Transcription of Prima calculi magnitudinum elementa

Transcription of Prima calculi magnitudinum elementa

(1) Magnitudo est quod in re exprimitur per numerum partium determinatarum.

Scholium : Ex. gr. orgyiae (quantum homo brachia extendere potest) magnitudo censetur exprimi numero sex pedum, vel (quia pes 12 pollicum est) per numerum 72 pollicum. Ulnae vel cubiti magnitudo per numerum unius et dimidii pedis, vel per unum pedem et sex pollices.

(2) a, b, et similes notae significant numeros magnitudinem <rerum> exprimentes qui scilicet ipsis debent assignari, posito aliquam esse rem, cui unitas assignetur, quam mensuram appellamus.

Schol. : sit pes p, pollex π; orgyia a, cubitus c, p erit 12π, a erit 6p vel 72π. c erit 1p+[latex]\frac{1}{2}[/latex]p vel [latex]\frac{3}{2}[/latex] π vel 1p+6π vel 18π. Hinc si p (pes) sit mensura vel si ei assignetur unitas a erit 6, c erit [latex]\frac{3}{2}[/latex] , π erit [latex]\frac{1}{12}[/latex]; sin π (pollex sit mensura vel unitas) p erit 12, c erit 18, a erit 72. Si sit latus quadrati diagonalis d erit ut L[latex]\sqrt{2}[/latex] vel si L sit 1, d erit [latex]\sqrt{2}[/latex].

(3) Aequalia sunt quorum unum alteri substituti posset salva magnitudine. Et ita designatur a=b, id est ipsi a ubique substitui potest b in magnitudinum calculo, et talis enuntiatio dicitur aequatio velut in numeris [latex]\frac{1}{2}[/latex]=[latex]\frac{3}{6}[/latex], in lineis pes = 12 pollices vel p=12π. Homogenea inter se sunt, quorum magnitudines eadem mensura pro unitate sumta per numeros exprimi possunt.

(4) Axioma: a=a

(5) Theorema: Si a=b sequitur esse b=a. Nam quia a=b (ex hypothesi). Ergo pro a (per 3) substitui potest b. Substituatur ergo b loco priore ipsiusa, in aequatione a=a (vera per axiom 3) fiet b=a. Quod erat demonstradum.

(5) Theor. Si a=b etb=c erit a=c, vel ut vulgo enuntiant: quae sunt aequalia uni tertio, aequalia sunt inter se. Nam quia a=b [ex hypothesi priore] poterit in ea substitui (per 3) pro b ipsi aequale [ex hyp. posteriore] c, et ex a=b fiet a=c. Q.E.D.

ADDITIO

(6) Defin. Si pluribus magnitudinibus simpliciter positis ut a, b ex hoc ipso fiat nova ipsis homogenea, ut m, operatio dicetur Additio, nova aequatio dicetur summa, et repraesentatio erit talis +a+b=+am> Et + vel plus erit signum additions id est simplicis positionis. Idem est in pluribus ut si +a+b+c=m.

Schol. : res scilicet redit ad simplicem additionem numerorum, per quos scilicet ob eandem rem pro unitate positam magnitudines exprimuntur.

(7) Theorem: +a+b=+b+a.
Patet ex praecedenti qua ibi nihil referet, quo ordine collocentur, sufficit unum cum alio poni.

(8) Esplic. Signum + omni notae magnitudinis sine signo sumtae praefigi potest, aut praefixum intelligi. Sed initio saepe omitti solet, itaque a=+a et a+b=a+b. Hinc et ++a=+ a, ut si ponatur f=+ a, fiet a=+a=f (ex hypot.) =+f=++a.

(9) Esplic. +0+a=a. Seu 0 est signum nihili, quod nihil addit.

(10) Their. Si aequalibus addas aequalia, fiunt aequalia. Seu : si sit a=l, et b=m erit a+b=l+m.
Nam a+b=a+b (per 3) itaque in altero a+b pro a ponendo l (ex hyp. priore) et pro b ponendo m (ex hyp. posteriore) quod licet (per 2) utique ex a+b=a+b fiet a+b=l+m. Q.E.D.

SUBTRACTIO

(11) Ab a subtrahere b significat in magnitudine in qua ponitur a, sumere aequalem ipsi b, eamque tollere, idque indicatur scribendo : a-a vel +a-b. Hinc si in magnitudine, in quo est a, nihil aliud esse intelligatur quam b restat nihil, adeoque +b-b=0. Et - (signum denotans minus vel subtractionem) significat id quod positum fuit vel ei aequale, seu uno verbo, eius quantitatem positam, rursus tollendo, perinde esse ac si ponendo eam, et quoad magnitudinem sublatam rursus tollendo actum esset nihil. Si quid aliud adest, residuum appellatur. [ si a-b=0 erit a=a. Nam si a-b=0 erit a-b=b-b sed -b=-b. Ergo per 13 a=b. si a=b erit…]

(12) Theor. Si ab aequalibus auferas aequalia, residua sunt aequalia. Seu: si sit a=l et b=m erit a-b=l-m.
Nam a-b=a-b (per 3) in posteriore pro a ponatur l (ex hyp. 1) et pro b ponatur m (ex hyp. 2). Ergo ex a-b=a-bfiet a-b=l-m. Q.E.D.

(13) Theor. Si a quantitatibus duabus auferas aequalia, et residua sint aequalia, ipsa quantitates sunt aequales. Seu: si sit a-b=l-m et b=m erit a=l.
[in omni aequatione abicere licet, quod est utrobique.]
Nam si aequalibus a-b= (ex hyp. 1) l-m addas aequalia (ex hyp. 2) b et m, nempe priori b posteriori m, fient (per 10) aequalia a-b+b=l-m+m, id est (per 11) a=l . Q.E.D.

(14) Theor. Si ab aequalibus auferas duas quantitates et residua sint aequalia; erunt quantitates aequales: seu si fit a=l et a-b=l-m; erit b=m.
Nam a-b=l-m (per hyp. 2). Ergo addendo utrobique aequalia b+m et b+m fient (per 10) aequalia a-b+b+m=l-m+b+m. Ergo (per 11 junct. 7) a+m=l+b a quibus aequalibus si aequalia a et l (per hyp. 1) auferantur fient (per hyp. 12) residua aequalia, m=b. Q.E.D.

(15) Theor. Si a=b+e erit a-b=e.
Nam ab utroque aequalium auferendo b fient aequalia, a-b=b+e-b, id est (per 11) a-b=e. Q.E.D.

(16) Theor. Si a=-b erit b=-a.
Nam quia a=-b (ex hyp.). Ergo addendo aequalibus istis aequalia b et b (per 3) fient (per 10) aequalia: a+b=-b+b. Ergo (per 11) a+b=0 seu (per 15) b=0-a, seu (per 9) b=-a. Q.E.D.
[ostendendum ut si a=b esse -a=-b sequitur aeq(uatio) 1. Seu si -a=-b sequitur a=b.]

(17) Theor. -a-(-a)=0.
Nam -a designetur per f seu sit -a=f. Iam f-f=0 (per 3). Ergo pro f ponendo aequale ipsi (ex hyp) -a fiet -a--a=0. Q.E.D.
[en marge: -a--a=0. +(-a)-(-a)=0 per… ergo (per …]

(18) Theor. --a =+a.
Nam -a--a=0 (per 17) et 0=-a+a (per 11). Ergo (per 5) -a--a=-a+a. Unde utrobique addendo a fient (per 10) aequalia +a-a--a=-a+a+a. Et proinde (per 11) 0--a=0+a seu (per 9) --a=+a. Q.E.D.

(19) Theor. -+a=-a aut +-a=-a. Patet ex 8.

(20) Theor. In omni aequatione licet membrum abjicere ab una parte et signo contrario affectum ponere in altera. Sit f+a-b=h. Dico fore f=h-a+b. Nam in aequantione (ex hypoth. vera) f+a-b=h addatur utrobique -a+b, fiet inde f+a-b-a+b=h-a+b, id est (per 11) f=h-a+b. Q.E.D.

(21) Espl. Quod de formula sub vinculo. comprehensa significatus, intelligendum est, de singulis membris vinculo inclusis ut -(+a-b) vel [latex] -\overline{+a-b}[/latex] significat -(+a)-(-b) seu (per 8) -a--b id est (per 18) -a+b.

(22) Theor. Addenda ascribuntur signis retentis, seu f+(a-b)= (per 21) f+a-b. Nam f+(a-b) = f+a+-b= (per 19) f+a-b.

(23) Theor. Subtrahenda ascribuntur signis mutatis + in -, et - in +, seu f-(a-b)=f-a+b.
Nam f-(a-b)= (per 20) f-a--b= (per 18) f-a+b Q.E.D.
Aliter: Sit a-b=e, aio esse -e=-a+b seu f-e=f-a+b. Nam +e-e=+a-b-a+b (per 11). Ergo ab aequalibus tollendo aequalia, illinc +e, hinc +a-b restabunt (per 12) aequalia -e et -a+b. Q.E.D.

APPLICATIO CALCULI AD RES ubi de Toto, parte; majore, minore; positivi et privativo.

(24) Espl. Si explicando notas formulae per res ipsas, verbi gratia per lineas rectas sibi addendas vel subtrahendas; evanescat tandem subtractio, vel signum -, ita ut semper destruendo id quod est signo - affectum (verb. gr. -b) per aequalis molis signo + affectum, (nempe +b); tandem nihil aliud remaneat in formula vel ei aequivalente se, ex gr. Linea, quam quod sit affectum signo +: Tunc tota formula dicitur designare quantitatem positivam; sin contrae postremo signum + evanescat, remanente -, tunc formula denotat quantitatem privativam seu nihilo minorem hoc est, talem, ut ad ipsam addenda sit ipsius moles, quo fiat nihil. Exempli causa si esset formula f+a-b, et esset f+a=e+b et hae literae omnes forent quantitates positivae, quae explicatae per res, nullum in ultima resolutione deprehenderetur continere signum -, patet f+a-b significare +e. Nam in hac formula per f+a, substituendo e+b fiet e+b-b id est e. Contrarium esset si in ultima resolutione nullum remaneret signum +, ut si esset formula f+a-d, et esset d=f+a+g tunc f+a-d significabit -g. Nam pro -d in formula f+a-d substituendo valorem fiet f+a-f-g, id est -g. Hinc patet quando duae quantitates signis contrariis affectes conjuguntur semper alterutrum signorum penitus posse tolli per explicationem unius quantitas, quatenus continet alteram quantitatem (vid. 11). Patet etiam ut formula f+a-d (quae quantitatem privativam -g significat) fiat nihil, addi debere g (seu +g, ejusdem molis cum -g, sed affectum contrario signo) seu esse f+a-d+g=0, quia f+a-d=-g; iam -g+g=0 vel resolutione resumta f+a-d=f+a-f-a-g. Ergo f+a-d+g=f+a-f-a-g+g, id est 0.

Scholium. Inspiciantur figurae duae, ubi in priore progressus fit per lineam rectam f et huic in directum adjectam rectam a, regressus autem (per puncta designatus) ab extremo adjectae a, in eadem recta totali f+a fit per rectam b, ita in recta f+a remanet e adeoque est f+a-b=+e. In posteriore progressus fit ut ante, sed regressus in eadem f+a fit per ipsam rectam d majorem quamf+a, et excedentem quantitate g. Unde talis progressus est falsus sive putativus, et qui sic progredi se putat revera regressus est quantitate sue mole g. et est f+a-d=-g. Itaque signum + designat progressum, signum – regressum, et quod in lineis idem in aliis augmentis et decrementis intelligi potest velut in accepto et expenso.

(25) Defin. Si sit a+b=fet sint ipsorum a,b,f, quantitates positivae, dicetur f totum et a,f, dicentur partes. Idemque est, si sint plura, ut a+bc=f Requisitur igitur, ut quantitates sibi addi, adimive possint, simulque ut sint positivae.

(26) Defin. Minus est, quod aequale est parti alterius nempe majoris verb. gr. sit f=a+b et g=a dicetur f majus et g minus et scribentur f<g et g<f.

Scholium. Caeterum cautio in definitione totius et partis expressa, adeoque etiam ad majus minusque pertinens, nempe ut a,b,f, etc. sint hoc loco quantitates positivae, necessaria est, alioqui si fiat a+b=m non sequitur m esse majus quam a velb, aut haec esse partes ipsius m, esti sint membra formulae aequalis ipsi m; nam fieri potest, ut b (verbi gratia) sit revera quantitas negativa aequalis ipsi -d, posito d esse positivam, et tunc a existente positiva pro a+b=m, fieret a-d=m. Unde patet a fore majus quam m, tantum abest, ut possit esse ejus pars.

(27) Theor. Pars est minor toto, vel totum et majus sua parte.
Sit a+b=f, erit a minus quam f. Nam a aequale est ipsi a (per 3) jam quod aequale ipsi a est minus quam a+b seu quam f (per 26). Ergo a est minus quam f. Q.E.D.

28) Defin. Homogenea vel comparabilia sunt quorum unius quantitas ab alterius quantitate semel aut saepius subtrahi potest, ut subtractum relinquat nihil aut aliquid se minus.

(29) Theor. Duo homogenea tunc sunt aequalia, si alterum altero nec minus sit nec majus.
Nam homogenea sunt (ex hypoth.) ergo (per 28) quantitas unius eorum ab alterius quantitate semel subtracta aut relinquit nihil, quo facto erunt aequalia (per 11) aut relinquit aliquid, (se rursus minus vel majus) et tunc parti ejus aequo subtractio facta est, aequale erit (vid. 11) adeoque (per 26) erit minus. Q.E.D.

(30) Theorema.: Maius majore est majus minore. Seu si a>b et b>c erit a>c.
Nam quia a>b (hyp. 1) erit (per 26) a=b+l. Et quia (hyp. 2) b>c, erit (per 26) b=c+m. Qui valor ipsius b substituatur (per 2) loco ipsius b in aequatione inventa a=b+l et fiat inde a=c+m+l. Ergo (per 26) a>c. Q.E.D.

(31) Problema.: Invenire b medium arithmeticum inter a et c, id est, ita ut b tanto sit majore a minus quanto est minore c majus.
Constructio. Addantur in unum a et c, et summae dimidium erit b quaesitum.
Nam quia (ex hypth. constructionis) b est dimidium ipsius a+c, erit duplum b aequale duobus dimidiis, hoc est toti a+c, seu a+c erit aequale duplo b, sive fiet a+c=b+b Ergo (per 20) a-b=b-c id est, erunt differentiae extremorum a medio b aequales, sive excessus a super b aequatur excessui b super c. Q.E.D.

There exist two manuscripts for the Prima calculi magnitudinum elementa : the original draft by Leibniz (LH XXXV, 4, 13, fol. 1-4) and a copy made presumably by Schmidt’ famulus and on which Leibniz indicated several important corrections. The transcription of the final result (with some inconsistencies in the numbering of the sections due to Leibniz’s corrections) was made by Gerhardt and can be found here. We are now preparing a genetic edition of the second manuscript. First results are accessible here.