Translation of De summis serierum Arithmo-Geometricarum infinitarum idque revocando summarum inventiones ad quationes ordinarias, quod in aliis innumeris procedit (Translation) [FRN]
Des sommes des séries arithmo-géométriques d'une infinité d'espèces et de rapporter la découverte de ces sommes à des équations ordinaires, ce qui fait progresser dans d'innombrables autres cas
janvier 1678.
[marge] La découverte des séries par les différences est seulement un cas spécial de cette méthode
Soient en progression géométrique $t.t^2.t^3.t^4.t^5.$ Leur somme, $t+t^2+t^3+t^4+t^5$ &c. $= \ \frac{t}{1-t} = S$. Soient en progression arithmétique : $0.1.2.3.4.5.6$ &c. que l'on multiplie avec les correspondants qui précèdent. On obtient :
$0t + 1t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5$ &c.
ce dont on cherche également la somme. C'est-à-dire le moment de la figure infinie, ou encore la limite $0T\gimel$ qu'on souhaite obtenir à partir de $0T$, étant donné que $\aleph \beth = 1$, $0T = t$ et ainsi de suite. On la trouve ainsi : soit $0t + 1t^2 + 2t^3 + 3t^4$ &c. $= \ A = \int y$ et soit le moment de la figure à partir de $\aleph \beth$ c'est-à-dire $1t + 2t^2 + 3t^3 + 4t^4$ &c. $= \ B = \int x$. Il apparait qu'on aura $B-A$ égal $1+ t + t^2 + t^3 + t^4 + t^5$ &c. $= \ S$. A l'inverse $Bt$ égal $A$. Donc $B$ égal $\frac{A}{t}$. Mais de même, $B$ égal $S+A$. Cela donne donc $\frac{A}{t}$ égal $S+A$ c'est-à-dire $St + At$ égal $A$. C'est-à-dire $St$ égal $A-At$ d'où l'on a finalement $A$ égal $\frac{St}{1-t}$. c'est-à-dire $A$ égal $S,\frac{t}{1-t}$. De plus, on a $\frac{t}{1-t}$ égal $S$. donc $A$ égal $S^2$. c'est-à-dire $A$ égal $\fbox{2}\frac{t}{1-t}$. Ce qui est sans doute un mode de raisonnement des plus admirables. En outre, la technique consiste en ceci de supposer des termes moyens et de nouvelles inconnues, comme ici $B$, de sorte qu'une seule nouvelle inconnue $B$ nous apporte deux équations, à savoir $B = At$ et $B = S+A$. Ainsi sortirons-nous gagnant par cette hypothèse et nous trouverons d'une même façon l'une ou l'autre des deux inconnues $B$ et $A$. Comme on a fait ici car $A$ étant trouvé, on obtient aussitôt $B$. De plus, il n'est nul besoin de trouver le terme médian $B$ avant le terme cherché $A$. Il nous suffit à partir de là d'ajouter de nouvelles équations.
On cherche encore plus loin la somme de la série : $0t + 1t^2 + 4t^3 + 9t^4 + 16t^5$ &c. $= \ C = \int y^2$
On en pose une autre ............................................... $1t + 4t^2 + 9t^3 + 16t^4 + 25t^5$ &c. $= \ D = \int x^2$
[marge] $x^2 - y^2 = \begin{matrix} x+y \\ x-y \end{matrix}$
$\left.\begin{array}{l} \textrm{On aura $D-C$ égal } \\ \textrm{on ajoute $S$ égal} \end{array}\begin{array}{l} \textrm{$1t + 3t^2 + 5t^3 + 7t^4 + 9t^5$ etc.} \\ \textrm{$1t + 3t^2 + 5t^3 + 7t^4 + 9t^5$ etc.} \end{array}\right\}$$D-C = A+\underset{\overbrace{S+A}}{B} \textrm{Donc $D-C = S + 2A$}$
Cela donne $D-C + S$ égal $2t + 4t^2 + 6t^3 + 8t^4 + 10t^5$ &c. égal $2B$ c'est-à-dire égal $2S + 2A$ Donc $D-C$ égal $S + 2A$. D'un autre côté $Dt$ égal $C$. Donc $D$ égal $\frac{C}{t}$. et d'un autre côté $D$ égal $S+2A + C$. Donc $\frac{C}{t}$ égal $S+2A + C$ c'est-à-dire qu'on aura $C$ égal $St + 2At + Ct$ on aura finalement $C$ égal $\frac{St + 2At}{1-t}$. Ou bien, on aura $C$ égal $S +2A, \frac{t}{1-t}$ (c'est-à-dire $S^2 + 2AS$). De plus, on a $A$ égal $S^2$. et $\frac{t}{1-t}$ égal $S$ donc on obtient $C$ égal $S^2 + 2S^3$
De la même manière, on cherche la somme de la série : $0t + 1t^2 + 8t^3 + 27t^4 + 64t^5$ &c. $= \ E = \int y^3$
On en pose une autre ....................................................... $1t + 8t^2 + 27t^3 + 64t^4 + 125t^5$ &c. $= \ F = \int x^3$
On aura $F-E$ égal ......................................................... $1t + 7t^2 + 19t^3 + 37t^4 + 61t^5$ &c. $= \ \int \overline{x^3 - y^3} = \int \overline{x^2 + xy + y^2}$
[marge] $x^3 - y^3 = \begin{matrix} x^2 + xy + y^2 \\ x-y \end{matrix}$
Que les termes de la série $E$ soient $y^3$, que les termes de la série [F] soient $x^3$. Il apparait qu'on aura $x-y$ égal $1$. Donc $x^3 - y^3$ égal $x^2 + xy + y^2$ et puisque $x = y + 1$ on aura $yx$ égal $y^2 + y$. Donc $\int \overline{yx}$ égal $\int \overline{y^2} + \int \overline{y}$. mais $\int \overline{y^2}$ égal $C$ et $\int \overline{y}$ égal $A$. Donc $F-E = D+2C + A$. Et d'un autre côté $Ft$ égal $E$.
[marge] $\begin{array}{r} F-E \ = \int \overline{x^2 + xy + y^2} \\ D+C+\underset{C+A}{\int\overline{xy}} \\ D+2C+A \end{array}$
Donc $F$ égal $\frac{E}{t}$. Et $F$ égal $D + 2C + A +E$. Ergo $E$ égal $Dt + 2Ct+At+Et$. c'est-à-dire $E$ égal $\frac{t}{1-t} \times \fbox{$\underset{\overbrace{S+2}A + C}{D+2C} + A$} \times S + \underset{\overbrace{3S^2}}{3A} + \underbrace{2C}_{2S^2 + 4S^3}$. Donc $E$ égal $\frac{t}{1-t}\times 1S + 5S^2 + 4S^3$. C'est-à-dire $E$ égal $1S^2 + 5S^3 + 4S^4$
De la même manière, on cherche la somme de la série : $0t + 1t^2 + 16t^3 + 81t^4 + 256t^5$ &c. $= \ G = \int y^4$
On en pose une autre ...................................................... $1t + 16t^2 + 81t^3 + 256t^4 + 625t^5$ &c. $= \ H = \int x^4$
[marge] $\begin{array}{ccccccc} y^2x & = & y^3 & + & y^2 & & \\ yx^2 & = & y^3 & + & 2y^2 & + & y \\ \hline & & 2y^3 & + & 3y^2 & + & y \end{array}$
$H-G = \int \overline{x^4 - y^4} = \int \overline{x^3 + x^2y + xy^2 +y^3} = \underbrace{F+E + \underbrace{\int \overline{x^2y + xy^2}}_{\underbrace{\int \overline{2y^3 + 3y^2 +y}}_{2E+3C+A}}}_{= \underbrace{F + 3E + 3C + A}_{\odot}}$
Déjà $H-G = \odot$. et $Ht= G$ c'est-à-dire $H= \frac{G}{t}$ ou $H = \odot + G$. Donc $\odot + G = \frac{G}{t}$. Donc $G = \odot \times \frac{t}{1-t}$ ou encore $G = \odot S$
$\odot = \underset{\overbrace{\frac{|+E +2C + A +}{}\underset{\overbrace{\overset{A}{A} + \overset{\underbrace{+B}}{S+A}}}{\frac{D|}{}}}}{F}+3E+3C+A$ Donc $\odot = 4E + 5C + 4A + S$ Par la même méthode qu'au dessus : $F-E = ☽ = \underset{\overbrace{\underset{\overbrace{A+S}}{+B} + A}}{D}+2C + A$ Donc ☽ $= 2C + 3A + S$.
D'où il apparait, si l'on veut bien poursuivre, qu'il y aura toujours un nouvel abrégé.
Et donc ici, la méthode pour trouver ces expressions abrégées revient à ce qui suit. D'abord, on a ce qu'il faut trouver dans ces $x^3 + x^2y +xy^2 +y^3$ et les semblables. A partir de cela, ayant effectuer la transition, on a l'expression abrégée que l'on cherche, c'est-à-dire la progression dans $\odot$ ou ☽. C'est-à-dire qu'on a une expression plus simple de $H-G$, $F-E$, $D-C$ ou $B-A$ en retenant $B$, $D$, $F$ et $H$ etc. De là, on obtient la progression que l'on cherche en éliminant ces $B$, $D$, $F$ et $H$ etc., la chose sera alors réduite à seulement $S$, $A$, $C$, $E$ et $G$. Mais alors au final, il apparaitra qu'en éliminant également les termes en progression $A$, $C$, $E$ et $G$, la chose se réduit aux seules puissances de ce $S$. Ainsi, de fait, il apparaitra par degré comment une seule progression dérive d'autres. Autrement dit, puisque ce n'est pas possible directement, on parvient aux progressions et aux expressions abrégés par saut.
______________________________________________________________
$S = t+t^2 + t^3 + t^4 + t^5$ &c. $= \ \int \overline{t^{y+1}} = \frac{t}{1-t}$ De fait dans la série $S$, un terme quelconque est $t^{y+1}$ c'est-à-dire la puissance de $t$ dont l'exposant serait $y+1$, étant posé que $y$ est $0$ ou $1$ ou $2$ ou $3$ &c. Donc la somme de la série est $\int \overline{t^{y+1}}$ ce qui connu par ailleurs comme étant $\frac{t}{1-t}$
______________________________________________________________
$A = 0t+ 1t^2 + 2t^3 + 3t^4 + 4t^5$ &c. $= \ \int \overline{y,t^{y+1}}$ $B = 1t + 2t^2 + 3t^3$ &c. c'est-à-dire $= \ \int \overline{y+1,t^{\underline{y+1}}}$ $C = 0t+ 1t^2 + 4t^3 + 9t^4 + 16t^5$ &c. $= \ \int \overline{y^2,t^{y+1}}$ et $D = 1t+ 4t^2 + 9t^3$ &c. c'est-à-dire $= \int \overline{\fbox{$2$}\overline{y+1},t^{\underset{^{.......}}{y+1}}}$
Et ainsi de suite
Soit donc $S = \int \overline{t^{y+1}} = \frac{t}{1-t}$ Appelons $y+1$ égal $x$
$A = \int \overline{y,t^{y+1}}$. $B = \int \overline{y+1,t^{y+1}}$ Donc $B-A = \int \overline{t^{y+1}} = S$. c'est-à-dire $B= S+A$ vel $B = \int \overline{y,t^y - 0t^0}$ (puisque le premier terme de $y,t^y$ c'est-à-dire $0,t^0$ ne peut pas être aussi $y+1,t^{y+1}$) Donc $B = \int \overline{y,t^y}$ parce que, $0t^0$ égal $0$. Donc $B = \frac{A}{t}$
$\frac{A}{t}$ égal $\int \overline{y,t^y}$ Donc $A = \frac{t}{1-t}, S$ c'est-à-dire $A = S^2$
$C$ égal $\int \overline{y^2,t^{y+1}}$. $D$ égal $\int \overline{\overline{\underbrace{y^2+2y+1}_{x^2}},t^{y+1}}$. $D-C$ égal $\int \overline{\overline{2y+1},t^{y+1}}$ égal $2A+S$ Donc $2S^2+S$ c'est-à-dire $D = C+2A+S$
$\frac{C}{t}$ égal $\int \overline{y^2,t^y}$ $D$ égal $\int \overline{y^2,t^y - 0^2t^0}$. Donc $D= \frac{C}{t}$. Donc $C = 2A + S, \times\frac{t}{1-t}$ c'est-à-dire $\overline{2A+S},S$ c'est-à-dire $2S^3+ S^2$
$E$ égal $\int \overline{y^3,t^{y+1}}$. $F$ égal $\int \overline{x^3,t^{y+1}}$. $F$ égal $\frac{E}{t}$ et $E$ égal $\overline{3C +3A+S},S$
$G$ égal $\int \overline{y^4,t^{y+1}}$. $H$ égal $\int \overline{x^4,t^{y+1}}$. $H$ égal $\frac{G}{t}$ et $G$ égal $\overline{4E + 6C + 4A + S},S$
Et ainsi de suite Mais de sorte, qu'à partir de cela, on obtienne cette table : Soit :
Progression où l'on aura trouvé, et cela parce que ce sera facile au moyen du travail continu d'une table. Alors cette trouvaille sur les sommes de séries apparaitra des plus utiles, séries qui sont telles que $\frac{t^1}{1} - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7}$ etc. ainsi que des similaires. Voir le brouillon joint, avec le signe $\odot$.
On ne peut pas traiter des séries sinon par deux modes, à savoir par les additions et les soustractions de variables et par la multiplication et la divisions de constantes, mais aussi par les décompositions en d'autres séries.
Grace à cette table, écrite de façon un peu plus claire, il apparaitra facilement la progression si l'on continue la procédure.
Note : chaque ligne en effet est équivalente, mais la plus haute renferme le développement complet. On découvre les séries de la meilleure des façons par cette succession graduelle de développements.
Note : il est clair que par la même méthode, on peut aussi trouver les sommes des séries $y^2.t^{y^2}$, par exemple $0.1^0+1.t^1 + 4.t^4 + 9.t^9$ etc. ou $0.t^1+1.t^4 + 4.t^9 + 9.t^16$. Je vois qu'au contraire que c'est de la plus haute difficulté que nous parvenions même à les obtenir. On aura donc besoin de cette autre technique par laquelle on passe des moments, c'est-à-dire les sommes, les sommes de sommes etc. aux puissances, c'est-à-dire les carrés, les cubes etc.