Intégrales curvilignes.

Rappelons tout d'abord la définition de l'intégrale définie : ∫abfxdx=lifax1-a+fx1x2-x1+.....+fxnb-xn x1,x2,....xn étant des valeurs consécutives comprises entre a et b et partageant cet intervalle en n+1 intervalles qui tendent tous ensemble vers zéro pendant que leur nombre tend vers l'infini. On démontre que cette limite existe, et qu'elle est unique.

Quand on effectue le changement de variables : x=φt l'intégrale précédente devient : ∫t0tfφtφ'tdt t0 et t1 étant tels que quand t varie de t0 à t1, x varie de a à b.

On dit quelquefois que cette transformation n'est valable que si, t variant de t0 à , x varie d'une manière continue de a à b sans dépasser ces limites. Cela n'est pas nécessaire. La transformation est légitime tant que pour toutes les valeurs que prend x quand t varie de t0 à t1, la fonction fx est déterminée ; telle est la condition nécessaire et suffisante du changement de variables.

Si l'on pose : Fx=∫axfxdx on sait que la dérivée de Fx est fx ; F'x=fx

Si la fonction fx est continue, l'intégrale de cette fonction : Fx est aussi continue et elle a pour dérivée [formule].

Si maintenant on trouve une fonction Fx qui ait pour dérivée fx, elle ne peut en différer de l'intégrale précédente que par une constante : ∫axfxdx=Fx+C