Transcription

Calcul Différentiel. Ecole Normale , 1848 - 1849.

V. E. Mauduit.

École normale supérieure Estampille de la bibliothèque

Ms 208 cotation de la main du bibliothécaire

Notions Préliminaires.

Deux sortes de quantités se présentent dans l'analyse : les quantités constantes et les quantités Variables.

Si deux variables sont liées entre elles par une Relation telle l'une recevant un accroissement, l'autre éprouve un changement d'état correspondant, on dit que ces deux quantités sont fonction l'une de l'autre. - De ces deux quantités, celle qu'on regarde spécialement comme recevant des accroissements arbi- -traires s'appelle la Variable Indépendante, l'autre, dont les variations dépend . ainsi de celle de la première, s'appelle absolument la Fonction.

Une fonction peut dépendre d'une ou plusieurs variables indépendantes : Ex. d'Eq. d'une courbe y=fx " " d'une surface z=fx,y

Remarquons que, dans ces définitions, rien n'indique que l'on sache exprimer au moyen de lignes algébriques la relation constante qui unit deux variables. Ainsi, l'élas- -ticité de la vapeur d'eau est une fonction de la tempéra- -ture, la longueur de la circonférence est une fonction du Rayon, bien qu'on ne connaisse pas exactement ces fonc- -tions : on les a seulement déterminées approximativement. Cela pourrait conduire à distinguer les Fonctions Analytiques et les Fonctions Empiriques.

Les premières, les seules qui nous occupent, se séparent elles-mêmes en fonctions Explicites et fonctions Implicites.

On distingue encore les fonctions algébriques et les fonctions transcendantes.

Il y a encore des fonctions de fonctions : y=logsinfxx.

De la Continuité.

Une fonction est dite Continue entre deux Limites a et b lorsque chaque valeur intermédiaire de x, α par ex., donne pour la fonction f(x) une valeur f(α) réelle et finie, et qu'en outre, si l'on donne à x un accroissement β, la diffé- -rence entre les deux états de la fonction, ou son accroissement fx+β-fx converge vers Zéro avec β.

Une fonction est Discontinue dans le cas contraire. ainsi les fonctions y=tanx, y=logx sont discontinues parce que, pour certaines valeurs de x, elles deviennent Infinies ou Imaginaires.

L'autre sorte de discontinuité est plus rare: elle se rencon- -tre alors que la fonction passe brusquement d'un état à un autre, tout en restant finie ou réelle: par ex. y=11+etanx passe brusquement de de 0 à 1 quand x, croissant, atteint et dépasse la valeur de π2.

Du reste, en général, les fonctions discontinues ne le sont que pour certaines valeurs particulières de la variable Indé- -pendante.

Il y en a pourtant qui le sont dans toute l'étendue de leur cours, par ex. celle-ci y=-2x

Si je fais x=2n+12y, y est Imaginaire, et , pour x=2y2n+1, y est bien Réel. on voit donc ici que, entre deux valeurs très-rapprochées de x qui donnent y réel, on peut toujours trouver une Infinité de valeurs de x pour lesquelles y est Imaginaire.

Bien qu'il n'y ait pas d'accroissements vérittables pour les fonctions Imaginaires, il arrivera qu'on considère des fonc- -tions de la forme y=fx+-1fx et que l'on parle de leur continuité. - Une pareille fonction est dite continue quand les deux fonctions réelles f(x) et y(x) le sont elles-mêmes.

Des Limites et des Infiniment petits.

On appelle Limite d'une quantité variable, une grandeur finie dont la variable s'apporche Idéfiniment, de telle sorte que la différence peut devenir plus petite que toute grandeur assignable, sans cependant jamais être nulle.

On sait que

Si deux quantités variables sont constamment Egales en s'approchant de leur valeur Limites, ces limites sont les mêmes ;

Si deux quantités variables sont constamment Egales dans tous leurs Etats de Grandeur, et que l'une d'elles ait une limite, l'autre a la même limite.

En Général :

Soit F(x,y..z) et f(x,y..z) deux fonctions toujours égales pour toutes les valeurs de variables x,y..z, de mani- -ère que toujours on ait F(x,y..z) = f(x,y..z), et suppo- -sons que ces variables tendent simultanément vers de certaines valeurs Limites a,b,..c : je dis que l'on a F(a,b,..c) = f(a,b,..c)

En effet, F et f, étant des fonctions Continues, prendront des accroissements aussi petits qu'on voudra pour des accroisse- -ments entièrement petits des variables. Si donc on conçoit que ces variables prennent des valeurs se rapprochant de plus en plus des Limites a,b..c, les fonctions elles-mêmes diffé- -reront de moins en moins des valeurs F(a,b,..c), f(a,b,..c), et en différeront d'aussi peu que l'on voudra, de façon que ces valeurs seront leurs limites respectives. D'ailleurs, quelques près qu'elles soient de ces limites, ces fonctions sont supposées égales entre elles : donc leurs limites le sont éga- -lement, et F(a,b,..c) = f(a,b,..c)

Telle est la proposition fondamentale de la cqfd Théorie des Limites, qui consiste elle-même à remplacer les Quantités dont on veut trouver la Relation par d'autres plus Sim- -ples, variables, et s'approchant Indéfiniment des premières. on cherche la Relation qui unit ces quantités auxiliaires, et , quand on l'a trouvée, il suffit d'y remplacer chacune des variables par sa Limite.

Un Infiniment petit est une quantité vari- -able qui a zéro pour limite, et qu'on considère dans le voisinage de cette Limite. Un Infiniment petit n'aura jamais de grandeur fixe : c'est essentiellement une quantité variable.

Commençons par établir quelques principes Généraux sur les Infiniment petits.

Un infiniment petit peut avoir avec un autre tel rapport que l'on veut. Ce rapport peut être fixe ou varia- -ble, peut même être Infiniment petit ou Infiniment grand.

Soient a et b deux Infiniment petits. Quand la Limite du rapport ab est finie, on dit que les deux Infiniment petits du même ordre.

Si limab=0, alors b est dit Infiniment petit par rapport à a : c'est ce qu'on appelle un Infiniment petit du Second ordre. - ainsi, si l'on considère un arc infiniment petit AB et sa corde, cette corde est aussi In- -finiment petite, de même que le Sinus Verse AP.

A gauche de ce paragraphe se trouve un schéma. Mais AP est du 2 e ordre, car APAB=ABAK ou SinusverseCorde=CordeDiamètre Donc limSinusVerseCorde=0 et le Sinus verse est Infiniment petit par Rapport à la corde.

En Général, si l'on considère plusieurs Infiniment petits a,b,c,d.. tels que, l'un d'eux étant une fois fixé, tous les autres s'ensuivent ; si l'on a limba=0, b est un Infin. pet. du 2 e ordre ; si limcb=0 , c est un Inf. pet. du 3 e. ordre, ..etc. :

Un Infiniment petit d'ordre n est une quantité telle que son rapport à un Infiniment petit d'ordre n-1 a pour Limite zéro.

Si nous représentons par α un Infiniment petit du premier ordre, et pour A une quantité finie, l'expression Aα1±ε

représente le type le plus Général d’un Inf. petit de même ordre ε ayant zéro pour Limite.

Soit maintenant x le type d’un Infiniment petit du 2. ordre. on doit avoir

frac {x} {α} = Aα(1 +-ε) d’où [Formule à transcrire]

De même, le type Général d’un Infiniment petit d’or. .dre n sera [Formule à transcrire]

Si l’on considère une somme d’Infiniment petits [Formule à transcrire] [Formule à transcrire], la somme de ces Infiniment petits est elle- -même un Infiniment petit de l’ordre le moins élevé n. En effet, cette somme peut s’écrire :

[Formule à transcrire] ou [Formule à transcrire] δ ayant zéro pour Limite.

Théorème. – Lorsque deux quantités a, b, sont Infiniment petites, et que [Formule à transcrire], leur différence est infiniment petite par rapport à chacune d’elles.

En effet, posons [Formule à transcrire] et divisons par a ; il vient [Formule à transcrire] d’où [Formule à transcrire] [Formule à transcrire] donc δ est Infinim t. petit par Rapport à a, et l’on

7. démontrerait de même qu’il l’est aussi par Rapport à b. Réciproquement, Si à la différence de deux quantités est Infiniment petite par rapport à chacune d’elles, la limite de leur rapport est l’Unité. même Démonstration. Théorème. – La limite du rapport de deux Infi--niment petit a et b n’est pas changée si l’on remplace chacun d’eux par une quantité, qui n’en diffère que d’un Infiniment petit d’ordre Supérieur. Soit a’ et b’ deux quantités qui ne diffèrent de a et de b que d’un Infiniment petit d’un ordre supérieur à a et b. Je dis que [Formule à transcrire] En effet, on a pour hypothèse [Formule à transcrire] Cela posé, on a identiquement [Formule à transcrire] donc [Formule à transcrire] cqfd. Il suit delà que, dans toute question où l’on aura pour but que de considérer le Rapport de b à a. il sera toujours permis de remplacer chacune de ces quan—tités pour une autre dont le Rapport avec la premi—ère ait 1 pour Limite. Théorème. – Je considère une Suite d’Infiniment petits positifs [Formule à transcrire] dont le nombre m augmente indéfiniment : cette Somme tendra en Général vers une limite finie. Cette Limite ne sera pas changée si l’on remplace chacune de ces quantités respectivemt. par une autre,

8. [formule mathématiques à transcrire] Ces nouvelles quantités ne différant des précédentes que par des infiniment petits d'ordres supérieurs. En effet, on aura alors [formules mathématiques à trancrire] Concevons que tous ces rapports soient rangés par ordre de grandeur croissante, de façon que l'on ait [formule] on sait que [formule] Cela a encore lieu à la limite. Donc [formule] Donc, si le Numérateur a une Limite, le Dénominateur en a aussi une, qui est la même. C'est sur ces principes que repose la Méthode Infi-nitésimale, qui abrège et simplifie beaucoup le Calcul Différenciel.

9. Origine et but du Calcul Différentiel. C'est dans la Recherche des Tangentes aux Courbes planes que le Calcul Différentiel a pris son origine. - Si l'on considère un point m d'une courbe, un point m' infinimt. infiniment voisin, et qu'on mène une Sécante mm', lorsque m' se rapproche indéfiniment de m, la sécante ms tend indé-finiment vers la Tangente mt. Le coefficient angulaire de la Tangente n'est donc autre chose que la limite de celui de la sécante. lequel est [equation], cad. c'est-à-dire le rapport de l'accroissement de l'odonnée à celui de l'abcisse. Si donc l'Eq. est y=f(x), et n l'accroissement infini-ment petit mv de l'abcisse, on a [formule]. Donc le coefficient angulaire de la Tangente n'est qutre chose que la Limite de ce dernier Rapport. Si donc nous savons en Général trouver cette Limite, à l'instant même le problème des Tangentes, sera résolu. - ainsi, voilà comment on a été amené à chercher des méthodes Générales pour trouver la lmite du rapport de l'accroissement d'une fonc-tion quelconque à celui de la variable, lorsque celui-ci converge vers zéro. Le Recherche de cette Limite est le premier objet du calcul différentiel. Cette Limite, on sait déjà la trouver dans divers cas, dans celui des fonctions algébriques, par exemples alors en effet, la limite du Rapport [formule]n'est autre chose que la dérivée de f(x). -Indé-