Tentata expressio circuli per progressionem dyadicam [1680 (?)]

Transcription of Tentata expressio circuli per progressionem dyadicam [1680(?)]

Progressio dyadica est 1 $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{1}{32}$ $\frac{1}{64}$ $\frac{1}{128}$ $\frac{1}{256}$ $\frac{1}{512}$ $\frac{1}{1024}$ $\frac{1}{2048}$.

Valor Circuli cujus diameter 1 est ${1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15} + \frac{1}{17} - \frac{1}{19} + \frac{1}{21} - \frac{1}{23}$.

$\frac{1}{2}$ est valor circuli minor justo, quia $\frac{1}{2}$ minor $1 -\frac{1}{3}$. Jam $1-\frac{1}{3}$ est minor circulo differentia $\frac{1}{6}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ non est minor quam $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$ quia ad $\frac{1}{6}$ addendo $\frac{1}{5} - \frac{1}{7}$ minus fit quam $\frac{1}{4}$.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ non est major quam $1 - \frac{1}{3} +$ $\frac{1}{5}$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ comparetur cum $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9}$. seu $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7}$ cum $\frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{9}$. Erit illud majus hoc ergo $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ major circulo.

Sumatur $\frac{1}{2} + \frac{1}{8}$ et comparetur cum $\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} -$ $\frac{1}{7}$ seu $\frac{1}{3} + \frac{1}{7}$ cum $\frac{3}{8} + \frac{1}{5}$ seu $\frac{2}{35}$ cum $\frac{1}{24}$, erit $\frac{1}{2} + \frac{1}{8}$ non minor quam $\frac{1}{1}$ etc. $-\frac{1}{7}$.

Sumatur $\frac{1}{2} + \frac{1}{8}$ et comparetur cum $\frac{1}{1}$ etc. $-\frac{1}{11}$ seu $\frac{2}{35}$ cum $\frac{1}{24} +\frac{1}{9} - \frac{1}{11}$ seu $\frac{2}{35}$ cum $\frac{1}{24} + \frac{2}{99}$ seu $\frac{1}{35}$ cum $\frac{1}{48} + \frac{1}{99}$ seu $\frac{13}{35\cdot48}$ cum $\frac{1}{99}$ seu $\frac{13}{35\cdot16}$ cum $\frac{1}{33}$. Erit illud minus

Si tantum dividas 48 per 13, quotiens est major quam 3, per quem si multiplices 35 fit 105 quod est majus quam 99 erit illud minus hoc. Ergo $\frac{1}{2} + \frac{1}{8}$ est minor circulo.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$ comparetur cum $\frac{1}{1}$ etc. $-\frac{1}{11}$ seu $\frac{13}{35\cdot16} + \frac{1}{16}$ cum $\frac{1}{33}$ et videatur an illud sit minus. Seu $\frac{13}{35} + 1$ cum $\frac{1}{2+\frac{1}{16}}$ ergo non est minus quam hoc. Ergo $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$ cum $\frac{1}{1}$ etc. $+\frac{1}{13}$ seu $\frac{1}{35} + 1$ cum $\frac{1}{2+\frac{1}{16}}+\frac{1}{13}$. Erit illud majus quam hoc ergo et majus circulo. Ergo sumamus:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32}$ fiet $\frac{1}{35\cdot16} + \frac{1}{32}$ comp. cum $\frac{1}{33} +$ $\frac{1}{13}$. Erit illud non majus quam hoc.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32}$ cum $\frac{1}{1}$ etc. $-\frac{1}{15}$ seu $\frac{13}{35\cdot48} + \frac{1}{32}$ cum $\frac{1}{99} + \frac{1}{13} - \frac{1}{15}$. An illud minus?

vel alia dispositione