Trouver tous les modules [aα,cα+bβ] qui sont multiples de [α,β] et diviseurs de [mα, pα+nβ]. Résolution du problème.

Suite (ou morceau) des calculs de la page précédente.

Calculs sur des modules et petits tableaux récapitulatifs. Tableaux donnant les "nächste Vielfache" et "Nächste Theiler" (chaînes). Brève considération d'une représentation (Abbildung) dans un Modulgruppe.

o=[α,β] irréductible, et soit le multiple m=[α',β'] avec α'=caα', β'=a'aα+bβ ; [c,a']=[1] ; a, b entiers naturels. Trouver tous les modules n=[α'', β''] qui sont diviseurs de m et multiples de o.

Résolution du problème.

Calculs sur des modules finis et sur leur base.

Soient [mα, pα+nβ] et uα+vβ; trouver le plus petit nombre naturel e pour lequel e(uα+vβ)=xmα+y(pα+nβ), et eu=mx+py ; ev=un.

Résolution du problème.

Suite des calculs de la page précédente. Vers la fin de la page, question supplémentaire : Peut-être choisir q mod p tel quel q soit relativement premier à n ? Réponse au problème.

Soit [m,n,p]=[1], alors on doit choisir es nombres entiers rationnels u, v tels que k=[mv,mu-pv]=[1]. Résolution du problème.

Quelques calculs au crayon. Remarque du 17.11.1890 : "Cet exemple d'un "Summengruppe" ..."

Comparaison entre les modules (colonne de droite) et les groupes dans l'article de Frobenius et Stickelberger, "Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1886. Parallèle entre les deux approches, qui revient à un parallèle entre cas multiplicatif et cas additif pour les groupes.

A groupe de modules, construction et étude d'un autre groupe de modules (appelé Moduln Gruppe). Étude des lois / propriétés, des éléments générés, des relations de divisibilité (avec les "Treppen")

Première page, calculs sur modules finis générés par 2 éléments. Deuxième page : ancienne notation, application de la théorie générale des trois modules à des modules générés par 2 éléments.

Énoncé du Modulgesetz. Étude d'un Dualgruppe généré par 3 modules avec condition (1) (lié au Modulgesetz).

Petit tableau. Calcul d'Excidenzen et d'Incidenzen. Etude des "Stufen" dans un Dualgruppe donné.

Au dessus du titre original : "Ancienne notation". Mise au propre de calculs rencontrés de nombres fois (cf relations).

Théorèmes de la "théorie des modules" (eg propriétés de la divisibilité) réécrites avec la notation générale de théorie des ensembles. Partie de la généralisation de la théorie des modules.

Construction d'un "groupe" avec deux opérations phi et psi généré par 3 éléments vérifiant 2 conditions de divisibilité. Référence au calcul logique de Schröder. Au verso : un brouillon titré "Dualismus" qu'on ne peut pas rattacher aux autres.

Présentation en colonnes des propriétés (duales) de + et –. Puis calculs sur des bases de modules finis.

Page 28r : liste de modules finis avec notation 123 (?) 

Page 28v :
La divisibilité d'un module m par un module n sera complètement exprimée par chacune de ces 3 égalités : (m,n)=1 ; m+n=n ; m–n=n.
Tableau montrant la dualité entre les propriétés de + et –.

Page 29r :
Propriétés des nombres de classes par à la divisibilité.

Page 29v :
Suite du recto.

Seulement 4 lignes, apparemment interrompu – lié au Modulgesetz.

Brefs calculs sur des modules finis

Formation d'un groupe engenrdré par 3 modules donnés quelconques a, b, c, rang d'un module engendré par application des opérations.
Tableau des modules selon leur rang.
Nombre de classes.

Tableau pour trois modules a, b, c. Difficile de statuer sur son contenu. Concerne des modules finis.Co

Court texte sur les groupes. Deux groupes A et B forment un groupe H en prenant les couples (a,b). 8 propriétés sans preuve. 8 propriétés pour définir la nouvelle loi de composition. Au dos d'une lettre.

Pour trois modules a, b, c, calculs sur les nombres de classes

Tableau des Nächste Vielfache et Nächste Theiler avec classes de nombres

Si a>p>a+b, on construit pour chaque tel module p un module correspondant q=a-b, alors a-b>q>b et p=q+a. Réciproquement, si a-b>q>b, et on construit pour chaque tel module q un module p=q+a, alors a>p>a+b et q=p-b.
Alors, le groupe P de tous les modules p vérifiant la condition a>p>a+b est en correspondance mutuelle uniforme avec le groupe Q de tous les modules q qui vérifient b<q<b-a.
Dessin.

En marge autour du résultat : calculs de combinaisons et chaînes mais est-ce vraiment en lien?

Définition de a''', b''', c''', a'', b'', c''. Quand a-t-on a'''<c''<c ?

Modules finis de la forme [p₁+q₁w, p₂+q₂w ... p_m+q_mw] = [n, p+qw]. Déterminer n, p, q.

[ha, hb+cw] avec a, b premiers entre eux. Calculs.

Publicité sans notes

Trois modules a, b, c. Propriétés de divisibilité. Liste des "Abtheilungen" (sections, comme des sous-groupes) notés (a₁), (a''), etc. et étude de leurs relations. Verso : nombre de classes, congruences, pour des Abtheilungen d'après la notation entre parenthèses MAIS lettres différentes — peut-être exemple sur modules finis.

Page 8. Deux chaînes de modules a (m membres) et b (n membres), on construit c=a-b et d=a+b. Étude des différentes relations. En marge : "Les PGCD formés par a, b, a-b correspondent aux PPCM formés par a, b, a+b et forment donc un groupe."
Manipulation des opérations et relations autour du Modulgesetz. Généralisation de l'égalité à un nombre quelconque de modules.
Théorème général et preuve.

Au verso, quelques notes (mêmes égalités ?) avec la notation des morphismes / Abbildungen.


Page 9. Suite des calculs pour la preuve du théorème.

Séparation. Etude pour trois modules. Operations, Treppen, diagrammes, Ketten.

Verso : Schöner Satz falsch, 1889. 1. 4. 
Calculs sur des modules finis (exemple ?)

Calculs sans contexte sur modules et chaînes.

Courte étude des conditions pour avoir c₃>b''' et c₃<b''' ? Puis de (a+b)-c<(a-c)+b suit (a+b)-c=(a-c)+b

Tableau de toutes les combinaisons possibles pour 4 modules notés 1, 2, 3 et 4 avec opérations + et – Colonne indiquant le nombre de cas possibles selon le nombre d'opérandes

Chaîne de modules b₁ < ... < b_n et un module a, alors on forme a+b₁<a+b₂<...<a+b_n<a<a-b₁<a-b₂<... Exemple avec n=2, modules b_i notés 1, 2, 3 et a noté 0. Calcul de toutes les combinaisons possibles, Treppen, voisins...

Modulgruppen (ou chaînes) simples : 1<2<3<...

Mots-clés : chaînes, dualite, meilleure présentation, Modulgruppen, nombres de classes, notation1, Treppen