 3 coefficients arbitraires.
On peut d'autre part déterminer le coefficient κ par
expérience, en mesurant directement l'action de deux
corps électrisés, qui est égale à
On peut donc supposer entre K et k telle relation qu'on
veut. En particulier on peut supposer, soit
(
soit
cité, et vice versa, est nulle). Aux Dans tous les cas,
on rendra compte de la gravitation. Ainsi l'hypothèse
de Franklin laisse encore un coefficient arbitraire,
qu'elle enveloppe une infinité d'hypothèses différentes.
Elle explique très bien le phénomène de la double
électrisation en sens contraire : le frottement aurait pour
effet de faire passer e la quantité d'électricité α d'un
corps dans l'autre, de sorte que les quantités d'électricité
contraire développées doivent toujours être égales.
Elle rend compte aussi de l’électrisation par influence :
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supposons la sphère électrisée positivement ; en vertu de la
répulsion du fluide sur lui-même, le fluide du cylindre
reflue à l'extrémité opposée, qui sera donc électrisée
positivement, tandis que l'autre sera électrisée
négativement.
Enfin l'hypothèse de
celle de
l'électricité (formulé avec précision par
Si l'hypothèse des deux fluides est commode pour
expliquer les faits électrostatiques, la théorie unitaire
est plus simple quand il s'agit des courants : car l'autre
oblige à concevoir deux courants de sens opposé.
3° Les théories élastiques ont été remises en honneur
récemment par
on ne pouvait concevoir que l'action au contact : d'où
l'hypothèse des tourbillons.
phénomènes astronomiques par l'action à distance
l'hypothèse d'une action à distance parut subversive
et fit scandale, mais elle rendait compte si simplement
et si facilement des lois astronomiques qu'elle prévalut.
apporta une nouvelle confirmation, de sorte qu'elle régna
jusque vers le milieu de ce siècle. Mais, vers 1840,
21
originales et réussit à expliquer une foule de phénomènes
par l'action au contact. Son plus brillant élève,
a fait triompher de nos jours cette manière de voir, en
montrant que les actions à distance peuvent se ramener
à des actions au contact ignorés ou inaperçus.
Soit par exemple un corps de pompe ; on ne sait pas
ce qu'il contient ; mais quand on enfonce le piston et
qu'on l'abandonne ensuite, on constate qu'il remonte.
On peut expliquer ce fait par une répulsion du piston
pour le fond du corps de pompe : c'est l'hypothèse la
plus simple, et elle sera vérifiée par l'expérience, car tout
se passe en effet comme si elle était vraie. Et pourtant,
si l'on sait que le corps de pompe contient un gaz, il
sera naturel d'expliquer cette répulsion du piston par
l'état contraint du gaz comprimé,
analogue à celle d'un ressort qu'on presserait entre le
piston et le fond. Ainsi toute action à distance
s'expliquer par une modification ou une déformation du
milieu qui remplit l'intervalle et sert d'intermédiaire.
Pour résumer en deux mots l'hypothèse de
le siège des phénomènes électriques ne serait pas la matière
des corps électrisés, mais l'éther luminifère. Lorsqu'des
22
corps est électrisé, l'éther ambiant passe de l'état naturel
à l'état contraint. Cet état peut correspondre à un
déplacement : si l'on conçoit l'éther comme incom-
pressible, on peut imaginer que
l'éther se déplace en bloc du corps
électrisé négativement vers le corps
électrisé positivement. On voit que cette hypothèse concorde
au fond avec celle de
inconnu qui quitte le premier corps pour envahir l'autre,
c'est l'éther. Pour expliquer le détail des phénomènes
électrostatiques, il suffit de préciser les propriétés élastiques
de l'éther, et, puisqu'elles sont arbitraires, de les choisir
de telle sorte qu'elles rendent compte des faits observés.
Pour pousser plus loin l'étude de ces phénomènes,
il faut procéder à des expériences quantitatives,
mesurer les forces électriques qui entrent en jeu.
Nous allons traiter, plus généralement, de la mesure
des forces constantes.
Il y a deux méthodes pour mesurer les forces : au moyen
de leurs effets statiques
(mouvement).
1° Méthode statique. L'instrument le plus commode et
le plus employé est la balance. On applique la force à mesurer
23
à l'une des extrémités du fléau (verticalement) et on lui
fait équilibre avec des poids dans l'autre plateau. Soit
m la masse totale de ces poids, g l’accélération de la
pesanteur au lieu de l'expérience ; on aura la force F
par la formule :
m étant évalué en grammes, g en centimètres, la
valeur de F sera exprimé en dynes.
On construit aujourd'hui des balances sensibles au 20 e
et même au 50 e de milligramme. Toutefois, pour que
la mesure d'une force soit
force soit au moins d'un ou deux milligrammes.
Le défaut de la balance est la lenteur des opérations.
Pour abréger les pesées, au lieu de s'efforcer d'obtenir
l'équilibre du fléau dans la position horizontale, on
la laisse prendre une position d’équilibre oblique, et
l'on mesure l'angle d'écart α. On sait que c'est le
poids π du fléau qui fait équilibre à l'excès de poids
f de l'un des plateaux. Soit a la distance du centre
de gravité du fléau au point de suspension, l la
longueur du bras de fléau ; la condition d'équilibre
est :
d'où l'on tire :
On ajoutera l'excédent f ainsi obtenu à F.
24
Une autre espèce d'appareil, imaginé par Gauss,
est le système ou la suspension bifilaire. Deux fils
fins, égaux et parallèles, de longueur l, soutiennent
un barreau de masse m ; leur distance est 2a.
Le barreau est en équilibre quand les deux fils sont
parallèles : si on l'écarte de cette position, il y revient
en oscillant, sous l'influence de la pesanteur, qui
est la force antagoniste : en effet, quand on écarte
le barreau, on relève son centre de gravité, parce que
les fils deviennent obliques. Soit la
hauteur dont le centre de gravité a monté :
pesanteur effectue un travail négatif dont la
valeur absolue est mgh.
D'autre part, soit α l'angle dont le barreau
a tourné en projection horizontale, et β l'angle
dont les fils s'écartent de leur position verticale.
On suppose que la force F reste perpendiculaire à la
position d'équilibre du barreau, AB ; son bras de
levier est donc (A'R étant
ou : a sin
Appliquons le principe des vitesses virtuelles,
pour trouver la condition d'équilibre. Le travail
virtuel de la pesanteur est : mgdh
25
Le travail virtuel de la force F est :
Evaluons h en fonction de α :
Il y a une relation entre β et α :
Comme l est très long par rapport à α,
on peut considérer β comme infiniment petit,
placer sin β par β, et (
d'où :
Donc :
Egalons les deux travaux virtuels :
d'où l'on tire F en fonction de l'angle α :
Pour que le système bifilaire soit sensible,
à une même force donnée F corresponde un grand angle α,
il faut que le facteur constant
système sera donc d'autant plus sensible que sa masse sera
plus petite, et que les fils seront plus longs et plus rapprochés.
Il n'y a pas de limite théorique à la sensibilité ; mais prati-
quement, on ne peut pas rapprocher trop les fils, car si leur
26
diamètre n'était pas négligeable par rapport à leur distance,
la formule ne serait plus applicable. [3 e leçon]
Une autre méthode de mesure statique des grandeurs
est fournie par le pendule.
On suppose la masse du pendule concentrée en son
centre de gravité G, de sorte que son poids se réduit à
la force unique mg appliquée en G. Soit O le point
de suspension :
Soumettons le pendule à une force
horizontale F appliquée en un
de OG :
Soit α l'angle que OG fait avec la verticale dans la
nouvelle position d'équilibre. Le bras de levier de la force F
est
Le centre de gravité de G a monté de
Le travail virtuel de la pesanteur est égal à :
Le travail virtuel de la force F est égale à :
Egalons-les :
d'où l'on tire F en fonction de l'angle α :
Même formule que plus haut ; mêmes conditions de sensibilité.
27
Il y a encore une autre méthode statique qui a recours
à l'élasticité. Toutes les méthodes précédentes consistant
à comparer les forces à mesurer à
les compare aux forces élastiques, ou plutôt (comme
on le verra plus loin) elle les compare encore aux poids,
par l'intermédiaire des forces élastiques : on mesure
la déformation élastique produite parla force, puis on
mesure le poids qui produit la même déformation.
Les forces élastiques dont on
celles de torsion. Un fil métallique pincé en haut par
un support immobile, porte suspendu à une autre pince
un barreau horizontal ; ce barreau est en équilibre quand
le fil n'est pas tordu (les deux pinces étant parallèles).
La torsion a été étudiée expérimentalement
torsion. Il a trouvé que l'angle de torsion varie en
raison directe de la longueur du fil, en raison inverse de
la 4 e puissance du diamètre, et proportionnellement
à la force :
Quand on parle d'une force, on sous-entend qu'il s'agit
d'un couple appliqué aux 2 extrémités du barreau, car
une sur la force ferait dévier le fil de la verticale, la
force antagoniste étant une composante de la pesanteur.
28
Le coefficient A dépend des constantes élastiques α et μ
du corps employé. On pourrait le calculer connaissant
ces constantes ; mais comme elles varient nottablement
d'un corps à l'autre ; il vaut mieux mesurer la force
expérience. Il est plus simple de mesurer F en la rem-
plaçant par un poids (agissant horizontalement par
une poulie de renvoi) et en cherchant le poids qui
produit la même torsion.
La balance de torsion est d'autant plus sensible que
le coefficient de F est plus grand,
fil est plus petit et sa longueur plus plus grande. Sa sensibilité
est donc presque illimitée. On peut mesurer avec cet
instrument des forces de
Aussi est-il précieux pour l'étude de très petites forces,
comme sont les forces électriques.
2° Méthode dynamique
Elle consiste à mesurer la force par l'accélération qu'elle produit
C'est ainsi que
d'après les lois du mouvement des astres. De même on
mesure la pesanteur au moyen de son accélération, dans
les appareils d'
la plus précise de la pesanteur est fournie par le pendule.
La mesure dynamique des forces exige qu'elles soient
29
sensiblement constant et dans les limites de l'expérience.
Or, comme les forces électriques varient nottablement
à de petites distances, on ne peut employer à les mesurer
de grands machines comme celle d'
il faut recourir à de petits appareils dans l'étendu
desquels les actions électriques varient très peu. On est
donc obligé de se servir du pendule.
Supposons d'abord que la force qui meut le pendule
soit rigoureusement proportionnelle à l'angle d'écart :
L'équation du mouvement sera alors, comme on sait :
moment d'inertie du pendule.
La solution de l'équation a la forme suivante :
A et φ étant les constantes d'intégration, et B
la constante :
Pour calculer la durée de l'oscillation complète, T,
il suffit de remarquer que α est périodique, et reprend
la même valeur quand l'argument augmente de 2π.
Donc :
Cette formule permet d'évaluer F en fonction de T :
30
Il suffit pour cela de connaître le moment d'inertie du pendule.
Pour la Quand il a une forme géométrique, on peut le calculer
par une intégrale. Sinon, on peut l'évaluer par expérience.
de torsion. Si la force de torsion est proportionnelle à
l’angle d'écart, les oscillations devront être rigoureusement
isochrones ; c'est ce que l'on vérifie par expérience pour
toutes les amplitudes, même supérieure à 2π.
Pour que la pesanteur n'intervienne pas, le pendule est
suspendu horizontalement au fil tendu verticalement :
il oscille autour de son centre de gravité.
Soit
à son centre. On peut le déterminer par expérience en
accrochant symétriquement au barreau deux masses
additionnelles M, à la distance R du centre. Le mouvement
d'inertie sera augmenté de
La durée d'oscillation se trouvera changée de T en T' :
d'où l'on tire :
équation du 1 er degré qui fournit la valeur de l'inconnue K.
31
Pendule géodésique. Quand la force à mesurer est la
pesanteur, la composante efficace est proportionnelle
au sinus de l'angle d'écart ; l'équation est alors :
Quand α est très petit, on peut remplacer sin α par α :
L'intégrale de cette équation approchée est :
où :
La durée d'une oscillation complète est donc :
Mga est le moment statique de la pesanteur.
Cette formule ne vaut que pour les oscillations infiniment
petites. En désignant la valeur précédente de T par T o,
l'intégrale de l'équation générale est rigoureusement :
ω étant l'amplitude de l'oscillation (angle d'écart maximum).
On voit que pour o.
On peut tirer de cette dernière formule des formules appro-
ximatives. Si l'on n'est sûr de T qu'à
sera déterminé à
Ainsi pour une amplitude de 16° au plus, la formule
de T o est exacte à
32
dans l'expression de la force, celle-ci sera évaluée à
près. En général, on peut déterminer d'avance l'amplitude
maxima qui correspond à l'approximation qu'on désir
atteindre avec la formule de T o.
Nous allons maintenant décrire les expériences par
lesquelles
électrostatiques.
Balance de torsion : Elle est constituée par un fil d'argent
très fin, auquel est suspendue une aiguille isolante qui
porte à une extrémité une balle de moelle de sureau
dorée. Sur la circonférence que décrit cette balle, on
place en un point fixe une balle semblable supportée
par un bâton de cire. Cette circonférence est marquée
par une bande de papier graduée en degrés ; le zéro corres-
pond à la balle fixe.
D'autre part, la pince qui porte
dur dans une virole qui ferme en haut le tube de verre
qui contient le fil ; on peut la déplacer la pince au moyen
d'un bouton qui porte un index ; cet index parcourt
une graduation marquée sur le pourtour de la virole.
Celle-ci peut elle-même se déplacer tout d'une pièce
sur le tube, en emportant la pince et l'index.
On amène les 2 balles au contact en tournant. La
33
virole (l'index correspondant au zéro de la graduation).
Puis on électrise les 2 balles avec un même corps ; elles
se repoussent et s'écartent
la circonférence en papier). On peut les rapprocher en
tournant le bouton supérieur
la torsion du fil. Soit α l’angle d'écart définitif :
l'angle de torsion T
et de l'angle dont on aura tourné le bouton (mesuré
par l'index sur la virole).
La force de répulsion est dirigée suivant la ligne
AB qui joint les 2 balles : soit l la longueur radiale
de l'aiguille ; le moment de la force de répulsion sera
D'autre part, le moment de la force de torsion (propor-
tionnelle, comme on sait, à l'angle de torsion) est :
Puisqu'il y a équilibre, ces deux moments sont égaux :
Or la distance des deux balles est :
Si la loi de
inverse du carré de la distance,
Substituons cette formule (hypothétique) dans l'équation :
34
ou, en faisant passer dans le 2 e membre les quantités constantes :
Telle est la loi (relation entre T et α) qu'il s'agit de vérifier.
Or, dans les expériences de Coulomb, α était au plus
égal à 36°, donc :
Dans ces conditions, on peut remplacer
et
moins de
à identifier l'arc à la corde et à compter la distance
des deux balles sur la circonférence ; et en effet, la loi
devient simplement :
On constate en effet que l'angle de torsion (et par suite
la force de torsion) est inversement proportionnel
au carré de l'angle α (distance angulaire des 2 balles).
Pour apprécier le degré d'approximation de cette loi, il
faut tenir en compte des causes d'erreur. Or, pour obtenir
de répulsions nottables, on est obligé d'employer de fortes
charges ; mais alors il se produit des déperditions qui
atteint les résultats, puisque la charge n'est plus cons-
tante. Coulomb observa en effet que
35
avec le temps. Il détermina alors la déperdition en mettant
les deux balles à une distance donnée, et en les mainte-
nant à cette distance en tournant le bouton de manière
à détordre le fil. Il tenait compte de cette détorsion dans
ses autres expériences, de manière à compenser la
diminution de force due à la déperdition.
Une autre cause d'erreur est l'influence mutuelle
des deux balles, qui repousse les charges du côté opposé,
surtout quand elles sont à petite distance. Les
centres de masse électrique se déplacent donc par rapport
aux centres de gravité des balles, et leur distance est
plus grande que la distance mesurée
cet effet, et corriger les distances mesurées. Néanmoins,
l'inexactitude totale, due à ces diverses causes d'erreur,
peut être de
tion introduite dans les formules.
4 e leçon
Un peu après les expériences de
appliqua la même méthode à l'étude de la gravitation.
Il employait la balance de torsion, suspendait de petites
boules aux deux extrémités du levier, et mesurait
l'attraction exercée sur elles par de grosses boules fixes.
Nous avons vu la balance de
36
à la mesure des répulsions électriques ; mais elle se prête mal
à la mesure des attractions électriques, car il est difficile
d'empêcher les boules chargées d'électricité contraire
d'arriver au contact. On peut considérer la vérification
de la loi des attractions comme superflue, si l'on admet
qu'un corps neutre n'agit pas sur un corps électrisé : car
si les deux fluides contraires, dont on le suppose chargé
également, neutralisent leurs effets, la répulsion devra
obéir aux mêmes lois que l'attraction.
Mais ce n'est là qu'une hypothèse, et le meilleur moyen
de la confirmer serait précisément de vérifier directement
la loi des attractions. Aussi
de la vérifier ; pour cela, il a eu recours à la méthode dynamique
des oscillations du pendule.
A un fil de cocon il suspendait un petit levier isolant
de gomme laque, portant à une extrémité un petit disque
de clinquant. Le pendule étant électrisé, il en approchait
une grosse sphère métallique électrisée en sens contraire ;
le pendule attiré et dévié de sa position d'équilibre exé-
cute des oscillations rigoure
En effet, on démontre qu'une sphère agit comme si toute
de masse était condensée en son centre. D'autre part,
on peut considérer l'action de la sphère sur le pendule comme
37
constante en grandeur et en direction, vu les petites
dimensions du pendule, qu'on peut regarder comme
infiniment petites par rapport à celles de la sphère.
On centre donc dans le cas du pendule géodésique, la
sphère jouant le rôle de la terre. On sait que dans ce cas
la durée d'une oscillation complète est :
l étant la longueur du bras de levis qui porte le disque.
On en tire la valeur de la force attractive constante :
Ainsi la force attractive est en raison inverse du carré
de la durée d'une oscillation. D'autre part, selon la
loi hypothétique qu'il s'agit de vérifier, F doit être aussi
en raison inverse du carré de la distance
au centre de la sphère. Donc, si la loi est vrai, la durée
des oscillations d.
C'est en effet ce que l'on constate par expérience.
Cette méthode est sujette aux mêmes critiques que celle
de la balance de torsion, fondées sur la déperdition de
l'électricité et sur l'influence. Ces causes d'erreur sont
assez grandes pour que l'on ne puisse pas tenir compte
de la variation de T due à la différence des amplitudes.
Toute correction de ce
38
de la négliger.
La loi de
n'est donc établie qu'avec une approximation assez faible.
Depuis,
mais sa méthode n'était pas plus précise que celle de
Nous trouverons plus tard des preuves plus exactes, mais
indirectes, de la vérité de cette loi. Si l'on accepte la loi
de
quences que l'on pourra vérifier ; on choisira celles qui
sont susceptibles de la vérification la plus rigoureuse.
On a remarqué l'analogie de la loi de
et de la loi newtonienne de la gravitation :
Pour compléter cette analogie, on est conduit à définir
des masses électriques. Seulement, tandis que nous
pouvons mesurer les masses de matière par la méthode
statique (la balance, par ex.) nous n'avons pas d'autre
moyen de mesurer les masses électriques que leurs
effets dynamiques (attraction ou répulsion). Un corps
aura, par définition, une masse électrique double, triple, etc.
s'il exerce une attraction double, triple, etc. sur un même
petit corps chargé d'une quantité constante d'électricité.
Il serait donc vain de chercher à vérifier la proportionnalité
39
des forces électriques aux masses, car cela constituerait un
cercle vicieux.
Néanmoins
fluide électrique, a prétendu vérifier cette proportionnalité
au moyen de la balance de torsion. Dans une première
expérience, la boule mobile était repoussée par le boule fixe :
on mesurait l'angle d'écart α et l'angle de torsion T.
Puis
toute semblable, qu'il retirait ensuite. Il admettait que
les deux boules, étant égales, avaient la même charge, et
il en concluait que et la boule fixe avait une charge
moitié de sa charge primitive. L'écart ayant diminué,
il l’augmentait en détordant le fil, et quand l'écart
était redevenu α, il constatait que la torsion était
C'est ainsi qu'il croyait vérifier par expérience la loi
de proportionnalité des forces aux masses.
Nous et concluons, tout au contraire, de cette expérience
que lorsque deux boules égales se touchent, une seule étant
électrisée, la charge de chacune est la moitié de la charge
primitive, puisque la répulsion qu'elle
moindre. En effet, s'il est évident, par raison de symétrie,
que les deux boules prennent la même charge en se touchant,
rien ne prouve que leur charge respective soit la moitié de
40
la charge primitive : cela suppose que la quantité d'électricité
reste constante, et ne fait que se dédoubler au contact, en
un mot, que les masses électriques s'additionnent et se
partagent comme des masses matérielles. Or c'est ce qui
n'est nullement nécessaire a priori, et ce que l'expérience
précédente
un cas particulier le principe de la conservation de l'électricité.
De ce que la force est proportionnelle à la masse électrique
de chacun des deux corps qui s'attirent ou se repoussent,
on conclut qu'elle est proportionnelle à leur produit.
Si les deux masses sont de même signe, leur produit
est positif, et l'on sait qu'alors la force est répulsive.
Si les masses sont de signes contraires, leur produit
est négatif, et dans ce cas la force est attractive. On
considérera donc les répulsions comme positives et
les attractions comme négatives : les unes
à augmenter la distance, les secondes à la diminuer.
Le coefficient k, qui figure dans la formule, dépend
du choix de l'unité de masse électrique, et aussi de la
nature du milieu où les corps sont plongés, car la force
montre que la force qui s'exerce entre deux corps électrisés
varie suivant le milieu (d'électrique) à travers lequel
elle s'exerce. Nous considérons donc les deux corps
41
dans le vide, et nous définirons l'unité de masse comme suit :
Deux masses électriques égales sont égales à l'unité,
quand elles exercent l'une sur l'autre, à l'unité de
distance, une force répulsive égale à l'unité (dans le vide).
Si l'on évalue la distance r en centimètres et
les masses forces F en dynes, on aura
Par conséquent, avec la'unités choisies,
L'unité que nous venons de définir est l'unité
électrostatique d'électricité. Elle dépend d'ailleurs de
l'unité de longueur et de l'unité de force. Dans le
système CGS, l'unité El[éctro-] St[atique] sera celle qui correspond
à une force de 1 dyne et à la distance de 1 centimètre.
Ainsi la formule simple :
ne convient qu'au système d'unités électrostatiques,
et dans le cas du vide. Nous conserverons donc la
formule générale avec le coefficient k.
Propriétés des champs électriques
On appelle champ électrique tout espace où s'exercent
des forces électriques.
Considérons le champs produit par une seule particule
matérielle m. Une masse
électrique
42
distance r sera soumise à une force centrale égale à
Cette loi de force caractérise le champ électrique.
Si la particule A obéit à la force, elle subira un
déplacement infiniment petit AA' suivant AM.
En A', elle sera soumise à une autre force, qui lui
imprimera un déplacement infiniment petit A'A'' ;
et ainsi de suite. L'enveloppe des déplacements AA',
A'A'', etc. s'appelle une ligne de force (
serait la trajectoire de la masse électrique sous l'action
du champ, si l'on détruisait à chaque instant sa vitesse
acquise. Dans le cas d'une seule masse produisant le
champ, les lignes de force sont toutes les droites qui
rayonnent autour du point occupé par cette masse.
On appelle surface de niveau une surface qui
coupe normalement toutes les lignes de force. Dans
le cas d'un champ produit par une seule masse, les
surfaces de niveau sont toutes les sphères ayant pour
centre cette masse. L'expression de surface de
niveau est une métaphore tirée de la géodésie.
Ces définitions sont générales, et ne dépendent
nullement de la loi de Coulomb ou de telle autre
loi particulière de force. Il suffit que la force soit
43
une fonction continue de la distance (ou de la position).
Les lignes de force seront les enveloppes des directions
de la force aux différents points du champ, et les
trajectoires orthogonales des surfaces de niveau,
celles-ci étant telles que la force qui s'exerce en chacun
de leurs points leur est normale.
Définition analytique du flux de force
Soit dans un champ électrique une surface limitée
par une courbe fermée. Considérons en chacun de ses
points la force F qui s'exercerait sur l'unité de masse
placée en ce point, et la normale dirigée vers l'extérieur ;
soit α l'angle de leurs directions. Formons le produit :
L'intégrale de cette différentielle (ds élément de surface)
étendue à toute la surface, est le flux de force qui
traverse cette surface :
Restreignons-nous maintenant au cas particulier
où le champ est produit par une seule masse m
la force est en raison inverse du carré de la distance.
Considérons une surface fermée la masse
On va démontrer que le flux de force qui la traverse
est égal à :
Construisons un cône élémentaire, de sommet M et
44
d'ouverture ω : ω est l'angle solide
du cône,
capte sur une sphère de rayon 1 ayant
son sommet pour centre. Ce cône
traverse la surface A et y découpe
un élément ds. Soit r la longueur MA : la force en A
est :
Evaluons ds. Menons par A une sphère de centre M ;
soit dσ la portion de sa surface interceptée par le cône :
D'autre part, α, étant l'angle de la force AF et de la
normale AN, est aussi l'angle des 2 éléments ds et dσ :
donc :
Formons
Intégrons :
Or
est égale à la surface de la sphère de rayon 1, soit 4π ;
donc :
Ce flux de force m, et peut
par conséquent lui servir de mesure.
Considérons maintenant le cas où est le pont électrisé M
se trouve à l'extérieur d'une surface fermée. On va
prouver que le flux de force qui la traverse est nul.
45
Menons du sommet M un cône
élémentaire, qui perce la surface en A
(entrée) et en A' (sortie). La direction
de la force, MAA', fait avec la normale
à l'entrée un angle
est négatif, et avec la normale à la sortie un angle α'
<
éléments de surface interceptés par le cône en A et A',
dσ, dσ' les éléments de surface sphérique aux mêmes
points (en valeur absolue) ; on aura :
D'ailleurs :
Formons les deux produits
ou :
On voit qu'ils se détruisent. Tous les éléments de l'intégrale
se détruisant ainsi deux à deux, le flux de force est nul.
Du reste, si l'on intègre séparément l'entrée et la sortie,
on aura respectivement :
ou :
Or les deux intégrales
crit à la surface fermée un cône de sommet M, toutes
deux sont égales à son angle solide, leur somme
46
Ainsi une surface fermée qui ne contient aucune masse
électrique est traversée par un flux de force nul.
Considérons maintenant une surface fermée qui
enveloppe certaines masses électriques m, m', m'', ….
en laisse d'autres dehors, mais n'en rencontre
aucune. Nous allons démontrer que le flux de force
qui la traverse est égal à
Pour le prouver rappeler
force résultant est la somme des flux de forces com-
posants. Soit R la force résultante en un point P
de la surface, ε l'angle qu'elle fait avec la normale
extérieure. Soient d'autre part F, F', F'', …. les forces
exercées sur le point P par les masses intérieures
et extérieures, α, α', α'', … les angles qu'elles font
avec la normale extérieure. En vertu du théorème des
projections, on a (en projetant sur la normale) :
Donc :
Le flux de force total est la somme des flux de forces
dus à toutes les masses : mais les flux de forces dus
aux masses extérieures sont nuls : il ne reste donc
que ceux des masses intérieures ; par conséquent :
47
Ainsi les flux de forces qui traversent une même surface
s’additionnent simplement. Supposons que la surface
enferme plusieurs masses positives et négatives, telles
que leur somme algébrique soit nulle ; le flux de force
sera nul.
Dans la pratique des électriciens, on matérialise
les lignes de force et les flux de force. On imagine
qu'une masse électrique m émet en rayonnant
dans l'espace autant de lignes de force qu'il y a
d'unités dans m. Le flux de force qui traverse une
surface donné est alors mesuré par le nombre des lignes
de force qui la traversent. De là vient que le flux de
force s'appelle, dans le langage vulgaire des praticiens,
nombre de lignes de force, bien que ce ne soit pas un
nombre, mais une grandeur essentiellement continue,
qui peut-être incommensurable. On verra plus tard
que les lignes de force vont toujours d'un corps électrisé
à un autre, de sorte qu'on peut les figurer par des fils
tendus entre ces deux corps. Cette image grossière fait
comprendre la distribution des flux de forces autour des
masses, par exemple, les deux plateaux de verre et de drap ,
l'un à l'autre, de sorte qu'aucune ne traverse une surface
48
quelconque qui enveloppe les deux plateaux : et en effet,
leur action sur un corps extérieur quelconque est nulle.
Le travail des forces électriques, et généralement des
forces qui en sont fonctions que de la distance, jouit
de la propriété suivante :
Etant donnée une courbe fermée dans l'espace
rencontrant aucune masse électrique, si une masse
électrique la parcourt tout entière et revient à son
point de départ, le travail des forces est nul.
Ce théorème est évident si l'on admet le principe de
la conservation de l'énergie : car l'énergie doit être
la même après qu'avant le cycle ; ou on pourrait alors
décrire le cycle et produire du travail sans dépenser
d'énergie, et cela indéfiniment (mouvement perpétuel).
Mais on peut le démontrer directement et d'une
manière générale, dans l'hypothèse où les forces sont
centrales et fonctions de la distance seule. En effet,
soit R la résultante des forces sur chaque point de la
courbe : elle sera fonction de sa position seulement.
Le travail élémentaire sera :
(α étant l'angle de R avec l'élément de courbe ds),
et le travail total :
intégrale prise le long de la courbe fermée, de A en A.
49
L'expression différentielle est fonction des
coordonnées du point considéré. L'intégrale prise entre
deux points quelconques n'est fonction que de leurs
positions ; c'est une fonction uniforme F (x, y, z). Par
suite, elle reprend la même valeur en revenant au même
point : l'intégrale, différence des deux valeurs, est nulle.
Les forces qui jouissent de cette propriété sont dite
conservatives.
Cela posé, considérons deux
surfaces de niveau S et S'. Si
l'on déplace une masse électrique
sur une surface de niveau, le travail
est nul, puisque le déplacement est normal
à la direction des forces. Supposons qu'on fasse
passer une même masse électrique de A sur S en
A' sur S', puis de A' en B' suivant S', puis de B' en B
sur S, enfin de B en A suivant S. Le travail effectué
doit être nul, puisqu'on a décrit un cycle fermé. D'ailleurs,
le travail de A' en B' et de B en A est nul. Soit T le
travail de A en A' ; le travail de B' en B est égal au
travail T' de B en B', changé de signe ; on a donc pour
le travail total :
d'où :
50
ce qui prouve que le travail nécessaire pour passer d'une
surface de niveau à une autre est indépendant du
chemin parcouru (les chemins AA', BB' sont quelconques).
On peut donc caractériser chaque surface de niveau
par le travail effectué pour y transporter l'unité
de masse électrique par un chemin quelconque à
partir d'une même origine (arbitraire). D'ailleurs,
le travail nécessaire pour passer d'une surface à une
autre ne peut être nul, donc chaque surface correspond
à une valeur différente de T, et réciproquement.
Posons :
Cette fonction V (égale au travail changé de signe)
s'appelle le potentiel. Elle a une valeur constante
sur chaque surface de niveau, valeur qui caractérise
cette surface. C'est pourquoi les surfaces de niveau
se nomment aussi : surfaces équipotentielles.
5 e leçon
Entre les variations du travail et du potentiel on a
en général la relation :
ou encore :
Puisque, d'après la 1 e équation, la fonction V varie en
sens inverse du travail, et de la même quantité, on peut
la considérer comme une énergie potentielle (c'est même
51
de là que lui vient son nom de potentiel), et alors la 2 e
équation, qui exprime que la fonction
constante, est une forme du principe de la conservation
de l’énergie. Le potentiel en un point représente l'énergie
de la masse électrique 1 placée en ce point.
Considérons deux surfaces de niveau très voisines, cor-
respondant, l'une, S, à la valeur V du potentiel,
l'autre S' à la valeur
Supposons que l'unité de masse électrique se déplace
du point A de S au point A' de S' suivant la
direction de la force,
AA' est un segment de normale que nous appellerons δn :
Or δV est constant, donc le produit Fδn est constant
en tous les points des deux surfaces. Par conséquent,
la distance normale des deux surfaces de niveau
varie en raison inverse de la force au même point.
Pour figurer un champ électrique on peut tracer
des surfaces de niveau très voisines, correspondant
à des variations égales δV du potentiel. Le diagramme
ainsi obtenu représentera le champ exactement comme
les courbes de niveau, sur une carte, représentant le
relief du sol : seulement la distance des courbes, sera
52
en raison inverse, non plus de la pente, mais de la force.
On peut calculer la force (comme la pente) par la formule :
Si maintenant l'on fait décroître indéfiniment δV
et δn (jusqu'ici finies et constantes), on aura à la limite :
Ainsi la force, en chaque point d'une surface de niveau,
est la dérivée du potentiel par rapport à la normale,
changée de signe. Nous allons calculer ses composantes
X, Y, Z suivant les 3 axes rectangulaires de coordonnées :
car le travail de la résultante est égal à la somme des
travaux des composantes (en vertu du théorème des
projections). Autrement dit :
d'où l'on conclut :
Ainsi les projections de la force sont les 3 dérivées
partielles du potentiel, changées de signe.
Toutes ces propriétés sont générales, et ne dépendent pas
de la loi de Coulomb.
Pour étudier un champ électrique et en tracer le diagramme,
la méthode la plus simple consiste à y promener un pendule
53
de Coulomb et à le faire osciller en différents points.
En chaque point, la direction de la force est donnée par
la position d'équilibre du pendule, et son intensité
est en raison inverse du carré de la durée d'oscillation.
On peut déterminer par tâtonnements les surfaces
isodynamiques,
(et par suite la durée d'oscillation) ; on déterminera
les lignes de force en déplaçant lentement le pendule
dans sa direction. On trouvera les surfaces de niveau
en cherchant une surface normale aux lignes de force.
Quand on connaîtra une surface de niveau et la
valeur F de la force en tous ses points, on obtiendra
une surface de niveau voisine en portant sur chaque
normale une longueur δn inversement proportionnelle
à F : car alors :
Nous allons maintenant étudier les propriétés du
potentiel pour les forces qui varient en raison inverse
du carré de la distance, selon la loi de Coulomb.
Considérons d'abord le cas d'une masse électrique
unique, m, située au point A. Soit l'unité de masse
placée au point B, à une distance r de A. Elle sera
soumise à la force :
Supposons qu'elle éprouve un déplacement
54
BB' suivant la direction de la force : le travail sera alors :
et par suite :
Intégrons : te
La constante étant arbitraire, nous la supposerons nulle.
Ainsi le potentiel est inversement proportionnel à la
distance au point A.
Soient x, y, z, les coordonnées rectangulaires du point B ;
ξ, η, ζ celles du point A (fixe)). On aura :
Calculons les projections de la force sur les 3 axes :
Or, en différentiant l'expression de r 2, on trouve :
donc :
Par conséquent :
Considérons maintenant le cas d'un nombre quelconque
de masses électriques m, m', m'', … placées aux points A, A', A'', ...
Les projections de la résultante des forces qu'elles exercent
sur la masse 1 située au point B sont les sommes des
projections des composantes ; on a donc :
55
Or on a d'autre part :
On en conclut :
d'où, en intégrant :
Les mathématiciens suivant la marche inverse : ils posent
la formule du potentiel, et en déduisent les propriétés
qui pour les physiciens lui servent de définition.
On n'a considéré jusqu'ici que des masses électriques
discontinues réduites à des points. Nous allons passer
à l'étude du potentiel des corps électrisés. Ne sachant
rien sur la nature de l'électricité ni sur la manière
dont elle est répartie dans les corps, nous allons poser
des définitions a priori, quitte à vérifier si elles sont
conformes aux faits d'expérience.
Soit un corps électrisé A. On admet qu'un élément
de volume
petite : soit δV ce volume, δm sa charge : on suppose
que
de volume décroît indéfiniment et se réduit au point P,
ce rapport tend vers une limite finie ρ qui est indé-
56
pendante de la forme de l'élément de volume :
On appelle ρ la densité électrique solide au point P.
Cette définition est calquée sur celle de la densité
matérielle ; elle se justifie par l'analogie des forces
électriques avec la gravitation (1)
La densité matérielle d'un corps hétérogène étant
une fonction continue des coordonnées du point P,
nous admettrons, par analogie, que la densité électrique
solide est aussi une fonction continue de ces coordonnées.
Supposons la densité électrique ρ comme en chaque
point du corps. Hachons le corps en éléments de volume
par des plans parallèles aux axes : le volume d'un
élément de dimensions dx, dy, dz, sera :
et sa masse :
Soit r la distance du point B considéré au centre
de gravité de l'élément de masse dm : le potentiel
élémentaire correspondant sera :
57
et le potentiel total du point A par rapport au corps B
sera l'intégrale de ces éléments,
intégrale prise dans les limites du volume du corps.
On peut évaluer le potentiel d'une autre manière,
quand on exprime l'élément de volume en coordonnées
polaires : R, Θ et Ψ
L'élément de volume qui
correspond aux variations
dR, dΘ, d Ψ a pour
expression :
Donc :
et le potentiel a pour expression :
Comme application, proposons-nous de calculer le
potentiel d'un couche sphérique
sur une masse électrique extérieure ou intérieure.
Soit ε l'épaisseur uniforme de la couche, R son rayon.
La charge totale M sera la somme des charges élémen-
taires. Or, pour un élément de surface ds, le volume
58
élémentaire sera εds, la masse élémentaire ρεds ;
et comme la densité ρ est supposée constante, la
masse totale sera :
s étant la surface totale de la sphère :
Posons :
Considérons maintenant l'épaisseur de la couche
comme nulle : μ sera la charge par unité de surface,
densité superficielle. On aura donc :
Evaluons le potentiel de la surface de la sphère pour
un point extérieur P
.
Décomposons-la en
zones infiniment minces
Soit MNM'N' une de ces
zones, HH' sa hauteur : son
aire aura pour valeur :
Or, si l'on appelle α l'angle MOP :
et HH' est la variation de OH :
Donc l'aire de la zone est :
et sa masse électrique :
Le potentiel
59
Evaluons r, distance du point P à la zone MN, en
fonction de R et de
Donc le potentiel total a pour expression :
Or la dérivée de :
est :
Donc :
intégrale prise entre les limites
afin d'avoir toute la sphère. Distinguons les 2 cas :
1 erCas : Le point P est extérieur à la sphère :
On a alors :
=
Or on sait que :
Donc on a simplement :
On voit que le potentiel a la même valeur que si toute
la masse de la couche sphérique était condensée au centre.
2 e Cas : Le point P est intérieur à la sphère :
On a alors :
qui est une constante. Ainsi le potentiel à l'intérieur
d'une couche sphérique est constant.
60
Le calcul du potentiel a surtout pour but l'évaluation
des forces, qui en sont les dérivées. Dans le 1 er cas,
la force, dirigée suivant OP (par raison de symétrie)
a pour valeur :
Cette formule exprime le théorème de Newton :
l'attraction d'une couche sphérique sur un point extérieur
est en raison inverse du carré de sa distance au centre.
Dans le 2 e cas, le potentiel étant constant, sa dérivée
est nulle dans toutes les directions ; donc la force est nulle.
Ainsi une masse placée à l'intérieur d'une couche
sphérique homogène n'est soumise à aucune force.
Ce théorème est également dû à
On pourrait aussi le démontrer sans calcul, et sans
passer par l'intermédiaire du potentiel.
Considérons une couche sphérique de centre
O et un point A quelconque à l'intérieur.
Menons du sommet A un cône élémen-
taire, d'angle solide ω, qui découpe sur
la surface les éléments MN, M'N', d'aire
ds, ds'. L'élément MN a une charge μds, dont l'action
à la distance
Soit dσ l'élément de surface sphérique ayant pour centre
A et pour rayon r, et α l'angle AMO, qui est aussi
l'angle des éléments ds et dσ :
D'autre part :
La force exercée par l'élément MN sur A a donc
pour valeur :
Or la force exercée par M'N' est directement opposée,
et égale à la précédente : car l'angle α est le même,
puisque :
Ainsi les forces exercées par les deux éléments opposés
se font équilibre. On pourrait partager la surface sphérique
en 2 parties par un plan quelconque mené par A, et balayer
chacune de ces parties par l'un des 2 cônes élémentaires :
on trouverait que toutes les actions des éléments opposés
sont égales et contraires, de sorte que les deux sommes
se détruisent, et l'action totale est nulle.
Il faut remarquer que la loi de Coulomb (ou de Newton)
est la seule qui donne ce résultat. C'est ce que nous
allons démontrer d'après M Bertrand.
Supposons que la force soit une fonction quelconque
de la distance :
L'action sur l'unité de masse électrique sera :
Si la loi de Coulomb est vraie,
donc :
62
Posons donc :
Cette fonction n'est constante que dans le cas de la loi
de Coulomb. Si elle n'est pas constante, et si elle est
continue, on peut toujours trouver un intervalle (r 0, r 1)
dans lequel elle varie constamment dans le même sens.
Prenons alors pour diamètre de la sphère la droite
aux distances r 0 et r 1 de P et P' sur cette droite.
On va prouver que l'action de la surface sphérique sur
le point A n'est pas nulle. Nous supposons que
0 et r 1.
Menons le plan QQ' perpendiculaire
à PP' en A, et un cône élémentaire,
de sommet A , qui traverse QQ'.
La charge de l'élément
est μds, son action
Or (comme précédemment) :
Donc :
L'action de M'N' est de même (α étant le même) :
Or
et par conséquent :
On verrait de même que l'action de chaque élément
63
situé au-dessus du plan QQ' est inférieur à l'action
directement opposée de l'élément correspondant, situé
au-dessous. Donc la somme des actions des éléments
inférieurs l'emporte sur celle des éléments supérieurs,
et la résultante ne peut être nulle.
Dans le cas où φ(r) va en décroissant de r 0 à r 1,
on a au contraire :
et alors c'est la somme des actions des éléments supérieurs
qui l'emporte sur celle des éléments inférieurs.
Toutes ces propriétés des forces électriques, déduites de
la loi de Coulomb, sont également vraies de la gravitation,
qui obéit à la même loi. Ainsi l'attraction exercée
par une couche sphérique homogène sur une masse
matérielle située à son intérieur est nulle.
L'attraction exercée sur une masse matérielle située à
l'extérieur est la même que si la masse de ma couche était
condensée en son centre.
Ces deux théorèmes peuvent s'étendre à une sphère
homogène ou du moins composée de couches concentriques
homogènes. C'est ce qui nous a permis de considérer,
dans l'expérience du pendule de
l'attire comme réduite à son centre, bien que nous ne sachions
pas comment l'électricité y est distribuée : on admet seulement
qu'elle est distribuée également autour du centre (par symétrie).
64
6 e leçon
De même, si l'on perce un trou très petit dans un
corps électrisé, et qu'au fond du trou l'on place un
point matériel
demande quelle est la force qui agit sur lui, et si elle
dépend de la grandeur et de la forme du trou. A
première vue, l'expression du potentiel :
paraît devenir infinie dans ce cas, car il y a des
points situés à une distance r infiniment petite de M.
Mais rappelons-nous que, par hypothèse, la densité
électrique ρ est finie ; par suite, l'élément de
volume Δv ne contient qu'une masse électrique ρΔv,
infiniment petit du même ordre que Δv. Or Δv est
un e ordre par apport aux dimensions
65
linéaires ; si donc on divise ρΔv par Δr,
1 er ordre, le quotient sera encore un e ordre.
Ainsi les éléments qdu potentiel qui correspondent à des
éléments du corps infiniment voisins du point M sont
infiniment petits, et non infinis comme il semble d'abord.
Nous allons démontrer rigoureusement que le poten-
tiel au point M est fini. Evaluons
polaires (r, θ, ψ), le point M étant pris pour origine :
ou simplement :
Autour du point M pris comme centre traçons une petite
sphère de rayon R. Evaluons séparément le potentiel
dû à cette petite sphère, V 2, et le potentiel dû aux
autres éléments du corps, V 1 :
V 2 sera l'intégrale précédente prise dans les limites de
la petite sphère :
Nous ne savons pas comment ρ varie à l'intérieur de
la sphère ; nous savons seulement qu'elle reste finie.
Soit ρ 1 une limite supérieure de sa valeur ; on aura :
66
Or :
Donc :
Si r est infiniment petit, V 2 sera un e ordre ;
on peut donc écrire :
à un infiniment petit près du 2 e ordre.
Ainsi pour évaluer le potentiel en un point M intérieur
au corps, il est indifférent de supprimer la matière d'une
sphère
à négliger V 2. On peut donc conserver la formule générale
du potentiel pour un point intérieur, comme s'il était extérieur.
Nous allons évaluer en particulier le potentiel pour un
point intérieur à une sphère homogène. Nous simplifie-
rons le problème et nous contenterons d'une approximation ;
pour une
voir le Traité de
Soit la sphère 0, de rayon R, et le point intérieur A,
à la distance a du centre (
sphère en couches concentriques.
Pour une couche extérieure au point A, le potentiel,
étant constant à son intérieur, est le même en A qu'en 0.
Soit r la distance de la couche au centre (son rayon) ;
son volume est :
67
sa masse :
Pour avoir le potentiel total des couches extérieures au
intégrons cet élément entre les limites (
Pour une couche intérieure au point A, le potentiel est le
même que si sa masse était condensée au centre. En
sommant immédiatement toutes les couches intérieures,
on trouve que le potentiel correspondant est celui d'une
sphère de rayon (
et son potentiel :
Le potentiel total (une
cavité sphérique comprise entre les 2 surface sphériques
de rayons (
Si l'on fait tendre vers 0 l'épaisseur 2ε de cette cavité,
on aura V E et V I tendront vers des limites finies, dont
la somme sera le potentiel de la sphère pour le point A :
Le 1 er terme
Evaluons maintenant la force qui s'exerce au point A.
Tant que ε n'est pas nul, le point A étant en dehors de la
masse électrisée, la force sera la dérivée du potentiel prise
68
suivant le rayon, car elle doit être dirigée suivant le rayon,
par raison de symétrie :
Or si l'on fait tendre ε vers 0, cette dérivée aura pour
limite la dérivée du potentiel V correspondant à
la dérivation. Donc on peut considérer encore la force
comme la dérivée du potentiel au
rayon :
Calculons les composantes X, Y, Z suivant les axes :
Or on a x, y, z étant les projections de
Donc :
Pour le centre de la sphère, a est nul : la force aussi.
En résumé, la force est proportionnelle à la distance du
point au centre ; elle est nulle au centre.
On serait arrivé à la même conclusion en considérant le
centre comme un point intérieur à toutes les couches : on
sait que leur action sur un tel point est nulle.
Calculons la somme des 3 dérivées secondes du potentiel :
69
Donc :
De ces propriétés du potentiel d'une sphère homogène on
peut tirer certaines conséquences touchant le potentiel d'un
corps de forme quelconque, électrisé d'une manière quelconque.
Soit à trouver la force en un point intérieur A. Cette force
F est la résultante de la force F 2 produite par une sphère
infiniment petite entourant le point A, et de la force F,
produite par le reste du corps. Admettons que l'on puisse
considérer la densité ρ comme constante dans cette sphère
infiniment petite. En vertu du théorème précédent, la
force F 2 qu'elle exerce sur son centre sera nulle. Donc :
On en conclut que la force est finie puisque F, est
produite par des éléments situés à distance finie du
et qu'elle est égale à la dérivée du potentiel changée de signe,
puisqu'on peut supprimer la sphère et considérer le
comme extérieur au corps.
Calculons maintenant la valeur de ΔV au point A :
Soit V 1 le potentiel provenant de la sphère
V 2 le potentiel provenant du reste du corps : on aura :
Or :
Quant à ΔV 2, on va démontrer qu'il est nul.
70
Soient x, y, z les coordonnées d'un point
du corps ; ξ, η, ζ les coordonnées du point A :
Le potentiel dû aux éléments extérieurs est :
Or :
Donc :
On en tire :
Donc :
Nous allons maintenant étudier le potentiel d'une
surface électrisée : ce problème est très important pour
l'électricité statique.
On va prouver que si une masse électrique traverse norma-
lement la surface, son potentiel varie d'une manière continue.
Considérons en effet 2 points infiniment voisins P et P'
71
symétriques par rapport à la surface, et l'élément AB de la
surface qui entoure la normale PP'. Comparons les poten-
tiels des 2 points. L'élément AB étant sensiblement plan ?,
les potentiels relatifs à cet élément sont égaux, puisque
dans
Quant aux autres éléments de la surface, on peut les
considérer comme infiniment éloignés par rapport à la
distance PP'. Donc leurs distances respectives à P et à P'
différent infiniment peu ; les potentiels correspondants
son ne diffèrent que d'une quantité infiniment petite,
c. q. f. d.
Etudions maintenant comment varie la force du
point P et le point P', et pour cela, distinguons sa compo-
sante normale et sa composante tangentielle. Considé-
rons d'abord la force exercée par les éléments autres que AB.
Comme ils sont infiniment éloignés, leur sa composante
tangentielle reste la même, et la composante normale
varie infiniment peu. Donc cette force reste continue
quand le point mobile traverse la surface.
Considérons la force exercée par l'élément AB : sa
composante tangentielle est nulle. Quant à sa composante
normale, elle change de signe de P à P', en conservant la
même valeur absolue. Par conséquent la force totale varie
72
du double de cette composante quand le point traverse
la surface ; elle est donc discontinue.
Nous allons évaluer cette composante normale d'une
manière approximative par un raisonnement simple
employé par
Considérons une couche sphérique uniformément
électrisée, et détachons-en une calotte infiniment petite ;
prenons 2 points infiniment voisins sur le rayon central
de la calotte, l'un en dehors, l'autre en dedans. Nous
savons que la différence des forces qu'ils subissent est
le double de la force exercée sur chacun d'eux par cette
calotte sphérique. Or, sur le point intérieur, la force
totale est nulle. Sur le point extérieur, elle est la même
que si toute la masse était condensée au centre.
Soit μ la densité électrique superficielle de la couche :
sa charge sera :
Le point extérieur étant à la distance r du centre
(à un
Ainsi la force différence des forces est
la force exercée par la calotte sur chaque point est
(On remarquera que pour
fait équilibre à toutes les autres ; ainsi la force exercée
73
par l'élément
qu'exerce le reste de la surface sphérique.)
Revenons à la surface quelconque considérée plus haut.
Nous pouvons assimiler l'élément de surface AB à une
calotte sphérique infiniment petite. La force normale qu'elle
exerce sur chacun des points P, P' est donc 2πμ, et la
variation de la composante normale de la force d'un côté à
l'autre de la surface est 4πμ.
Nous allons à présent vérifier ces formules par l'expérience,
et par là vérifier les principes d'où nous les avons déduites.
Les corps se divisent, à l'égard de l'électricité, en deux
grandes catégories : les conducteurs et les diélectriques.
Etudions d'abord les conducteurs : on se rappelle
l'expérience d'Œpinus, montrant l'électrisation d'un
conducteur par influence ( p.14). Dans la théorie des
2 fluides, on explique le phénomène en disant que les deux
fluides mêlés dans le conducteur, subissant en sens
inverse l'action du corps
qu'ils se séparent, ils exercent l'un sur l'autre une
attraction qui est une force antagoniste de l'action du
champ ; cette séparation a donc pour effet d'affaiblir le
champ à l'intérieur du conducteur. Les deux fluides auront
74
atteint l'équilibre quand il se sera décomposé une
quantité de fluide neutre suffisante pour que les deux
fluides dégagés neutralisent l'action du champ, de
telle sorte qu'en tout point du conducteur la force
soit nulle. On dit dans ce cas que le champ est nul
à l'intérieur du conducteur.
La théorie unitaire fournirait une explication analogue :
la distribution du fluide unique devra être telle qu'elle
contrebalance l'action du champ à l'intérieur du conducteur.
Pour vérifier ces déductions, il faut constater si le
champ est vraiment nul à l'intérieur d'un conducteur
électrisé.
Pour cela, on emploie un électroscope formé de 2 fils
métalliques suspendus à une même boucle et unis en
communication avec une machine électrique. Dans l'air
(isolant), ils divergent ; plongés dans l'eau (conducteur)
ils retombent ; l'eau s'électrise, mais seulement à la surface.
Comment interpréter cette expérience dans l'hypothèse
élastique ? On considèrera les diélectriques comme élastiques,
et les conducteurs comme nous,
contraint. Le champ étant nul à l'intérieur des conducteurs,
il faut admettre qu'ils sont infiniment mous,
n'opposent aucune résistance aux forces électriques.
75
Puisque les forces électriques sont les dérivées du potentiel,
et qu'elles sont nulles en tout point d'un conducteur, le
potentiel est constant à l'intérieur d'un conducteur.
En général,
d'un corps électrisé :
Mais dans un conducteur,
on en conclut que :
La densité électrique solide étant nulle, il n'y a pas
d'électricité à l'intérieur d'un conducteur électrisé.
On doit donc admettre que l'électricité réside à la
surface des conducteurs.
Il ne faut pas concevoir la surface des corps comme
une surface géométrique sans épaisseur. Les phénomènes
capillaires obligent à concevoir les corps comme se
modifiant mutuellement au contact, de sorte qu'au lieu
d'être limités par une surface géométriques, ils sont séparés
par une couche où il y a transition continue entre les
deux matières qui se touchent ; cette couche a une épaisseur
très faible, qu'on estime à 1 un 100.000 e de millimètre.
C'est dans l'épaisseur de cette couche qui enveloppe tous
les corps que réside probablement la propriété inconnue
qu'on nomme électricité. La densité solide ρ de cette couche
se traduit par la densité superficielle μ quand on assimile
76
la couche à une surface géométrique sur laquelle
l'électricité serait répandue.
Pour prouver qu'en effet il n'y a pas d'électricité
à l’intérieur d'un conducteur électrisé, ou répète
l'expérience due à
boule électrisée qu'on enveloppe de 2 hémisphères
creux
Une expérience plus précise
est la suivante : Une sphère creuse est percée d'un trou
que ferme exactement un couvercle de même métal,
auquel est suspendue une boule de métal par un fil
isolant. On introduit la boue électrisée, on lui fait
toucher la sphère, on la retire : elle n'est plus électrisée,
et la sphère l'est.
Cette propriété des conducteurs est très importante,
car elle établit la vérité rigoureuse de la loi de Coulomb.
C'est en effet de cette loi qu'on a déduit la constance
du potentiel à l'intérieur d'une couche électrique,
et on a vu qu'aucune autre loi n'est compatible
avec cette constance ( p.61). On a vérifié cette propriété
avec les instruments les plus précis, et l'on n'a jamais
trouvé trace de l'électricité à l'intérieur d'un conducteur.
Cela prouve que la loi de Coulomb est exacte, même
77
pour les distances extrêmement petites qui figurent
dans nos calculs, et qui échappent à l'expérience. Ce
fait confirme donc la loi de Coulomb avec bien plus
d exactit
D'autres expériences ne la vérifient qu'approximativement.
Telle est celle de
percée d'un petit trou, il introduisait une petite boule
électrisée : elle se déchargeait presque entièrement, avec
une approximation bien supérieure à la portion de la
surface de la sphère laissée vide. D'ailleurs, M. Robin
a calculé exactement la distribution d'électricité sur
une telle sphère, et même, en général, sur une surface
percée d'une multitude de trous (comme une écumoire).
Cette distribution ne diffère sensiblement de la distribution
uniforme sur une sphère pleine qu'au bord du trou.
7 e leçon
Nous savons que, pour une surface électrisée quelconque,
78
μ étant la densité superficielle en chaque point, la
variation de la composante normale de la force en ce
point est égale à :
et que la composante tangentielle ne varie pas. La
force étant normale à la surface d'un conducteur
en équilibre électrique, elle varie de cette quantité ;
et puisqu'elle est nulle à l'intérieur, elle doit avoir
à l'extérieur la valeur :
On peut trouver directement cette valeur sans invoquer
les propriétés d'une surface électrisée, en se servant des
propriétés du flux de force. On sait que le flux de force
qui traverse une surface fermée contenant des masses
électriques m est :
Prenons un point P de la surface électrisée : entourons-
le d'un cylindre infiniment petit normal à la surface,
et par suite parallèle à la direction des forces ; c'est ce
qu'on appelle un tube de force.
Fermons ce cylindre à l'extérieur
par une surface de niveau infi-
niment voisine ; à l’intérieur, par une surface quelconque.
Nous allons calculer le flux de force qui traverse cette
surface fermée. Pour la portion intérieure AEB, le flux
de force est nul ; pour la surface cylindrique latérale,
79
AC, BD, il est encore nul, puisqu'elle est parallèle aux
forces. Enfin pour l'aire CD, infiniment voisine de
l'élément AB, elle lui est égale à un infiniment petit près :
ce sera ds. La force qui s'exerce sur l'élément CD
est aussi égale à celle qui s'exerce au
ment au conducteur : soit F. Le flux de force est
donc :
à la masse électrique contenue dans la surface, mul-
tipliée par
Egalant ces 2 expressions du flux de force, on trouve :
Considérons maintenant un champ électrique conte-
nant plusieurs conducteurs. A l'intérieur de chacun
d'eux, le potentiel est constant et la force nulle. Dans
chacun d'eux, le potentiel est un maximum ou un
minimum.
En effet, si la force à la surface du conducteur. A
est positive (répulsive, donc dirigée vers l'extérieur),
du conducteur. Si au contraire la force était négative,
le potentiel croîtrait tout autour du conducteur.
Si l'on découpe sur la surface du conducteur A un
élément ds, les lignes de force qui le traversent composent
80
un tube de force. Il se peut que ce tube rencontre un
autre conducteur B (normalement). Soit ds' l'élément
qu'il découpe sur sa surface. On va prouver que les
charges des éléments ds et ds' sont égales et de signe
contraire.
Considérons en effet la surface
formée composée du tube de
force et de 2 surfaces quel-
conques menées à l’intérieur des 2 conducteurs. Le flux
de force qui traverse cette surface est nul : car aucune force
ne traverse le tube, ni les surfaces qui le traînent.
D'autre part, les masses électriques que contient la
surface fermée sont
Cette propriété est très importante pour l'étude d'un
champ électrique entre des conducteurs. Un tube de
force ne peut aller q
un conducteur chargé de l'électricité contraire et
délimite sur le second une charge égale à celle du pre
sur le premier, de sorte que sa section est en raison
inverse de la densité électrique.
On peut prouver, en outre, qu'un tube de force
peut jamais aboutir au même conducteur (lors même
81
que celui-ci serait électrisé en sens contraire suivant
ses parties). En effet, le potentiel varie toujours dans le
même sens tout le long d'un tube de force. On ne peut
donc
valeur du potentiel ni par suite à la même surface électrisée.
Ainsi, dans un milieu diélectrique unique et homogène,
ou bien un tube de force s'en va à l'infini, ou bien il
rencontre un autre conducteur, de charge contraire à
celui dont il part.
L’hypothèse de
fluide électrique rend fort bien compte de ces lois : la
quantité de fluide qui manque sur un conducteur se
retrouve exactement sur un autre, comme si le
fluide s'était simplement déplacé suivant le tube de force.
Le problème général de l'Electrostatique est celui-ci :
Etant donné un espace contenant divers conducteurs,
dont quelques-uns au moins possèdent une chargé
totale positive ou négative ; ils déterminent un
champ électrique tel que le potentiel est constant à
l'intérieur de tous les conducteurs. Trouver la distri-
bution de l'électricité à leur surface,
électrique en chaque point de leur surface.
Ainsi posé dans sa généralité, le problème est insoluble
82
dans l'état actuel de l'Analyse. On ne peut le résoudre
que dans des cas très particuliers et très simples, et
encore souvent au moyen d'artifice de calcul.
Dans Le cas le plus simple est centré d'une sphère
conductrice seule ; par raison de symétrie, la densité
est constante à sa surface, de sorte qu'on a :
et le potentiel
Etudions ensuite le cas d'un ellipsoïde conducteur seul.
Considérons un ellipsoïde concentrique et homothétique
infiniment voisin et à l'intérieur du premier. Imaginons
l’intervalle des deux surfaces
rempli d'une masse homogène
(matérielle ou électrique).
On va démontrer que l'action
de cette masse
intérieur
Par le point P menons un cône
infiniment petit d'angle solide ω. Il découpe dans la couche
2 éléments de volumes ABCD, EFGH. Evaluons leur
action respective sur le point P.
Si du point P comme centres on décrit des sphères passant
83
par A et C, le cône interceptera sur ces sphères les éléments
de surface AB' et CD'. Les 2 éléments de volumes ABCD,
AB'CD' seront équivalents. En effet, soit ds l'élément
AB, dσ l'élément AB', et α leur angle : on a :
D'autre part, la longueur de la normale commune aux
2 ellipsoïdes est :
Or le volume ABCD a pour mesure :
le volume AB'CD' a pour mesure :
ils sont donc égaux, et l'on peut exprimer le premier
par :
Or il faut remarquer que les 2 segments AC et FH
découpés sur un même rayon vecteur par les 2 ellipsoïdes
sont égaux. En effet, les 2 ellipsoïdes étant homothétiques,
les 2 cordes parallèles AF et CH ont même diamètre
conjugué, et ce diamètre les partage en 2 parties égales.
Comme leurs milieux coïncident, AC et FH sont
les différences de leurs moitiés, donc égales :
Cela posé, la masse contenue dans l'élément ABCD
est :
et son action sur le point P sera :
De même, l'action de l'élément opposé EFGH sera
84
dirigée en sens contraire et égale à :
Ainsi
opposés de la couche se détruisent mutuellement, de
sorte que l'action totale est nulle, c. q. f. d.
Ainsi il suffit, pour représenter la distribution
de l'électricité à la surface d'un ellipsoïde, d'admettre
qu'en chaque point la densité est proportionnelle à la
distance normale d'un ellipsoïde
En particulier, il est facile de trouver les densités aux
extrémités des 3 axes. La normale se confondant en
ces points avec les ray
prop
proportionnels, leur différence leur est proportionnelle.
La densité électrique à l'extrémité des axes est donc
proportionnelle à leurs longueurs : a, b, c.
On sait que plus un axe d'ellipsoïde est long, plus
la courbure est prononcée à son extrémité. On en
conclut, par une induction, que la densité électrique
à la surface d'un conducteur augmente avec la courbure.
Par suite, sur les arêtes et sur les pointes (où la courbure
est théoriquement infinie) la densité doit être incompa-
rablement plus grande qu'ailleurs.
85
Par exemple, une surface elliptique peut être considérée
comme un cas-limite de l'ellipsoïde. On voit aisément
que la densité sur le pourtour doit être infinie par rapport
à la densité au centre (qui correspond à un axe nul).
Néanmoins, si l'on même
voisine du contour extérieur, on trouve que la charge de
la surface annulaire est infiniment petite par rapporte à
la charge totale, ce qui prouve que la densité décroît très vite
à l’intérieur. Ces résultats s'appliquent sensiblement à
une plaque conductrice très mince, elliptique ou circulaire.
Lorsqu'un conducteur est à un potentiel élevé, il
éprouve une déperdition intense, et surtout aux points
où la densité est la plus forte. C'est pourquoi l'on
donne à de tels conducteurs des formes arrondies (cylin-
driques et sphériques). Les conducteurs destinés à de faibles
potentiels ne sont pas exposés à la déperdition ; aussi l'on
peut négliger pour eux ces précautions et admettre des arêtes
vives (par exemple dans l'électromètre absolu).
Si restreintes que soient les ressources de l'Analyse, elle
fournit le moyen de calculer la distribution de l'électricité
sur une infinité de surfaces qu'on peut concevoir à volonté.
Seulement ces surfaces sont en général bien différentes de
celles dont on fait usage dans la pratique. Toutefois, elles
86
permettent d'évaluer approximativement la distribution
sur les surfaces qui s’en rapprochent le plus, au moins
par une certaine partie.
On imagine à cet effet un système quelconque de masses
électriques, discontinues ou continues ; on calcule
et l'on cherche les surfaces sur lesquelles cette somme
est constante : ce sont les surfaces équipotentielles du
champ produit par les masses considérées. On prend une
de ces surfaces et on y distribue les densités électriques
suivant la loi :
On supprime alors les masses électriques imaginées
seulement pour définir la surface. On va prouver
que la charge ainsi distribuée est en équilibre.
La charge exerce sur la surface la même force que
les masses électriques imaginaires, donc
Or puisque la force varie de
de l'extérieur à l'intérieur de la surface, elle est nulle
en tout point
dans ce cas elle est nulle dans tout l'intérieur. La
force étant nulle à l'intérieur du conducteur, la
charge est en équilibre, c. q. f. d.
Exemple : Pour une seule masse intérieure m au
point P, les surfaces de niveau sont déterminées par
87
l'équation : te te
Ce sont les sphères de centre P. La force sur l'une d'elles
est :
On en tire la loi de distribution (correspondant à l'équilibre) :
μ étant constante, la distribution est uniforme. On voit
de plus que la masse totale de la charge superficielle
est égale à la masse unique m imaginé au centre :
Dans le cas où il y a des masses électriques tant à
l'extérieur qu'à l'intérieur de la surface équipotentielle,
si l'on détermine toujours la distribution par l'équation :
la charge ainsi distribuée sera en équilibre si l'on supprime
seulement les masses intérieures et que l'on conserve les
masses extérieures.
Ce théorème permet de traiter le problème de la distri-
bution de l'électricité dans les phénomènes d'influence.
Exemple : Dans le cas de deux points
contraire, de charges +m et -m', il y a, parmi les
surfaces équipotentielles, une sphère qui entoure excen_
triquement la charge la plus petite en valeur absolue :
et elle correspond au potentiel nul :
88
d'où l'on tire :
te
équation de ladite sphère.
Si l'on calcule la densité de la couche distribuée sur
la sphère suivant la loi :
on trouve qu'elle est négative, et en raison inverse du
cube de la distance à l'un
Ces résultats sont susceptibles d'une application pratique.
Une sphère conductrice communiquant avec le sol est
au potentiel zéro. Si on la soumet à l'influence
d'un point extérieur m, la distri-
bution précédente sera en équilibre sous l'influence de
cette masse,
précisément cette distribution.
Si l'on calcule la charge totale de la sphère, on trouve :
Ainsi cette charge est justement égale à celle du point
(imaginaire) B intérieur à la sphère (elle est toujours
plus petite que m en valeur absolue, & de signe contraire).
Le point B situé à l’intérieur de la sphère, et tel que
le rapport des distances d'un point de la surface sphérique
aux 2
89
l'image électriquede la sphère du point A par rapport
à la sphère.
La considération des images électriques, inventée par
lord Kelvin, permet de résoudre un grand nombre de
problèmes d' Electrostatique.
Nous allons étudier la distribution de l'électricité
dans un cas particulier d'influence.
Considérons un conducteur creux complètement fermé ;
ses surfaces intérieure et extérieure n'ont aucun point commun.
Si dans l'intérieur se trouvent des corps quelconques
ayant une charge totale
surface intérieure du conducteur creux une quantité
d'électricité égale et de signe contraire, qui lui fasse
équilibre. On conçoit en effet que tous les tubes de force
issus des corps intérieurs, ou bien vont de l'un à l'autre,
et alors correspondent à des charges égales et contraires
qui s'accumulent dans
surface intérieure, qui se trouve porter ? des charges égales
et contraires aux charges des corps intérieurs. D'ailleurs,
on peut le démontrer en imaginant une surface fermée
située entièrement dans l'épaisseur du conducteur (entre
ses surfaces extérieure et intérieure). Etant à l’intérieur
d'un corps conducteur, le flux de force qui la traverse est nul.
90
Or, si M est la charge de la surface intérieure du conducteur,
ce flux de force total est :
On en conclut
Si le conducteur creux communique avec le sol, il sera au
potentiel zéro, et ne manifestera aucune charge, bien
qu'électrisé sur sa face interne.
Si au contraire il est isolé, il pourra y avoir de l'élec-
tricité sur sa face externe, car l'influence des corps qu'il
contient développe en lui des quantités égales d'électricité
contraire (dont la somme algébrique est nulle). La surface
extérieure aura donc une charge égale à
le conducteur aura en apparence la même charge que
l'ensemble des corps qu'il contient.
Si l'on met sa surface extérieure en communication
avec le sol, il paraîtra déchargé ; mais si l'on en retire
les corps, on constate qu'ils ont une certaine charge,
positive par exemple, et en même temps le conducteur
manifeste une charge négative (expérience avec la boule
creuse de
Ainsi le champ situé à l’intérieur d'un conducteur
est absolument indépendant du champ extérieur (en effet,
ils n'ont aucun point commun & aucune communication).
91
C'est la propriété utilisée dans la cage de Faraday et
en général dans les écrans électriques. Un conducteur
fermé isole complètement les corps intérieurs des actions
électriques extérieures, et les corps extérieurs des actions
électriques intérieures. Pour soustraire un corps à toute
action électrique, il suffit de l'envelopper d'une surface
conductrice (caisse de métal, feuilles d'étain, etc.).
Quand un conducteur est incomplètement fermé,
il ne constitue qu'un écran imparfait, mais très
suffisant encore dans la pratique. Tel est le cas de la
cage de Faraday.
8 e leçon
Supposons qu'on recouvre une petite surface AB
d'un conducteur avec un petit conducteur qui s'y
applique exactement (porté par un manche isolant).
Ce corps d'épreuve se chargera de l'électricité de la
surface AB. Si on le détache d'un seul coup,
mette dans la balance de Coulomb à la place de la
boule fixe, on pourra mesurer sa charge, et par suite
celle de la surface AB. On peut opérer de même sur une
autre portion MN de la surface du conducteur ( une
92
aire), au moyen d'un autre corps d'épreuve qu'en épouse
la forme. On le portera dans la balance de
la boule mobile ayant la même charge qu'auparavant,
on amènera l'angle d'écart à être le même ; les deux
charges successivement mesurées seront proportionnelles
à l'angle de torsion du fil dans les deux expériences.
On peut
éléments de surface AB et MN (de même aire).
Seulement cette méthode est impraticable, parce qu'on
ne peut avoir autant de corps d'épreuve qu'il y a
de courbures de surface. On est obligé de se contenter
d'une approximation. Si l'on prend pour corps d'épreuve
un petit disque plan, il s'appliquera à peu près sur la
surface courbe
AB ; de même, elle sera à peu près égale à celle de MN.
Le rapport des charges du plan d'épreuve serait égal à
celui des charges des surfaces touchées
rigoureuse, si la charge du disque était proportionnelle
à celle des surfaces touchées, quelle que soit leur courbure.
Or cela est vrai quand tous les rayons de courbure de la
surface du conducteur sont suffisamment grands.
Au lieu d'un disque plan, on encore employer une
sphère ou un hémisphère (la surface plane servant au contact),
93
pourvu que leur rayon soit très petit par rapport aux rayons
de courbure de la surface.
distribution à la surface d'un ellipsoïde. Il a trouvé que
les densités à l'extrémité des axes étaient proportionnelles
à ces axes, sans connaître la déduction théorique de cette
propriété, fondée sur la loi de Coulomb. Il a ainsi
vérifié sans s'en douter sa propre loi.
Une difficulté de cette méthode est que, le corps d'épreuve
étant très petit (et il le faut pour qu'il n'enlève au conduc-
teur qu'une fraction négligeable de sa charge), on doit
fortement électriser le conducteur, pour que la charge du
corps d'épreuve soit sensible, et alors il se produit une
déperdition nottable.
Pour éliminer l'influence de la déperdition,
employait la méthode des contacts alternés. On touche
le point A au temps 0, le point B au temps t, puis
de nouveau le point A au temps 2t, en mesurant
chaque fois la charge du corps d'épreuve. On prend la
moyenne des deux charges prises au point A pour la
comparer à la charge du point B. En effet, si la déperdi-
tion n'est pas trop rapide, elle est proportionnelle au temps,
et alors la moyenne correspond à la charge de A au temps t.
94
compliqué, celui de 2 sphères qui se touchent.
Kelvin
obtenus par
C'est encore une belle confirmation de la loi de Coulomb.
Relation entre la charge et le potentiel.
Dans le cas d'un seul conducteur A, soit M sa charge
et V son potentiel ; on a :
On va démontrer que le coefficient C est constant.
Soit P un point intérieur ; le potentiel en ce point est :
Multiplions toutes les densités μ par un même facteur a :
D'autre part, la charge primitive est :
et la nouvelle charge :
Donc la charge est proportionnelle au potentiel, cqfd ;
La constante C s'appelle capacité électrique du conducteur.
La capacité est la charge qui correspond au potentiel 1.
On peut calculer la capacité d'un conducteur quand
on connaît la distribution que prend l'électricité à sa
surface quand il est seul.
Dans le cas d'une sphère homogène, le potentiel V en
un point intérieur est le même qu'au centre :
95
ou :
Ainsi la capacité d'une sphère est égale (
proportionnelle (
l'on assimilait la capacité électrique au
Considérons maintenant un champ électrique conte-
nant plusieurs conducteurs A, B, C, … dont les charges
sont M, M', M'', … et les potentiels V, V', V'', …
Le potentiel V en un point
des potentiels qui proviennent des actions A, B, C …
sur le point P. Soient μ, μ', μ'', … les densités de ces
conducteurs, r, r', r'', … les distances du point P à des
points pris sur la surface de chacune de ces conducteurs.
On aura :
Si l'on multiplie toutes les densités μ, μ', μ'', … par un
même facteur a, l'équilibre des charges subsiste, et le
potentiel prend une nouvelle valeur :
D'autre part, il est évident que toutes les charges sont
aussi multipliées par a. Donc la charge et le potentiel
sont encore proportionnels c le coefficient de proportion-
nalité relatif à M, c' relatif à M', c'' relatif à M'', … on a :
96
Ainsi le potentiel d'un corps faisant partie d'un système
de conducteurs est une fonction linéaire des charges de
tous les conducteurs.
On trouve de la même manière l'expression des autres
potentiels, de sorte qu'on a le système d'équations :
Si l'on résout ce système par rapport aux charges, on trouve :
Ainsi les charges des différents conducteurs sont à leur tour
des fonctions linéaires des potentiels de tous les conducteurs.
On voit que la charge d'un conducteur ne dépend pas
seulement de sa capacité propre : un corps qui fait partie
d'un système de n conducteurs a n capacités électriques
qui dépendent des la dimensions et de la position des autres
conducteurs.
Le problème des capacités équivaut au problème de la
distribution ; il se résout de la même manière et dans les mêmes cas.
Un cas particulier intéressant est celui où tous les conducteurs
sauf un (A) sont au potentiel zéro. On a simplement :
97
Ainsi la charge du corps est alors proportionnelle à son
propre potentiel. Seulement le facteur C dépend des
autres conducteurs ; leur présence a pour effet de
modifier la capacité électrique du conducteur A.
De même, si tous les conducteurs sauf un (A) ont
des charges nulles, on a la relation aussi simple :
Dans la pratique, on emploie surtout le système de 2
conducteurs, qu'on appelle un condensateur.
Le cas le plus remarquable est celui où les 2 conducteurs
ont leurs surfaces très voisines. On peut supposer, ou bien
que l'un est creux et
ou bien que tous deux sont des lames très rapprochées.
Dans le premier cas, on peut calculer la distribution
en considérant les 2 conducteurs comme infiniment voisins.
Supposons que le conducteur intérieur A est au potentiel
V, et le conducteur extérieur B, qui l'enveloppe entièrement,
au potentiel 0 (en communication avec le sol). Les 2
surfaces en regard (
s'appellent les armatures du condensateur. En consi-
dérant les tubes de force qui vont de l'une à l'autre, on a
la relation générale :
98
Mais, comme nous supposons les armatures infiniment
rapprochées, on a (à des infiniment petits près) :
Ainsi les charges des 2 armatures sont égales et contraires.
Reste à trouver leur grandeur absolue. Soit un point P
dans l'intervalle des 2 armatures ; il est soumis à une force :
(de la part de A) :
Les armatures étant infiniment voisines, on peut
confondre dN et AV, dn et Δn : or
donc :
V étant constant, la densité μ est en raison inverse
de Δn,
En particulier, si les 2 armatures sont parallèles (
la densité μ sera partout la même (quelle que soit la courbure).
Ainsi la densité ne dépend plus de la courbure du conduc-
teur, mais seulement de la distance des 2 armatures.
Si les armatures sont 2 ellipsoïdes concentriques et homo-
thétiques, leur charge sera en raison inverse des longueurs
des axes. (cf. p. 84)
Quand les 2 armatures sont parallèles, la charge de l'une
d'elles est :
Ainsi la charge est proportionnelle à la surface. D'autre
part, la constante μ a pour valeur :
99
Appelons d la distance constante Δn des 2 armatures :
Ainsi
ou, dans le
Ainsi la capacité est proportionnelle à la surface et en
raison inverse de la distance des armatures.
Supposons maintenant que le conducteur extérieur
B est au potentiel V'. On a toujours les relations :
Seulement, on a alors :
On voit que dans ce cas la charge est proportionnelle
à la différence des potentiels. En particulier, si les 2
conducteurs ont le même potentiel (
est nulle : en effet, ils sont alors identiques à un
conducteur unique (potentiel constant à l'intérieur)
et toute la charge se porte sur la surface extérieure.
Puisque les charges des 2 armatures infiniment voisines
sont égales et contraires, leur potentiel sur un point
100
quelconque est nul. Aussi le potentiel V' du
conducteur extérieur est-il dû uniquement à la
charge de sa surface externe. Cette charge, dite libre,
est donc égale à celle qui donnerait à ce corps le
potentiel V', s'il était seul. Elle n'a aucun intérêt
dans l’emploi du condensateur, car une fois les
charges des armatures réunies, la charge libre subsiste.
D'ailleurs, elle est absolument négligeable par
rapport aux charges condensés sur les armatures.
En effet, soit μ, la densité sur la surface externe.
En un point P intérieur au conducteur B, le
potentiel dû aux charges condensées est
ses distances aux 2 armatures sont presque égales.
Donc son potentiel
charge extérieure de densité μ 1.
D'autre part, le potentiel V du conducteur A
(ou la différence des 2 potentiels :
à la somme algébrique des actions des armatures
sur un point intérieur de A : et comme ses distances
aux 2 armatures sont presque égales, il faut que
les charges μ et μ' soient infiniment grandes
par rapport à la charge μ, qui produit le potentiel V'.
En d'autres termes, la charge libre est infiniment petite
101
par rapport aux charges condensées. C'est ce qu'on vérifie
au moyen de l'électroscope condensateur.
On le vérifie aussi au moyen de condensateur à
plateaux mobiles d'
muni d'un pendule qui accuse la charge libre.
Si, les plateaux étant rapprochés, on charge le condensateur,
puis qu'on écarte les plateaux, les pendules divergent.
Expérience de la décharge alternative.
On peut expliquer ce fait par le calcul. Le plateau A
est mis en communication avec la machine, le plateau
B avec le sol : A est au potentiel V, B au potentiel 0.
Soit m la charge (positive) de A, m' la charge (négative)
de B. On a les équations linéaires :
Isolons B, mettons A au sol : sa charge diminue, devient
m 1 ; son potentiel devient 0. Une partie de la charge
de B devient libre et produit le potentiel V' ; on a donc
les
Connaissant les coefficients constants de ces équations,
on tire de m 1 de la 1 e et par suite V' de la seconde. On
a en même temps la perte de charge de A :
102
Isolant A et déchargeant B de sa charge libre, sa
charge devient m' 1, son potentiel 0, celui de A, V 1 :
On tire m', de la 2 e
On peut continuer ainsi indéfiniment : car l'on
trouve que les charges et les potentiels décroissent
en progression géométrique.
Nous allons maintenant calculer la distribution
dans un condensateur du second genre,
Nous supposerons les plateaux infinis, afin de n'avoir
pas à tenir compte des bords et de pouvoir considérer
leur charge comme uniforme. Dans la pratique, on
fait des plateaux très grands par rapport à leur distance,
et pour éviter l'accumulation de la charge sur les bords,
on les découpe circulairement de manière à détacher
une bande annulaire qui les entoure.
On a toujours (ici les surfaces correspondants des armatures
sont rigoureusement égales) :
La force est :
103
Nous avons supposé que les plateaux sont infiniment
voisins ; mais on peut démontrer que ce résultat est
général, quelle que soit d, et prouver rigoureusement
l’égalité :
Pour cela, considérons d'abord un plateau circulaire
revêtu d'une charge uniforme de densité μ, et calcu-
lons la force qu'il exerce sur un point A situé à la
distance a sur la normale au centre. Du sommet A
menons un cône infiniment petit d'ouverture ω, qui
intercepte sur le plateau un élément de surface ds.
La charge
distance r est :
La résultante sera, par raison de symétrie, dirigée
suivant la normale. Pour obtenir la composante
efficace de chacune des forces, projetons-la sur la
normale, avec laquelle elle fait l'angle α :
d'où :
Menons par l'élément ds un élément de surface sphérique
dσ de centre A : on a (cf. p. 61) :
Donc :
104
en appelant Ω l'angle solide du cône ayant pour sommet
A et pour base le plateau circulaire. Quand le point A
se rapproche du plateau, Ω croît ; et pour un point A
infiniment voisin du plateau, Ω a pour limite 2π :
on a alors :
Mais pour un plateau infini, quelle que soit la distance
du point A, on a aussi :
Considérons maintenant le condensateur formé de 2
plateaux infinis, parallèles, à une distance quelconque :
leurs densités uniformes sont μ et -μ. La force
(attractive) exercée par l'un d'eux sur un point P
situé entre eux sera
exercée par l'autre sur le même point sera
et dirigée dans le même sens ; la force totale est donc :
P aux deux plateaux.
La force étant constante en grandeur et en direction
entre les 2 plateaux, le potentiel varie uniformément.
On peut donc écrire en toute rigueur, ΔV et Δn étant
des variations finies :
d'où l'on conclut, comme ci-dessus :
105
Addition à la page 95 :
On a seulement prouvé que le potentiel V du corps A
varie proportionnellement à la charge M de ce corps
(car les charges des autres corps, M', M'', … ont varié
dans le même rapport). Mais pour prouver que V est
fonction linéaire de toutes ces charges, et varie propor-
tionnellement à chacune indépendamment des autres,
il faut invoquer le principe de la superposition des
équilibres électriques.
Supposons que, dans un 1 er équilibre, le corps A
soit la charge M, et que les autres corps (primitivement
à l'état neutre) aient une charge nulle ; et que, dans un 2 e
équilibre, le corps B ait la charge M', et que les autres
corps aient une charge nulle : que, dans un 3 e équilibre,
le corps C ait la charge M'', et que les autres corps
aient une charge nulle ; et ainsi de suite.
Dans le 1 er équilibre, tous les potentiels seront proportion-
nels à l'unique charge M (désignons-les par l'indice 1) :
Dans le 2 e équilibre, on aura de même :
Dans le 3 e :
de suite
106
Dans le cas où tous les corps ont respectivement les charges
M, M', M'', … il y a encore équilibres, en vertu du principe ;
et les potentiels sont
dus à chaque masse dans chacun des équilibres ; donc :
9 e leçon
Nous allons étudier la charge et la capacité de quelques
condensateurs d'une forme particulière.
Considérons un condensateur sphérique formé de
2 surfaces sphériques concentriques de rayons quelconques,
R et R' ; (soient
Nous ne savons calculer la densité que dans le cas où
les deux armatures sont infiniment voisines ( p.97).
Nous supposons maintenant (
Par raison de symétrie, les surfaces équipotentielles entre
les deux armatures sont des sphères. Considérons-en une,
de rayon r, et évaluons le flux de force qui la traverse.
Comme la force est normale, on a partout :
D'autre part, la force est constante, donc le flux est :
107
Or :
Le flux est donc :
D'autre part, soit M la charge totale de l'armature
interne (contenu dans la surface) : on sait que le flux
de force qui la traverse est égal à
donc l'équation :
d'où :
Intégrons entre les limites R et R' :
Cette formule détermine M en fonction de la différence
des potentiels :
La capacité de l'armature interne est :
On emploie volontiers des sphères comme mesures de
capacité électrique, parce que leur capacité est propor-
tionnelle à leur rayon. Mais ces sphères se trouvent
toujours dans des salles à parois conductrices, commu-
niquant avec le sol, qui composent avec elles un conden-
sateur ; et alors la capacité d'une sphère de
une salle sphérique de rayon R') n'est plus
mais :
C'est pourquoi l'on n'emploie jamais comme étalons
de capacité des conducteurs simples, mais des condensa-
108
teurs fermés, dont
absolument indépendantes des actions extérieures (v. p. 90).
Considérons encore un condensateur cylindrique
formé de 2 cylindres concentriques indéfinis, de rayons
R et R' ; soient V et V' leurs potentiels. On va calculer
la charge de l'armature interne par unité de hauteur, M.
Prenons une surface équipotentielle entre les 2 armatures :
c'est un cylindre r. Le flux de force a
l'unité de hauteur de cette surface est égale, d'une part,
à
Intégrons entre les limites R et R' :
On en tire la valeur de M :
et la capacité est :
Telles sont les formes les plus simples et les plus employées
dans les condensateurs qui servent aux mesures.
109
Tension électrique ou pression électrostatique.
Considérons un conducteur chargé, et un élément AB
de sa surface ; nous allons déterminer à quelle force
cet élément (supposé mobile) est soumis de la part
du reste du conducteur (
On sait que la force, en un point extérieur infi-
niment voisin, est
et qu'elle est nulle en un point intérieur. Comme elle
est la somme de l'action exercée par AB et de l'action
exercée par AMB, on en conclut (avec
que ces deux actions sont égales : et puisque leur
somme est
Telle est la valeur de la force exercée par sur l'élément fixe
AMB sur un point
la charge μ ds de cet élément, la force sera donc :
Le coefficient de ds s'appelle la tension électrique
ou la pression électrostatique en AB:
C'est l'effort exercé par toute la surface électrisée sur
un de ses éléments, effort rapporté à l'unité de surface.
La pression électrostatique est ainsi définie d'une manière
analogue à la pression hydrostatique.
110
On sait que la résultante des pressions hydrostatiques
exercées par un liquide sur le vase est précisément
égale au poids de ce liquide. De même, la résultante
des pressions électrostatiques d'un conducteur est
égale à la force qui sollicite ce conducteur.
Pour un seul conducteur
car un tel conducteur n'est soumis à aucune force.
Soit un condensateur à plateaux plans parallèles, A, B.
Détachons sur la plateau B la surface S, et calculons
la force exercée par sur S par le plateau A. Les forces
étant parallèles, leur résultante est égale à leur somme.
La densité uniforme à la surface du plateau est :
La tension électrique est :
Cette formule est très importante : elle fournit le moyen
de mesurer les différences de potentiel. On met les
2 sources de potentiels différents V et V' avec les 2
plateaux, dont l'un est mobile ; et la pression τ étant
uniforme, la force totale est τS ; on a donc :
ce qui permet de calculer
et F que l’on peut mesurer.
111
Considérons maintenant une sphère uniformément
électrisée, partagée en 2 hémisphères AMB, ANB
mobiles l'un par rapport à l'autre. Evaluons la
force répulsive que chacun d'eux exerce sur l'autre.
Par raison de symétrie, la force est perpendiculaire
à la base des hémisphères. Comme la pression est
normale à la surface en chaque point, il suffit de
calculer sa composante efficace. Sur l'élément de
surface ds, la pression est :
La composante sera :
D'autre part, si l'on projette l'élément ds sur le plan
de base des hémisphères, en dσ, on a la relation :
Donc la composante est :
et la résultante :
La somme des projections d'un hémisphère sur le plan de
base est un grand cercle
D'autre part, le potentiel en un point de la surface
sphérique est :
d'où l'on tire :
Donc :
Cette formule très simple permet, comme la précédente,
112
d'évaluer les potentiels : elle a l'avantage de dispenser
de toute mesure linéaire, et de donner le potentiel
en fonction de la force seule. C'est le principe d'un
électromètre absolu inventé par
Définition de l'énergie électrique
Considérons un système de points électrisés, de charges
m, m', m'', … Imprimons-lui une déformation
infiniment petite, et proposons-nous d’évaluer
le travail correspondant.
Envisageons d'abord un couple de point A, B
de masses m, m', à la distance r. La force que A
exerce sur B (ou B sur A), est :
et le travail élémentaire de cette force :
dr étant la projection du déplacement infiniment
petit sur la direction de la force. On voit que :
Revenons à notre système d'un nombre quelconque
de points. Le travail élémentaire total sera la
somme des travaux élémentaires correspondant à
chaque couple de points ; on a donc :
La fonction énergie électrique
113
du système et se représente par la lettre W. On écrira :
Ce qui justifie ce nom d’énergieélectriq c'est que cette
fonction varie en sens inverse du travail, donc est
équivalente à du travail.
Il faut bien distinguer les deux fonctions :
potentiel :
d'autant plus qu'une synonymie fâcheuse expose à les
confondre. Autrefois, le potentiel s'appelait fonction
potentielle, et l'énergie s'appelait potentiel ; puis,
comme ce nom a été employé dans la pratique pour
désigner la fonction V, on a dû récemment inventer
la locution énergie électrique pour désigner W.
Pour évaluer W, prenons d'abord tous les termes où
figure la masse m du point A, et mettons-la en
facteur : il vient :
Or
par toutes les autres masses électriques du système.
En opérant de même pour tous les autres points, on aura :
mV étant le produit de la masse de chaque point par
le potentiel en ce point. Mais dans cette somme, chacun
des termes
114
facteurs de m, une autre parmi les facteurs de m'.
Elle est donc égale au double de potentiel l'énergie :
Dans le cas particulier où le système ne comprend que
des corps conducteurs A, B, C, … dont les potentiels
(constants pour chacun) sont : V, V', V'', …, quand on
forme
les masses électriques à la surface du conducteur A,
MV étant le produit de la charge de chaque conducteur
par son potentiel.
Dans le cas où tous les potentiels sauf un (V) sont
nuls, on a simplement :
Dans le cas où toutes les charges électriques sauf une (M)
sont nulles, on a également :
Ainsi l'énergie du système, dans ces deux cas, ne
dépend que de la masse
ils ne sont pas nuls. Mais cette charge elle-même
dépend, non seulement de la configuration du conducteur,
mais de la forme et de la position des autres conducteurs :
115
car leur présence accroît la capacité du premier (
la valeur de M pour un potentiel donné V).
Dans le cas général, si l'on substitue dans
les volu expressions des potentiels V en fonction linéaire
des masses M, on obtient l'énergie sous la forme
d'une fonction quadratique des charges :
Si au contraire on y substitue les expressions des masses
M en fonction linéaire des potentiels V, l'énergie
devient une fonction quadratique des potentiels :
Dans le cas d'un condensateur dont les armatures
ont les potentiels respectifs V et 0, on a :
Or on sait que :
Donc :
ou bien :
Ainsi, si l'on compare plusieurs condensateurs au
même potentiel, leur énergie est proportionnelle à leur
capacité ; si au contraire ils ont , leur
énergie est en raison inverse de leur capacité.
La définition de l'énergie fournit un nouveau moyen
d'évaluer la force exercée sur un corps électrisé. Soit
116
en effet F la composante efficace de la force pour un
déplacement infiniment petit dx ; on a :
D'où :
Ainsi la force subie par un corps électrisé est égal
à la dérivée de l'énergie électrique par rapport au
déplacement, changée de signe.
Remarque. La définition de la force par la formule :
donne la force qui s'exerce sur l'unité d'électricité
placée en un point ; tandis que la nouvelle définition
donne la force qui s'exerce en un point d'un conducteur
électrisé, de charge connue. De plus on suppose que tous
les conducteurs sont isolés, de telle sorte que leurs charges
ne puissent varier.
Exemple : Nous allons calculer la force qu'exercent
l'une sur l'autre les 2 plateaux d'un condensateur.
Soit A au potentiel V, B au potentiel 0. l'énergie
électrique au condensateur sera :
Or :
e étant la distance des 2 plateaux.
117
Or :
Donc :
La force, étant négative, est attractive, comme on sait.
Remarque. Si l'on différentie l'énergie en supposant
le potentiel constant :
on trouve :
de sorte que, si les 2 plateaux se rapprochent (de <0)
la capacité augmente (
Il semble donc que, lorsque l'un des plateaux se
déplace dans le sens de la force qui le sollicite, son
énergie augmente, tandis qu'elle devrait diminuer,
le travail de la force étant positif.
Ce paradoxe vient de ce qu'on applique à tort la
formule de l'énergie à un conducteur
isolé, car pour maintenir le plateau au même poten-
tiel, et faut le mettre en communication avec une source
d'électricité qui, elle, consomme du travail et produit
de l'énergie. Or il se trouve que la sources produit une
somme d’énergie double de celle que gagne le condensateur,
et comme elle équivaut à la somme
118
il en résulte qui celui-ci est égal à l'énergie acquise
par le condensateur. C'est ce qu'on va démontrer.
La source étant au potentiel V, calculons le travail
nécessaire pour qu'elle produise
d'électricité de la source dans le condensateur.
L'énergie de cette masse M
pour l'amener de l'infini à cette source : pour
une charge 1, ce travail est V ; pour la charge M,
il est MV. D'autre part, si cette charge se trouve
transportée dans le condensateur, son énergie n'est plus
que
moitié : l'autre moitié s'est dépensée en travail.
Ces 2 moitiés étant égales et de même signe, on a :
et voilà pourquoi la force a le même signe que la
variation d'énergie du condensateur, quand on le
considère comme isolé. Au contraire, quand on
considère le système (vraiment isolé cette fois), du
condensateur et de la source qui lui fournit l’électricité,
la source perd en énergie le double de que le
condensateur gagne, et l'on a, en vertu du principe
de la conservation de l'énergie : 2dW
au :
119
10 e leçon
Nous avons vu que la formule :
et sujette à exception quand le système est en relation
avec une source d'électricité,
ensemble de corps qui ont la propriété de conserver le
même potentiel ou la même différence de potentiel
quelles que soient leurs pertes d'électricité. Cela ne peut
se faire évidemment que grâce à une dépense d'énergie.
Distinguons l'énergie totale du système et de la source,
W, l'énergie du système seul W 1, et l'énergie de la source
seule W 2. Par définition :
d'où :
Or l'énergie de la source, quand elle fournit la charge dM,
décroît de VdM :
et l'énergie du système recevant la même charge croît
de la moitié seulement :
car :
Il vient :
Donc :
Et comme la force est en général :
elle est dans ce cas :
et par conséquent le travail :
120
aussi la perte d'énergie de la source est double du gain
d'énergie du système :
Ainsi, lorsqu'un système
à potentiel constant, su son
accroissement d'énergie est égal au travail électrique,
et leur somme à la perte d'énergie de la source.
Du partage de l'électricité entre corps conducteurs.
Soient deux conducteurs aux potentiels V et V', et de
charge M et M'. Si on les met en communication,
elles deviennent M 1 et M' 1, et leur potentiel commun
est x. En vertu du principe de la conservation de
l'électricité, on a l'égalité :
Considérons seulement le cas où les conducteurs sont
assez éloignés pour que leur influence réciproque soit
négligeable. Dans ce cas, leur capacité n'est pas altérée,
et leur distribution électrique conserve la même forme.
La capacité du conducteur unique formé par leur réunion
est donc la somme de leurs capacités :
Cette équation permet de calculer x quand on connaît
les capacités. Cherchons ce que devient l'énergie du système.
121
Avant la communication, elle est :
Après la communication, elle est :
La variation de l'énergie est donc :
Cette expression est positive quels que soient V et V'
(différents ; il y a donc toujours perte d'énergie, à moins
que les potentiels soient égaux.
On démontre sans peine pour un système d'un nombre
quelconque de conducteurs la formule générale :
On peut se demander ce que devient l'énergie perdue. Dans
les cas précédents, il y avait un travail mécanique équiva-
lent à la perte d'énergie ; mais dans ce cas-ci il n'y en a pas.
L'expérience apprend qu'il se produit de la chaleur, et que
la quantité de chaleur développée est équivalente à la
perte d'énergie calculée.
Les premières expériences sur la chaleur dégagée par la
décharge des conducteurs sont dues au savant suisse
(vers 1840) ; il a eu la chance de trouver des formules
122
empiriques qui ont été depuis déduites par le calcul
de la théorie du potentiel.
Il employait une batterie électrique, réunion de conden-
sateurs fermés. (Dans les bouteilles de Leyde, le diélectrique
est de verre, au lieu de l'air que nous avons considéré dans
le condensateur théorique ; mais la nature du diélectrique
n’intervient que par une valeur différente de la constante k.)
Soit M la charge de l'armature interne ; celle de l'armature
externe sera -M. En réunissant les 2 armatures par un
conducteur (excitateur à manches de verre) on produit une
décharge,
la charge finale est donc nulle. L'énergie primitive était
l'énergie finale est 0. La perte d'énergie est donc
égale à l'énergie initiale. Soit C la capacité électrique
de l'armature interne :
Donc :
Les lois empiriques découvertes par
avec ces formules. Pour les vérifier, il faut connaître :
1° la capacité du conducteur, au moins en valeur
relative : on la considère comme proportionnelle au
nombre des bouteilles (toutes égales) ; 2° la charge :
123
3° la chaleur dégagée par la décharge ; on la mesure au
moyen du thermomètre de
La bouteille de Lane est une bouteille de
dont l'armature externe communique avec une boule
mobile qu'on peut rapprocher plus ou moins (par une vis
micrométrique) d'une boule fixe portée par l'armature
interne. Quand on la met en relation avec une
machine électrique, une étincelle éclate entre les
2 boules quand la charge a atteint une certaine
valeur, et décharge les 2 armatures. Cette charge maxima
de la bouteille servira d'unité de mesure pour la charge
de la batterie.
Pour cela, on relie la batterie à la bouteille de Lane
de manière qu'elles soient déposées en série ou en cascade
par rapport à la source. Si la charge intérieure de la
bouteille est m, la charge extérieure sera -m ; elle
correspond
pond à une charge +m de l'armature intérieur de
la batterie, laquelle engendre à son tour une charge -m
dans l'armature extérieure. En un mot, les armatures
intérieures de la bouteille et de la batterie se chargent de
la même quantité d'électricité. Quand la bouteille se
décharge, sa charge devient nulle mais celle de la batterie
124
subsiste. Autant de fois l'étincelle aura éclaté, autant
de fois la batterie aura reçu la charge m, qui s' ajoute
à elle Thermomètre de Riess. C'est un ballon de verre
contenant une spirale métallique
(qu'on peut changer à volonté) par
laquelle on fait passer la décharge
de la batterie. Le fil métallique
s'échauffe, et échauffe l'air du
ballon (d'abord à la pression atmosphérique H). Soit t son
élévation de température ; sa pression devient :
Le liquide descend
sur l'horizon (il ne monte pas sensiblement dans la branche
large ouverte). Supposons H mesurée avec le même liquide :
Ainsi x est proportionnel à t, mais t est proportionnel
à la quantité de chaleur dégagée dans la masse d'air, q :
donc le déplacement du liquide est proportionnel à q
qu'il s'agit de mesurer ; et il est d'autant plus grand, pour
une valeur donnée de q, que sin ε ou ε est plus petit.
Seulement, dans la pratique, l'air s'échauffe puis se
refroidit brusquement, de sorte que le liquide dépasse
la position d'équilibre, en vertu de la vitesse acquise, et
125
ne s'y arrête pas plus en remontant qu'en descendant :
cette position, qui correspond à
Mais si l'on observe le déplacement extrême
on peut le considérer comme proportionnel à x pour
un même instrument, et par suite le prendre pour x,
puisqu'il ne s'agit que de vérifier des proportionnalités.
de la charge ; proportionnel à la capacité pour un même
potentiel ; et inversement proportionnel à la capacité
pour une même charge.
Ces expériences vérifient seulement la proportionnalité,
et non la stricte équivalence de la chaleur et de l'énergie.
Toutefois, on constate, en changeant la spirale, que la nature
du conducteur est indifférente : la quantité de chaleur
dégagée est toujours la même.
On peut intercaler dans le circuit de décharge plusieurs
thermomètres de
différentes. Soient d'abord 2 spirales de même métal
et de même section, mais de longueurs différentes l et l' ;
on trouve pour les quantités de chaleur dégagées par
la même décharge :
ce qui est presque évident. Si l'on met 2 fils de même
métal, de même longueur et de sections différentes, s, s',
126
on trouve :
Cette loi permet de négliger la quantité de chaleur produite
par la décharge dans l'excitateur et les fils conducteurs,
dont la section est très grande par rapport à celle de la spirale.
Enfin, si l'on emploie 2 fils de même longueur et section,
mais de métaux différents, on aura :
ρ étant un coefficient propre à chaque métal.
En résumé, la quantité de chaleur produite dans un fil
par une même décharge est proportionnelle à
Cette quantité s’appelle la résistance
Quant à ρ, c'est le coefficient de résistance spécifique donc
que les corps conducteurs se comportent différemment
à l'égard des décharges électriques.
La décharge d'un condensateur n'est pas instantanée,
parce que la différence de potentiel décroissant progressi-
vement, la vitesse se ralentit à mesure : c'est donc un
phénomène compliqué ; qui dure et fait long feu.
Pour avoir un phénomène plus simple, et uniforme,
il faudrait réunir par un fil conducteur deux sources,
l'une au à des potentiels différents (et constants). On peut
concevoir théoriquement la possibilité d'un tel phénomène.
Prenons un condensateur
127
glisser l'un dans l'autre : portons l'armature interne
au potentiel V
Prenons un autre condensateur tout semblable B,
dont les armatures soient respectivement aux potentiels
V' et 0. réunissions les deux armatures internes par
un fil conducteur : les potentiels V et V' tendent à
s'égaliser. Pour empêcher ce fait, on retire l'armature
interne de A, sa capacité diminue, donc la charge peut
diminuer, le potentiel restant constant ; inversement,
on enfonce l’armature interne de B, sa capacité augmente,
et sa charge augmente à potentiel constant. On peut
donc maintenir les potentiels constants malgré une
décharge continue de l'électricité le long du fil. La
vitesse à imprimer aux 2 armatures dépend de la
conductibilité du fil.
Des courants continus.
Faisons abstraction du procédé pratique par lequel on
obtient des sources d'électricité, et considérons un fil
conducteur dont les extrémités sont maintenues aux
potentiels constants V et V'. Il n'y a pas d'équilibre
possible sur un tel conducteur ; l'électricité s'écoulera
128
donc d'une manière continue par le fil : c'est ce qu'on
appelle un courant.
L'expérience montre que le potentiel varie linéairement
le long du fil. Soit l sa longueur totale, x la distance
d'un point quelconque du fil à son origine ; V 1 le
potentiel à l’origine, V 2 le potentiel à l'extrémité ;
soit V le potentiel au point x ; en le mettant en
communication avec un condensateur, on mesure
ce potentiel, et l'on vérifie la relation suivante :
De même, si l'on met 2 points du fil en communication
respectivement avec les 2 paires de quadrants de
l'électromètre Mascart, on constate que la déviation
de l'aiguille est proportionnelle à la distance des 2
points ; on sait d'autre part qu'elle est proportionnelle
à la différence de potentiel des 2 paires de quadrants.
La force électrique a une valeur constante tout le
long du fil ; en effet, la dérivée du potentiel
te
Par suite, on a :
et comme les autres dérivées secondes sont également
nulles (la force ayant la direction du fil), on trouve :
129
Or, en vertu d'un théorème qui ne dépend pas de la forme
des conducteurs ni de l'équilibre de leur charge, on a :
Donc :
Ainsi, la densité électrique est nulle le long du fil,
qu'il n'a pas de charge libre d'électricité. Une certaine
charge disparaît à une extrémité, une charge égale
reparaît à l'autre ; l'électricité semble passer le long
à l'autre du fil, mais elle ne passe pas ; le fil semble
transporter de l'électricité, mais il n'en contient pas.
Dans l'hypothèse des deux fluides, on peut rendre
compte de ce fait en imaginant 2 courant égaux et
contraires des 2 fluides : chaque portion du fil contenant
des quantités égales des 2 fluides est comme à l'état neutre.
Cette théorie peut se préciser dans l'hypothèse atomique :
chaque t une
opposées et les transmettraient de proche en proche, de
sorte qu'à chaque instant la charge de chaque molécule
serait nulle. C'est ce que semble confirmer la théorie de
l'électrolyse, et l'on peut admettre que ce qui est vrai des
conducteurs liquides l'est aussi des conducteurs solides.
Si dans un même circuit on intercale plusieurs
130
conducteurs différents, le potentiel croît ou décroît
linéairement dans chacun d'eux. De plus, l'expé-
rience montre que la différence de potentiel de leurs
extrémités est proportionnelle à leur résistance, de
sorte qu'on a les égalités :
La valeur de ces rapports, constante dans tout le circuit,
et qui caractérise la grandeur du courant, s'appelle
son intensité, et se désigne par I ; on a la formule
générale :
a étant un coefficient constant qui dépend seulement
du choix des unités.
Ohm a deviné ces lois en présumant l'analogie
de la conductibilité électrique avec la conductibilité
calorifique ; il les a ensuite vérifiées par l'expérience.
Sa découverte passa inaperçue en Allemagne, et resta
inconnue en France, où elle fut refaite par
Pour vérifier la loi d'Ohm, il suffit de mesurer les
différences de potentiel par la méthode électrostatique.
On constate d'ailleurs que la Constante I qui
caractérise le courant augmente quand croît ce
que l'on appelle vulgairement l'intensité du courant.
Loi de Joule. En immergeant dans un calorimètre
131
des fils divers traversés par un courant, Joule trouva
que la quantité de chaleur dégagée par ces fils était
proportionnelle à leur résistance, au carré de l'intensité
du courant et au temps pendant lequel le courant
avait passé. C'est ce que résume la formule :
où b est un coefficient dépendant du choix des unités.
Ni
de la conservation de l'énergie au moyen de leurs lois.
Soit M la quantité d'électricité qu'un courant donné
transporte en 1 seconde (on peut la mesurer au moyen
d'un condensateur). En t secondes, la quantité est Mt.
Cette charge passant du potentiel V 1 au potentiel V 2,
le travail effectué ou l'énergie perdue est :
et, si l'on admet que cette énergie reparaît sous forme de
chaleur, on aura (en désignant par J l'équivalent méca-
nique de la chaleur) :
D'autre part, si nous combinons les lois d'Ohm et de
Joule, nous trouvons la formule analogue :
Ainsi l'intensité du courant est proportionnelle à la
132
quantité d'électricité transportée en 1 seconde.
Pour que l'identification des 2 formules soit complète,
il suffit de poser :
En conséquence, on est convenu de prendre pour unités
d'intensité et de résistance celles qui rendent a
égal à 1, et b égal à
on a :
d'électricité qu'il transporte par seconde.
Avec les unités ainsi choisies, les lois d'Ohm et de Joule
se traduisent par les formules simples et usuelles :
11e leçon
On introduit souvent dans la formule de la loi d'Ohm
la force électromotrice
source pour produire l'unité d'électricité. Les deux
extrémités du fil conducteur sont en effet réunies par
une source qui a pour effet de produire la différence ou
chute de potentiel (
produire la masse 1, 2
au potentiel V 1, est précisément (
133
Il faut se garder de confondre la force électromotrice et
la différence de potentiel. Toute différence de potentiel
suppose une force électromotrice, mais quand il y a une
force électromotrice, il n'y a pas toujours une différence
de potentiel. La notion de force électromotrice est donc
plus générale, comme on le verra dans la théorie de l'induction.
La loi d'Ohm se traduit alors sous sa forme habituelle :
On peut également introduire la force électromotrice
dans la formule de la loi de Joule :
Ces formules s'appliquent à un courant unique tra-
versant un circuit simple,
conducteurs mis bout à bout (en série).
On peut se poser un problème plus complexe, en consi-
dérant un circuit multiple, formé de conducteurs rami-
fiés, dans lesquels sont intercalés des forces électromotrices.
Dans ce cas, on applique les corollaires de la loi d'Ohm,
dus à
Considérons un fil
conducteurs et contenant diverses forces électromotrices.
Exprimons la différence de potentiel des 2 extrémités en
fonction de l'intensité du courant, des diverses résistances
et des forces électromotrices, prises positivement ou négativement,
suivant qui' elles relèvent ou abaissent le potentiel dans le
sens courant :
Considérons maintenant un circuit multiple ABCDEF,
dans lequel sont intercalés des
forces électromotrices quelconques
en des points quelconques.
Prenons un sommet, A par
exemple : chacun des fils qui y
aboutissent est parcouru par
un courant ; on considère comme positifs ceux qui apportent
de l'électricité en A, comme négatifs ceux qui en emportent.
Comme on suppose le régime permanent établi, le potentiel
du point A est constant, donc la quantité d'électricité qu'il
reçoit en 1 seconde est nulle. Cette quantité est égale à la
somme algébrique des intensités des courants aboutissant
à ce sommet : d'où :
135
On aura autant d'équations de cette forme qu'il y a
de sommets dans le circuit.
Prenons maintenant un circuit fermé simple,
par exemple ABF. On considère comme positifs
les courants dans le sens ABF, comme négatifs les
courants de sens contraire. Soient V 1 V 2 V 3 les
potentiels aux 3 sommets ; on aura pour la portion
AB :
pour BF :
pour FA :
et pour le circuit total :
ou :
On obtient autant d'équations de cette forme qu'on peut
former de circuits simples fermés avec des portions du
circuit multiple.
Seulement toutes ces équations ne sont pas indépen-
dantes : en effet, tandis que le nombre des équations
est la somme du nombre des sommets et du nombre
des circuits simples. Par exemple, dans le
une fois, il y a 3 fils, 2 sommets et 3 circuits simples,
donc 5 équations pour 3 inconnues. Il y en a donc 2 qui
sont la conséquence des autres. En effet, les 2 sommets
136
donnent lieu à la même équation :
De même, l'équation du 3e circuit
simple (par ex : ADBE) est la
conséquence de celles des 2 premiers (ACBD, ACBE).
Nous avons jusqu'ici considéré les courants continus
dans des fils. Mais, chaque fois que la distribution
de l'électricité change dans un conducteur, il se produit
des courants temporaires. Lorsqu'on met 2 conducteurs
en communication par un fil, le courant qui suit le fil
n'est que la résultante des courants qui sillonnent les
2 conducteurs.
Nous traiterons seulement le problème des courants
continus dans les conducteurs. Pour cela, nous supposons
le régime permanent établi, et par cuite le potentiel
constant en chaque point.
Imaginons un conducteur creux et fermé, dont la surface
interne S 1, est au potentiel V 1, et la surface externe S 2 au poten-
tiel V 2. Entre des 2 surfaces, le potentiel varie d'une manière
continue ; considérons la surface
diaire entre V1 et V2). La force électrique est normale à cette
surface en chaque point. Détachons-en
et construisons sur lui un petit cylindre normal à la
137
surface, de hauteur dn, et terminé par une surface
équipotentielle infiniment voisine
d'Ohm à ce petit conducteur : sa résistance est :
Donc l'intensité du courant qui le traverse est :
Nous définirons l'intensité du courant au point M,
rapporté à l'unité de surface, par l'équation :
D'où :
Or la force au point M, rapportée à l'unité d’électricité,
est précisément :
Donc :
Appliquons la loi de Joule au même petit conducteur.
La quantité de chaleur qui y est produite est :
Or dn ds est le volume du petit cylindre, soit ds :
donc :
La quantité d'énergie dissipée en 1 seconde dans cepetit
élément du conducteur est :
Proposons-nous de déterminer la résistance totale
R du conducteur,
138
différence de potentiel entre ses extrémités, serait traversé
par le même courant (la même quantité d'électricité par
seconde). Cette résistance est, en vertu de la loi d'Ohm :
Or I, intensité totale du courant, est l'intégrale de Jds
étendu à une surface équipotentielle quelconque S :
Or
la surface équipotentielle S. On a donc finalement :
Signalons une analogie curieuse qui s'établit, par le
moyen des formules, entre ce problème d'Electrodynamique
et un problème tout différent d'Electricité statique.
Imaginons un condensateur ayant pour armatures les
surface S 1 et S 2, l’intervalle étant rempli par de l'air,
et cherchons sa capacité C. La charge de l'armature
interne étant M, on a l'équation ( v. p. 99) :
Or M est l'intégrale de la densité de l'armature :
D'autre part, on sait
et par suite :
139
Remarquons que le flux de force est le même que dans
le problème précédent : multiplions membre à
les deux formules, celle de R et celle de C :
Ainsi la capacité du condensateur est en raison inverse
de la résistance du conducteur conjugue
calculer la capacité d'un condensateur, on connaîtra
par la même la résistance d'un conducteur (de matière
déterminée, ayant une résistance spécifique ρ) qui
remplirait l'intervalle des deux armatures.
Exemple : On sait que la capacité d'un condensateur
sphérique, dont les armatures ont les rayons r 1 et r 2,
est :
Pour un conducteur sphérique creux limité par les
mêmes surfaces ayant les mêmes potentiels V
la résistance totale au courant sera :
De cette analogie en découle une autre entre le flux de
force et le courant. Pour une surface quelconque menée
à l'intérieur du conducteur, le flux de force est :
intégrale prise suivant cette surface. D'autre part, l'intensité
140
totale du courant qui traverse le conducteur
Si l'on considère une surface qui entoure la surface S 1,
l'intensité du courant qui la traverse est celle du courant
qui passe de S 1 à S 2 ; elle est constante dans toute
l'épaisseur du conducteur. D'autre part, le flux de force
M étant la charge de l'armature interne du condensateur
homologue. Il est également constant quelle que soit la
surface considérée.
Si au contraire on prend une surface qui n'entoure
pas la cavité du conducteur, le flux de force sera nul,
et aussi l'intensité du courant qui la traverse : et en
effet, la quantité d'électricité que le courant y apporte
est égale à celle qu'il en emporte, de sorte que la somme
algébrique des quantités d'électricité qui entrent et sortent
est nulle.
Une autre analogie est celle qui a suggéré à
la loi qu'il a découverte et vérifiée ensuite.
Rappelons les lois de la conductibilité calorifique.
Soit un corps limité par 2 surfaces S 1 S 2, que l'on
maintient respectivement aux températures t 1 et t 2.
Si l'on prolonge l'expérience, un régime permanent
141
finit par s'établir, de telle sorte qu'en chaque point intérieur
la température a une valeur constante et déterminée
(intermédiaire entre t 1 et t 2.), ainsi que la quantité de
chaleur qui traverse le corps en 1 seconde. Ce régime
permanent est l'analogue du courant électrique ; la
température, du potentiel; et les surfaces isothermes, des
surfaces équipotentielles. Le flux de chaleur en un point
est donné par la formule :
c étant le coefficient de conductibilité, et
la dérivée de la température par rapport à la normale à
la surface isotherme. D'autre part, le flux d’électricité
dans un conducteur analogue, est
Posons
On voit que les deux formules sont de forme identique.
C'est cette identité, supposée par
à rechercher si la conductibilité électrique obéit aux
mêmes lois que la conductibilité calorifique.
Ainsi à tout problème de flux de chaleur corres-
pond un problème de flux électrique, et par l'intermé-
diaire de celui-ci, un problème de condensateur. Par
exemple, pour connaître la quantité de chaleur qui traverse
142
un conducteur creux sera donnée par la formule du
courant électrique, en y remplaçant
et
On ne sait pas grand chose des conductibilités spéci-
fiques des conducteurs électriques : on n'a pas encore
trouvé de loi générale qui les relie aux
des divers corps, de manière que, connaissant ces
propriétés
On a remarqué que les corps conducteurs
de l’électricité sont opaques et ont l'éclat métallique.
Les corps transparents sont au contraire isolants. Ce
fait, purement empirique jusqu’ici, dénote une
corrélation cachée entre l'électricité et la lumière.
On a aussi remarqué que les corps bons conducteurs
de la chaleur sont aussi bons conducteurs de l'électricité.
M. M.
affirmer la proportionnalité des deux conductibilités ;
mais on a reconnu que cette proportionnalité n'est pas
exacte. Il n'en est pas moins vrai que les corps se rangent
dans le même ordre par rapport àla deux conductibilités,
de sorte qu'elles croissent en même temps & dans le même sens.
On a constaté que tous les métaux solides purs ont
une résistance qui croît quand leur température s'élève,
143
et qui est sensiblement proportionnelle à la tempéra-
ture absolue. Cette loi n'est pas rigoureuse : la résistance
de chaque métal éprouve pour 1 degré une variation
un peu plus ou un peu moins grande que
Les métaux liquides conduisent moins bien l’électricité,
ainsi que la chaleur. Mais le mercure solidifié a une
résistance quatre fois moindre, de sorte qu'il se comporte
comme les métaux solides.
Des impuretés, même faibles, altèrent nottablement
la conductibilité : ainsi les alliages conduisent moins bien
l'électricité que les métaux purs.
Toutes ces lois empiriques ne sont pas encore expliquées.
Pour cela, il faut attendre les progrès de la Chimie, qui
découvrira peut-être la constitution des corps.
Des diélectriques (mot inventé par
La propriété caractéristique des conducteurs est que, dans
un conducteur dont la charge est en équilibre, le champ
électrique est nul. Au contraire, dans un diélectrique,
le champ n'est pas nul en général. Par exemple,
un électroscope formé de 2 fils métalliques, plongé dans
un liquide diélectrique (pétrole) et él diverge quand il est
électrisé (
On sait que dans la formule de
144
le coefficient k dépend de la nature du diélectrique.
En effet, la répulsion de 2 balles électrisées est plus de
2 fois moindre dans le pétrole que dans l'air. On
pourrait mesurer k, pour les liquides, en plongeant
la balance de Coulomb dans le liquide à étudier ;
mais ce procédé serait incommode. Il vaut mieux
employer les formules dérivées de la loi de Coulomb,
où figure toujours k ; par exemple, la formule de
la capacité d'un condensateur ( v. p. 99) :
Supposons que cette formule corresponde au cas où le
diélectrique est l'air ; si on le remplace par un autre
diélectrique, on aura une autre capacité :
Donc :
Si k est le coefficient relatif à l'air on pose :
Le nombre K est la constante diélectrique du corps
employé comme isolant.
De même qu'un corps conducteur est caractérisé par
sa résistance spécifique un corps isolant est caractérisé
par sa constante diélectrique.
On fait l'expérience avec l'électroscope condensateur
125
ne s'y arrête pas plus en remontant qu'en descendant :
cette position, qui correspond à
Mais si l'on observe le déplacement extrême
on peut le considérer comme proportionnel à x pour
un même instrument, et par suite le prendre pour x,
puisqu'il ne s'agit que de vérifier des proportionnalités.
de la charge ; proportionnel à la capacité pour un même
potentiel ; et inversement proportionnel à la capacité
pour une même charge.
Ces expériences vérifient seulement la proportionnalité,
et non la stricte équivalence de la chaleur et de l'énergie.
Toutefois, on constate, en changeant la spirale, que la nature
du conducteur est indifférente : la quantité de chaleur
dégagée est toujours la même.
On peut intercaler dans le circuit de décharge plusieurs
thermomètres de
différentes. Soient d'abord 2 spirales de même métal
et de même section, mais de longueurs différentes l et l' ;
on trouve pour les quantités de chaleur dégagées par
la même décharge :
ce qui est presque évident. Si l'on met 2 fils de même
métal, de même longueur et de sections différentes, s, s',
126
on trouve :
Cette loi permet de négliger la quantité de chaleur produite
par la décharge dans l'excitateur et les fils conducteurs,
dont la section est très grande par rapport à celle de la spirale.
Enfin, si l'on emploie 2 fils de même longueur et section,
mais de métaux différents, on aura :
ρ étant un coefficient propre à chaque métal.
En résumé, la quantité de chaleur produite dans un fil
par une même décharge est proportionnelle à
Cette quantité s’appelle la résistance
Quant à ρ, c'est le coefficient de résistance spécifique donc
que les corps conducteurs se comportent différemment
à l'égard des décharges électriques.
La décharge d'un condensateur n'est pas instantanée,
parce que la différence de potentiel décroissant progressi-
vement, la vitesse se ralentit à mesure : c'est donc un
phénomène compliqué ; qui dure et fait long feu.
Pour avoir un phénomène plus simple, et uniforme,
il faudrait réunir par un fil conducteur deux sources,
l'une au à des potentiels différents (et constants). On peut
concevoir théoriquement la possibilité d'un tel phénomène.
Prenons un condensateur
127
glisser l'un dans l'autre : portons l'armature interne
au potentiel V
Prenons un autre condensateur tout semblable B,
dont les armatures soient respectivement aux potentiels
V' et 0. réunissions les deux armatures internes par
un fil conducteur : les potentiels V et V' tendent à
s'égaliser. Pour empêcher ce fait, on retire l'armature
interne de A, sa capacité diminue, donc la charge peut
diminuer, le potentiel restant constant ; inversement,
on enfonce l’armature interne de B, sa capacité augmente,
et sa charge augmente à potentiel constant. On peut
donc maintenir les potentiels constants malgré une
décharge continue de l'électricité le long du fil. La
vitesse à imprimer aux 2 armatures dépend de la
conductibilité du fil.
Des courants continus.
Faisons abstraction du procédé pratique par lequel on
obtient des sources d'électricité, et considérons un fil
conducteur dont les extrémités sont maintenues aux
potentiels constants V et V'. Il n'y a pas d'équilibre
possible sur un tel conducteur ; l'électricité s'écoulera
128
donc d'une manière continue par le fil : c'est ce qu'on
appelle un courant.
L'expérience montre que le potentiel varie linéairement
le long du fil. Soit l sa longueur totale, x la distance
d'un point quelconque du fil à son origine ; V 1 le
potentiel à l’origine, V 2 le potentiel à l'extrémité ;
soit V le potentiel au point x ; en le mettant en
communication avec un condensateur, on mesure
ce potentiel, et l'on vérifie la relation suivante :
De même, si l'on met 2 points du fil en communication
respectivement avec les 2 paires de quadrants de
l'électromètre Mascart, on constate que la déviation
de l'aiguille est proportionnelle à la distance des 2
points ; on sait d'autre part qu'elle est proportionnelle
à la différence de potentiel des 2 paires de quadrants.
La force électrique a une valeur constante tout le
long du fil ; en effet, la dérivée du potentiel
te
Par suite, on a :
et comme les autres dérivées secondes sont également
nulles (la force ayant la direction du fil), on trouve :
129
Or, en vertu d'un théorème qui ne dépend pas de la forme
des conducteurs ni de l'équilibre de leur charge, on a :
Donc :
Ainsi, la densité électrique est nulle le long du fil,
qu'il n'a pas de charge libre d'électricité. Une certaine
charge disparaît à une extrémité, une charge égale
reparaît à l'autre ; l'électricité semble passer le long
à l'autre du fil, mais elle ne passe pas ; le fil semble
transporter de l'électricité, mais il n'en contient pas.
Dans l'hypothèse des deux fluides, on peut rendre
compte de ce fait en imaginant 2 courant égaux et
contraires des 2 fluides : chaque portion du fil contenant
des quantités égales des 2 fluides est comme à l'état neutre.
Cette théorie peut se préciser dans l'hypothèse atomique :
chaque t une
opposées et les transmettraient de proche en proche, de
sorte qu'à chaque instant la charge de chaque molécule
serait nulle. C'est ce que semble confirmer la théorie de
l'électrolyse, et l'on peut admettre que ce qui est vrai des
conducteurs liquides l'est aussi des conducteurs solides.
Si dans un même circuit on intercale plusieurs
130
conducteurs différents, le potentiel croît ou décroît
linéairement dans chacun d'eux. De plus, l'expé-
rience montre que la différence de potentiel de leurs
extrémités est proportionnelle à leur résistance, de
sorte qu'on a les égalités :
La valeur de ces rapports, constante dans tout le circuit,
et qui caractérise la grandeur du courant, s'appelle
son intensité, et se désigne par I ; on a la formule
générale :
a étant un coefficient constant qui dépend seulement
du choix des unités.
Ohm a deviné ces lois en présumant l'analogie
de la conductibilité électrique avec la conductibilité
calorifique ; il les a ensuite vérifiées par l'expérience.
Sa découverte passa inaperçue en Allemagne, et resta
inconnue en France, où elle fut refaite par
Pour vérifier la loi d'Ohm, il suffit de mesurer les
différences de potentiel par la méthode électrostatique.
On constate d'ailleurs que la Constante I qui
caractérise le courant augmente quand croît ce
que l'on appelle vulgairement l'intensité du courant.
Loi de Joule. En immergeant dans un calorimètre
131
des fils divers traversés par un courant, Joule trouva
que la quantité de chaleur dégagée par ces fils était
proportionnelle à leur résistance, au carré de l'intensité
du courant et au temps pendant lequel le courant
avait passé. C'est ce que résume la formule :
où b est un coefficient dépendant du choix des unités.
Ni
de la conservation de l'énergie au moyen de leurs lois.
Soit M la quantité d'électricité qu'un courant donné
transporte en 1 seconde (on peut la mesurer au moyen
d'un condensateur). En t secondes, la quantité est Mt.
Cette charge passant du potentiel V 1 au potentiel V 2,
le travail effectué ou l'énergie perdue est :
et, si l'on admet que cette énergie reparaît sous forme de
chaleur, on aura (en désignant par J l'équivalent méca-
nique de la chaleur) :
D'autre part, si nous combinons les lois d'Ohm et de
Joule, nous trouvons la formule analogue :
Ainsi l'intensité du courant est proportionnelle à la
132
quantité d'électricité transportée en 1 seconde.
Pour que l'identification des 2 formules soit complète,
il suffit de poser :
En conséquence, on est convenu de prendre pour unités
d'intensité et de résistance celles qui rendent a
égal à 1, et b égal à
on a :
d'électricité qu'il transporte par seconde.
Avec les unités ainsi choisies, les lois d'Ohm et de Joule
se traduisent par les formules simples et usuelles :
11e leçon
On introduit souvent dans la formule de la loi d'Ohm
la force électromotrice
source pour produire l'unité d'électricité. Les deux
extrémités du fil conducteur sont en effet réunies par
une source qui a pour effet de produire la différence ou
chute de potentiel (
produire la masse 1, 2
au potentiel V 1, est précisément (
133
Il faut se garder de confondre la force électromotrice et
la différence de potentiel. Toute différence de potentiel
suppose une force électromotrice, mais quand il y a une
force électromotrice, il n'y a pas toujours une différence
de potentiel. La notion de force électromotrice est donc
plus générale, comme on le verra dans la théorie de l'induction.
La loi d'Ohm se traduit alors sous sa forme habituelle :
On peut également introduire la force électromotrice
dans la formule de la loi de Joule :
Ces formules s'appliquent à un courant unique tra-
versant un circuit simple,
conducteurs mis bout à bout (en série).
On peut se poser un problème plus complexe, en consi-
dérant un circuit multiple, formé de conducteurs rami-
fiés, dans lesquels sont intercalés des forces électromotrices.
Dans ce cas, on applique les corollaires de la loi d'Ohm,
dus à
Considérons un fil
conducteurs et contenant diverses forces électromotrices.
Exprimons la différence de potentiel des 2 extrémités en
fonction de l'intensité du courant, des diverses résistances
et des forces électromotrices, prises positivement ou négativement,
suivant qui' elles relèvent ou abaissent le potentiel dans le
sens courant :
Considérons maintenant un circuit multiple ABCDEF,
dans lequel sont intercalés des
forces électromotrices quelconques
en des points quelconques.
Prenons un sommet, A par
exemple : chacun des fils qui y
aboutissent est parcouru par
un courant ; on considère comme positifs ceux qui apportent
de l'électricité en A, comme négatifs ceux qui en emportent.
Comme on suppose le régime permanent établi, le potentiel
du point A est constant, donc la quantité d'électricité qu'il
reçoit en 1 seconde est nulle. Cette quantité est égale à la
somme algébrique des intensités des courants aboutissant
à ce sommet : d'où :
135
On aura autant d'équations de cette forme qu'il y a
de sommets dans le circuit.
Prenons maintenant un circuit fermé simple,
par exemple ABF. On considère comme positifs
les courants dans le sens ABF, comme négatifs les
courants de sens contraire. Soient V 1 V 2 V 3 les
potentiels aux 3 sommets ; on aura pour la portion
AB :
pour BF :
pour FA :
et pour le circuit total :
ou :
On obtient autant d'équations de cette forme qu'on peut
former de circuits simples fermés avec des portions du
circuit multiple.
Seulement toutes ces équations ne sont pas indépen-
dantes : en effet, tandis que le nombre des équations
est la somme du nombre des sommets et du nombre
des circuits simples. Par exemple, dans le
une fois, il y a 3 fils, 2 sommets et 3 circuits simples,
donc 5 équations pour 3 inconnues. Il y en a donc 2 qui
sont la conséquence des autres. En effet, les 2 sommets
136
donnent lieu à la même équation :
De même, l'équation du 3e circuit
simple (par ex : ADBE) est la
conséquence de celles des 2 premiers (ACBD, ACBE).
Nous avons jusqu'ici considéré les courants continus
dans des fils. Mais, chaque fois que la distribution
de l'électricité change dans un conducteur, il se produit
des courants temporaires. Lorsqu'on met 2 conducteurs
en communication par un fil, le courant qui suit le fil
n'est que la résultante des courants qui sillonnent les
2 conducteurs.
Nous traiterons seulement le problème des courants
continus dans les conducteurs. Pour cela, nous supposons
le régime permanent établi, et par cuite le potentiel
constant en chaque point.
Imaginons un conducteur creux et fermé, dont la surface
interne S 1, est au potentiel V 1, et la surface externe S 2 au poten-
tiel V 2. Entre des 2 surfaces, le potentiel varie d'une manière
continue ; considérons la surface
diaire entre V1 et V2). La force électrique est normale à cette
surface en chaque point. Détachons-en
et construisons sur lui un petit cylindre normal à la
137
surface, de hauteur dn, et terminé par une surface
équipotentielle infiniment voisine
d'Ohm à ce petit conducteur : sa résistance est :
Donc l'intensité du courant qui le traverse est :
Nous définirons l'intensité du courant au point M,
rapporté à l'unité de surface, par l'équation :
D'où :
Or la force au point M, rapportée à l'unité d’électricité,
est précisément :
Donc :
Appliquons la loi de Joule au même petit conducteur.
La quantité de chaleur qui y est produite est :
Or dn ds est le volume du petit cylindre, soit ds :
donc :
La quantité d'énergie dissipée en 1 seconde dans cepetit
élément du conducteur est :
Proposons-nous de déterminer la résistance totale
R du conducteur,
138
différence de potentiel entre ses extrémités, serait traversé
par le même courant (la même quantité d'électricité par
seconde). Cette résistance est, en vertu de la loi d'Ohm :
Or I, intensité totale du courant, est l'intégrale de Jds
étendu à une surface équipotentielle quelconque S :
Or
la surface équipotentielle S. On a donc finalement :
Signalons une analogie curieuse qui s'établit, par le
moyen des formules, entre ce problème d'Electrodynamique
et un problème tout différent d'Electricité statique.
Imaginons un condensateur ayant pour armatures les
surface S 1 et S 2, l’intervalle étant rempli par de l'air,
et cherchons sa capacité C. La charge de l'armature
interne étant M, on a l'équation ( v. p. 99) :
Or M est l'intégrale de la densité de l'armature :
D'autre part, on sait
et par suite :
139
Remarquons que le flux de force est le même que dans
le problème précédent : multiplions membre à
les deux formules, celle de R et celle de C :
Ainsi la capacité du condensateur est en raison inverse
de la résistance du conducteur conjugue
calculer la capacité d'un condensateur, on connaîtra
par la même la résistance d'un conducteur (de matière
déterminée, ayant une résistance spécifique ρ) qui
remplirait l'intervalle des deux armatures.
Exemple : On sait que la capacité d'un condensateur
sphérique, dont les armatures ont les rayons r 1 et r 2,
est :
Pour un conducteur sphérique creux limité par les
mêmes surfaces ayant les mêmes potentiels V
la résistance totale au courant sera :
De cette analogie en découle une autre entre le flux de
force et le courant. Pour une surface quelconque menée
à l'intérieur du conducteur, le flux de force est :
intégrale prise suivant cette surface. D'autre part, l'intensité
140
totale du courant qui traverse le conducteur
Si l'on considère une surface qui entoure la surface S 1,
l'intensité du courant qui la traverse est celle du courant
qui passe de S 1 à S 2 ; elle est constante dans toute
l'épaisseur du conducteur. D'autre part, le flux de force
M étant la charge de l'armature interne du condensateur
homologue. Il est également constant quelle que soit la
surface considérée.
Si au contraire on prend une surface qui n'entoure
pas la cavité du conducteur, le flux de force sera nul,
et aussi l'intensité du courant qui la traverse : et en
effet, la quantité d'électricité que le courant y apporte
est égale à celle qu'il en emporte, de sorte que la somme
algébrique des quantités d'électricité qui entrent et sortent
est nulle.
Une autre analogie est celle qui a suggéré à
la loi qu'il a découverte et vérifiée ensuite.
Rappelons les lois de la conductibilité calorifique.
Soit un corps limité par 2 surfaces S 1 S 2, que l'on
maintient respectivement aux températures t 1 et t 2.
Si l'on prolonge l'expérience, un régime permanent
141
finit par s'établir, de telle sorte qu'en chaque point intérieur
la température a une valeur constante et déterminée
(intermédiaire entre t 1 et t 2.), ainsi que la quantité de
chaleur qui traverse le corps en 1 seconde. Ce régime
permanent est l'analogue du courant électrique ; la
température, du potentiel; et les surfaces isothermes, des
surfaces équipotentielles. Le flux de chaleur en un point
est donné par la formule :
c étant le coefficient de conductibilité, et
la dérivée de la température par rapport à la normale à
la surface isotherme. D'autre part, le flux d’électricité
dans un conducteur analogue, est
Posons
On voit que les deux formules sont de forme identique.
C'est cette identité, supposée par
à rechercher si la conductibilité électrique obéit aux
mêmes lois que la conductibilité calorifique.
Ainsi à tout problème de flux de chaleur corres-
pond un problème de flux électrique, et par l'intermé-
diaire de celui-ci, un problème de condensateur. Par
exemple, pour connaître la quantité de chaleur qui traverse
142
un conducteur creux sera donnée par la formule du
courant électrique, en y remplaçant
et
On ne sait pas grand chose des conductibilités spéci-
fiques des conducteurs électriques : on n'a pas encore
trouvé de loi générale qui les relie aux
des divers corps, de manière que, connaissant ces
propriétés
On a remarqué que les corps conducteurs
de l’électricité sont opaques et ont l'éclat métallique.
Les corps transparents sont au contraire isolants. Ce
fait, purement empirique jusqu’ici, dénote une
corrélation cachée entre l'électricité et la lumière.
On a aussi remarqué que les corps bons conducteurs
de la chaleur sont aussi bons conducteurs de l'électricité.
M. M.
affirmer la proportionnalité des deux conductibilités ;
mais on a reconnu que cette proportionnalité n'est pas
exacte. Il n'en est pas moins vrai que les corps se rangent
dans le même ordre par rapport àla deux conductibilités,
de sorte qu'elles croissent en même temps & dans le même sens.
On a constaté que tous les métaux solides purs ont
une résistance qui croît quand leur température s'élève,
143
et qui est sensiblement proportionnelle à la tempéra-
ture absolue. Cette loi n'est pas rigoureuse : la résistance
de chaque métal éprouve pour 1 degré une variation
un peu plus ou un peu moins grande que
Les métaux liquides conduisent moins bien l’électricité,
ainsi que la chaleur. Mais le mercure solidifié a une
résistance quatre fois moindre, de sorte qu'il se comporte
comme les métaux solides.
Des impuretés, même faibles, altèrent nottablement
la conductibilité : ainsi les alliages conduisent moins bien
l'électricité que les métaux purs.
Toutes ces lois empiriques ne sont pas encore expliquées.
Pour cela, il faut attendre les progrès de la Chimie, qui
découvrira peut-être la constitution des corps.
Des diélectriques (mot inventé par
La propriété caractéristique des conducteurs est que, dans
un conducteur dont la charge est en équilibre, le champ
électrique est nul. Au contraire, dans un diélectrique,
le champ n'est pas nul en général. Par exemple,
un électroscope formé de 2 fils métalliques, plongé dans
un liquide diélectrique (pétrole) et él diverge quand il est
électrisé (
On sait que dans la formule de
144
le coefficient k dépend de la nature du diélectrique.
En effet, la répulsion de 2 balles électrisées est plus de
2 fois moindre dans le pétrole que dans l'air. On
pourrait mesurer k, pour les liquides, en plongeant
la balance de Coulomb dans le liquide à étudier ;
mais ce procédé serait incommode. Il vaut mieux
employer les formules dérivées de la loi de Coulomb,
où figure toujours k ; par exemple, la formule de
la capacité d'un condensateur ( v. p. 99) :
Supposons que cette formule corresponde au cas où le
diélectrique est l'air ; si on le remplace par un autre
diélectrique, on aura une autre capacité :
Donc :
Si k est le coefficient relatif à l'air on pose :
Le nombre K est la constante diélectrique du corps
employé comme isolant.
De même qu'un corps conducteur est caractérisé par
sa résistance spécifique un corps isolant est caractérisé
par sa constante diélectrique.
On fait l'expérience avec l'électroscope condensateur
145
qu'on charge, et dont on écarte les plateaux d'une
quantité fixe : les feuilles divergent. On introduit
entre les plateaux une lame de paraffine : les feuilles
se rapprochent : donc la capacité du condensateur a
augmenté (
12 e leçon
Il s'agit de vérifier par expérience l'existence de la constante
diélectrique, par exemple, en cherchant si la loi de
Coulomb régit les condensateurs à lame diélectrique
comme les condensateurs à lame d'air étudiés jusqu'ici.
On peut notamment vérifier si les capacités de deux
condensateurs identiques, mais de lames différentes,
sont dans un rapport constant.
1°
électriques, et l'idée de les comparer de la manière
suivante. Soient deux condensateurs identiques AB,
A'B' ; on porte les armatures A, A' au potentiel V,
et les armatures B, B' au potentiel 0 ; on réunit les
armatures en croix (AB', BA') et sur l'un des fils
de communication on place sur électroscope. Si les
capacités sont égales, les charges s'équilibrent, et
il ne passera pas d'électricité : l’électroscope ne diver-
gera pas. Ayant ainsi un criterium d'égalité pour
146
les capacités, on pourra mesurer la capacité d'un conden-
sateur donné en la comparant à des capacités connues
et graduées.
un répertoire de capacités analogue à une boîte de poids.
Mais cette méthode donnerait dans la pratique de médiocres
résultats.
2° Méthode de Faraday. Soient deux conducteurs de
capacités C et C', respectivement aux potentiels V et O.
Mettons-les en communication ; ils prennent le potentiel
commun x. Leur charge étant la même, on a l'équation :
Si ,
Inversement, si le potentiel diminue de moitié, c'est
que les 2 capacités sont égales. Dans tous les cas, le
rapport du nouveau potentiel x à l'ancien V est égal
au rapport de C à
rapport de C à C'.
Pour constater que le potentiel du 1er conducteur
a varié dans un certain rapport, il suffit de constater
que la densité électrique en un même point de sa surface
a varié dans le même rapport. Par exemple, on prendra
2 condensateurs sphériques, l'un A à lame d'air,
l'autre B à lame diélectrique ; on charge A, et on le
147
touche avec un plan d'épreuve ; on met ensuite
A et
plan d'épreuve. On porte les deux plans d'épreuve dans
la balance de Coulomb, pour mesurer leurs charges :
le rapport de ces charges est celui des densités et par
conséquent des potentiels V et x.
mais il ne remplissait que la moitié de la cavité avec
le diélectrique à étudier (soit une calotte hémisphérique).
Il admettait que l'effet du diélectrique était la moitié
de celui qu'il aurait produit s'il avait rempli toute la
cavité ; hypothèse assez incorrecte. Il constate que tous
les diélectriques augmentent la capacité d'un conden-
sateur à lame d'air. Leurs constantes diélectriques
sont donc supérieures à
3° Pour vérifier la constance de K, évaluons l'attrac-
tion exercée par une plateau du condensateur sur l'autre.
La tension électrique étant donnée par la formule :
la force qui s'exerce sur la surface S du plateau est :
Soient V 1, V 2 les potentiels des 2 armatures, d leur
distance ; la densité a pour expression :
148
et par suite la force :
Si l'on remplace l'air par un autre diélectrique, auquel
correspond (par hypothèse) une autre constante k', on aura
une autre force :
Donc :
On vérifie l’hypothèse en constatant que le rapport des
forces est constant, quelles que soient les différences de
potentiel et la distance.
Ainsi, si l'on dans un condensateur à plateaux
on remplace l'air (ou le vide) par un diélectrique,
le rapport de l'attraction nouvelle à l'ancienne est
constant, et égal à la constante de ce diélectrique.
C'est là le principe de plusieurs méthodes destinées à
mesurer les constantes diélectriques des liquides.
4° On peut recourir à la formule de l'énergie électrique :
où le coefficient k n’intervient pas directement, mais
par la charge. Si dans un condensateur on remplace
l'air par un diélectrique, on change sa capacité, donc
sa charge ( à potentiel égal), et par suite son énergie :
149
Donc :
Pour mesurer les énergies ou du moins leur rapport,
on peut employer le thermomètre de Riess ( p.124).
En résumé, toutes les formules obtenues pour les
condensateurs peuvent servir à mesurer les constantes
diélectriques. Elles prouvent en même temps l'existence
de ces constantes, et par conséquent l'existence de la
constante k propre à chaque diélectrique,
les diélectriques obéissent à la loi de Coulomb.
Nous avons toujours considéré jusqu’ici le cas d'un seul
milieu diélectrique. Et en effet, dans un condensateur
fermé, le diélectrique intérieur seul importe, puisque
le système est absolument indépendant de l'extérieur.
Dans le cas de plusieurs diélectriques différents,
la loi de Coulomb n'est plus applicable, car elle a été
établie pour un milieu homogène. Elle ne
pas ce qui se passe
dans un autre.
Considérons un condensateur à plateaux, dont la
distance est d ; interposons une lame diélectrique
d'épaisseur e, parallèlement aux plateaux. L'expérience
montre que :
150
1° L'effet est indépendant de la position du diélectrique
(lors même qu'il est en contact avec l'une ou l'autre des
armatures) ;
2° L'effet est le même que si l'on rapprochait les plateaux
de la distance :
Nous avons trouvé que, dans le cas où la
est entièrement remplacée par une lame diélectrique, la
capacité est multipliée par K, ce qui revient à diviser
par K la distance des 2 armatures ( p.144). Ainsi
une lame diélectrique interposée entre les plateaux du
condensateur produit le même effet, qu'elle remplisse
ou non l’intervalle.
Dans le condensateur primitif (à lame homogène)
la distribution du potentiel entre les 2 plateaux était
linéaire, les surfaces de niveau étaient équidistantes.
Dans le nouveau condensateur, les surfaces de niveau
sont encore équidistantes dans l'air, d'une part, et
dans la lame diélectrique, d'autre part ; mais, comme
la lame correspond à une couche d'air d'épaisseur
la distance des surfaces équipotentielles à son intérieur
est égale à leur distance dans l'air multipliée par K.
Or on sait que :
dn étant la distance de 2 surfaces équipotentielles
151
dont la différence de potentiel est dV, augmente dans
le rapport K ; donc la force exercée à l'intérieur de
la lame sur l'unité d'électricité est réduite dans
la même rapport K. Elle est d'ailleurs constante
dans toute l'épaisseur de la lame.
Ainsi la force varie brusquement d'un côté à
l'autre de la surface de séparation de 2 diélectriques.
loi Coulomb au moyen d'un artifice.
Lorsqu'on traverse la surface d'un conducteur,
on sait que la composante normale de la force varie
brusquement de
Quand on traverse la surface d'un diélectrique,
la force, qui à l'extérieur (dans l'air ou dans le vide)
était F, devient
L'effet produit est donc le même que si l'on rempla-
çait le diélectrique par un conducteur portant une
distribution d'électricité dont la densité μ' serait
déterminée par l'équation :
le coefficient k correspondant au milieu extérieur.
Seulement, ce n'est là qu'une fiction, car il n'y a pas
d'électricité à la surface d'un diélectrique, comme on
152
peut s'en assurer avec un plan d'épreuve. Mais cette
fiction permet de ramener les problèmes de diélectriques
aux problèmes de conducteurs, auxquels s'applique
la loi de Coulomb. Ce n'est qu'une traduction analytique
des lois expérimentales, destinée à les soumettre au calcul.
Grâce à cet artifice, on ramène le cas de plusieurs
diélectriques au cas d'un seul.
Par exemple, les théorèmes relatifs au flux de force
subsistent encore dans cette hypothèse. Considérons
en effet un élément ds de la surface d'un diélectrique :
circonscrivons-lui un cylindre normal terminé par
deux surfaces équipotentielles infiniment voisines. Le
flux de force qui traverse la face externe est
qui traverse la face interne est
la surface latérale du cylindre est nul. Le flux de force
totale qui pénètre dans le cylindre n'est pas nul :
Mais, en vertu de la fiction, on doit supposer que la
surface du diélectrique porte une distribution μ',
donc la charge fictive de l'élément ds est
Or la densité μ' est :
On a donc identiquement :
153
formule du théorème du flux de force ( p. 46).
Les propositions précédentes fournissent une méthode
très commode pour déterminer la constante des
diélectriques solides : car on n'est pas obligé de remplir
tout l'intervalle des armatures avec la lame diélectrique
(dont le frottement électriserait les plateaux).
Cherchons maintenant comment varie le champ
électrique à l'intérieur d'un diélectrique. En vertu
de l'hypothèse précédente, et si elle est bien conforme
aux faits, la composante normale de la force doit
varier de
Soit F la force dans le champ extérieur, X sa
composante tangentielle, Y sa composante normale.
On doit supposer que celle-ci varie dans le rapport
comme dans le cas du condensateur ; on doit donc
avoir :
La composante X restant la même, les lignes de force
se réfractent en traversant la surface du diélectrique.
Calculons leur loi de réfraction ; soit i leur angle
d'incidence, r l'angle de réfraction :
D'où l'on tire :
154
Il est difficile de vérifier directement cette formule.
Mais on peut pousser plus loin les déductions fondées
sur l'hypothèse, et en tirer des conséquences vérifiables.
Par exemple,
grosse sphère conductrice électrisée sur une petite sphère
diélectrique (c'est le problème du pendule électrique).
Il a trouvé que le rapport de l'attraction exercée est
à celle qui subirait une petite sphère conductrice
de même volume et de même position dans le rapport
Ainsi l'attraction exercée sur un diélectrique est moindre
que celle qui s'exerce sur un conducteur dans les mêmes
conditions.
a mesuré par ce procédé diverses constantes diélectriques,
et a trouvé des résultats conformes à ceux qu'on avait
obtenus par d'autres méthodes. C'est donc
tion
que sous forme de petits cristaux, en taillant de petites
sphères dans un cristal de soufre, par ex. Il a trouvé qu'un
cristal a 3 constantes diélectriques différentes suivant ses
3 axes principaux. On sait que les cristaux ont aussi 3
155
constantes élastiques et 3 indices de réfraction. C'est là
une analogie très intéressante.
Jusqu'ici nous avons nettement distingué deux
classes de corps : les conducteurs et les diélectriques.
Or, en dehors de l'air parfaitement sec, il n'y a pas
de corps absolument isolant. Dans un bon diélectrique,
comme le pétrole, un condensateur se décharge lente-
ment. Si l'on essaie d'électrolyser le
sa conductibilité diminue, ce qui fait supposer qu'elle
tient à des impuretés.
On peut mesurer à la fois la constante diélectrique
et la conductibilité d'un diélectrique imparfait, qui
forme la lame isolante d'un condensateur. Supposons
le diélectrique parfait, et remplaçons-le par un fil de
grande résistance R qui relie les 2 armatures. Plaçons
ce condensateur imparfait en série avec un condensateur
parfait (à lame d'air) dans le circuit d'une pile : on
ferme le circuit pendant un temps très court t (au moyen
d'un commutateur automatique). Soient V et V 1 les
potentiels des armatures du condensateur à air, V 1 et V 2
ceux des armatures du mauvais condensateur. La
charge du 1 er sera :
La charge du 2 e sera égale à celle du 1 er, mais elle
156
comprend, outre la charge fixe, la quantité d'électricité
qui s'est écoulée par le fil pendant le temps t :
En supposant que la résistance du circuit extérieur est
négligeable (fils gros et courts), la force électromotrice
est :
On décharge le 1 er condensateur, et l'on mesure sa charge
M ; connaissant connaissant sa capacité C, on calcule
D'autre part, connaissant E, on en tire
enfin l'on connaît t. Il reste 2 inconnues, C' et R.
On les déterminera en faisant 2 expériences de durée
différente. Au moyen de C' on calcule K, constante
diélectrique de la lame isolante ; au moyen de R, on
calcule sa résistance spécifique ρ.
La plupart des expérimentateurs ont disposé les appareils
de telle sorte que t soit négligeable, et par suite aussi
la quantité d'électricité qui fait par le mauvais
diélectrique. Ils obtenaient ainsi C' et par suite K
seulement. Mais cette méthode est moins rigoureuse
et ne donne pas la conductibilité du diélectrique.
théoriques à énoncer une relation curieuse entre la
constante diélectrique K d'un corps et son indice de réfraction
157
n :
Mais cette relation n'est pas vérifiée par l'expérience.
Elle est
sont toutes très voisines de 1. Mais comme leurs
indices de réfraction sont aussi fort voisines de 1,
les mesures sont peu exactes et la vérification est peu
probante.
Pour les liquides communs, l'indice de réfraction
varie entre 1,33 et 1,5. Leurs constantes diélectriques
ne varient guère plus, et sont bien de l'ordre de n 2.
Seulement, l'ordre des K croissants n'est pas exacte-
ment le même que celui des n croissants, de sorte
que la loi n'est pas rigoureuse. Enfin, pour les
mauvais diélectriques, elle n'est plus du tout vraie :
par exemple l'eau a pour indice de réfraction
et
En revanche, la loi est plus exacte quand on prend
pour n l'indice de réfraction des ondulations élec-
triques (et non plus lumineuses). Il semble donc que
la relation :
aux oscillations hertziennes, dont on parlera plus tard.
La constante diélectrique d'un corps varie très peu
(comme son indice de réfraction). Ainsi celle du mica
158
(qui sert d'isolant dans les condensateurs étalons) est 8.
Or il n'a pas de conductibilité sensible à la température
ordinaire, tandis qu'à 400° sa conductibilité devient
nottable (800 à 1000 fois plus grande). Sa constante
diélectrique reste au contraire la même.
De même, la conductibilité de la glace à 0° est déjà
beaucoup plus faible que celle de l'eau, et elle diminue
énormément avec la température ; mais la glace à
-23° a encore la même constante diélectrique que l'eau.
Les sels en dissolution (électrolytes) sont conducteurs.
Solides, ils sont bien moins conducteurs, et deviennent
diélectriques en se refroidissant.
Dans ce cas, on ne peut plus
il faut donc bien admettre que le sel lui-même est
à la fois conducteur et diélectrique, à l'état pur.
En résumé, pour une durée suffisamment courte,
tous les corps sont diélectriques : pour une durée
suffisamment longue, ils sont tous conducteurs. La
différence des conducteurs et des diélectriques n'est
donc qu'une affaire de temps.
159
13 e leçon
Machines électriques.
Les machines électriques sont des appareils destinés à
produire entre des conducteurs une certaine différence de
potentiel.
Si l'on dispose d'une différence de potentiel, si faible
qu'elle soit, on peut par un travail mécanique obtenir une
différence de potentiel aussi grande qu'on veut.
Soit
l'emploie à charger un condensateur à plateaux dont la distance
(très petite) est ε. La charge correspondante est :
Puis on sépare les plateaux et on les éloigne à l'infini (
assez pour que leur influence mutuelle soit négligeable).
Soit C la capacité d'un plateau seul ; son potentiel x
est déterminé par la relation :
De même, l'autre plateau prend le potentiel -x ;
leur différence de potentiel est donc 2x :
On voit que son rapport à l'ancienne différence de
potentiel est d'autant plus grand que ε est plus petit.
Pour un plateau circulaire, on a :
160
Le travail mécanique est celui qu'on dépense en éloignant
les 2 plateaux malgré leur mutuelle attraction. Mais
le travail mécanique ne peut produire d'électricité par
lui-même, si l'on n' a pas une différence de potentiel.
Reste à trouver des différences de potentiel données,
Expérience de
Où est la source d'électricité dans le circuit
ABC formé par les 2 fils de cuivre et de zinc
et la grenouille ? Selon
de la grenouille ; et cette opinion est plausible, car il y a
des animaux qui produisent l'électricité (torpille,
gymnote). Selon
des 2 métaux : la grenouille jouait le rôle d'un
simple conducteur, ou d'un électroscope. Enfin, selon
tissus baignés de liquides organiques (en B et C) ; et
en effet, il est possible qu'il se
chimique capable d'engendrer un courant (comme le
prouve l'exemple des piles chimiques).
Mais
161
à produire de l'électricité sans réaction chimique ni
tissu organique, en touchant son électroscope condensateur
avec le cuivre d'une lame bimétallique dont on tient
le zinc à la main. Pourtant, les partisans de
pouvaient
l'opérateur sur le zinc.
l'arc bimétallique se termine par des plateaux
des mêmes métaux, placés l'un en face de l'autre
et très rapprochés : ils se chargent ; si l'on
supprime le contact des plateaux avec l'arc et
qu'on les éloigne l'un de l'autre, on les trouve chargés
d'électricité contraire. Ici aucune action organique ou
chimique n'intervient plus. Mais il y a encore un
intermédiaire, l'air. Or
des plateaux et par suite leur différence de potentiel n'est
pas tout à fait la même quand on opère dans le vide
ou dans un autre gaz que l'air. Il faut donc tenir
compte de l'influence du diélectrique.
On a essayé de composer le circuit avec 2 métaux seule-
ment, en sondant aux deux bouts un arc de cuivre et un
arc de zinc. Mais on n'a ainsi obtenu aucun courant.
162
forces électromotrices produites par les deux soudures, étant
égales ou contraires, se neutralisent mutuellement. De
même, dans une chaîne formée de plusieurs métaux,
chaque métal étant à un potentiel constant, la somme
des différences de potentiel est nécessairement nulle, et
par suite la force électromotrice du circuit. C'est ce que
loi des tensions (Il appelait tension
ce que nous nommons potentiel).
On lui a objecté que les forces électromotrices qu'il
supposait à chaque contact de métaux différents, ne
pouvaient exister, attendu qu'un contact ne peut produire produit
pas de travail ; mais c'est abuser du principe de l'équi-
valence, qui n'a de valeur qu'en Thermodynamique.
On sait que si, dans une chaîne de plusieurs
métaux soudés, on chauffe une des soudures, on produit
un courant, ce qui n'arrive pas quand on chauffe un
seul métal. Ce fait suffit à prouver que la soudure
est le siège d'une force électromotrice. Quand toutes
les soudures sont à la même température, Les forces
électromotrices se neutralisent, comme on vient de le dire ;
mais si l'on chauffe une des soudures, on augmente sa
force électromotrice et l'on détruit l'équilibre. Ce fait met
donc en évidence la différence de potentiel de deux corps
163
hétérogènes en contact.
Il y a aussi des forces électromotrices au contact d'un
corps conducteur et d'un diélectrique : car l'expérience
de
sur le courant produit par les 2 métaux soudés.
Le potentiel étant constant dans chaque conducteur
homogène, il faut qu'il varie dans la surface de contact ;
aussi
Cette surface est en réalité une couche d'épaisseur molécu-
laire où les les 2 métaux sont modifiés et confondus. Le
zinc par ex. a une charge positive et un potentiel V 1 ;
le cuivre a une charge négative et un potentiel
De même que les charges s'accumulent dans les deux
plateaux, de même elles s'accumulent dans la couche
intermédiaire des 2 métaux. Pour expliquer que les deux
charges contraires et si voisines ne se réunissent pas, il
faut admettre que chaque métal attire l'électricité dont
il est chargé plus que les 2 électricités ne s'attirent
entre elles. Cela est conforme à la théorie unitaire, où l'on
tient compte de l'attraction de la matière sur l'électricité.
Voilà tout ce qu'on sait sur la force électromotrice due
au contact. Elle est néanmoins le principe des machines
électriques à frottement, dont la machine de Ramsden est le
164
Machine de Ramsden. Pour simplifier, imaginons qu'au
lieu d'embrasser le plateau de verre avec des peignes le
conducteur l'enveloppe et soit en contact avec lui. Le
contact du verre et du coussin développe une force électro-
motrice ; le contact du plateau avec le conducteur
le condensateur : si on les éloigne l'un de l’autre, ils
seront portés à un haut potentiel. Mais pour cela, il
faut que l'un des corps soit diélectrique : car s'ils étaient
tous deux conducteurs, comme on ne peut les séparer
instantanément, l
réunissent par le dernier point de contact. Quand
on tourne le plateau de
haut potentiel V, et passe à l'intérieur du conducteur,
auquel il cède sa charge, jusqu'à ce que le conducteur
arrive lui-même au potentiel
de potentiel maxima entre le verre et le conducteur).
Le travail mécanique est dépensé à séparer le verre
du coussin qui l'attire ; mais il est beaucoup plus faible
que celui qui provient du frottement.
Les peignes qui terminent le conducteur sont destinés
à permettre l'échange des électricités et la neutralisation
du plateau, tout en supprimant le contact et par suite le
frottement.
165
La théorie des machines électriques à influence est
plus simple et plus claire. Nous prendrons pour type
le replenisher
tiellement de 3 organes, tous conducteurs : 1° les porteurs ;
2° les inducteurs ; 3° les récepteurs.
Les porteurs sont des sphères A, B portées
par un levier qui tourne dans un plan
vertical. Quand le levier est horizontal,
elles viennent toucher des balais qui les
mettent en communication avec le sol.
En face de cette position horizontale
se trouvent les inducteurs I, I', qui sont
des sphères électrisées au préalable en sens
contraire. Un peu plus loin (dans le sens de la rotation)
se trouvent les récepteurs R, R', qui communiquent
respectivement avec les inducteurs opposés, et qui
portent des ressorts que les sphères A, B viennent toucher
en tournant. Cela posé, et I étant électrisé positivement,
A s'électrise négativement sous l'influence de I en
passant auprès (l’électricité positive s'écoule dans le sol),
et il se décharge aussitôt sur R. Il augmente ainsi
la charge négative de R et par suite de I' ; en même temps
B, se déchargeant sur R', augmente la charge positive
166
A et B étant déchargés, le même phénomène se produit
quand ils viennent passer I' et I, et avec plus
d'intensité. On peut calculer l'augmentation de potentiel
à chaque demi-tour. Soit C la capacité de chacun des
systèmes (symétriques) 1, V 2
les potentiels primitifs des inducteurs I, I'. Leurs
charges primitives seront respectivement :
Les porteurs, étant au potentiel 0, reçoivent des charges
proportionnelles aux potentiels des inducteurs :
puis ils les communiquent aux récepteurs, dont les
charges deviennent en conséquence :
V' 1, V' 2 étant les nouveaux potentiels de I, I' ; d'où :
ou :
Ainsi la différence de potentiel après un demi-tour
est égale à la précédente multipliée par
Elle croît donc en progression géométrique ; et d'autant
plus rapidement que C est plus petit et a plus grand.
Une telle machine est réversible : si on la fait tourner
167
en sens inverse, on diminue la différence de potentiel
en déchargeant progressivement les récepteurs, de sorte
qu'on peut obtenir telle différence de potentiel qu'on
veut. En même temps, on recouvre du travail au lieu
d'en dépenser, à cause de
les porteurs favorise le mouvement au lieu de le contrarier.
Il en résulte qu'une machine électrique de ce genre
peut, grâce à la réversibilité, devenir un moteur électrique.
En effet, si l'on accouple les récepteurs de 2 machines
semblables, et qu'on fasse tourner l'une dans le sens
direct, elle consommera du travail et produira de l'élec-
tricité ; l'autre se mettra à tourner en sens inverse, en
perdant de l'électricité et en produisant du travail.
fonctionne automatiquement, au moyen d'un appareil
à écoulement : les inducteurs et les récepteurs
sont des tubes cylindriques dans lesquels
tombent les gouttes d'eau qui jouent le
rôle de porteurs. Les gouttes, en communication
avec le sol par le robinet, s'électrisent en
traversant le tube inducteur, et cèdent leur
charge au tube récepteur terminé par un
entonnoir. Le travail mécanique est ici effectué par la pesanteur.
168
Nous nous dispenserons de faire la théorie de la machine
de Holtz, qui est fondée sur le même principe. Les
inducteurs sont les deux cartons, les récepteurs sont
les conducteurs terminés par des peignes. Les porteurs
sont les deux moitiés du disque mobile. Les inducteurs
communiquent avec les récepteurs, à travers ce disque,
au moyen des peignes qui facilitent l'échange des
électricités.
Le travail est mieux utilisé dans les machines à
influence que dans les machines à frottement, car
les frottements y sont bien moindres (plus de coussins).
une machine de Holz, amorcée et non amorcée,
en la faisant mouvoir par des poids. La différence
est le travail dépensé à produire l'électricité : il est
encore faible relativement au travail mécanique.
On trouve qu'il est proportionnel au débit de la
machine. Ce débit peut se mesurer par le nombre
d'étincelles que donne
de Lane reliée aux récepteurs de la machine.
Si l'on compare les machines à frottement et les machines
à influence (par ex. celle de Ramsden et celle de Holtz),
on trouve qu'elles donnent des potentiels à peu près égaux,
mais le débit des machines à influence est beaucoup plus grand
Instruments de mesure électrostatique.
Les électromètres sont des instruments destinés à mesurer
les différences de potentiel électrostatique. On les divise
en électromètres absolus et
servent à déterminer la valeur absolue des ou relative
des différences de potentiel.
L'électromètre sphérique de M. Lippmann
électromètre absolu. On sait ( p.111) que la répulsion des
2 hémisphères chargés au même potentiel V est :
Pour mesurer
la répulsion F. Pour cela, l'hémisphère mobile est suspendu
par 3 fils à l'hémisphère fixe, et forme un pendule
répulsion :
Il suffit de connaître le poids mg de
l'hémisphère mobile, et l'angle α de
déviation. Pour le mesurer, on observe un
miroir qui est porté par 2 des fils de suspensions, et sur
lequel la lumière tombe par un petit trou percé dans
l'hémisphère. Cet appareil est surtout propre à la
mesure des forts potentiels.
Pour le rendre plus sensible, on l'entoure d'une sphère
170
conductrice au potentiel 0, qui forme avec lui un conden-
sateur sphérique. Soit R 1 le rayon de cette sphère, R 2 celui
de l'électromètre sphérique ; on sait que la capacité de
celui-ci augmente dans le rapport :
et charge augmente commecapacité
(à potentiel égal) ; donc la force est multipliée par le
carré de ce même rapport ( p. 107, 111). Si par exemple
donc centuplée.
L'électromètre de
sphérique comme avec un l’électromètre
de M. M. Bichat et Blondlot
cylindrique combiné avec une balance.
Un cylindre creux fixe reçoit à son
intérieur un cylindre plein mobile
verticalement, t porté par un fléau
de balance à bras inégaux et équilibré
par une tare. Si l'on porte les 2 cylindres respectivement
aux potentiels V 1 et V 2, l'attraction sera proportionnelle
au carré de
des poids dans le plateau suspendu au cylindre mobile.
On calcule la différence de potentiel au moyen de la force
ainsi mesurée directement.
171
On sait que dans un condensateur dont les armatures
sont à potentiel constant (en relation avec des sources),
la force est exprimée par la formule ( p. 119) :
Soit C la capacité du condensateur par unité de longueur,
et dx la longueur dont le cylindre mobile s'enfonce
dans le cylindre fixe. La capacité s'accroît de Cdx,
et la charge de
s'accroît de :
r 1 et r 2 étant les rayons des 2 armatures cylindriques.
Cet appareil est le plus simple et le plus commode
des électromètres absolus. On peut le rendre plus sensible
en employant des cylindres fixes de plus en plus étroits.
14 e leçon
L'électromètre de lord Kelvin
condensateur à plateau combiné avec un peson. C'est
le plus ancien et le plus parfait des électromètres absolus.
Le plateau inférieur B est fixe, le plateau supérieur A,
mobile, est porté par un ressort dont la flexion mesure
leur attraction. Pour éviter la distribution irrégulière
sur les bords, le plateau supérieur est divisé par une rainure
172
circulaire très mince qui détache l’anneau de garde A.
La partie intérieure S est seule mobile. Pour que les
résultats soient exacts, il faut que le disque S soit dans
le plan de l'anneau de garde. Aussi est-il relié à un
levier qui dont l'autre extrémité se meut sur une règle
divisée portant un point de repère correspondant à la
position normale du disque. On observe l'extrémité du
levier avec une loupe. L'ensemble du levier et de la loupe
forme ce que jauge.
Le plateau fixe B est porté par une vis micrométrique
qui permet d'élever plus ou moins, et de mesurer sa
distance au plan de l'anneau de garde A. Pour cela,
il suffit de le monter jusqu'à ce qu'il touche l'anneau,
puis de l'abaisser en comptant les tours et fractions
de tour de la tête de la vis.
Cela fait, on met en communication le plateau S et
l'anneau de garde avec une source de potentiel V 1, le
plateau B avec une autre source de potentiel V 2. On
trouvera toujours (par tâtonnement) une distance e
des 2 plateaux telle que le disque S soit en équilibre
dans le plan de l'anneau de garde. La différence de
potentiel à mesurer sera donnée par la formule :
173
Pour évaluer F, le ressort qui porte le plateau mobile S
est suspendu à une vis micrométrique, et on l'a préala-
blement
le plateau S (non électrisé) de poids gradués jusqu’à
ce qu'il se trouve dans le plan de l'anneau de garde.
Cet appareil permet ainsi de mesurer un potentiel
en valeur absolue, en le comparant au potentiel 0
(
On peut aussi le comparer à un potentiel connu. Pour
cela, la boîte qui contient l'électromètre porte un petit
replenisher
potentiel toujours le même (comme on le constate
à l'aide d'un petit disque à ressort et d'une jauge).
V 0 étant const connu d'avance, on mesure
et l'on en tire la valeur de V 1.
Pour mesurer une différence de potentiel, on peut
mesurer d'abord
est
différence (
d'amener le plateau B au contact de l'année A,
comme dans le cas d'une expérience unique : il suffit
de mesurer les 2 écarts successifs, et même simplement
leur différence.
174
Le plus souvent, on n'a qu'à évaluer la grandeur relative
des différences de potentiel. Leur mesure n'exige alors
que des appareils sensibles. On peut l'effectuer
par deux méthodes différentes :
1° On fait la théorie de l'appareil, et l'on obtient une
formule qui contient certaines constantes instrumentales.
On observe les déviations qu'il subit, à partir de sa
position d'équilibre, pour diverses différences de potentiel.
Il suffit de comparer ces déviations pour connaître les
valeurs relatives des potentiels, sans avoir à évaluer
les constantes instrumentales.
2° On s'astreint à observer l'appareil dans une posi-
tion fixe, et pour cela, on rétablit l'équilibre au moyen
d'une différence de potentiel connue et dont on dispose.
On n'a plus alors besoin de connaître la loi des déviations,
puisqu'on ramène toujours l'appareil à la même position :
il suffit qu'il soit sensible,
nottables pour une faible inégalité de potentiel.
Le plus simple des électromètres relatifs est l'électromètre
à plateau de Hankel
est suspendue une feuille d'or dont on note la position
d'équilibre. Si on l'électrise positivement, elle se déplacera
dans le sens de la force électrique (du potentiel
175
moins élevé). On porte les 2 plateaux 1 et V 2
qu'il s'agit de comparer. S'ils sont égaux, la feuille d'or
prendra sa position d'équilibre (verticale). S'ils sont
inégaux, on la ramènera à cette position zéro en
neutralisant la différence de potentiel (
une différence de potentiel variable et connue : la valeur
ce celle-ci sera égale et contraire à celle de (
Electromètre à quadrants de lord Kelvin
Cet appareil se compose essentiellement d'une boîte circulaire
plate divisée en 4 quadrants, à l'intérieur desquels peut
tournée une aiguille d'aluminium formée de 2 quadrants
opposés, et suspendu à un fil de torsion : ce fil porte en bas
un miroir destiné à manifester les déviations, et une aig
par une aiguille aimantée destinée à fixer la direction
de l'équilibre.
On porte les secteurs 1 et 3 au potentiel V 1, les secteurs
2 et 4 au potentiel V 2, et l'aiguille mobile au potentiel V 0.
L'ensemble forme 2 condensateurs
drant forme un condensateur avec la partie de l'aiguille
qu'il contient ; de même le quadrant opposé, qui complète
ce condensateur. Les 2 autres quadrants forment avec le reste
de l'aiguille un autre condensateur. Evaluons la force à
laquelle l'aiguille est soumise. On sait que, dans un
176
condensateur à potentiels constants, la force s'exprime par
la formule :
Evaluons d'abord l'énergie totale du système. Soit C 1
la capacité du condensateur formé par les secteurs 1 et
3, C 2 celle du condensateur formé par les secteurs 2 et 4 :
Pour un déplacement angulaire dα, la variation de
l'énergie sera (les potentiels restant constants).
Calculons la variation de la capacité C 1 (celle de la
capacité C 2 lui sera égale et contraire). Soit r le
rayon de l'aiguille : l'aire du secteur dont s'est accru
le 1 er condensateur
Le 1 er condensateur s'est accru du double de ce secteur,
et le 2 e condensateur a diminué d'autant, soit de :
La capacité d'un condensateur simple étant donnée par
la formule :
celle du condensateur double formé par les 2 faces de
l'aiguille avec les 2 plaques d opposées
Les variations des capacités sont par conséquent :
177
Il vient finalement :
L'expression entre crochets revient simplement à :
Donc :
D'autre part, on sait qu'avec un fil de torsion la
est proportionnel à la force ; d'ailleurs, la force ne dépend
pas de α, elle reste donc constante pendant la déviation.
On doit donc avoir La formule de l'instrument sera :
P étant une constante instrumentale qu'il est inutile
de connaître pour des mesures relatives.
Cette formule présente 2 cas particuliers remarquables :
1 er cas. Si V 0 est très grand par rapport à V 1 et à V 2,
le facteur
invariable ; la déviation sera alors proportionnelle à
C'est dans ce cas que se plaçait
2 e cas. Si
Si V 1 est fixe, l'angle de déviation sera proportionnel au
178
potentiel (inconnu) V 0 de l'aiguille. C'est le cas
qu'a choisi
de l’électromètre à quadrants.
Pour porter les 2 paires de quadrants à des potentiels
égaux et contraires, on emploie une pile de 200
éléments Volta, composés de cuivre, de zinc et eau pure
(on peut les faire aussi petits qu'on veut, on a la même
force électromotrice, et il n'y a pas d'inconvénient à
augmenter leur résistance). On met le milieu de la série
en communication avec le
les 2 couples de quadrants. Enfin on fait communiquer
l'aiguille avec la source dont on veut connaître
L'inconvénient de l'appareil ainsi disposé est que
le potentiel d'une pile n'est pas fixe ; on ne peut le
considérer comme constant d'un jour à l'autre, de
sorte que les mesures relatives prises à différents jours
ne sont pas comparables.
179
Phénomènes magnétiques
C'est vers 1824 que le savant danois
l'action d'un courant électrique sur une aiguille aimantée.
Il se borna à répéter cette expérience en la variant, et
n'en tira aucune conséquence.
aux aimants, et imagina les expériences qui lui firent
découvrir les lois électrodynamiques.
L'étude de l'électricité et celle du magnétisme ont
marché parallèlement jusqu'à ce siècle : les anciens
connaissaient l'attraction de la pierre magnétique
comme celle de l'ambre frotté ;
les lois de l'attraction magnétique comme celles de
l'attraction électrique, et de l'identité de ces lois découle
une parfaite analogie entre les formules des actions
électriques et magnétiques : d'où deux points de vue
et deux systèmes d'unités (électrostatique, électromagné-
tique) qui subsistent encore aujourd'hui. De même
qu'on a imaginé 2 fluides électriques, on inventa 2
fluides magnétiques. Depuis
jusqu'alors indépendantes se sont fondues dans l'étude
des phénomènes électro-magnétiques. Nous étudierons
d'abord les phénomènes purement magnétiques, les plus
180
anciennement connus, puis nous les rattacherons aux
phénomènes électriques, conformément à la marche
historique de la science.
La première propriété connue des aimants est la direction
constante qu'ils prennent quand ils sont libres. Si l'on
prend une aiguille d'acier, qu'on détermine son centre
de gravité, puis qu'on l'aimante et qu'on la suspende
par son centre de gravité, elle prendra une direction
constante, déterminée par 2 coordonnées angulaires.
L'axe 0x étant dirigé vers le Nord,
l'axe 0y vers l'Orient, et l'axe 0z
au nadir ; 0A étant la direction
de l'aiguille, sa projection horizon-
tale fait avec l'axe 0x (méridien
géographique) l'angle δ, qu'on
appelle déclinaison. La déclinaison se compte de 0 à 2π,
du côté de l'Ouest ; ou encore de 0 à π des côtés
(
à Paris, de 150 à l'Ouest. Le plan vertical où se retrouve
l’aiguille est le méridien magnétique du lieu : il fait
avec le méridien géographique un angle égal à la déclinaison.
L'angle
nomme inclinaison. Il se compte 0 à
181
sens : positif quand le pôle Nord de l'aiguille est au-
dessous de l'horizon, négatif quand il est au-dessus.
L'inclinaison à Paris est de +65°.
En un même lieu, toutes les aiguilles aimantées ont
même déclinaison et même inclinaison. La Physique
du globe étudie comment la direction de l'aiguille aimantée
varie, soit d'un lieu à l'autre, soit avec le temps.
On peut constater que l'aiguille aimantée est nue et
dirigée, non par une force unique, mais par un couple :
elle n'a aucune tendance à la translation, même libre.
Le moment du couple directeur,
éléments : 1° d'un facteur M
2° d'un facteur F caractéristique du champ ; 3° d'un
facteur μ caractéristique du milieu ; suivant la
formule :
Considérons seulement une des deux forces du couple.
Elle peut se décomposer en deux composantes, l'une
verticale, l'autre horizontale, V et H, et l'on a :
Si l'on équilibre par un contrepoids la composante V
de manière à rendre l'aiguille horizontale, elle n'est plus
soumise qu'au couple des forces H : le moment du couple
est alors :
182
Théorème. Quand une aiguille aimantée est assujettie
à se mouvoir dans un plan vertical, son inclinaison
est minima dans le méridien magnétique.
En effet, dans ce
avec le méridien magnétique l'angle α, agissent :
1° la composante verticale V ; 2° une composante
horizontale :
Soit i' l'inclinaison de l'aiguille ; on a :
Donc :
Or
Donc
quand
Dans le plan vertical perpendiculaire au méridien
magnétique, la composante horizontale est nulle, donc
l'aiguille est verticale :
Une aiguille ainsi disposée forme une boussole
d'inclinaison. On peut s'en servir pour déterminer
le méridien magnétique, soit en cherchant le plan
d'inclinaison minima, soit (ce qui est plus exact)
en cherchant le plan où l'aiguille est verticale, lequel
est perpendiculaire au méridien magnétique.
On peut même se contenter d'observer l'inclinaison
183
de l'aiguille dans 2 plans rectangulaires quelconques.
En effet, on a dans le premier, comme on vient de le voir :
et dans le second, pour la même raison :
Elevons au carré et ajoutons :
Cette relation peut s'écrire symétriquement :
Elle permet de calculer i, connaissant i' et i''.
Actions des aimants les uns sur les autres.
On appelle pôle Nord ou pôle austral d'une aiguille
aimantée celui qui se tourne vers le Nord ; pôle Sud
ou pôle boréal, celui qui se tourne vers le Sud.
Les pôles de même nom se repoussent, les pôles de nom
contraire s'attirent.
tiques avant les actions électriques : mais
inventé la balance de torsion pour mesurer celles-ci
qu'il l'employa à la mesure des forces magnétiques.
Avant toute expérience, il fallait mesurer le moment
du couple directeur de l'aiguille. Pour cela,
déterminait l'azimut où le fil se trouve en équilibre, en
184
y suspendant (à l'aide d'un étrier) une aiguille cylindrique
d'acier non aimantée. Il amenait le zéro de la graduation
en face de cette position. Puis il remplaçait l'aiguille
par une aiguille aimantée, et faisait tourner tout
l'appareil jusqu'à ce que celle-ci fût en face du zéro.
Le plan de torsion nulle coïncidait alors avec le p
magnétique. Enfin il amenait l'aiguille aimantée
à 90° (de ce plan) en tordant progressivement le fil.
La force, mesurée par la torsion du fil, était égale à
celle du couple directeur
perpendiculaire à l'axe de l'aiguille.
Cela fait,
fixe, une aiguille fixe, verticale, dont le pôle austral
était en regard du pôle austral de l'aiguille mobile,
et correspondait au zéro de la graduation. L'aiguille
mobile était déviée d'un angle α.
Elle est soumise à 3 forces : la répulsion
magnétique à mesurer,
suivant 0A ; la force directrice Μ,
parallèle à 0C ; enfin la force de
torsion
L'équation qui exprime la condition d'équilibre est donc :
185
en raison inverse du carré de la distance des deux pôles
(
Mais ces expériences sont sujettes à plusieurs causes
d'erreur ; d'abord parce qu'on réduit fictivement chaque
aiguille à ses 2 pôles, où l'on suppose concentrée la force
magnétique ; ensuite, parce qu'il y a 4 pôles dans le
système des 2 aiguilles, et qu'on ne tient compte que de
l'action mutuelle des 2 pôles austraux. On admet que
les autres actions sont négligeables, tant à cause de l'éloi-
gnement relatif des autres pôles qu'à cause de l'obliquité
des lignes d'action. Néanmoins, elles suffisent à troubler
les résultats obtenus par
qu'un intérêt historique.
15 e leçon
phénomènes électriques et magnétiques, a appliqué à
ceux-ci la méthode dynamique, et a mesuré les forces
magnétiques au moyen des oscillations du pendule.
Pour déterminer, d'abord, le moment du couple
directeur sur une aiguille aimantée (boussole d'inclinai-
son dans le plan du méridien magnétique), on écarte
l’aiguille de sa position d'équilibre ; dans le cas où les
186
oscillations sont infiniment petites, la durée d'une oscillation
double est donnée par la formule :
Si, comme
horizontalement (boussole de déclinaison), on a la formule :
Μ' étant la composante horizontale du moment Μ.
la loi des actions magnétiques. Dans un champ magnétique
on place une aiguille aimantée très courte suspendue à
un fil sans torsion, de sorte que la force F qui agit sur elle
en
son centre 0. On s'arrange pour que la force F soit
le plan du méridien magnétique. L'aiguille aimantée
(de déclinaison) est soumise d'abord au moment du
couple directeur :
H étant la composante horizontale du couple
La durée d'une puis, quand on fait agir la force magnétique,
et la durée d'oscillation devient alors :
En mesurant la durée des oscillations dans les deux cas,
on trouve
187
de F par rapport à H.
Ces expériences, bien qu'inexactes, suffirent à établir
la loi des actions magnétiques aux yeux de
et de ses contemporains. Nous en trouverons bientôt
une vérification indirecte, mais plus précise. Cette
loi, que
se traduit par la formule suivante :
où r est la distance des 2 pôles considérés, m et m'
sont des coefficients propres à chacun des 2 aimants,
et μ une constante caractéristique du milieu (ana-
logue à la constante k relative aux diélectriques).
En admettant cette loi, on essayait d'expliquer la
direction constante que prennent les aimants par
l'hypothèse de l'aimant terrestre. On supposait
placé au centre de la terre un aimant dont le pôle
austral A serait dirigé vers le Sud, et le pôle boréal B vers
le Nord. Les points où la ligne AB percerait la
surface de la terre seraient les pôles magnétiques.
Une aiguille A'B', en un point quelconque de la surface,
devrait tourner son pôle austral vers le
vers le
distance respective de ses pôles à ceux de l'aimant terrestre.
188
A l'équateur
horizontale, et partout parallèle à l’aimant terrestre.
On croyait ainsi pouvoir expliquer la déclinaison et
l'inclinaison. Mais il est établi aujourd'hui qu'un
aimant, et même deux aimants placés excentriquement
à l'intérieur de la terre ne peuvent rendre compte des
variations de la déclinaison et de l'inclinaison à la
surface de la terre ; on a été ainsi amené à les expliquer
par des courants terrestres. Les pôles austral et boréal
des aimants réels n'en ont pas moins conservé leur
dénomination, due empruntée à la fiction de l'aimant
terrestre, et opposée à leur vérittable direction ( p. 183).
Jusqu'ici, nous avons considéré un barreau aimanté
comme réduit à 2 pôles très voisins de ses extrémités.
C'est qu'en effet, quand on le plonge dans la limaille de fer,
on constate qu'elle ne s'attache qu'aux extrémités. Il semble
donc que les pôles seuls de l'aimant soient capables d’attirer.
Mais l'expérience de l'aimant brisé (que connaissait
cassée) attire la limaille aussi bien que les extrémités.
On peut répéter indéfiniment cette scission, tous les
morceaux obtenus auront 2 pôles d'attraction. On est
conduit à considérer un aimant comme un ensemble
189
d'aimants très petits, de dimensions moléculaires. Dans
l'hypothèse des fluides magnétiques, on doit admettre
que les fluides ne peuvent
masse d'un corps (comme les fluides électriques,
extrémités du corps est chargée positivement et l'autre
négativement), mais seulement au sein des éléments
magnétiques. Enfin, pour expliquer le magnétisme réma-
nent de l'acier, opposé au fer doux qui ne garde pas
l'aimantation, on a inventé le pouvoir coercitif,
qui n'est qu'un mot, comme la virtus dormitiva.
En tout cas, puisque tous les aimants (naturels & autres)
sont divisibles en aimants plus petits ayant deux pôles,
on ne peut plus s'en tenir
On les considérera comme des agrégats d'aimants infi-
niment petits, que l'on pourra réduire, eux, à leurs pôles.
Cherchons donc l'action exercée par un aimant infi-
niment petit, conçu comme l'ensemble d'une masse magné-
tique +m au point A (pôle austral) et d'une masse
magnétique -m au point B (pôle boréal). Soit l la
longueur (infiniment petite) AB. On appelle axe
magnétique de l'aimant la direction BA (avec son sens).
On suppose que son moment magnétique
et que les forces exercées par les 2 pôles obéissent à la loi
190
de
plus pour les aimants finis, mais pour les aimants infini-
ment petits). Cherchons l'action
de cet aimant sur l'unité de
magnétisme
P, à la distance r du centre 0
de l'aimant, l'angle P0A étant α. La force exercée par le
pôle A sur le point P est, conformément à l'hypothèse :
La force exercée par le point
Pour calculer leur résultante, formons le potentiel de ces
forces, suivant la règle générale :
L'angle APB étant infiniment petit,
qui est égal d'autre part à
on peut donc égaler r et r'. Il vient donc :
Tel est le potentiel élémentaire d'un aimant infiniment
petit sur un point extérieur P de
De cette expression on va tirer les composantes de la force
suivant le rayon vecteur OPY et une perpendiculaire PX :
191
Connaissant les composantes, on peut évaluer la force :
ou :
Il y a deux cas particulièrement intéressants :
1° :
(1e position de
2° :
(2e position de
que
dirigée en sens contraire.
Il n'est pas possible de vérifier cette loi et notamment
ces 2 résultats sur une seule masse magnétique. Mais
si l'on prend une aiguille aimantée très petite et qu'on
la mette à une grande distance de l'aimant AB (très
petit lui-même), ses 2 pôles seront soumis à des actions
sensiblement égales et opposées, qui formeront un couple.
L'aimant AB étant perpendiculaire au méridien
magnétique, plaçons la petite aiguille aimantée sur l'axe BA.
192
(1 e position de
directeur terrestre (
s'ajouter le couple
L’aiguille sera déviée dans la direction du couple résultant,
et elle fera avec le méridien magnétique un angle β tel que :
Plaçons ensuite e position de
la perpendiculaire au milieu du barreau AB.
Le couple
directeur
l'on aura :
On peut vérifier expérimentalement les lois de Gauss : on
trouve en effet, dans chaque position, que
raison inverse du cube de la distance (des centres des 2
aimants) et que, à distance égale,
C'est la meilleure vérification de la loi de Coulomb,
appliquée aux aimants infiniment petits.
Seulement les formules établies pour les aimants infini-
ment petits ne s'appliquent pas rigoureusement aux aimants
finis. Les formules exactes sont de la forme :
193
Les coefficients A, B, … sont fonctions des dimensions
de l'aimant. On peut les calculer empiriquement et
déterminer en même temps le nombre de termes qu'il
faut prendre dans la série : on place le barreau AB à
plusieurs distances différentes ; et l'on détermine 2, 3
coefficients par 2,3 expériences ; et l'on cherche s'ils
valeurs trouvées sont conformes aux autres expériences.
Si toutes les expériences ne concordent pas, on prend
un terme de plus, et un coefficient de plus.
Ces expériences servent surtout à évaluer les deux
facteurs du couple directeur :
M étant le moment magnétique de l'aiguille. En
effet, on a vu que la durée d'une oscillation double
est :
Pour calculer Μ', il suffit de connaître le moment
d'inertie
D'autre part, si l'on mesure l'angle β ou sa tangente,
on a par là :
Connaissant r, on peut calculer
de
d'une part H, et d'autre part le facteur
On sépare
de l’aimant et du milieu, et le facteur H qui caractérise
194
du champ terrestre (composante horizontale du couple).
Nous allons maintenant généraliser la loi de Coulomb
en cherchant la force exercée par un corps magnétique
de forme quelconque, ou encore le potentiel d'un système
magnétique sur un point extérieur.
Pour cela, il faut faire des hypothèses sur la nature
des aimants.
Si autour d'un point P d'un aimant on détache un
élément de volume dv, on admet que son aimantation
a une direction déterminée, et que son moment magnétique
est un infiniment petit du même ordre que son volume :
Le facteur I est une grandeur finie
l'intensité d'aimantation au point P.
En outre, on admet que cette grandeur I varie d'une
manière continue (en grandeur et en direction) d'un
point à l'autre : en d'autres termes, qu'elle est une fonction
continue des coordonnées du point P.
Le potentiel de
est, comme on sait :
Le potentiel total de l'aimant, sur le même point, sera :
intégrale triple étendue au volume total de l'aimant.
195
Nous allons étudier deux cas particuliers intéressants.
1° Solénoïdes magnétiques. Un solénoïde magnétique
est un corps aimanté qui a 2 dimensions infiniment
petites ; la 3 e (droite ou courbe) s'appelle son axe. En
chaque point l'intensité d'aimantation est dirigée
suivant l'axe (tangente à l'axe), et, si la section
normale à l'axe est σ, on a la relation :
P étant une constante qu'on nomme la puissance du
solénoïde.
Evaluons le potentiel
du solénoïde AB par rapport
à un point extérieur P, où
se trouve placée l'unité de magnétisme. Divisons le solé-
noïde en éléments de volume par des plans normaux à
l'axe. Le moment magnétique de chaque élément, de
longueur dx, sera :
Donc :
Or, si l'on projette l'élément d'axe dx sur le rayon
vecteur issu du point P, qui fait avec lui l'angle α,
on trouve :
Par suite :
On voit que la valeur du potentiel au point P ne dépend pas
196
de la forme du solénoïde, mais seulement de la position de
ses extrémités. On pourrait donc réduire le solénoïde à ses
extrémités, en plaçant une masse magnétique +P en B
et une masse -P en A ; le potentiel sera encore le même :
C'est ce qui explique qu'une aiguille aimantée puisse se
réduire idéalement à ses 2 pôles, alors que l'expérience
de l'aimant brisé montre qu'elle est également aimantée
dans toute sa longueur.
Une aiguille aimantée n'est pourtant pas rigoureusement
identique à un solénoïde, car ses pôles ne sont pas exacte-
ment à ses extrémités. En général,
on peut se figurer un barreau
aimanté comme un faisceau de solénoïdes qui, en vertu de
leur répulsion mutuelle, s'épanouissent aux extrémités.
Comme Chacun d'eux peut se remplacer par deux masses ma-
gnétiques placées à ses extrémités. Or si la plupart d'entre
eux aboutissent aux faces terminales du barreau, quelques-
uns aboutissent aux faces latérales ; toutes les masses ma-
gnétiques ne se trouvant pas sur la
correspondant se trouve en arrière de cette face.
Dans le cas particulier où l'aimantation d'un barreau
est solénoïdale, on peut le remplacer par un ensemble de
197
masses magnétiques distribuées à sa surface.
Une aiguille très mince (droite ou courbe) aimantée
suivant sa longueur représente un solénoïde.
Si un solénoïde forme une courbe fermée, les 2 pôles
coïncident, donc leur action sur un point extérieur est
nulle, quelle que soit l'intensité de l'aimantation. Si
on sépare les 2 moitiés du solénoïde, on obtient deux
aimants dont la puissance peut-être considérable.
2° Feuillets magnétiques. Un feuillet magnétique
est un corps aimanté qui a une dimension infiniment
petite, et par conséquent se réduit à une surface. Son
aimantation est normale à cette surface en chaque point ;
de plus, si e est l'épaisseur du feuillet en ce point,
on a :
P étant une constante qu'on nomme la puissance
du feuillet.
Evaluons le potentiel d'un
feuillet magnétique sur un
point extérieur P. Décomposons-le
en éléments cylindriques normaux à la surface. Le moment
magnétique d'un élément
de surface ds) sera :
Donc :
198
α étant toujours l'angle du rayon vecteur avec la direction
de l'aimantation, ici normale à la surface. Considérons
l'angle solide de sommet P et de base ds : soit dω son
ouverture. Menons sa section droite par l'élément ds :
sa surface sera :
D'autre part on a :
Par conséquent :
ω étant l'angle solide ayant pour sommet P et pour
base le feuillet.
On voit que le potentiel du feuillet sur un point
extérieur ne dépend que de son contour, et nullement
de la forme qu'il peut prendre à l'intérieur du contour.
Cette propriété curieuse fait pressentir qu'on pourra
remplacer un feuillet magnétique par son contour,
parcouru par un courant électrique.
16 e leçon
On a trouvé pour le potentiel d'un feuillet magnétique
sur un point extérieur du côté de la face australe
l'expression :
ω étant l'angle solide de sommet P ayant pour base
la face australe. Si le point P vient toucher cette face,
l'angle solide ω devient égal à 2π :
Si le point P traverse le feuillet et passe du côté de la
199
face boréale, l'angle ω doit, par continuité, dépasser
la valeur 2π : c'est l'angle solide extérieur au cône
de sommet P ayant pour base la face boréale. Si
P s'éloigne indéfiniment, l'angle solide intérieur du cône
tend vers 0, et l'angle solide extérieur vers 4π. En résumé,
quand le point P passe de
le feuillet de la face boréale vers la face australe, le poten-
tiel varie de 0 à
On peut maintenant déterminer
tique produit par un courant, et déterminer sa valeur
par les expériences suivantes :
1 e expérience. Si le fil suivi par le courant est replié
étroitement sur lui-même de façon que les deux courants
égaux et contraires coïncident sensiblement (soient
infiniment rapprochés) dans toute leur longueur, ce fil
double n'a pas d'action sur l'aiguille aimantée, quelle
que soit sa distance et sa position. Le champ magnétique
de ce courant est donc nul.
2 e expérience, variante de l'expérience de Gauss. Les aimants
étant dans la 2 e position de Gauss, la déviation de A'B'
est donnée par la formule :
Remplaçons l'aimant fixe AB par une boucle infini-
ment petite dont le plan est perpendiculaire à AB, donc
200
parallèle au méridien magnétique, et parcourue par un
courant dans un sens tel que'il' observateur d'
ait le pôle austral A à sa gauche. Le reste du circuit est
formé par un fil double, sans action magnétique. On
trouve que la déviation ol de A'B' obéit à la loi :
S étant la surface de la boucle, et i l'intensité du courant,
affectée d'un signe (car la déviation change de sens quand on
renverse le courant). La forme de la boucle est indifférente,
pourvu que ses dimensions soient infiniment petites par
rapport à r. Quant à v, c'est un coefficient numérique.
On voit que le moment magnétique M de l'aimant AB
est remplacé dans la formule par
identifier la boucle fermée à un aimant dont le
moment magnétique serait proportionnel à Si.
3 e expérience, confirmant cette identification, et
montrant qu’elle est vraie pour la propriété fondamentale
des aimants. Si l'on suspend une boucle fermée suivie
par un courant, elle se dirige sous l'influence du
magnétisme terrestre comme l'aimant équivalent,
de telle sorte que le courant soit ascendant à l'Ouest
et descendant à l'Est. Le moment du couple directeur
de l'aimant (horizontal) serait :
201
Celui du couple directeur de la boucle est :
4 e expérience, autre variante de l'expérience de
Substituons maintenant la boucle à l'aimant mobile
A'B', placé dans la 2 e position. On trouve que la
déviation de la boucle sous l'influence de l'aimant fixe
obéit à la loi :
M étant toujours le moment magnétique de AB.
5 e expérience. Si enfin on remplace les deux aimants
AB, A'B', par deux courants fermés infiniment petits,
la déviation se produit dans le même sens, et obéit à la
loi :
les quantités S, i étant relatives à la boucle fixe.
On a ainsi tous les cas possibles d'actions des aimants
sur les courants, des courants sur les aimants et des
courants sur les courants, et elles sont soumis
lois que les actions des aimants sur les aimants.
Ces lois ont été découvertes par
y est arrivé par une voie toute différentes : de l'expérience
d'
courants et des aimants, et deviné les lois de leurs actions
réciproques en conséquence de cette hypothèse.
Nous allons généraliser ces lois, obtenues pour des
boucles infiniment petites, et imaginer des solénoïdes
202
et des feuillets électriques analogues aux magnétiques.
On remplacera chaque élément d'un solénoïde magnétique
par un courant fermé infiniment petit, tel que :
dM étant le moment magnétique de l'élément ; or on sait
que :
Toutes les boucles seront normales à l'axe du solénoïde ma-
gnétique, et formeront un solénoïde électrique équivalent.
Comme elles sont toutes traversées dans le même sens par le
même courant, i est constante. Si l'on suppose données
i et dx (longueur de chaque élément), on déterminera
dS (aire de chaque boucle) par la relation :
Mais si dx est arbitraire, à chaque valeur de dx corres-
pondra une système valeur de dS, de sorte qu'il y aura
une infinité de solénoïdes électriques équivalents au
solénoïde magnétique donné. L'aire des boucles sera
proportionnelle à l'écartement dx de 2 boucles consécutives.
On sait comment on peut former un solénoïde avec un
fil continu ; on sait aussi qu'il revient au même de
l'enrouler en hélice sur une bobine et de le ramener au
point de départ suivant l'axe de la bobine : car les
portions infiniment voisines d'un circuit, parcourues
203
en sens inverse par le courant, neutralisent leurs effets.
Les solénoïdes électriques peuvent se réduire à leurs pôles
comme les solénoïdes magnétiques équivalents.
inventé leur nom. C'est
solénoïdes magnétiques à leur image.
D'autre part, on peut considérer un courant fermé
quelconque comme équivalent à un feuillet magnétique
ayant pour contour ce courant.
En effet, si l'on partage l'aire du contour par un
quadrillé de fils doubles dont chacun est parcouru par
2 courants inverses d’intensité égale à celle du courant
donné, on ne change rien au champ magnétique du
courant extérieur, chacun des fils doubles ayant une
action magnétique nulle. Mais, d'un autre côté, on peut
décomposer tout ce réseau en mailles contiguës parcou-
rues par des courants de même sens et de même intensité,
et remplacer chacune d'elles (boucle infiniment petite)
par un aimant de moment magnétique égale à
On peut donc remplacer le courant extérieur donné (au
point de vue de son action magnétique) par l'ensemble
de ces aimants élémentaires. Or cet ensemble est un
feuillet magnétique. En effet, tous ces petits aimants
204
ont leur pôle boréal d'un même côté, et leur pôle austral
de l'autre. En outre, la puissance du feuillet est constante :
car on a d'une part :
et d'autre part, par construction :
Donc la puissance est :
et, comme i
C'est la puissance du feuillet.
En vertu de ces relations entre les courants et les aimants,
des deux hypothèses des fluides électriques et des fluides
magnétiques, une au moins est superflue.
proposé d'expliquer les phénomènes magnétiques en conce-
vant chaque aimant comme composé d'aimants infini-
ment petits, et chacun de ceux-ci comme formé par un
courant fermé infiniment petit.
Qu'y a-t-il au fond dans les molécules d'un aimant ?
Est-ce un courant ou un aimant ? Cette question n'a pas
de sens, car nous ne connaissons ni la nature de l'aimant
ni celle du courant. Dire que chaque molécule est un
aimant, ou dire qu'elle est le siège d'un courant, c'est
énoncer deux affirmations équivalentes, entre lesquelles
l'expérience ne peut décider.
Pourtant, on sait qu'un courant éprouve toujours une
certaine résistance et dépense de l'énergie pour la vaincre ;
205
tandis qu'un aimant ne perd rien de son énergie avec
le temps, et ne s'échauffe nullement. L'hypothèse des
courants moléculaires est donc bien invraisemblable.
Toutefois, on peut dire que ce sont des courants qui ne
dépensent pas d'énergie et ne produisent pas de chaleur.
Seulement, on ne sait pas si tout courant ne suppose
pas une dépense d'énergie, ni,
courant qui ne dépense pas d'énergie n'implique pas
contradiction : c'est une formule qui ne veut rien dire.
En somme, aimants et courants sont de simples images
qui nous permettent de prévoir les phénomènes et de
calculer leur grandeur ; et nous ne saurons jamais si
ces images correspondent à quelque réalité. Peu importe
à la science, puisque le résultat pratique est le même.
Systèmes d'unités électriques
Supposons qu'on n'ait d'abord connu que les courants,
et qu'en effectuant les expériences de
on ait été amené à déterminer la constante
En appliquant
définira le moment magnétique M comme égal à
Si on contraire on .
D'autre part, on peut réduire les s à deux masses
magnétiques m, reliée au moment M par
206
la relation :
d'où :
Ainsi les masses magnétiques peuvent se définir en fonction
de l’intensité du courant électrique équivalent à l'aimant,
et par suite de la quantité d'électricité transportée par ce
courant.
Inversement, si l'on avait d'abord découvert et étudié les
aimants, on aurait commencé par définir les masses ma-
gnétiques, puis on aurait exprimé, en fonction de celles-ci,
l'intensité du courant équivalent et la quantité d'élec-
tricité.
En résumé, on peut indifféremment partir de la quantité
d'électricité pour aboutir à la quantité de magnétisme,
ou inversement, ces 2 quantités étant reliées par une série
de formules exprimant autant de lois expérimentales.
Suivant qu'on part d'une extrémité ou de l'autre, on
obtient le Système Electro-Statique ou le Système
Electro-Magnétique d'unités électriques.
Dans le
de l'unité de masse électrique ; dans le
les unités dépendent de l'unité de masse magnétique.
A priori, les deux systèmes se valent ; mais en principe,
le
207
sont accessibles à l'observation et à la mesure (on peut
obtenir des charges contraires sur les deux moitiés d'un
corps, les séparer et les manier) ; tandis que l'on ne peut
obtenir une masse magnétique séparée. Il est vrai que
du tout solénoïde équivaut à 2 masses magnétiques
égales et contraires placées aux 2 pôles ; mais c'est là
une fiction. Au fond, la quantité de magnétisme est
une
Les deux systèmes d'unités sont indépendants du
choix des unités fondamentales de longueur, de temps et
de masse ; toutefois, nous
au système CGS. Nous allons exposer d'abord le
Système Electro-Statique CGS.
La masse électrique est définie par la loi de Coulomb :
Supposons
On adopte un choisit l'unité de masse électrique de telle
sorte que, dans le vide :
et par suite la relation entre les unités est la suivante :
Or :
Donc :
208
Il ne faut attribuer aux formules de dimensions aucune
valeur objective. Elles indiquent comment la mesure d'une
grandeur
ne servent qu'à transformer les formules numériques, et
n'ont rien à voir avec la nature des phénomènes. Aussi
n'est-il nullement nécessaire que la même espèce de gran-
deurs ait toujours les mêmes dimensions : cela dépend
des hypothèses et conventions adoptées, par exemple, de ce
qu'on pose
dimensions n'auraient un sens réel que si le mécanisme
était vrai, et si l'explication mécanique des phénomènes
était la seule possible : car alors tous les phénomènes seraient
mesurés par des longueurs, des masses et des temps. Mais
c'est ce qu'on ne peut affirmer dans l'état actuel de la science :
on ne sait pas si toute énergie est réductible à l'énergie
mécanique, ou au travail.
17 e leçon
Les formules de dimensions ont cet avantage, qu'elles indiquent
quelles grandeurs il faut mesurer pour avoir la valeur de la
grandeur considérée, et à quelle puissance elles figurent
dans son expression.
Par exemple, si dans la balance de Coulomb les 2 boucles,
également chargées, exercent l'une sur l'autre une répulsion
209
de 4 dynes à la distance de 10 centimètres, leur
charge sera mesurée par le nombre
Nous allons évaluer toutes les autres unités électriques
et magnétiques en fonction de l'unité de masse électrique ;
nous désignons par des minuscules les grandeurs mesu-
rées dans le
grandeurs mesurées dans le
La densité électrique solide ρ est définie par la formule :
La densité électrique superficielle μ est définie par :
Le potentiel électrostatique est défini par la formule :
Ainsi la mesure du potentiel se ramène essentiellement
à la mesure d'une force (il est proportionnel à sa
La méthode de mesure la plus élégante sera celle qui
réduit
l'électromètre sphérique de
dont la formule est ( p.169) :
Dans l'électromètre de
compliquée :
d'où :
210
On a à mesurer, outre F, e et S : seulement, ces deux
dernières grandeurs disparaissent de la formule des
dimensions, car
La capacité électrique est définie par la formule :
Par exemple, la capacité d'une sphère est égale à son rayon ( p.95).
Ainsi la méthode la plus élégante pour mesurer les
capacités consiste à les comparer à celle d'une sphère.
La capacité d'un condensateur à plateau est donnée par
la formule :
moins simple, car il y entre 2 grandeurs à mesurer S et
e, dont le rapport
Pour passer du vide à un autre milieu, il faut intro-
duire la constante diélectrique
C étant la capacité du conducteur dans le vide, et C'
sa capacité dans le milieu considéré. C'est le rapport de
2 grandeurs de même espèce, donc un simple nombre,
indépendant des unités fondamentales. On dit qu'il est
de dimension 0 (L°M°T°). Ce fait caractérise le
ce qui
ce qui réduit tous les autres k à des coefficients numériques.
La pression électrostatique est définie par la formule :
211
L'énergie électrostatique s'exprime par la formule :
On aboutit au même résultat en partant de la formule :
On voit que les dimensions de l'énergie sont les mêmes
que celles d'un travail, ce qui justifie l'assimilation
de l'énergie électrique aux autres formes de l'énergie.
Passons aux grandeurs électriques relatives aux courants.
L'intensité d'un courant est la quantité d'électricité
qu'il transporte en l' unité de temps : donc :
La résistance se définit en fonction de l'énergie électrique
par la loi de Joule :
La résistance spécifique ρ est définie par
par la formule :
On passe aux grandeurs magnétiques par la formule
qui exprime l'équivalence du moment magnétique d'un
aimant et d'un courant :
On convient de choisir l'unité de moment magnétique
de telle sorte que le coefficient numérique v soit égal à 1.
Donc :
212
La quantité de magnétisme ou masse magnétique m
se détermine en fonction du moment par la relation :
L'intensité d'aimantation
Le potentiel magnétique se définit par la formule :
L’intensité d'aimantation est définie par la relation :
La perméabilité magnétique μ est définie par la loi
de Coulomb :
Dimensions :
Ce sont les dimensions du carré d'une vitesse.
Nous avons laissé partout
en considérant, pour simplifier, la force comme une unité
fondamentale. Pour exprimer les dimensions en unités
du système CGS, il suffit de faire :
Dans le Système Electro-Magnétique, on part
de la loi de Coulomb pour les actions magnétiques, qui
détermine la quantité de magnétisme :
On convient de prendre choisir l'unité de magnétisme
de telle sorte que l'on ait dans le vide :
Dès lors, on sait d'avance que toutes les unités auront
213
des grandeurs
dans le
La quantité de magnétisme, étant définie par la loi de
Coulomb, doit avoir les mêmes dimensions que la quantité
d'électricité dans le
Le potentiel magnétique, défini par la même formule
que le potentiel électrostatique, aura les mêmes dimensions :
Le moment magnétique est alors défini par la formule :
L'intensité d'aimantation est définie par la formule :
La perméabilité magnétique μ devient une constante
numérique, de dimension 0 : car elle se réduit au rapport
de 2 nombres.
On passe aux quantités électriques par l'équation de
Gauss :
Dans le
vient de prendre
alors l’intensité du courant :
Dimensions :
La quantité d'électricité est enfin définie par la relation :
214
On en déduit aisément les dimensions de la densité électrique
solide : densité électrique superficielle :
pression électrostatique :
La résistance est déterminée par la loi de Joule :
Ce sont des dimensions d'une vitesse.
La résistance spécifique est définie par la formule :
La force électromotrice est déterminée par la loi d'Ohm :
La force électromotrice étant égale à une différence de
potentiel, le potentiel V a les mêmes dimensions.
La capacité électrique est définie par la formule :
Enfin la constante diélectrique est déterminée par la loi
de Coulomb relative aux actions électriques (
Dimensions :
Ce sont les dimensions de l'inverse du carré d'une vitesse.
On pouvait s'y attendre, puisque dans le
l'on part de
tandis que dans le
Quand on compare les formules des dimensions dans les
215
deux systèmes, on remarque qu'elles ne différent que
par une puissance du rapport
donc pas quand l'unité de masse varie, ou encore
quand les unités de longueur et de temps varient dans
le même rapport.
Les unités électriques du
beaucoup trop petites ou beaucoup trop grandes pour la
pratique. Aussi a-t-on essayé d'en déduire un
Système d'unités pratiques qui fussent des multiples
exacts des unités théoriques CGS.
Pour cela, on conserve les relations suivantes, où l'on
a réduit tous les coefficients numériques à l’unité :
Loi d'Ohm :
Loi de Joule :
On choisit arbitrairement les unités pratiques de résistance
et de force électromotrice ; les autres s'en déduisent au
moyen des relations précédentes, qui déterminent leur
rapport aux unités
L'unité pratique de résistance est l'Ohm =
L'unité pratique de force électrom. électromagnétiqueVolt =
L'unité pratique d'intensité de courant est l'Ampère : et
comme : ampère vaut
216
L'unité pratique de quantité d'électricité est le Coulomb :
en vertu de la formule :
L'unité pratique de capacité électrique est le Farad :
et comme on a : farad vaut
Cette unité étant encore très-grande, on a adopté le
microfarad (millionième de farad) qui vaut
D'autres unités se sont introduites dans la pratique et
l'industrie : par exemple, l'unité usuelle de quantité
d'électricité est l'ampère-heure ; et comme le coulomb
correspond à la seconde, l'ampère-heure vaut 3600
coulombs.
Quand on a voulu réaliser les unités pratiques de résistance
et de capacité pour avoir des étalons de ces grandeurs, on
a trouvé diverses déterminations dont a pris les moyennes :
par exemple, l'ohm a été représenté par une colonne de
mercure de 1
à 0°. Mais cette valeur moyenne était trop faible ; on l'a
corrigée en donnant à la colonne une longueur de 106,3.
cette valeur est encore inexacte ; mais, comme on ne peut
corriger indéfiniment l'étalon de résistance, on est convenu
de définir l'unité pratique de résistance par cet étalon, sans
se soucier de la définition théorique de l'ohm comme
unités CGS. Par suite, le système d'unités pratiques a
217
rompu tout lien avec le système CGS, et les unités élec-
triques appelées ohm, volt, ampère, coulomb et farad
n'ont qu'une existence légale, sans fondement théorique.
18 e leçon
On a souvent besoin de passer d'un système à l'autre,
dans un système, de trouver sa valeur dans un autre.
Pour cela, il faut d'abord connaître les dimensions
de la grandeur considérée dans chacun des systèmes. Par
exemple, les dimensions de l’intensité d'un courant et
de la force électromotrice sont respectivement:
Pour calculer le rapport des valeurs d'une même grandeur
dans les 2 systèmes, on se sert des formules qui expriment
les lois fondamentales, qui sont les mêmes dans les 2
systèmes. Par exemple, on a entre Q, I, E, R, C les
relations suivantes :
218
autres de proche en proche. Dans la 1 e formule, t étant le
même nombre, on a :
Dans la 2 e formule de W (dont la valeur est la même
dans les 2 systèmes), on a :
La loi d'Ohm donne :
d'où :
Enfin :
d'où :
On obtient ainsi une chaîne de proportions entre les
valeurs des diverses grandeurs dans les 2 systèmes :
v étant un nombre constant qui a les dimensions
d'une vitesse : car :
Pour déterminer ce nombre, il suffit de prendre la
mesure absolue d'une même grandeur dans les 2 systèmes ;
et de calculer leu on a donc une foule de méthode pour
évaluer v. Inversement, une fois v connu, on a immé-
diatement le rapport des valeurs d'une grandeur dans
les deux systèmes, au moyen des formules précédentes.
On a trouvé, à
Or la vitesse de la lumière est en centimètre, à
près :
Cette coïncidence curieuse ne peut pas être fortuite : car
219
les premières déterminations de v donnèrent 288000
kilomètres ; mais à mesure qu'on obtenait des résultats
plus exacts et qu'on employait des méthodes plus précises,
les valeurs trouvées pour v se rapprochaient de la vitesse
de la lumière. Ce seul fait donne lieu de présumer
qu'il y a un lien entre la lumière et l'électricité, et
qu'une théorie mécanique pourrait expliquer à la fois
l'une et l'autre. La théorie électromagnétique de la
lumière de
d'explication.
Instruments de mesure électromagnétiques
Se divisent en 2 classes : boussoles, électrodynamomètres.
1° Boussoles. Le principe des boussoles est l'expérience
de Gauss, qui constitue le lien entre les phénomènes
électriques et magnétiques. Si dans la 1 e position de
on remplace l'aimant fixe AB par une boucle infini-
ment petite de surface S parcourue par un courant
d'intensité i, la déviation β de l'aimant mobile A'B'
est donnée par la formule :
(
Connaissant H et ayant mesuré β, on en déduit :
Telle est la mesure électromagnétique de l'intensité d'un courant,
220
en fonction de l'intensité horizontale H du champ magnétique
terrestre.
Les boussoles sont fondées sur le même principe, en remplaçant
la boucle de courant infiniment petite par un circuit fermé
de dimensions finies.
La boussole des tangentes, de
réalise la 1 e position de
courant circulaire placé dans le plan du
méridien magnétique, et une petite
aiguille aimantée. AB dont le centre P est sur l'axe du cercle 0.
Cherchons le potentiel du courant sur le point extérieur P.
En vertu de l'assimilation du courant à un feuillet, ce
potentiel a pour expression :
I étant l’intensité du courant, et Ω l'angle solide sous
lequel on voit du point P la face australe du feuillet.
Supposons P du côté de la face australe : soit
R le rayon
calotte sphérique de rayon 1 circonscrite par le cône P :
Or :
Donc :
La force exercée sur une masse magnétique +1 (pôle austral)
221
placée en P sera dirigée suivant 0P prolongée :
Supposons maintenant que l’aiguille aimantée placée
en P ait un pôle austral +m ; un pôle boréal -m :
Chaque pôle sera soumis à la force mF de la part du
courant, et à la force mH de la part du champ terrestre :
ces 2 forces sont perpendiculaires l'une à l'autre, et la
position d'équilibre sera déterminée par la formule :
Connaissant a, R et H, on mesure la déviation β et l'on
calcule I (en unités électromagnétiques).
Dans la plupart des boussoles, l'aiguille est placée au
centre même du cercle ; alors , et l'on a simplement :
On a supposé jusqu’ici que l'aiguille était assez courte
pour que la force sur chaque pôle fût sensiblement égale,
dans n'importe quelle position, à la force au centre P.
Dans la pratique, la longueur de l’aiguille n'est pas négligeable,
et l'on en tient compte en introduisant dans la formule
un facteur de correction qui est une série de puissances
paires de l (formule due à
prendre le 1 er terme
222
2
en posant :
Mais cette disposition ingénieuse théoriquement n'est pas
un perfectionnement pratique : car on sait pas si, en
annulant le terme l 2, on ne rend pas très grand le
terme l 4, de sorte que l'erreur commise peut être
aussi grande, mais inconnue et incorrigible. De plus,
il y a une difficulté pratique qui vient de ce que
le cadre de la bobine, au lieu d'être plat, doit être
conique : et il est plus difficile d'enrouler régu-
lièrement le fil, ce qui est une nouvelle cause
d'erreur. Les appareils simples sont toujours
préférables, parce qu'on peut aisément en découvrir les
défauts et y remédier ; de même, il faut employer des
formules très simples, pour pouvoir faire les corrections
avec sûreté et facilité.
On peut donner à la boussole des tangentes une autre
disposition : au lieu d'une bobine large et plate, on emploie
une bobine longue et étroite,
magnétique, au centre de laquelle se trouve suspendue un
223
petite aiguille aimantée. C'est un ensemble de boucles fermées
juxtaposées ; soit n le nombre de spires du fil par unité de
longueur de l'axe : une tranche de 1 cm. équivaut à n
boucles de courant, ou à n feuillets magnétiques. Si n est
très grand (
on pourra, pour la commodité du calcul, considérer les
spires comme continues, de sorte que dans une tranche
petite de longueur d'axe dx il y en aura ndx. Soit x
la distance (
bobine, et 2l la longueur totale de celle-ci. Le potentiel
élémentaire d'une spire ou boucle sur le centre 0 est :
dx, contenant ndx spires :
Intégrons entre les limites -l et +l, pour avoir le potentiel
total de la bobine par apport à son centre (I est constante
dans toutes les spires, donc sort du signe ∫) :
La force exercée sur une masse magnétique +1 placée au
centre de la bobine sera :
dx étant le déplacement de cette masse suivant l'axe.
Or la même variation de potentiel dV peut être obtenue
224
en transportant la dx d'un bout à
l'autre de la bobine ; il faut donc faire dans la dérivée
Dans le cas particulier où la bobine
infinie, on a :
La force prend alors une expression très simple :
Cette formule est applicable, par approximation, aux
bobines très longues par rapport à la longueur de l’aiguille :
50 cm. par ex. Le facteur
ficient numérique de correction (constante instrumentale).
Cela posé, et en supposant la longueur de l’aiguille négli-
geable par rapport au diamètre de la bobine, la déviation β
est donnée par la formule (cf. p.221) :
d'où l'on tire la valeur de I en fonction de H.
Cette forme de boussole des tangentes a été imaginée par
Toutes les boussoles supposent qu'on a la mesure absolue
de H, par ex. par l'expérience de Gauss. C'est l'inconvénient
de cette méthode, de faire intervenir un facteur météorologique
225
variable. Pour effectuer une mesure exacte
mesurer H au moment même où l'on effectue la
mesure d'intensité, ce qui demande deux opérateurs :
ou bien il faut mesurer H avant et après l'expérience
d’intensité, et prendre la moyenne des deux résultats e
comme valeur probable de H au moment de l'expérience
(en vertu de la continuité des phénomènes naturels ;
et de la proportionnalité des variations infiniment petits).
Théoriquement, on ne peut répondre ni de l’exactitude
du résultat, ni même du degré d'approximation. Les
électrodynamomètres ont l'avantage de se passer du
champ terrestre, et de mesurer l’intensité du courant
par son action sur lui-même : ces instruments se
suffisent donc à eux-mêmes, et fournissent une mesure
absolue par une seule expérience.
Les galvanomètres sont des instruments de mesure
relative des intensités de courant. Le cadre où est enroulé
le fil étant de forme quelconque, on ne sait plus quelle
est la grandeur absolue de la force ; on sait seulement
qu'elle est perpendiculaire au plan du courant et
proportionnelle à l'intensité :
m étant la masse magnétique d'un pôle de l'aiguille, et g
une constante instrumentale. Si la longueur de l’aiguille
226
était très petite, on pourrait encore avoir une formule
de tangente :
l'intensité à mesurer serait proportionnelle à la tangente.
On pourrait déterminer g par comparaison
avec un instrument de mesure absolue.
Mais en général on ne s'astreint pas à employer une
aiguille très-courte. Alors la force varie en grandeur et
en direction par suite de la déviation, et l'on n'a plus
une tangente proportionnelle à l’intensité, ni même
une formule de tangente.
Aussi on ne peut employer le galvanomètre qu'avec
de faibles déviations, ou encore par une méthode qui ramène
toujours au zéro. Avec de faibles déviations, on peut encore
obtenir des mesures précises par la méthode de
dorf
La méthode du zéro est employée dans le galvanomètre
différentiel, où l'on fait passer en sens inverse 2 courants,
l'un constant, à mesurer, l'autre variable à volonté et
d'intensité connue. On règle ce dernier de manière à
ramener l’aiguille au zéro : les deux courants sont alors
égaux et contraires.
227
19 e leçon
Un galvanomètre très sensible est celui de
ment l'action du magnétisme terrestre et par suite aug-
mente les déviations de l'aiguille pour une intensité donnée.
Un galvanomètre plus sensible encore a été imaginé
non plus de 2 aiguilles longues, mais de 2 fais-
ceaux d'aiguilles courtes, parallèles et de même
sens dans chacun, les pôles des 2 faisceaux étant
contrariés. Chaque faisceau est mobile au centre
d'une bobine : les deux bobines sont parcourues
en sens inverse par le même courant, de sorte
que leurs actions sur le système s'ajoutent.
à donner aux bobines ; mais il est commode de leur
donner simplement la forme circulaire.
le système astatique de 2 aiguilles aimantées verticales et
accolées en sens inverse, ab, b'a'. Chaque aiguille pouvant
l'ensemble de 2 aiguilles horizontales très courtes :
ab', ba'. Or des aiguilles longues sont capables
228
d'une aimantation bien plus forte que les aiguilles courtes.
Par cet ingénieux artifice on obtient des aimants à la fois
puissants et très-courts, qui conviennent aux galvanomètres
sensibles, car ceux-ci doivent avoir de faibles dimensions.
2°Electrodynamomètres
Un électrodynamomètre se compose essentiellement d'une
grande bobine fixe et d'une petite bobine mobile parcourues
par le même courant : l'effet produit est indépendant du
magnétisme terrestre et proportionnel au carré de l'intensité
du courant, de sorte qu'un tel instrument suffit à lui
seul à fournir une mesure absolue de cette intensité.
L'électrodynamomètre absolue de M. Pellat est une
balance : la bobine fixe a (théoriquement) une longueur
infinie, et son axe est perpendiculaire
au méridien magnétique : la bobine
mobile, placée à l'
axe vertical et est portée par un fléau
de balance : celui-ci est en équilibre
dans la position horizontale quand
le courant ne passe pas (Il porte un trait de repère qu'on vise avec
un microscope muni d'un micromètre ) oculaire). Quand le
courant passe, la bobine est déviée : on rétablit l'équilibre
dans la position horizontale au moyen de poids dans le plateau
229
Nous allons chercher la relation qui existe entre ces
poids et l’intensité du courant I dans les 2 bobines.
L’intensité du champ magnétique produit par le
courant à l'intérieur de la grande bobine est la force
( v. p. 224) :
n, nombre de spires
par unité de longueur)
Supposons la petite bobine remplacée par l'aimant
équivalent, de longueur l et de pôle m : son moment
magnétique est :
La force qui agit sur le pôle austral est
pôle boréal,
couple dont le moment :
Revenons à la bobine : chaque spire, ayant une section S,
équivaut à un aimant de moment SI : soit N le
nombre total des spires de la petite bobine, son moment
magnétique est :
et elle est soumise à un couple dont le moment est :
Ce couple est équilibré par les poids
soit L la longueur du bras de fléau ; leur moment est
PL, et par conséquent l'équation d'équilibre est :
d'où :
On voit que I est proportionnelle à
230
Si, au lieu d'une bobine infiniment longue, on emploie
une bobine finie, on n'a qu'à ajouter le facteur correctif
On a aussi supposé la bobine mobile infiniment
petite;si l'on emploie une bobine finie, on doit intro-
duire un autre facteur correctif constant. En somme, on
obtient la formule pratique :
K étant une constante instrumentale. Si on la calcule
en fonction des dimensions et conditions de construction
de l'appareil, ce sera un instrument de mesure absolue, ce
sera un instrument secondaire ou dérivé. L'instrument
primitif de
Les instruments secondaires ont des bobines de 10 à 20 cm.
Si l'on ne veut avoir que des mesures relatives, il est évi-
demment inutile d'évaluer la constante instrumentale.
Dans tous les cas, le magnétisme terrestre n’intervient
pas ; car le couple directeur agissant sur la bobine mobile
est annulé par la résistance du couteau de la balance.
Un électrodynamomètre relatif est celui de Weber
l'inventeur de ces sortes d'appareils. La bobine fixe a son axe
perpendiculaire au méridien magnétique ; la bobine mobile
231
est suspendue de manière que son axe soit horizontal et
en équilibre dans le plan du méridien magnétique. Quand
le courant passe dans les deux bobines, leurs axes tendent
à de venir parallèles : et comme ils sont perpendiculaires,
la bobine mobile est soumise à un couple maximum.
La disposition est donc la même que dans la boussole des
tangentes ; seulement, la suspension est bifilaire (ce qui
sert
produit un couple antagoniste beaucoup plus fort que le
couple directeur terrestre.
Cherchons les conditions de l'équilibre de la bobine sous
l'action de ces 3 couples. Soit α l'angle dont
avec le méridien magnétique ; soit
gnétique de la bobine mobile : le moment du couple terrestre
horizontal sur cette bobine sera MH, et sa composante
efficace :
Le moment du couple dû à la suspension bifilaire est aussi
proportionnel au sinus de l'angle d'écart :
mobile est proportionn le produit des moments magnétiques
des 2 bobines :
qu'il faut multiplier par pour avoir sa composante
efficace. L'équation de l'équilibre sera donc :
232
d'où :
G, g, et K sont des constantes instrumentales ; on mesure
H et α, et l'on en déduit l'inconnue I. Si K est
très grand par rapport à gHI, la formule se simplifie :
on n'a plus besoin de mesure H. En mesurant
une faible déviation, on pourra rendre le moment du
bifilaire assez grand pour que H soit négligeable (car
cela diminue nécessairement la sensibilité de l'appareil).
On peut éliminer H par un autre artifice. Si l'on renverse
le sens du courant, I change de signe, mais non
une déviation α' différente de α, suivant la formule :
Du rapprochement des 2 formules on conclut :
formule indépendante du magnétisme terrestre. Ainsi
moyennant 2 expériences, cet instrument se suffit à
lui-même et n'a pas besoin d'une mesure auxiliaire.
Nous allons maintenant indiquer les méthodes
qui permettent de mesurer les résistances et les forces
électromotrices en unités électro-magnétiques.
Pour mesurer une résistance en valeur absolue, on peut
233
combiner une mesure électro-magnétique d'intensité avec
une mesure calorimétrique. En effet, l'énergie dépensée
dans un fil de résistance R par un courant d'intensité
I
et la quantité de chaleur équivalente par la formule :
On fait passer le courant pendant le temps connu t ; on
mesure I par l'
mètre ; on en déduit la valeur absolue de R.
Pour mesurer une force électromotrice en valeur
absolue, on emploie la loi d'Ohm :
On mesure I, puis R par la méthode précédente : on
en déduit la valeur absolue de E.
Mais les mesures calorimétriques sont longues et
relativement peu précises. Aussi la mesure absolue des
résistances et des forces électromotrices se fait-elle par
d'autres méthodes, fondées sur les lois de l'induction,
qui permettent de remplacer le calorimètre par d'autres
instruments. Théoriquement, l'électrodynamomètre reste
le fondement des mesures électromagnétiques, comme
l'électromètre est celui des mesures électrostatiques.
Passons aux procédés de mesure relative.
La comparaison des résistances entre elles est fondée sur une
234
application des lois de Kirchhoff : pont de Wheatstone :
R et R' connues, fixes ; r inconnue,
à mesurer ; r' connue et variable.
On règle r' de manière à amener
le galvanomètre au zéro : on a :
En effet, la loi de Kirchhoff appliquée aux 2 triangles donne :
d'où :
Cette méthode suppose qu'on dispose de résistances variables
à volonté. Deux espèces d'appareils répondent à ce besoin :
1° Rhéostats : inventés par
rhéostats consiste en 2 fils
semblables tendus parallèle-
ment sur une règle divisée, sur
lesquels peut glisser un pont conducteur EF muni de contacts.
Le courant arrivant A, B, on peut faire varier à volonté
la longueur du circuit et par suite sa résistance. Si les fils
sont bien réguliers, la résistance sera proportionnelle à la
longueur : il suffira de connaître la résistance de l'unité de
longueur du fil. Les rhéostats ont l'avantage théorique de
faire varier la résistance d'une manière continue ; mais
cet avantage est illusoire en pratique, car les contacts E et F
235
ne sont jamais réguliers ni précis, et l'on ne sait pas exac-
tement quelle est leur résistance.
2° Boîtes de résistances. Ce sont des collections de
bobines disposées en série ; seulement, les deux extrémités
de chaque bobine communiquent avec deux
plaques entre lesquelles on peut enfoncer une cheville
conductrice, de résistance négligeable (à cause de la
grande surface de contact). La pose de cette cheville
exclut la bobine du circuit, car le courant se répartit en
raison inverse des résistances. Quand toutes les chevilles
sont placées, la résistance de la boîte est
quand on en enlève quelques-unes, la résistance est la
somme des résistances des bobines correspondantes. Dans
résistance de chaque bobine est graduée en ohms. Dans les
boîtes en série linéaire, les résistances sont échelonnées
comme les poids (1, 2, 2, 5, 10, 10, 20, 50, 100, etc.)
Dans les boîtes à cadre, une seule cheville commande
suivant la de la cheville, au numéro 3,
le courant passe dans 3 bobines, et si la résis-
tance de chacune est 1 ohm, la résistance totale
est de 3 ohms. De là il passe dans une série
de 10 autres bobines de
236
si l'on met la cheville au n°5, on lui fait traverser une
résistance de 50 ohms. Il y a de même une série de
bobines de 100 ohms, et une autre de 1000 ohms,
qui permettent d'évaluer
et de milliers d'ohms (jusqu'à 9999 ohms). On
voit qu'avec 4 chevilles seulement on peut obtenir
tel nombre d'ohms qu'on veut, de 0 à 10000 : on
écrit le nombre connu dans un ttableau à colonnes.
Pour des mesures rapides, on emploie aussi des rhéostats
avec des bornes disposées en cercle sur lesquelles tourne
un contact glissant : mais ce contact étant moins parfait
que celui des chevilles, la procédé mesure des résistances
est moins exacte.
Toutes les bobines sont formées de 2 fils enroulés en sens
inverse, pour éviter les phénomènes d'induction. Les fils
sont en un alliage métallique (maillechort) dont la
conductibilité varie 7 ou 8 fois moins que celle des
métaux purs suivant la température 'pour un métal
pur, la résistance varie de
les résistances sont mesurées à une température indiquée,
150, qui est la température moyenne des laboratoires.
On pourrait corriger les mesures de résistances effectuées à
une autre température, mais quand on tient à tant de
237
précision, on préfère employer d'autres méthodes.
Pour vérifier la graduation des boîtes, on emploie des
étalons dont la résistance est connue en valeur absolue.
On a des étalons d'ohm constitués par un tube fin
plein de mercure, joignant 2 vases pleins de mercure, le
tout ayant une résistance de 1 ohm à 0°. On a aussi
des étalons secondaires, formés de tubes remplis de mercure,
représentant des multiples ou des fractions de l'ohm.
L'usage si fréquent du pont de Wheatstone a amené
à fabriquer des boîtes de résistances comprenant les 3
branches connues du pont : les 2 résistances fixes (de 10,
100 ou 1000 ohm, à volonté) et la résistance variable,
formée par la boîte de résistances proprement dite.
Mesure relative des forces électromotrices.
Dans un fil bien régulier AB tendu
sur une règle divisée, au fait passer le
courant d'une pile bien constante P.
Par la section variable BC du même fil
(au moyen du curseur C), on fait passer en sens
inverse le courant produit par une force électromotrice
quelconque Q, qui traverse aussi un galvanomètre G.
On dispose le curseur C de manière à amener le galvano-
238
mètre au zéro, et l'on fait l'expérience avec
la force électromotrice e à mesurer et une force électro-
motrice connue e'. Les résistances r, r' des la sections BC
au
longueur. Appliquons la loi de Kirchhoff au circuit
qui contient la force électromotrice et galvanomètre :
le courant étant nul, la seule intensité sur BC est celle du
courant de la pile P : i : d'où les 2
équations :
et on en tire :
ce qui permet d'évaluer e par apport à e' connue.
On prend pour terme de comparaison des piles-talons :
par exemple, l'élément Latimer-Clarke (mercure,
sulfate de mercure, zinc, sulfate de zinc) dont la force
électromotrice est très régulière, pourvu qu'elle ne fournisse
pas de courant (1,457 volt). On s'arrange pour placer
d'avance le curseur à peu près au point où il doit être
pour que le courant produit par Q soit nul. De
plus, on remplace le galvanomètre par un électromètre,
qui a l'avantage de ne pas fermer le circuit et de ne pas
epu faire fonctionner la pile ; de plus que
sensible que le galvanomètre à une différence de potentiel
qui se traduit par un courant très faible.
239
Un autre étalon est la pile Gouy (zinc, sulfate de zinc,
mercure, oxyde de mercure) dont la force électromotrice
est 1,43. En général, on peut employer n'importe
quelle pile à 2 liquides, pourvu que leur débit soit
insensible et que par suite elles ne se polarisent pas
(ce qui affaiblit le courant). Pour cela, il suffit de leur
donner une résistance énorme qui empêche le courant
de passer. Par exemple, on composera un élément Daniell
nant un bâton de zinc, l'autre de sulfate
de cuivre contenant un bâton de cuivre,
reliés par 2 siphons très fins plongeant dans une cuvette
d'eau ordinaire. La résistance intérieure d'une telle pile
est immense.
Courants variables
Les lois des courants continus ne sont pas applicables
sans restriction aux courants variables : par exemple,
on ne peut pas affirmer que l'intensité soit la même
un même instant en tous les points du circuit : cela est
faux pour les conducteurs très longs ou très résistants
(câbles transatlantiques) où la quantité d'électricité mise
en jeu à une extrémité met un temps appréciable à se
propager à l'autre bout, de sorte que la quantité d'électricité
240
qui passe en un point n'est pas égale à celle qui passe en un
autre point.
De même, si une partie du circuit possède une grande capacité ;
par exemple, si 2 points du conducteur sont reliés à un
condensateur : pour porter une armature du potentiel 0 au
potentiel V, il faudra lui communiquer une quantité
d'électricité CV : or cette quantité d'électricité sera
arrêtée là et ne passera pas plus loin, de sorte que l’intensité
du courant variable (pendant la charge du condensateur)
sera plus forte en-deçà du condensateur qu'au-delà.
Pour exclure ces cas embarrassants, nous admettrons
que les conducteurs ont tous une faible résistance et une
petite capacité. Dans ce cas, les lois de Joule et d'Ohm
s'appliqueront au courant variable pendant un temps
infiniment petit dt (où il peut être regardé comme constant) :
C'est ce qu'on vérifie par l'expérience de
quantité de chaleur dégagée par un courant variable (provenant
de la décharge d'un condensateur) est proportionnelle à la
résistance.
20 e leçon
Nous étudierons spécialement deux espèces de courants
variables : 1° les courants oscillants (dont l'intensité
oscille périodiquement autour d'une valeur moyenne) ;
2° les courants instantanés.
Pour un courant oscillant, la quantité d'électricité
transportée pendant le temps dt est :
I étant l'intensité à cet instant, et pendant le temps t :
On appelle intensité moyenne
celle d'un courant constant qui transporte dans le
même temps t la même quantité d'électricité :
De même, le travail effectué par le courant pendant
le temps dt étant :
le travail effectué pendant le temps t sera :
et On appelle énergie moyenne d'un courant variable
(W) celle d'un courant constant qui produit le même travail
dans le même temps t :
R étant constante. Si l'on remplace l'intensité I par son
242
expression tirée de la loi d'Ohm, on a les intégrales :
Dans les applications pratiques, c'est l'intensité moyenne
et l'énergie moyenne qu'il importe de connaître. On voit
que pour cela il suffit de connaître les 2 intégrales
ou les 2 intégrales équivalentes :
On évaluera l'intensité moyenne et l'énergie moyenne
en unités
calorimètre. En effet, le calorimètre reçoit chaque instant
une quantité de chaleur :
et dans le temps t :
On peut, en mesurant q, évaluer ainsi
D'autre part, l’électromètre permet d'évaluer
En effet, si l'on emploie l'électromètre à quadrants avec
la disposition symétrique de
la formule de la déviation est :
Supposons e le
le point B communique avec le sol (potentiel 0), le point
A avec l'aiguille de l'électromètre (potentiel inconnu V 0) :
on a :
R étant la résistance (connue) du fil AB. On calculera
243
l'intensité (constante) I au moyen de θ par la formule :
V 1 étant connue ; on mesure θ.
Supposons maintenant que le même fil soit suivi par
un courant oscillant avec une rapidité suffisante pour
que l'aiguille n'ait pas le temps de se déplacer pendant
une période. Sa déviation fixe θ mesurera alors
l’intensité moyenne J du courant, et l'on aura la
formule :
d’où l'on tirera
On peut encore évaluer les 2 autres intégrales au moyen
de l'électromètre, mais avec une disposition différente :
on met un couple de quadrants en communication avec
le sol, et l'autre couple en communication avec l'aiguille
et le point A du courant. On doit faire :
La formule est alors :
Or :
remplaçons I par l'intensité moyenne J du courant
variable :
En mesurant la déviation θ (supposée constante), on
peut calculer
l'énergie moyenne, en mesure Electro-Statique.
244
Pour mesurer l'intensité moyenne et l'énergie moyenne
en unités Electro-Magnétiques, on emploie la boussole des
tangentes et l'électrodynamomètre.
Pour un courant constant, la déviation de la boussole
des tangentes est données par la formule :
Si le courant
ne bouge pas, on aura l'intensité moyenne par la même
formule :
Dans l'électrodynamomètre de
si le courant a l'intensité constante I et si le poids p
rétablit l'équilibre, on a la relation :
En supposant toujours la période assez courte pour que
l'instrument ne bouge pas, on peut remplacer I 2 par sa
valeur moyenne :
On obtient ainsi
On peut aussi évaluer
dynanomètre. Pour cela, il faut faire passer dans la
bobine fixe un courant constant d'intensité connue I 1,
et dans la bobine mobile le courant variable qu'on étudie.
Si ce dernier avait l'intensité constante I, elle serait
donnée par la formule :
L'intensité moyenne est donc donnée par la formule :
245
En général, tout phénomène dépendant de l'intensité
d'un courant et proportionnel à cette intensité permet
de mesurer les intensités moyennes ; tout phénomène
proportionnel au carré de l'intensité permet de mesurer
les énergies moyennes.
On peut construire le graphique des intensités moyennes
Parmi les courants oscillants, les plus fréquents sont
les courants sinusoïdaux, dont l'intensité varie selon
la formule :
I étant la durée d'une période. On peut représenter cette
sinusoïde. L'intensité moyenne
pendant un nombre entier de périodes
est nulle en effet,
courbe, les aires au-dessous de l'axe devant être comptées
négativement : dans chaque période, les 2 demi-périodes
s'annulent. Au bout de n périodes plus une fraction,
l'intensité moyenne n'est pas nulle : car
à l'aire qui correspond à cette fraction de temps
comme on doit la diviser par t(=
l'intensité moyenne, celle-ci est très petite, et d'autant
244
Pour mesurer l'intensité moyenne et l'énergie moyenne
en unités Electro-Magnétiques, on emploie la boussole des
tangentes et l'électrodynamomètre.
Pour un courant constant, la déviation de la boussole
des tangentes est données par la formule :
Si le courant
ne bouge pas, on aura l'intensité moyenne par la même
formule :
Dans l'électrodynamomètre de
si le courant a l'intensité constante I et si le poids p
rétablit l'équilibre, on a la relation :
En supposant toujours la période assez courte pour que
l'instrument ne bouge pas, on peut remplacer I 2 par sa
valeur moyenne :
On obtient ainsi
On peut aussi évaluer
dynanomètre. Pour cela, il faut faire passer dans la
bobine fixe un courant constant d'intensité connue I 1,
et dans la bobine mobile le courant variable qu'on étudie.
Si ce dernier avait l'intensité constante I, elle serait
donnée par la formule :
L'intensité moyenne est donc donnée par la formule :
245
En général, tout phénomène dépendant de l'intensité
d'un courant et proportionnel à cette intensité permet
de mesurer les intensités moyennes ; tout phénomène
proportionnel au carré de l'intensité permet de mesurer
les énergies moyennes.
On peut construire le graphique des intensités moyennes
Parmi les courants oscillants, les plus fréquents sont
les courants sinusoïdaux, dont l'intensité varie selon
la formule :
I étant la durée d'une période. On peut représenter cette
sinusoïde. L'intensité moyenne
pendant un nombre entier de périodes
est nulle en effet,
courbe, les aires au-dessous de l'axe devant être comptées
négativement : dans chaque période, les 2 demi-périodes
s'annulent. Au bout de n périodes plus une fraction,
l'intensité moyenne n'est pas nulle : car
à l'aire qui correspond à cette fraction de temps
comme on doit la diviser par t(=
l'intensité moyenne, celle-ci est très petite, et d'autant
246
plus petite que t, n, est plus grand. Ainsi
l'intensité moyenne tend vers 0 quand le nombre des
périodes augmente ; et si ce nombre est très grand par
seconde, et si l'instrument de mesure des intensités
a des oscillations lentes, il marquera l'intensité moyenne
d'un grand nombre de périodes, laquelle est nulle.
Au contraire, l'énergie moyenne n'est jamais nulle,
car dans l'intégrale
positifs (ou nuls) ; cette intégrale est donc toujours positive,
et va constamment en croissant avec le temps. Si
l'on
par le temps, on aura l'énergie moyenne, et par suite
la quantité de chaleur produite par le courant.
Ainsi les courants sinusoïdaux n'ont pas d'action
sur la boussole des tangentes, mais ils en ont une sur
l'électrodynamomètre.
Si l'on emploie les mêmes instruments à l’étude des
courants qui varient lentement, ils indiqueront, non plus
l'intensité moyenne, mais l'intensité à chaque instant.
On peut alors construire le graphique des intensités, pour
calculer l'intensité moyenne et l'énergie moyenne. On
peut enregistrer automatiquement ce graphique en faisant
tomber un f rayon lumineux, réfléchi par le miroir de
247
l'électromètre ou de la boussole des tangentes, sur un papier
photographique qui se déroule avec une vitesse uniforme.
Les courants instantanés sont surtout obtenus par
la décharge des condensateurs : leur durée est très courte,
de l'ordre du 100.000 e de seconde.
On peut mesurer avec une boussole des tangentes la quan-
tité d'électricité transportée par un courant instantané :
Soit l la longueur de l'aiguille aimantée, m la charge
magnétique d'un de ses pôles ; la force F qui s'exerce
sur l'unité de magnétisme est proportionnelle à l'intensité
du courant :
Supposons que pendant la durée du courant Δt, l'aiguille
tourne de l'angle Δα : évaluons le travail effectué par la
force F. La force qui s'exerce sur un
déplacement est
M étant le moment magnétique ml de l'aiguille, et
I étant supposée constante. Remplaçons I par l’intensité
moyenne J :
Or
de l'aiguille au moment où le courant passe
des vitesses initiale (0) et finale
à la force vive de l'aiguille :
248
Posons :
on a finalement l'équation :
d'où l'on tirera Q en fonction de
Pour évaluer 1 que
l’aiguille atteint en tournant
instantané. La force vive due à la vitesse angulaire initiale
est détruite à ce moment par le travail du couple directeur
terrestre
est mH : le déplacement du pôle dans sa direction est :
Donc :
d'où l'on tire :
Transportons cette valeur dans la première équation :
On a ainsi la quantité d'électricité en fonction de l'angle
d'écart maximum α 1 de l'aiguille aimantée. Il faut en
outre connaître son moment magnétique M
horizontal terrestre H, enfin la constante instrumentale g.
248
Posons :
on a finalement l'équation :
d'où l'on tirera Q en fonction de
Pour évaluer 1 que
l’aiguille atteint en tournant
instantané. La force vive due à la vitesse angulaire initiale
est détruite à ce moment par le travail du couple directeur
terrestre
est mH : le déplacement du pôle dans sa direction est :
Donc :
d'où l'on tire :
Transportons cette valeur dans la première équation :
On a ainsi la quantité d'électricité en fonction de l'angle
d'écart maximum α 1 de l'aiguille aimantée. Il faut en
outre connaître son moment magnétique M
horizontal terrestre H, enfin la constante instrumentale g.
249
Pour simplifier cette formule, on peut y introduire la durée
d'oscillation de l'aiguille sous l'influence du magnétisme
terrestre ( p.186) :
La formule devient alors :
Elle donne la valeur de Q en unités Electro-Magnétiques.
Telle est la méthode du galvanomètre balistiquependule balistique.
On pourrait employer la même méthode balistique avec
un électromètre ou un électrodynamomètre.
L'expérience précédente fournit un moyen de déterminer
le rapport des unités Electrostatiques et Electromagnétiques :
On charge un condensateur dans des conditions uniformes,
par exemple, au moyen d'une force électromotrice constante
et connue ; la charge s'exprime par la formule ( p.99) :
On mesure (
S et e, on calcule la valeur absolue de q en unités
Puis on décharge le condensateur sur une boussole des tangentes :
on détermine par la méthode précédente la valeur absolue
de Q en unités
Au lieu de la méthode balistique, on peut encore employer
250
un autre procédé. Si l'on décharge le même condensateur,
uniformément chargé, n fois par seconde sur une boussole
des tangentes, l'aiguille subira une déviation permanente,
comme sous l'influence d'un courant périodique. La quan-
tité d'électricité qui passe par seconde, nQ, est égale à
l'intensité I du courant constant qui produirait la même
déviation ; donc :
Pour réaliser cette expérience, on emploie un diapason fai dont
on connaît le nombre n de vibrations par seconde, et qui met
le condensateur en communication alternativement avec
la pile qui le charge et le galvanomètre ou la boussole où il
se décharge. Si n est compris
entre 200 et 1000, la durée
d'une vibration est largement
suffisante pour la charge et la
décharge du condensateur.
Dans l'industrie, on emploie pour mesurer les forces
électromotrices et les intensités les voltmètres et les ampère-
mètres. Ces appareils sont des galvanomètres fondés sur une
double application de la loi d'Ohm.
Si la résistance d'un galvanomètre est très petite par rapport
à celle d'un circuit, son introduction dans le circuit n'affai-
blira pas sensiblement l'intensité du courant, et par suite
sa déviation mesurera cette intensité : c'est un ampèremètre.
Si au contraire la résistance
par rapport à la résistance r des circuits où on l'intercale,
l'intensité du courant qui le traversera sera égale à :
et comme R est constante, elle sera proportionnelle à E.
La déviation mesurera donc la force électromotrice : ce sera
un voltmètre. On gradue empiriquement ces instruments
en volts et en ampères, par comparaison avec des instruments
de mesures absolues.
Un galvanomètre ordinaire serait trop délicat pour les
usages industriels. On rend les galvanomètres transporttables
et indépendants du magnétisme terrestre en dirigeant l'aiguille
par un fort aimant permanent fixé dans la boîte : la
force du champ terrestre est négligeable par rapport à celle de cet
aimant, de sorte que l'aiguille prend une qdirection invariable,
quelque
nottablement par là sa sensibilité. Pour que la graduation
soit exacte, il faut que l'aimant directeur ait une
intensité constante.
La définition du travail électromagnétique va nous
acheminer directement à l'étude des phénomènes
d'induction.
252
Travail électromagnétique
Nous allons évaluer le travail des forces magnétiques dans
un cas particulier. Soit une aiguille aimantée de longueur l,
de pôle m, dans un champ magnétique uniforme, d'inten-
sité constante F perpendiculaire au méridien magnétique.
Elle est déviée
augmente de dα, et calculons le travail des forces magné-
tiques pour ce déplacement infiniment petit.
La force qui s'exerce sur chaque pôle est : mF.
Le chemin parcouru est
donc le travail total des forces sur les 2 pôles sera :
travail négatif, car les forces s'opposent à l'accroissement dα.
Remplaçons maintenant l'aimant par un courant
fermé équivalent ayant pour axe AB :
Il vient :
Or le champ est uniforme, donc F est constante ; S aussi.
Or flux de force magnétique qui traverse
la boucle infiniment petite, soit F : on a finalement :
Si au lieu d'un courant élémentaire on a affaire à un
courant fini, on le décomposera en cour
253
pour chacun desquels le travail élémentaire sera égal à
I ddF ; or le flux total est égal à la somme des flux
partiels, et le travail élémentaire total à la somme des
travaux élémentaires partiels, de sorte qu'on aura encore
pour un courant d'étendue finie la relation :
Nous admettrons que cette loi est générale, et nous la
vérifierons par ses conséquences.
Pour avoir le travail qui correspond à un déplacement
fini, il faut intégrer l'équation précédente ; I étant
constante sort du signe ∫, et il vient :
Ainsi le travail total ne dépend que de la position initiale
et de la position finale du courant, puisqu'il suffit pour
le calculer de connaître le flux de force en ces 2 positions.
21 e leçon
Précisons le sens dans lequel le flux de force est compté
par rapport au courant : α est l'angle qui fait la force
avec l'axe du courant du côté de la face australe ; donc
le flux de force est positif quand il entre par la face
boréale (à droite du courant), et négatif quand il entre
par la face australe (à gauche du courant).
La formule du travail électromagnétique est analogue à
254
celle du travail électrostatique :
d'où :
On voit que la quantité
le même rôle que l'énergie W en Electrostatique.
On sait que l'on peut déduire de W la force exercée sur
un corps électrisé : sa composante X dans la direction x
est :
De même l'expression du travail en fonction du flux de force
permet de trouver la force à laquelle est soumis un courant.
Si le courant est assujetti à se déplacer suivant la direction
x, la force qu'il subit est donnée par la formule :
Exemple. Cherchons la force exercée par un aimant infiniment
petit AB sur un courant fermé infiniment petit dont l’axe
est le prolongement de AB.
Soit r la distance CO, l la
longueur AB ; +m le pôle
A, -m le pôle B. La force exercée par le pôle A sur l'unité
de magnétisme en O est : a force
exercée sur
est :
De même, la exercée sur
255
Le flux de force magnétique total qui traverse le courant est
donc :
Or :
Si l'on suppose l infiniment petit par rapport à r, le déno-
minateur se réduit à r 4 ; on a alors simplement :
(On aurait pu obtenir ce résultat directement, sachant que la
force F exercée par l'aimant
magnétisme en O est :
Supposons maintenant le circuit parcouru par un
courant d'intensité
le flux de force soit positif (passe de droite à gauche du courant) :
le courant est descendant en avant du ttableau. Calculons la
force X suivant la direction BA :
Cette force est attractive, et en raison inverse de la 4 e puissance
de la distance. Cela se comprend, car on a vu que le couple
déviateur est en raison inverse du cube de la distance ; or
la force de translation, est étant la différence des 2 forces du
couple, est infiniment petite par rapport à elles, et par
conséquent infiniment petite du 4 e ordre.
256
Phénomènes d'induction
Nous venons d'étudier les lois des actions électromagnétiques,
découvertes par
découvrit les phénomènes d'induction, qui ont élargi
considérablement le champ de l'Electrodynamique.
On a prétendu qu Ces phénomènes sont conformes au
principe de la conservation de l'énergie ; mais ce principe
ne pouvait suffire à les faire découvrir, comme on l'a
prétendu. En effet, ces phénomènes sont caractérisés par
la propriété particulière que voici :
Quand des circuits parcourus par des courants se
déplacent les uns par rapport aux autres, le principe de la
conservation de l'énergie s'applique à chacun d'eux, pris
isolément.
Or cette propriété ne peut évidemment se déduire du
principe de la conservation de l'énergie, car celui-ci
s'applique à l'ensemble des circuits en présence, ce qui
fournit une équation ; mais on n'a pas le droit, a priori,
de l'appliquer séparément à chaque circuit, de manière
à obtenir autant d'équations que de circuits. Cette
propriété se déduit des lois expérimentales trouvées par
les en déduire à leur tour.
257
Considérons un circuit comprenant des forces électro-
motrices quelconques, constantes ou variables, dont la
somme algébrique est E : on suppose que E varie de
telle sorte que l'intensité I du courant soit constante.
Soit R la résistance du circuit ; dΤ, le travail élémen-
taire des forces électromagnétiques pour un déplacement
infiniment petit du circuit. Supposons qu'il n'y ait pas
d'autre énergie mise en jeu que la chaleur de Joule :
Or :
L'énergie dépensée est donc :
D'autre part, la force électromotrice E, pour produire
par seconde l'unité d'électricité, consomme un travail
égal à E ; pour produire la quantité d'électricité I,
le travail est EI ; pendant le temps dt, le travail est
l'énergie au circuit en écrivant que ce travail est
égal à l'énergie produite :
On voit qu'un courant ou mouvement n'obéit plus à
la loi d'Ohm : la force électromotrice est diminuée de
258
autrement dit, le déplacement du circuit semble créer
une force électromotrice égale à
c'est là une apparence : car
E qui fournit, outre le courant I, le travail dΤ ;
c'est pourquoi l'intensité du courant baisse comme si
la force électromotrice E était diminuée de
La relation précédente est vraie quelle que soit la valeur
de E : en particulier, pour
la force électromotrice
suffit à créer un courant dans un circuit ne contenant
aucune force électromotrice. C'est là un fait d'expérience
que rien ne pouvait faire prévoir : un courant
se déplaçant dans un champ magnétique, est parcouru
par un courant, donc s'échauffe et dépense de l'énergie.
Considérons d'abord un circuit fermé, d'aire S,
placé dans le champ magnétique terrestre perpendiculai-
rement à l'aiguille d'inclinaison : soit F la force
magnétique terrestre, le flux de force qui traverse le circuit
est :
Transportons le circuit parallèlement à lui-même, le flux
de force ne change pas, donc aucun courant ne se produit.
259
Faisons au contraire tourner le circuit d'un angle <90°,
le flux de force diminue, donc il se produit un courant
de sens positif (tel que le flux passe de droite à gauche) :
car si :
force électromotrice d'induction.
Il est facile de trouver la quantité d'électricité produite
quand le circuit a tourné de 90° : car le flux de force est
devenu nul, donc sa variation est
L'intégrale de dF, prise entre les limites SF et O, est
donc :
La quantité d'électricité est en raison inverse de la résis-
tance du circuit, proportionnelle à son aire et à l’intensité
du magnétisme terrestre.
Si l'on continue à faire tourner le circuit de 90°, la quan-
tité d'électricité produite dans le 2 e quart de tour sera
égale à celle produite dans le 1 er : car le flux, devenant
négatif (
quantité
Si l'on fait tourner le circuit autour d'un axe horizontal
la force composante efficace de la force sera H, donc le flux
utile sera SH. La quantité d'électricité produite pendant
1 demi-tour (le flux étant nul au début et à la fin) sera :
260
Si l'on fait tourner le circuit autour d'un axe horizontal
perpendiculaire
efficace sera la force verticale V : le flux utile sera SV,
et la quantité d’électricité produite en 1 demi-tour sera :
On a ainsi un procédé pour mesurer l'inclinaison : en
effet :
on peut calculer a priori la quantité d'électricité fournie
en 1 demi-tour (et par suite en un nombre connu de tours)
par un circuit de surface et de résistance connus. On
aura sa valeur en unités
Les courants induits par la terre ne sont pas les premiers
qu'ait découverts
par les aimants.
Considérons le cas particulier
d'un aimant
O dont l'axe est dans le prolongement de BA. Si l'on l'éloigne
de l'aimant, le flux magnétique qui le traverse varie, donc
il y a production d'un courant : cherchons-en le sens.
Le flux de force qui traverse le courant est (v. p. 254) :
261
Si r augmente, F diminue :
donc
Le courant a donc le même sens que celui qui équivaut
à l'aimant AB.
Si donc on remplace l'aimant AB par le courant fermé
équivalent (
les mêmes phénomènes se produiront ; le courant induit
dans le circuit O sera de même sens, si O s'éloigne :
de sens contraire, s'il se rapproche.
Or deux courants de même sens s'attirent, de sens
contraire se repoussent ; ainsi le courant induit gêne
le mouvement. Cette propriété est générale, quelle que soit
la cause de l'induction ; le sens du courant induit est
donc déterminé par la loi de Lenz.
Tout courant induit résultant d'un déplacement
s'opp est de sens tel qu'il s’oppose à ce déplacement.
La loi de Lenz est une conséquence de la conservation
de l'énergie dans le circuit : en effet, tout travail électro-
magnétique
une force électromotrice de signe contraire
On vérifie les lois précédentes avec un aimant ou un
solénoïde qu'on approche ou qu'on éloigne d'une bobine.
262
Nous venons de voir les courants induits : 1° par la terre ;
2° par les aimants ; 3° par les courants constants qui
s'approchent ou s'éloignent. Il y a encore des courants
induits par la variation d'intensité de courants immobiles ;
en particulier, par l'apparition ou la cessation d'un courant
dans un circuit fixe.
Soit un circuit A parcouru par un courant constant
un circuit B qu'on amène de l'infini à une position déter-
minée B voisine de A : le courant induit dans B est de sens
contraire à celui de A, et l'on pourrait calculer la quantité
d'électricité développée dans B, connaissant le flux de force
émané de A qui traverse B.
Supposons maintenant que, les circuits A et B étant
immobiles, et n'étant traversés par aucun courant, on
lance dans A un courant d’intensité I (la même que ci-dessus) ;
l'expérience montre que le courant induit dans B a le même
sens et produit la même quantité d'électricité que dans
l'expérience précédente.
La première partie de cette loi (sens du courant induit) a été
découverte par
tricité) a été devinée par
principe de la conservation de l'énergie dans le circuit B,
en supposant qu'il y a un courant induit ; elle a été vérifiée
263
expérimentalement par
A, B, C ; A et C communiquent entre
eux, mais le courant passe en sens
inverse en eux ; B communique avec
un galvanomètre. On lance un courant
dans le double circuit AC : si B est
au milieu des deux, en D, il n'y a pas de courant induit,
les deux courants B en D', l'action de A domine, et le
galvanomètre accuse un courant induit de sens contraire
à celui de A. On varie l'expérience : pendant que le courant
passe dans le circuit AC, on déplace brusquement le
circuit B de D en D' : il y a un courant induit de même
sens que précédemment, qui produit la même déviation
du galvanomètre.
Ainsi un courant qui commence induit un courant de
même sens que s'il s'approchait ; un courant qui cesse induit
un courant de même sens que s'il s'éloignait,
courant de même sens que lui-même.
Un courant induit par variation d'intensité (de I 0 à I)
peut être considéré comme la somme des courants induits
par toutes les intensités successives, de I 0 à I. Par suite,
264
on peut calculer la force électromotrice induite par une
variation d'intensité donnée.
Le flux de force à un moment donné est proportionnel
à l’intensité du courant inducteur :
M étant le coefficient d'induction mutuelle des 2 circuits.
Pour une variation d’intensité dI, la variation du flux est :
Si la force électromotrice induite est toujours donnée par la
formule (hypothèse de Neumann) :
on aura :
Cette formule est l'expression du théorème de Neumann.
Elle suppose que l'on connaît le coefficient M, ou encore
la valeur du flux de force pour une intensité donnée I.
La quantité d'électricité développée par induction est :
c'est-à-dire :
Pour un courant qui commence :
Pour un courant qui finit :
On voit qu'en général, un courant qui augmente induit
un courant de sens contraire ; un courant qui diminue induit
un courant de même sens : car E est de signe contraire
à dI.
265
22 e leçon
Le coefficient d'induction mutuelle de 2 circuits dépend
de leur position relative. On peut calculer sa valeur dans
chaque cas particulier.
Soient 2 circuits infiniment petits O, O' ayant même
axe. Supposons le circuit O parcouru par un courant
d’intensité I : la force qu'il exerce sur le centre O' est :
et par suite le flux de force qui traverse le circuit 0' (d'aire S')
est :
La force électromotrice induite dans le circuit O' est :
Donc :
Autre exemple. Considérons une bobine infiniment
longue, contenant n spires par centimètre de longueur.
On sait que l’intensité du champ à son intérieur est :
Soit un circuit simple infiniment petit suspendu dans la
bobine parallèlement aux spires : soit S sa surface. Le flux
de force qui le traverse est :
Or :
Si l'on remplace le circuit simple par une petite bobine
de N spires ayant chacune la surface S, on trouve :
266
En général, le calcul du coefficient d'induction mutuelle en
fonction des données n'offre que des difficultés mathématiques.
induction sur lui-même. Considérons 2 spires A et B
d'une bobine : le courant qui passe dans A ne peut varier
sans induire un courant de sens contraire dans B. Quand
les deux spires sont traversées par le même courant dans le
même sens, elles induisent l'une dans l'autre une force
électromotrice contraire au courant naissant, qu et qui
par suite s'oppose à son établissement. Quand le courant
cesse, l'induction mutuelle a lieu en sens contraire : la force
électromotrice induite a le même sens que le courant, et
s'oppose à son évanouissement.
Il est difficile de mettre en évidence l'existence du courant
induit, qui se superpose au courant primaire dans le même fil.
aux courants instantanés (comme la loi d'Ohm dont elle
est dérivée). Il a imaginé une double expérience qui manifeste
le courant induit de fermeture, de sens contraire au courant
primaire, et le courant induit de rupture, de même sens que
le courant induit de fermeture, de sens contraire au courant
primaire, et le courant induit de rupture, de même sens que
le courant primaire (Voir
Les forces électromotrices dites de self-induction
267
de la variation du flux de force du courant à travers lui-
même (
Ce flux de force est proportionnel à l'intensité du courant,
et à un facteur L qui dépend de la forme du circuit :
Le coefficient de self-induction
comme M, mais plus difficilement.
Pour qu'il y ait
que le circuit soit enroulé sur lui-même : tout courant
qui varie exerce une induction sur lui-même. Cela se
comprend, car un circuit, même simple, est toujours formé
par un conducteur plus ou moins épais ; le courant est
en quelque sorte un faisceau de filets de courant parallèles
et juxtaposés, qui s'induisent les uns les autres, le flux
de force de chacun passant à travers les autres.
Néanmoins, la
incomparablement plus petite que celle d'une bobine ; aussi
est-elle négligeable par rapport à celle d'une bobine : dans
les bobines de résistances, où l'on enroule en sens inverse
2 fils traversés en sens inverse par le même courant ; on
peut considérer la self-induction comme nulle ( p.236).
Dans l'induction par le mouvement, la force électromotrice
induite s'explique, on l'a vu ( p.258) par le travail électro-
268
magnétique effectué. Mais dans l’induction par variation
d'intensité, en particulier dans la
a pas de travail effectué : d'où vient la force électromotrice
induite ? Quand un courant s'établit, il produit un
champ magnétique, et par suite une énergie potentielle
des corps situés dans ce champ : la création de cette énergie
potentielle se traduit par la force électromotrice induite.
Le travail de la pile se dépense à la fois en chaleur de
Joule et en énergie potentielle magnétique. C'est pourquoi,
pendant la phase d'établissement du courant (
de seconde) on a :
Inversement, quand
rend son énergie potentielle sous forme de force électromotrice,
avec production de chaleur. C'est pourquoi l'on a dans la
phase de rupture :
En résumé, le champ magnétique produit par un courant
possède une énergie potentielle correspondant à l'intensité
de ce courant. Ce sont les variations de cette énergie qui
engendrent les phénomènes d'induction.
Jusqu'ici nous avons considéré des circuits de forme
invariable. Il est intéressant d'étudier des circuits qui se
déforment.
Considérons par exemple le circuit
269
formé par 2 rails parallèles dans un plan horizontal, et
une traverse qui roule sur eux. Le flux de force qui traverse
le circuit est dû à la composante verticale V du magné-
tisme terrestre. Si la traverse passe de BC en B'C', soit S
l'aire du rectangle BCC'B, le flux de force augmente de la
quantité VS. Soit v la vitesse de translation de la
traverse, a sa longueur. En 1 seconde, elle balaie une
surface av ; en dt, une surface avdt. Donc :
et la force électromotrice induite dans le circuit sera :
Pour se faire une idée de la grandeur de E, qu'on suppose
la traverse BC formée par l'essieu d'un wagon roulant à
la vitesse de 20 mètres par seconde :
qu'on fasse approximativement :
On trouve :
Ainsi E est égal (en valeur absolue) à
Dans ce cas, le courant induit est dû à un travail électro-
magnétique produit par le déplacement de la traverse BC :
D'autre part, soit X la force qui s'exerce sur la traverse
(en sens contraire de son mouvement, en vertu de la loi de Lenz)
et dx son déplacement infiniment petit.
270
Donc :
Si par exemple le courant lancé dans le circuit est d'un
ampère (
Plus généralement, cherchons la force qui s'exerce
sur un élément de courant d’intensité I, de longueur ds,
mobile dans un champ magnétique et faisant l'angle θ
avec la direction de la force.
Imaginons que cet élément fait
partie d'un circuit fermé dans
un plan normal à la direction
de la force, et tel que le flux de
force
Pour trouver la direction de la force qui s'exerce sur ds,
il suffit de chercher pour quel déplacement virtuel de ds
la variation
En effet,
et le travail est maximum quand le déplacement dx a lieu
dans le sens de la force (la composante X est alors maxima)
correspond à un déplacement de ds perpendiculaire à sa position
et à la force magnétique F ; en d'autres termes, la force
est perpendiculaire au plan de l'élément ds et de la force magnétique.
271
De plus (pour que
il faut que le déplacement de ds ait lieu en dehors du
circuit : donc, quand l'observateur d'
le long de ds et reçoit le flux magnétique en face, la
force X est dirigée vers sa droite. Elle a pour expression :
On voit que cette expression ne diffère de la précédente
(
Nous allons appliquer que formule à quelques problèmes.
Galvanomètre à mercure de
L’élément de courant ds mobile est liquide : il est formé
l, d'épaisseur e, comprise entre les 2 pôles d'un
fort aimant, et que le courant traverse de bas en haut,
par exemple. Les lignes de force traversent la boîte
de gauche à droite ; la force électromagnétique X
pousse alors le mercure en arrière du ttableau. Pour
lui faire équilibre, on emploie une force hydrostatique : la
boîte est entre les 2 branches d'un tube en U, et le mercure
monte h dans la branche d'arrière, étroite ; la branche d'avant
est assez large pour que le niveau n'y varie pas sensiblement.
La force électromagnétique est :
D'autre part, la force hydrostatique est :
272
au déplacement horizontal du mercure. Calculons la
pression p (par unité de surface) : elle est égale à :
L'équation d'équilibre est :
ou :
d'où l'on tire :
en posant :
Ainsi l’intensité du courant est proportionnelle à la
dénivellation du mercure. Le sens de cette dénivellation
indique le sens du courant, car si l'on renverse celui-ci,
le mercure baisse dans la branche étroite au-dessous du 0.
On peut graduer cette branche en ampères. Cet instru-
ment a l'avantage d'être apériodique : comme il arrive
lentement et progressivement à sa position d'équilibre,
il n'oscille pas.
Comme toujours, au travail électromagnétique produit
dans cette expérience correspond un phénomène d'induction.
Si, aucun courant en passant dans la boîte, ou produit
mécaniquement la dénivellation du mercure
du mercure produit un courant induit de même sens que
le courant de la 1 e expérience : car le mercure se déplace alors
en sens inverse : or le courant induit doit, en vertu de la loi de
273
Lenz, s'opposer au déplacement.
Roue de Barlow. C'est un disque de cuivre rouge pou-
vant tourner autour d'un axe horizontal : le courant
entre par l'axe et sort par le bord inférieur, qui plonge
la partie inférieure du disque entre les pôles
d'un fort aimant. Quand le courant passe,
la roue se met à tourner vers la droite de
l'observateur d'
le courant, elle tourne en sens contraire.
Réciproquement, si, aucun courant ne passant, on fait
tourner la roue, on produit un courant induit, qui
change de sens avec la rotation.
On a ainsi des exemples de la réversibilité des moteurs
électriques (le galvanomètre à mercure peut-être considéré
comme une machine élévatoire ou comme un moteur hy-
draulique) qui deviennent des machines magnéto-électriques.
Seulement les appareils précédents ne produisent que des
forces électromotrices très faibles ou un travail très petit.
Considérons maintenant, non plus un élément de courant,
mais un courant fermé qui se déplace tout d'une pièce
de A en B
qu'on peut concevoir comme se mouvant séparément. Ce
274
n'est pas là une fiction mathématique, comme celle qui
consiste à décomposer un circuit par un quadrillé ( p.203)
pour l'assimiler à un feuillet magnétique, mais une hypo-
thèse physique réalisable par expérience : car on peut rendre
indépendante telle portion du circuit qu'on veut. La 1 e
conception est de
intimement et directement les phénomènes électriques aux
phénomènes magnétiques e est celle d'
est plus conforme à l'ordre historique, et aussi à la réalité
physique ; elle est plus satisfaisante pour l'esprit.
Le courant étant donc décomposé en
plus en petits courants fermés fictifs), le travail total des
forces électromagnétiques sera la somme des travaux
élémentaires effectués sur les éléments du circuit
aura encore les formules :
applicables cette fois au circuit tout entier pour un
déplacement infiniment petit (avec ou sans déformation).
La force qui s'exerce sur un élément ds du courant dans
un champ magnétique d'intensité F, est comme on sait :
car pour le déplacement
on a :
275
Si le champ magnétique est produit par une masse
magnétique +m, la force de cette masse, à la distance r,
est ds
situé à cette distance sera :
Cette formule élémentaire a été trouvée par
probablement suggérée par lui à
ont alors fait l'expérience suivante :
Soit une petite aiguille aimantée de déclinaison ; dans
le plan perpendiculaire au méridien magnétique et passant
vertical, de longueur indéfinie, parcouru par un
courant de sens tel que son action s'ajoute à
celle du magnétisme terrestre. Si donc l'on fait
osciller l'aiguille, on pourra mesurer la force qui
la sollicite : l'excès de cette force sur la composante
horizontale H du champ terrestre est la force
courant. Théoriquement, on a :
En supposant le fil de longueur infinie, on trouve :
Or, soit a la distance du centre 0 de l'aiguille au fil :
276
Telle est la loi de Biot et Savart, qu'ils ont vérifiée par
l'expérience : la force exercée par le courant rectiligne indéfinie
sur l'aimant est en raison inverse de la distance.
23 e leçon
Cette loi permet de calculer l'action d'un courant rectiligne
indéfini sur une aiguille aimantée (expérience d'
En général, cette action se compose d'un couple et d'une
force, car les actions sur les 2 pôles ne sont pas, en général,
égales et contraires.
Comme la formule est indépendante de l'azimut où le pôle
se trouve placé par rapport au courant, la force est la même
dans tous les azimuts : elle est toujours perpendiculaire au
plan du pôle et du courant. Donc si l'on fait
pôle autour du courant comme axe, le travail de la force
sera le produit de la force par la longueur de la circonférence
parcourue :
Ainsi le travail
courant. Le mouvement pouvant continuer indéfiniment,
on a ainsi un moteur électrique.
Inversement, si l'on fait tourner le pôle austral P isolé, autour
du fil rectiligne (formant un circuit fermé à grande distance),
on y produit un courant induit dont on peut calculer
l'intensité. Soit ω la vitesse angulaire ; le chemin parcouru
277
dans le temps dt est :
un tour complet étant
un temps dt est :
Or on a toujours :
On en conclut :
et par suite :
Telle est la force électromotrice induite dans le fil par le
pôle de masse +m tournant avec la vitesse angulaire ω.
Si ω est constante, le courant induit sera constant.
On peut calculer autrement et a priori le travail
correspondant à un tour entier du pôle autour du courant.
En effet, il est égal (le mouvement étant relatif) à celui
qu'on effectuerait le courant en tournant autour du pôle.
Quel est le flux de force coupé par le courant pendant un tour ?
Le courant engendrant un cylindre droit indéfini, inter-
cepte (successivement) la totalité du flux de force émané
du pôle +m, lequel est :
pour le flux de force électrique, fondée sur la loi de Coulomb
Or le travail est toujours :
Donc le travail en un tour est :
La même méthode permet d'évaluer encore le travail
électromagnétique dans d'autres cas.
Soit par exemple un arc de courant PQR mobile autour de
278
l'axe de PR sur lequel se trouve un pôle austral A, de masse
magnétique m. On voit que toutes les forces
concourent à faire tourner le courant
dans le même sens. Si le courant fait
un tour entier, il engendre une surface
fermée qui intercepte le flux de force
tout entier. Donc le travail total en
un tour est encore :
On peut ainsi évaluer le travail sans connaître la force.
Inversement, si l'on fait tourner le fil PQR (faisant
partie d'un circuit fermé) autour du pôle A avec la vitesse
angulaire ω, la force électromotrice induite sera encore :
Ces propositions paraissent inapplicables à la réalité,
car on ne peut jamais obtenir pratiquement un pôle isolé.
Mais prenons un aimant dont le pôle
austral A soit sur PR, et le pôle boréal
B sur le prolongement PR, en dehors
du circuit (au même sur le circuit). Le
travail correspondant au pôle A pour un tour
est, comme on sait,
correspondant au pôle B est nul, car le flux
de force qui
279
par PQR en tournant est nul, B étant extérieur (v. p.45).
Tout se passe donc comme si le pôle A était isolé.
Il est aisé de voir que c'est la seule disposition qui donne
un effet électromagnétique avec un aimant complet
(à 2 pôles) ; car si les pôles étaient tous deux à l'inté-
rieur ou à l'extérieur du circuit, le flux de force total
qui traverse la surface de révolution serait nul.
Il semble, en vertu de l'assimilation d'un courant
fermé à un feuillet, qu'on doive pouvoir produire la
rotation continue d'un feuillet avec un aimant : on
réaliserait ainsi le mouvement perpétuel, car on obtien-
drait du travail indéfiniment sans dépenser d'énergie.
Mais l'analogie du courant et du feuillet est ici fausse.
En effet, étant donné un feuillet, et une masse magnétique
une de ses faces la répulsion
l'amener sur la face boréale en faisant le tour du feuillet.
Mais pour revenir à sa position initiale, il lui faudrait
percer le feuillet ; lors même qu'un trou y serait préparé,
il faudrait dépenser, pour lui faire traverser le feuillet, un
travail égal à celui qu'elle aurait produit en passant d'une
face sur l'autre. En effet, le potentiel V produit par un
feuillet sur un point extérieur est en général PΩ (v. p. 198) ;
il est
280
sa variation d'une face à l'autre est
qu'il faut effectuer pour ramener le pôle A de la face boréale
sur la face australe. Le système est donc soumis au principe
de la conservation de l'énergie.
La loi précédente explique la rotation d'un pôle d'aimant
autour d'un courant vertical (expérience de
pôle, plongé dans le mercure qui conduit le courant, est annulé.
Dans le cas où le courant vertical passe par l'aimant
lui-même (variante de l'expérience), la rotation de l'aimant
s'explique par l’action du courant sur les pôles latéraux.
Toustes les espère
qui ne sont pas pratiques, car ils ne produisent qu'un faible
travail ; mais ils sont intéressants au point de vue théorique,
car ils produisent des courants constants (ce qui n'est pas
le cas de la plupart des machines magnéto-électriques) et
fournissent des exemples parfaits de réversibilité des moteurs
électriques.
Action des courants sur les courants
Si l'on admet, avec
électrique, on peut conclure des actions des aimants sur les
courants (et vice-versa) aux actions des courants sur les courants.
On est ainsi amené à chercher d'abord l'action d'un élément
de courant sur un élément de courant, pour en déduire
281
ensuite l'action d'un courant fini sur un autre.
Mais ce problème est artificiel, et insoluble par expérience :
car si l'on peut rendre mobile une portion de courant et
observer l'action d'un aimant sur elle, on ne peut isoler
deux éléments de courant pour observer leur action mutuelle.
On ne peut que constater l'action d'un circuit fermé sur
un élément de courant mobile ; et comme cette action peut
se déduire d'un infinité de lois de l'action mutuelle de
2 éléments, entre lesquelles l'expérience ne peut décider,
le problème reste indéterminé. En effet, supposons connue
la loi des actions de 2 éléments, on peut y introduire un
terme qui disparaisse quand on intègre suivant un circuit
fermé : de telle sorte que le résultat vérifiable soit le même.
Ces diverses lois sont donc indiscernables pour l'expérience.
Toutefois,
en lui imposant a priori certaines restrictions. D'abord,
il a admis que l'action totale d'un courant est la somme
des actions de tous ses éléments. Mais de plus, il a supposé :
1° que l'action était égale à la réaction entre 2 éléments
de courant ; 2° que l'action mutuelle des 2 éléments
est dirigée suivant la droite qui les joint (ce qui n'est pas
évident a priori, car on a vu que l'action d'un courant sur
un aimant est perpendiculaire à la droite qui les joint).
282
Enfin, il a présumé que l'action était fonction de la distance
seulement, et même qu’elle était en raison inverse d'une
puissance finie de la distance (comme les forces électrostatiques,
et magnétiques et électromagnétiques).
Par des expériences bien connues, il obtient les lois élémen-
taires 1° des courants parallèles : 2° des courants angulaires ;
3° des courants sinueux ; 4° de la loi de la répulsion de 2 portions
consécutives d'un même courant (fondée sur l'expérience
des 2 rigoles parallèles, qui ne prouve rien : car on ne sait pas
si l'action s'exerce sur les tiges parallèles ou sur le pont).
De ces lois expérimentales
suivantes concernant l'action de 2 éléments de courant :
1° Deux éléments parallèles s'attirent s'ils sont de
même sens, se repoussent s'ils sont de sens contraire.
proportionnelle à leurs longueurs, ds, ds', et aux inten-
sités des courants I, I', et il posa la formule :
2° Deux éléments consécutifs d'un même courant se
repoussent :
inverse de la même puissance ( e
le coefficient A seul pouvait changer ; d'où la formule :
283
3° Deux éléments dont l'un est perpendiculaire au milieu
En effet, AB attire la moitié CM et repousse la
moitié MD ; et comme CD est infiniment petit,
les 2 actions contraires, dirigées suivant AM, se neutralisent.
4° Deux éléments perpendiculaires entre eux et
à la droite qui les joint n'ont aucune action l'un sur l'autre.
aux considérations qui justifient la précédente.
Telles sont les lois infinitésimales admises par
dans les 4 positions particulières. Pour en déduire l'action
de 2 éléments dans une position relative quelconque, il
invoqua la loi des courants.
deux éléments de courant
en les projetant sur 3 axes
rectangulaires, et appliquant cette loi à la ligne brisée
formée par ces projections, il en concluait que l'action
mutuelle des 2 éléments était la somme des actions de
leurs projections. Prenantx la droite qui joint
les centres 00' des 2 éléments :
pour plan des xy le plan où se trouve AB ; les projections
284
x (pris chaque élément étant pris
positivement dans le sens du courant), et soit ε l'angle
du plan 00'CD avec l'axe des z, les projections sont :
Si l'on accouple chaque élément de l'un à chaque élément
de l'autre, on obtient des couples qui présentent une des
4 positions définies ci-dessus. Si l'on élimine les couples
qui sont dans la 3 e ou la 4 e position (dont l'action est nulle),
il ne reste plus que les couples dxdx' et dydy' dont on
a à tenir compte. En leur appliquant les 2 lois élé-
mentaires, on trouve pour l'action totale (dirigée suivant
) la formule suivante :
inconnues A, B et n : c'étaient des expériences d'équilibre.
De la formule précédente il déduisait ( certains cas
d'équilibre dont les équations fournissaient les valeurs des
constantes qui y figuraient. Ampère trouva ainsi :
car il ne faisait que des mesures relatives. Par ses expériences
de mesure absolue, on a trouvé :
285
indique une attraction, de sorte que B, auquel nous avons
attribué le signe -, doit être positif,
une répulsion). La formule d'
(on écrit
tion, en ds et en ds', pour trouver la force finie qui
s'exerce entre 2 courants finis).
Cette formule peut par des transformations analytiques
être mise sous les formes suivantes, plus commodes
pour certains cas particuliers :
ω étant l'angle que les 2 éléments ds, ds' font entre eux.
formule d'où les angles sont exclus.
formule la plus simple, où ne figure qu'une dérivée seconde.
Cette dernière formule est intéressante, parce qu'elle permet
de trouver une expression élégante du travail électromagnétique
exercé effectué par un courant fermé sur un autre courant
également fermé. Le travail élémentaire, pour un dépla-
cement infiniment petit, est :
l’intégrale double étant étendue à la totale des 2 circuits fermés.
286
On peut tirer de cette formule la loi de l'induction des
courants par les courants. On a les formules générales :
d'où l'on conclut :
ce er circuit
du travail. Substituons-y l'expression du travail :
or on sait ( p.264) que, M étant le coefficient d'induction
réciproque, le flux de force émané du 2 e courant qui traverse
le 1 er est :
et si I' est constante :
(le coefficient d'induction varie par suite de déplacement)
On a dans ce cas :
Rapprochons cette formule de la précédente ; on en conclut :
Cette formule permet de calculer pratiquement le coefficient
d'induction réciproque de 2 circuits (dans une position
donnée fixe). Elle est d'ailleurs indépendante des lois d'
Dans le cas courants induits par variation d’intensité
(les 2 circuits restant fixes), on a au contraire (v. p.264) :
et par suite, en vertu du résultat précédent :
287
La formule de M permet aussi de calculer le coefficient
de
l'on considère l'action de chaque élément du courant
sur les autres, on a encore l’intégrale :
seulement ds et ds' appartiennent cette fois au même
circuit. C'est la seule formule par laquelle on puisse
calculer le coefficient de self-induction.
24 e leçon
Problème de l'établissement d'un courant
Dans un circuit simple, de résistance R, on intercale à un
moment donné une force électromotrice E. Soit L le coeffi-
cient de self-induction du circuit. Pour connaître l'inten-
sité I
la force électromotrice totale, qui se compose de la force E
et de la force électromotrice de
équation différentielle linéaire du 1 er ordre à coefficients cons-
tants, avec 2 e membre, dont la solution est :
La constante d'intégration A est déterminée par les conditions
initiales : or à l'instant
288
L'équation du courant est donc finalement :
Pour
Ainsi I varie de 0 à
que donne la loi d'Ohm sans
qui représente la variation de I
en fonction du temps a pour
asymptote la droite :
La dérivée de I est :
c'est le coefficient angulaire de la tangente à l'origine.
Comme l'exponentielle décroît très rapidement, l’intensité
du courant s'approche très vite de sa valeur-limite
qu'on peut considérer
sa valeur constante.
Si le courant avait tout de suite sa valeur limite
la quantité d'électricité transportée dans le temps t serait
et serait représentée par l'aire du rectangle OAB. Mais, en vertu
de la
que représente l'aire de la courbe, soit OAC. Si l'on attribue
le retard que subit l'établissement du courant à la production
d'un courant induit de sens contraire dont l'intensité serait
289
le déficit de l'intensité du courant primaire :
on peut dire que cet extra-courant transporte, en sens inverse,
une quantité d'électricité égale à :
que représente l'aire comprise entre la courbe et son asymptote.
On peut de même évaluer l'énergie employée à établir le
courant. L’énergie dépensée par la pile (de force E) est :
L'énergie employée par le courant (sans forme de chaleur)
étant
est :
Telle est l'énergie employée à l'établissement du courant
(ou à la formation du champ magnétique correspondant).
On voit que le courant s'établit d'autant plus lentement
que L est plus grand et que R est plus petit.
Problème inverse : de la rupture d'un courant.
Le phénomène de la rupture d'un courant est en réalité
très compliqué, parce qu'il se produit une étincelle : quand
on l'examine au spectroscope, on y trouve à la fois les raies
du métal des électrodes et celles du gaz où passe l'étincelle.
Ainsi l'étincelle rend le gaz luminescent, sinon incandescent.
C'est là un phénomène trop complexe pour être mis en équation.
290
Supposons, pour simplifier, qu'à un moment donné on
supprime la pile et que, sans interrompre le circuit, on la
remplace par un conducteur de résistance égale, de sorte qu'il
n'y ait pas d'étincelle : par exemple, si le courant était
produit par une machine de Holtz, on arrêterait brus-
quement le plateau. C'est là une hypothèse irréalisable,
mais du moins concevable. Dans ce cas, la force électromotrice
E de la pile étant supprimée, il en reste que la force électro-
motrice d'induction ; et l'on a l'équation :
équation différentielle linéaire sans 2 e membre, dont la solution
est :
La constante A est déterminée par les conditions initiales.
En supposant que le courant passe depuis un temps infini,
On en conclut :
L'équation définitive est donc :
L'intensité du courant part de la valeur
représente est la même que celle de l'établissement du courant,
mais renversée. La quantité d'électricité qui passe après la
291
rupture (dans le sens direct) est représentée par l'aire de la
courbe (qui a pour asymptote l'axe des x). Elle est donc égale
(au signe près) à la quantité d'électricité
qui manque au début, et qui était censée transportée en
sens inverse par l'extra-courant. Dans le cas présent, elle
est réellement transportée par l'extra-courant de rupture,
qui a le même sens que le courant primaire.
Quand l'étincelle se produit, elle prolonge le circuit et
augmente beaucoup sa résistance. On ne sait pas comment
varie la résistance de l'étincelle avec le temps. Si on le savait,
on n'aura qu'à faire R, non plus constante, mais fonction
du temps dans l'équation différentielle :
La quantité d'électricité transportée par l'extra-courant
est toujours la même : seulement, si la résistance est grande,
l'extra-courant sera très court, et par suite très intense.
Mais cette formule ne représente pas exactement le phénomène,
car il se produit sur chaque électrode une force électromotrice.
Problème de deux circuits exerçant une induction
l'une sur l'autre (on les suppose enroulés en bobine
une partie de leur longueur, pour augmenter l'induction).
Soient R, R' leurs résistances, L, L' leurs coefficients de
self-induction, M leur coefficient d'induction réciproque
292
Soient E, E' les forces électromotrices intercalées dans les 2
circuits. Appliquons-leur la loi d'Ohm en tenant compte
des forces électromotrices de
En ordonnant cette équation, et en écrivant l'équation semblable
pour le 2 e circuit, on trouve :
(2)
On élimine par ex Pour résoudre La solution de ce système
dépend d'une équation différentielle linéaire du 2 e ordre.
En effet, on différentie les 2 équations précédentes : entre
les 4 équations ainsi obtenues on élimine I',
l'équation résultante est la suivante :
c'est une équation de la forme :
dont l'équation caractéristique est :
Soient α et β les racines de celle-ci ; l'intégrale est :
Les constantes A et B sont déterminées par les conditions
initiales,
293
On trouverait pour I' une intégrale de la même forme :
α et β sont les mêmes, car l'équation caractéristique
est la même (symétrique en L, L', R, R') ; seules les
constantes A', B' diffèrent. En se donnant les valeurs
initiales des intensités I, I', on a 2 relations entre les
coefficients : en portant ces valeurs dans les équations 1
et 2, on obtient 2 autres relations, en tout 4 équations
qui déterminent les 4 constantes.
On remarquera que l'équation caractéristique :
a ses racines toujours réelles, car la quantité (
est toujours
exprimées par des exponentielles réelles.
De plus,
relation physique entre les 3 coefficients d'induction). Par
suite, les racines α et β sont toujours négatives. Donc,
quand le temps croît indéfiniment, les exponentielles
tendent vers 0 : I a pour limite
Pour obtenir une solution déterminée, particularisons le
problème : cherchons le courant induit par la fermeture du 1 er
circuit dans le 2 e circuit, de force électromotrice nulle
294
On a simplement :
On doit faire :
On détermine ainsi les constantes A, B, A', B'.
Si l'on représente graphiquement
les deux intégrales, on voit que I
part de 0 et tend vers
I', négative, part de 0 et tend vers 0.
Cherchons maintenant le courant induit de rupture.
En supposant que I a atteint sa valeur limite
on ouvre le 1
mêmes équations, mais avec d'autres conditions initiales :
Cette fois, le courant étant direct,
I' est positive et la même courbe
se trouve au-dessus de l'axe.
Si au lieu de circuits simples, comme dans les problèmes
précédents, on a affaire à des circuits ramifiés, on leur
applique les lois de Kirchhoff : pour tous les points de
ramification on pose l'équation :
pour tous les circuits fermés simples on pose l'équation :
en faisant figurer dans E les forces électromotrices d'induction.
Exemple : Expérience de
295
Soient I, R, L l'intensité, la résistance et
le coefficient de la
AB ; soient i, r, l les quantités correspon-
dantes pour la branche AGB (galvanomètre G), et
J, ρ, λ les quantités correspondantes pour la branche APB.
On a d'abord pour le sommet A l'équation :
Le sommet B donnerait la même. On a d’autre part pour
le circuit fermé ABP l'équation :
(On néglige les inductions mutuelles, parce qu'on peut
éloigner autant qu'on veut les diverses branches du courant.)
Pour le circuit fermé BAG on a l'équation :
La solution de ce système de 2 équations linéaires du 1 er ordre
dépend d'une équation linéaire du 2 e ordre. Les intensités
se composent de leurs valeurs-limites et de 2 termes en
exponentielles. Ces valeurs-limites sont celles qu'on trouve
en négligeant les forces électromotrices d'induction,
en résolvant les équations :
296
On trouve, en éliminant J et I :
d'où :
et :
Les solutions générales sont donc les suivantes :
Les constantes A, B, A', B' sont déterminées par les conditions
initiales :
Quand les coefficients l et λ
sont beaucoup plus petits que L,
le courant induit de fermeture
est représenté par la courbe ci-contre :
i dépasse sa valeur limite.
Le courant induit de rupture est
représenté par la courbe ci-contre :
297
i tombe rapidement au-dessous de 0 pour tendre ensuite
vers 0 par des valeurs négatives.
C'est dans ces conditions particulières que l'on voit
l'aiguille du galvanomètre dépasser, dans un cas et
dans l'autre, l'obstacle posé à côté d'elle. Ainsi
les expériences de
qui
si le coefficient l du galvanomètre était égal ou supé-
rieur au coefficient L de la bobine (ce qui est possible),
elles ne réussiraient pas.
On emploie fréquemment les circuits dérivés pour étudier
les courants variables, notamment pour comparer et évaluer
les coefficients de
la méthode inventée par
les deux branches de droite BD, CD
ont des résistances R, R', et pas de
les deux branches de gauche, AB, AC,
ont des résistances r, r', et des coefficients de self-induction
L, L'. On sait que pour des courants constants (
la condition pour qu'il ne passe aucun courant par le galvano-
mètre (le pont BC) est :
298
Supposons qu'aucun courant ne passe même pendant la
période d’établissement (où les courants sont variables).
Soient I, I' les intensités respectives sur les branches ABD,
ACD. Ecrivons les équations en tenant compte des
(ABC)
(BCD)
Pour que ces 2 équations soient compatibles avec la première,
il faut qu'on ait :
Cela posé, voici comment on procède. On règle le pont de
manière qu'il y ait équilibre pour les courants permanents :
on a alors :
En général, il n'y a pas en même temps équilibre pour
l'établissement des courants : au moyen de 2 rhéostats
interposés sur les branches AB, BD, on modifie le
coefficient L en maintenant r et R proportionnels,
jusqu’à ce que l'aiguille du galvanomètre ne bouge plus
sur mo
alors simultanément, on a la proportion :
et comme on connaît les résistances R, R', on mesure par là
le rapport de L, L'.
On peut comparer, par une méthode analogue, les coefficients
d'induction réciproque, soit entre eux, soit avec ceux de
299
25 e leçon
Problème de la décharge d'un condensateur
Soit un condensateur de capacité C, dont on réunit les
armatures par un conducteur de résistance R, dont le
coefficient de
de potentiel E entre les 2 plateaux, la charge est :
Soit I l'intensité du courant variable qui traverse le conduc-
teur dans le temps dt : il transporte la quantité d'électri-
cité Idt, la charge diminue d'autant :
D'autre part, appliquons la loi d'Ohm à ce courant :
ou :
équation linéaire du 2
α et β étant les racines de l’équation caractéristique :
Ces racines peuvent être réelles ou imaginaires, suivant
que :
D'autre part, l'équation de I est la suivante :
300
Les constantes A et B sont déterminées par les
conditions initiales :
or :
25 e leçon
Quand les racines α, β sont réelles, elles sont négatives :
donc Q et I tendent rapidement vers 0, suivant
les courbes figurées ci-contre :
Quand les racines sont imaginaires,
les constantes A et B doivent aussi
avoir des valeurs imaginaires
La partie imaginaire des exponentielles donne une fonction
trigonométrique périodique réelle. En effet, si l'on a :
il vient :
Les 2 constantes d'intégration A et φ sont déterminées
par les conditions initiales :
Donc :
301
d'où l'on tire :
d'où l'on tire la valeur de la constante A.
La loi de variation de Q
montre que la charge oscille
(comme le sinus) en dimi-
nuant de plus en plus
(comme l'exponentielle). C'est la décharge oscillante,
découverte par
l'équation. Il avait remarqué qu'une feuille de papier
passant très vite entre les 2 pôles d'un condensateur qu'on
décharge était percée d'une série de petits trous, qui indi-
quaient autant d'étincelles ; et il admit que ces décharges
successives, pour être discontinues, devaient être de sens
contraire alternativement.
On voit qu'on peut obtenir, soit la décharge continue,
soit la décharge oscillante, suivant que R 2 est plus grand
ou plus petit que
à volonté la résistance du conducteur. Si cette résistance
est nulle (ou pratiquement très faible), la décharge sera
nécessairement oscillante.
Les oscillations électriques dans une telle décharge sont
302
très courtes (
totale elle-même dure à peine
que théoriquement elle dure un temps infini). Ces oscil-
lations prouvent ce fait important, que la propagation
de l'induction n'est pas instantanée.
Jusqu'ici nous avons traité de l'induction par variation
d'intensité dans des circuits fixes ; nous allons étudier
maintenant l'induction par le mouvement.
Problème. Soit un cadre de surface S mobile autour d'un
axe vertical dans le champ magnétique terrestre. On sait
que la force électromotrice induite change de signe à chaque
demi-tour ( p. 259). Nous avons calculé la quantité
d'électricité produite par demi-tour, mais non l'intensité
du courant induit, parce qu'il faut tenir compte de la
La force électromotrice induite
flux de force qui traverse le circuit. La loi d'Ohm donne
l'équation :
Supposons qu'à l'origine des temps le cadre soit perpen-
diculaire au méridien magnétique, et qu'il tourne avec
la vitesse angulaire uniforme ω. Au bout du temps t,
il aura décrit l'angle ωt. Or, dans sa position initiale,
303
magnétisme terrestre. A l'époque t, on aura :
d'où :
L'équation devient donc :
équation linéaire dont le 2 e membre est fonction du temps.
La solution complète se compose d'une partie périodique
et d'une partie non périodique. Celle-ci est négligeable,
parce que les exponentielles décroissent très rapidement
et deviennent sensiblement nulles après quelques tours,
quand le régime est établi. En conservant seulement
la partie périodique, on a une intégrale :
Il est facile de vérifier que c'est une solution de l'équation
différentielle :
Pour que cette équation soit vérifiée quel que soit t, il
suffit que les coefficients soient nuls. On a ainsi
2 équations qui déterminent les constantes A et φ :
304
Remplaçons
On a définitivement :
Cette formule est très remarquable : le numérateur est
la force électromotrice décalée de l'angle φ :
motrice à un intervalle constant :
La durée d'une période (correspondant à un tour entier)
est :
Le décalage φ est
d'autant plus grand
que Lω est plus grand
par rapport à R.
D'autre part, au lieu
de la résistance R du circuit, nous avons en dénominateur
la quantité plus grande
l'impédance, puisqu’elle empêche le courant de s'établir
et diminue son intensité. Le terme additif
par lequel l’impédance surpasse la résistance, s'appelle
l'inductance, parce qu'il provient de la
305
Si l'on avait
et :
Ainsi la
et la diminution d'intensité équivalant à un accrois-
sement de résistance : la résistance apparente est l'impé-
dance. Dans l'autre cas-limite, où
on trouve :
Le décalage maximum est donc d'un quart de tour :
dans ce cas extrême, l'intensité est maxima (en
valeur absolue) au moment où la force électromotrice
est nulle. La formule de l'intensité devient
On voit que, dans ce cas particulier, la valeur maxima
de I :
Cette solution s'applique approximativement aux cas
où l'inductance est très grande par rapport à la résistance.
L'instrument théorique que nous venons d'étudier est le
type de tous les alternateurs (machines produisant des
courants alternatifs) employés dans l’industrie ; c'est
ce qui fait l'importance pratique de la formule sinusoïdale
d'intensité qui s'applique dans une foule de cas.
306
Nous allons la retrouver en traitant un problème tout
différent en apparence.
Problème. Soit une bobine infiniment longue au milieu
de laquelle on fait tourner un petit aimant AB (v. p. 224).
Soit m la charge de ses pôles, l sa longueur. Si la bobine
est parcourue par un courant d'intensité I, l'intensité
du champ magnétique à son intérieur est :
et par suite la force qui s'exerce sur chaque pôle de l'aimant
est :
D'autre part, soit ωt l'angle que fait l'aimant avec sa
position initiale (perpendiculaire à la force) ; pendant
un temps dt, il subit un déplacement élémentaire :
Le travail accompli par la force magnétique sur les 2 pôles est :
donc :
L'équation du courant induit est par conséquent :
équation de même forme que celle du problème précédent (SH
est remplacé par
307
Au moyen de ces formules on peut évaluer en unités
électromagnétiques une force électromotrice ou une résistance,
sans avoir besoin du calorimètre (v. p.233).
Soit par exemple à mesurer en valeur absolue une force
électromotrice constante. On la met en communication
en série avec un cadre qui tourne dans un p
de telle sorte que le circuit ne soit fermé qu'au moment
où la force électromotrice induite dans le cadre a sa
valeur maxima : SHω. On règle la vitesse de rotation
du cadre de telle sorte qu'un galvanomètre placé dans
le circuit ne dévie pas au moment où il se ferme : les
deux forces électromotrices sont égales et de sens contraire.
On mesure a ainsi la valeur de la force électromotrice à
mesurer, sans avoir à tenir compte de la
puisque le courant est nul.
Cet instrument ne serait pas pratique pour des forces
électromotrices ordinaires ;
étant très faible, il faudrait
au cadre. Mais on peut faire passer le courant de la pile
dans une résistance R infiniment grande par rapport à
celle de la pile elle-même, de telle sorte que la différence
de potentiel aux 2 extrémités de la résistance soit égale à la
force électromotrice E de la pile. En établissant un circuit
308
dérivé sur une portion r de la résistance R, on aura dans
cette banche une force électromotrice
que l'on pourra mesurer par la méthode précédente.
Connaissant le rapport
Si l'on se propose au contraire de mesurer la résistance
inconnue R du circuit, on intercalera dans le circuit
une boussole des tangentes qui mesure l’intensité I
en valeur absolue ; on mesurera d'autre part la force
électromotrice E comme ci-dessus, en l'opposant dans
une dérivation à la force électromotrice induite dans
un cadre tournant ; on en déduire :
On remarquera que H disparaît de l'expression de R.
En effet, on a d'une part :
et d'autre part :
Il e reste simplement :
Ainsi la mesure absolue des résistances est indépendante
de l’intensité du magnétisme terrestre.
C'est par une méthode analogue, fondée sur l'induction,
qu'on a obtenu les mesures les plus exactes de l'ohm.
Les méthodes calorimétriques sont moins précises.
Nous allons donner un autre exemple d'une méthode de
mesure des résistances fondée sur l'induction.
Considérons 2 bobines dont le coefficient d'induction réciproque
309
M est connu. Soit I le courant lancé dans l'une, R
sa résistance ; la quantité d'électricité qui passe dans
l'autre en vertu de l'induction est ( p.264) :
On mesure Q et I, et l'on en déduit R.
On peut mesurer Q de deux manières : soit en faisant
passer le courant induit dans un galvanomètre balistique
( p. 249), soit en employant comme interrupteur un diapa-
son, et en s'arrangeant pour qu'il ne fasse passer que
le courant induit direct (ou inverse) par le galvanomètre :
ou encore en employant un commutateur qui renverse
les communications avec le galvanomètre chaque fois
que le courant induit change de sens. Soit n le nombre
de décharges par seconde : θ la déviation du galvanomètre :
tgθ sera proportionnelle à
Si d'autre part on fait passer le courant d'intensité I
dans le galvanomètre, et si θ' est la déviation correspon-
dante, tgθ' sera proportionnelle à I. On a donc :
d'où l'on tire la valeur de R.
Nous n'avons jusqu'ici étudié les courants induits que
dans des fils conducteurs. Mais ils peuvent se produire dans
des masses métalliques de forme quelconque, comme le prouve
310
la roue de Barlow ( p.273). Voici une variante de la même
expérience : Entre les 2 pôles d'un fort
électro-aimant on suspend un cube
de cuivre à un fil, qu'on tord et qu'on
abandonne ensuite à lui-même :
le cube se met à tourner rapidement ; dès qu'on fait passer
le courant dans l'électro-aimant, il s'arrête brusquement.
Ainsi les courants induits de forme quelconque obéissent
à la loi de Lenz : ils s'opposent au déplacement qui les produit.
Quand un fil cylindrique est traversé par des courants
alternatifs, la distribution du courant ne peut être homogène,
à cause de la self-induction (v. p. 267).
En effet, si l'on calcule le coefficient de
l'élément différentiel est d'autant plus grand que r est
petit,
plus voisins. Où il y a 2 fois plus d'éléments de courant
dans le voisinage d'un élément linéaire intérieur, sur
l'axe notamment, que dans le voisinage d'un élément
superficiel, suivant une génératrice du cylindre. Donc
l'induction doit être plus forte dans l'axe du fil qu'à
sa surface, et comme elle s'oppose à l’établissement du
courant, le courant doit être plus intense à la surface
311
qu'à l'intérieur. Cet effet doit être d'autant plus marqué
que l'alternance est plus fréquente. Par exemple, la
décharge d'un condensateur, dont les oscillations sont
beaucoup plus rapides que celles d'un courant alternatif,
doit suivre uniquement la surface des conducteurs.
En général, les oscillations électriques sont localisées à
la surface des conducteurs.
26 e leçon.
L'influence du milieu se fait sentir dans l'induction
magnétique comme dans l'induction électrique. Il
faut donc étudier les propriétés spécifiques des corps à
l'égard du magnétisme.
Jusqu'ici nous avons admis l'aimantation comme un
fait donné, et supposé qu'on n'avait que des aimants
naturels. Or l'expérience montre que les aimants naturels
attirent le fer comme les corps électrisés attirent les corps
électrisés,
tation par influence.
placé dans un champ magnétique
s'aimante dans la direction des lignes de force, le pôle boréal
étant du côté où elles entrent et le pôle austral du côté
où elles sortent. Si le barreau est entre les pôles d'un aimant,
312
il présente à chaque pôle un pôle de nom contraire
Pendant longtemps on ne connut que le fer et l'acier qui
pussent s'aimanter par influence ; puis on découvrit que le
nickel et le cobalt possèdent la même propriété magnétique.
En suspendant entre les pôles d'un fort électro-aimant
des barreaux de différentes matières,
que la propriété magnétique appartient aux dissolutions
des sels de fer, de nickel et de cobalt, et même à certains
gaz, comme l'oxygène. On le r constate en effet que
l'électro-aimant attire leurs pôles de manière à empêcher
ou à raccourcir leurs oscillations, en un mot exerce une
action directrice sur les barreaux. Exemple :
paraffine plongé dans la limaille de fer, puis essuyé,
subit encore l'action directrice à cause des parcelles de fer
restées adhérentes.
On constate au contraire que des barreaux de certains corps
se placent transversalement par rapport aux lignes de force
(ex : le bismuth). On les appelle diamagnétiques, tandis
que les premiers s'appellent magnétiques ou paramagnétiques.
Pour expliquer la propriété des diamagnétiques, on suppose
que l'aimantation par influence développe en
est chez les corps magnétiques,
chaque pôle de l'aimant inducteur un pôle de même nom :
313
les pôles induits étant repoussés par les pôles inducteurs
tendent à s'éloigner le plus possible, et c'est pourquoi
les barreaux diamagnétiques se mettent en travers du champ.
Il n'y a pas de corps fortement diamagnétiques. Le plus
diamagnétique de tous, le bismuth, a un coefficient
d'aimantation qui est
plus magnétique de tous les corps.
Aussi, quand on a découvert les corps diamagnétiques,
s'est-on demandé si leur aimantation inverse n'était pas
une illusion, produite par une différence d'aimantation
directe. Par exemple, si l'air est magnétique, il doit
être attiré par les pôles de l'aimant inducteur, et par
suite il pourrait repousser des lignes de force les corps
moins magnétiques que lui. Mais on constate que les
corps diamagnétiques le sont même dans le vide, de sorte
que, pour ne pas admettre la propriété diamagnétique
comme irréductible, il faudrait supposer que le vide
a un pouvoir paramagnétique sensible ; les corps dits
diamagnétiques seraient moins paramagnétiques que le
vide. Cette hypothèse n'est pas absurde, mais improbable.
Le problème général de l'aimantation par influence
est celui-ci : Etant donné le champ magnétique où un corps
est placé, déterminer son aimantation. Ce problème a
314
été étudié théoriquement par
On peut aussi le traiter par l'expérience. On trouve une relation
très simple pour les corps faiblement magnétiques : leurs
propriétés sont caractérisées par un coefficient d'aimantation
constant : en effet, leur intensité d'aimantation est sim-
plement proportionnelle à l'intensité du champ inducteur.
Soit H l'intensité du champ, J l'intensité d'aimantation
d'un élément de volume dv, son moment magnétique est :
donc :
k est le coefficient d'aimantation du corps ; on
moment magnétique Μ, on en déduira k.
Donnons au corps étudié la forme d'un petit barreau,
de longueur dl et de section ds, et suspendons-le dans un
champ d'intensité variable dont on connaît les lignes de force.
La force magnétique sur un pôle étant F, elle sera sur
l'autre :
Soient +m, -m les masses magnétiques des 2 pôles ; la force
résultante sera :
Or le moment magnétique est, d'une part :
et d'autre part :
Donc :
et la force est :
315
On mesure la force qui s'exerce sur le petit barreau, dont
on connaît le volume ds, et l'on en déduit la valeur de
J ; on trouve que :
Cela n'est vrai que pour les corps très peu magnétiques,
car dès qu'un corps est nottablement magnétique, sa
propre aimantation modifie le champ, ce qui complique
le problème.
On a considéré un aimant comme un faisceau paquet
de petits aimants, en supposant que le moment magnétique
d'un élément de volume dx dy dz est :
I étant l'intensité (variable) de l'aimantation en ce point.
Le potentiel en un point extérieur A est ( p.194) :
r étant la distance du point A à l'élément dx dy dz,
et ε l'angle du rayon vecteur avec la direction de l’aimantation.
La force magnétique en ce point a pour composantes :
Il ne suffit pas de déterminer la force en un point extérieur ;
il faut encore l'évaluer pour les points intérieurs (comme
la force électrique, qu'on a trouvé nulle à l'intérieur des
conducteurs) pour savoir comment l'aimantation se distribue
dans un corps placé dans un champ magnétique. Mais cela
316
est beaucoup plus difficile pour la force magnétique que
pour la force électrique. En effet, pour évaluer la force
électrique en un point intérieur, on supprimait la charge
électrique de l'élément de volume environnant, et sans
changer le potentiel ni ses dérivées en ce point. Au
contraire, si l'on creuse une petite cavité dans un
corps magnétique, la force en un point intérieur de
cette cavité est indéterminée, car elle dépend de la forme
de la cavité, à la surface de laquelle se produit une
distribution magnétique.
Nous allons déterminer la valeur de la force magnétique
en un point intérieur en donnant deux formes particulières
à la cavité infiniment petite qu'entoure ce point P.
1° Supposons que la cavité soit un cylindre dont l'axe
est dirigé dans le sens de l'aimantation, et dont les
dimensions transversales sont infiniment petites par rapport
à sa longueur (infiniment petite elle-même). La force
qui s'exerce sur le point P provient d'abord du potentiel
de la masse magnétique extérieure sur le point et elle
est dirigée suivant l'axe du cylindre.
A cette force s'ajoute la force exercée
par les 2 bases a et b de la cavité,
qui sont des pôles magnétiques (l'action
317
de la surface latérale est nulle). Cette force est : I ds.
Or ds étant infiniment petite par rapport à la longueur
de la cavité, cette force complémentaire n'ajoute rien
à l'autre ; la force totale est donc égale à celle-ci : c'est
par définition la force magnétique au point P.
2° Supposons que la cavité soit un cylindre ayant
toujours pour axe la direction de l'aimantation, mais
longueur est infiniment petite par
rapport aux dimensions transversales.
Les 2 bases du cylindre constituent
deux pôles, boréal et austral, de sorte que le point P est
constitué comme entre les 2 plateaux d'un condensateur.
La force que ces 2 pôles ensemble exercent sur le point P
est dans le même sens que la force du champ. On sait que,
entre 2 plateaux de condensateur de densité électrique μ,
la force est plateaux
de densité magnétique I, elle doit être :
totale est donc :
La force F' est appelée induction magnétique.
En donnant à la cavité des formes différentes & déterminées,
on obtiendrait pour la force en P des valeurs différentes
de F et de F'.
318
On va justifier les noms donnés aux forces F et F'.
Si l'on comble la 1 e cavité avec de la matière magnétique
neutre, elle s'aimantera sous l'influence de la force magnétique
F, de manière à combler le vide pratiqué dans l'aimant.
Son intensité d'aimantation sera :
Cette force F provient à la fois du champ extérieur et de
l'aimantation du corps. Elle peut être toute différente de
celle qui cign su le même champ
si le corps n'existait pas.
On a entre F et F' la relation :
L'expérience montre que
cient de perméabilité magnétique μ ; on a donc :
Le nom d'induction magnétique donné à la force F'
provient de ce que le flux de force, qui produit tous les
phénomènes d'induction, est proportionnel au nombre μ.
Théorème. Etant donné un corps magnétique aimanté par influence
dans un champ magnétique, on peut toujours lui substituer
une double distribution de pôles magnétiques, l'une de densité
solide ρ, l'autre de densité superficielle σ, de telle sorte que
le potentiel et la force en un point intérieur quelconque
restent les mêmes.
319
Le corps étant rapporté à 3 axes rectangulaires, soient
ξ, η, ζ les coordonnées (fixes) du point P où l'on veut
évaluer le potentiel, x, y, z les coordonnées (variables)
d'un point M du corps ; soit r la distance MP, et ε
l'angle qu'elle fait avec la direction de l'aimantation en M ;
soient α, β, γ et α', β', γ' les angles que font t
avec les 3 axes la direction de l'aimantation en M et
la direction MP : on a la relation :
Evaluons séparément ces 6 angles. Soient A, B, C les 3
composantes de l'intensité d'aimantation I suivant
les 3 axes : on a :
D'autre part, les projections de MP sur les 3 axes sont :
Substituons dans l'expression de
Portons cette expression dans la formule du potentiel ( p. 315) :
Cette intégrale est la somme de 3 autres de la forme :
Or :
320
De même pour les 2 autres intégrales. Nous allons transformer
les intégrales doubles. Considérons l'élément ds de la surface
du corps, et soient l, m, n les cosinus des angles que la
normale à cet élément fait avec les 3 axes. Les projections
de l'élément ds sur les 3 plans sont :
Réunissons les 3 intégrales doubles et les 3 intégrales triples :
Ces 2 intégrales sont susceptibles d'une interprétation simple.
Supposons que sur la surface du corps soient distribués
des pôles magnétiques dont la densité superficielle soit :
cette distribution fournira le 1 er terme du potentiel.
Supposons que dans le volume du corps soient distribués
des pôles magnétiques dont la densité solide soit :
cette distribution fournira le 2 e terme du potentiel.
Ainsi l'on peut remplacer l'aimantation réelle du corps,
ayant intensité I en chaque point, par une distribution
de masses magnétiques de densité superficielle σ et de densité
321
solide ρ. Dans le cas particulier où l'aimantation
est solénoïdale, le corps aimanté peut se décomposer
en solénoïdes, tous réductibles à 2 pôles situés à leurs
extrémités,
l'aimantation du corps équivaut à une simple distri-
bution superficielle de pôles ; la densité solide est nulle.
Donc l'équation qui caractérise l'aimantation solénoï-
dale est :
(appelée équation solénoïdale).
Or l’aimantation par influence est toujours solénoïdale.
En effet, on a la relation :
d'où :
ou :
La densité solide est donc :
Or on sait que ( p.69) :
Donc on a :
et comme
Ainsi un corps aimanté par influence équivaut à un
faisceau de solénoïdes : les pôles positifs sont d'un côté, les
pôles négatifs de l'autre, séparés par une zone neutre. Ces
pôles agissent en sens inverse du champ magnétique sur les
points situés à l'intérieur du corps. En effet, la force du
322
champ pousse une masse magnétique
positive vers le pôles A, tandis que
ce pôle austral la repousse et que
le pôle boréal B l'attire. C'est
un phénomène analogue à celui que a lieu dans les corps
conducteurs, où les 2 actions s'annulent exactement.
Dans les corps faiblement magnétiques, l'action des
pôles développés par influence est négligeable ; et c'est
pourquoi l'aimantation induite est proportionnelle
à l'intensité du champ. Dans les corps fortement
magnétiques, au contraire, l’action démagnétisante
des pôles s'oppose à l'aimantation induite, ce qui
complique le phénomène. Par suite, pour obtenir des
aimants puissants, il faut autant que possible éloigner
les pôles : c'est pourquoi l'on donne aux aimants
la forme de barreaux longs. Un tore aimanté suivant
son axe circulaire n'a pas de pôle superficiel, donc
pas d'action démagnétisante : son aimantation est
par suite maxima. Il est vrai qu'il n'a aucune action
au dehors. Mais on peut obtenir cette action en coupant
le tore en deux ; on a du moins
jusqu'au moment où l'on veut l'employer.
Table des matières