Transcription of De Angulis curvarum [1682 - 1684 (?)]
Omnis linea intelligi potest generata motu duplici rectilineo, punctum aliquod feratur in recta [latex]BC[/latex], et recta ipsa [latex]BC[/latex] deferens feratur per aliam rectam [latex]AB[/latex], seu axem eodem semper ad eam angulo [latex]ABC[/latex]: Et quidem si velocitas puncti et rectae deferentis eadem proportione crescant linea [latex]CC[/latex] descripta erit recta, nempe si sit [latex]1B2B[/latex] ad [latex]2B3B[/latex] ut [latex]1D2D[/latex] ad [latex]2D3D[/latex]. sin minus curva. Et quidem si ratio qua crescit velocitas puncti, sit major quam ratio qua crescit velocitas rectae punctum deferentis (seu si sit ratio [latex]1D2D [/latex] ad [latex]2D3D[/latex], major quam [latex]1B2B[/latex] ad [latex]2B3B[/latex] tunc curva obvertet concavitatem ; sin minus convexitatem. Si vero causa quae velocitatem mutat cessaret vel suspenderetur, ita ut tam punctum in recta deferente quam recta deferens in axe retinerent velocitatem quam nunc in praesenti curvae puncto habent, nec per vim externam eam mutare cogerentur, tunc punctum curvam describens pergeret in recta, eaque curvam tangente quae causa est cur omne punctum in linea curva motum conetur procedere per ejus tangentem, si sibi relinquatur, seu libertatem nanciscatur. Nempe si sit [latex]1B2B[/latex] aequ. [latex]2B3B[/latex] et [latex]1D2D[/latex] aequ. [latex]2D3D[/latex] procedet punctum [latex]C[/latex]. in recta [latex]1C2C3C[/latex] curvam [latex]AC[/latex] tangente in puncto [latex]C[/latex].
Eadem ergo censetur esse directio vel inclinatio sive declivitas curvae quae rectae tangentis seu eadem est directio curvae [latex]FF[/latex] in punto [latex]C[/latex], quae rectae tangentis [latex]TC[/latex]. vel curvae [latex]EE[/latex] quae rectae tangentis [latex]HC[/latex]. Et si recta curvam secat intelligetur angulus rectae ad curvam is esse qui est rectae ad curvae tangentem in puncto occursus, seu angulus [latex]PC[/latex] ad [latex]FF[/latex], qui [latex]PC[/latex] ad [latex]TC[/latex]. et recta perpendicularis ad tangentem curvae in loco occursus, ipsam curvam ad angulos rectos secare censetur. Et si duae curvae se secent, angulum eundem facere censentur, quem earum tangentes, ut angulus [latex]FCE[/latex] idem qui [latex]TCG[/latex].
Ergo si recta curvam tangat, tunc nullum omnino ad eam angulum facere censetur eo ipso quia angulus alterius rectae ad ipsam, idem censetur qui ad curvam. Et proinde cum angulus rectae [latex]GC[/latex] ad curvam [latex]FC[/latex] idem intelligatur, qui angulus [latex]GC[/latex] ad rectam [latex]TC[/latex], seu si angulus [latex]TCG[/latex] aequivalere censetur angulo [latex]FCG[/latex] utique necesse est angulum contactus [latex]FCT [/latex] haberi pro nullo, sive nullam rationem assignabilem habere ad angulum rectilineum [latex]TCG [/latex] quod eadem methodo demonstrari potest de quavis curva qua Euclides in circulo, semper enim portio curvae quantum satis est parva [latex]FC [/latex] cadet inter [latex]LC [/latex] et [latex]TC [/latex] rectas, unde angulus [latex]LCF [/latex] rectilineus quamtumlibet parvus, semper tamen angulo contactus major erit. Quae causa proinde est, cur rectarum tangentium anguli pro angulis curvarum habeantur. Et hoc sensu duae curvae se tangentes, nullum omnino angulum facere censentur.
Verum licet Angulus contactus sit ad angulum rectilineum, ut linea ad superficiem, tamen ut lineae inter se, ita et anguli contactus inter se conferri possunt, et eatenus censebuntur habere quantitatem. Itaque si curva curvam tangat, nulla quidem censebitur esse quantitas anguli quem faciunt, si ea conferatur cum angulo linearum se secantium; sed si duo anguli contactus conferantur, dici potest, uter sit major. Idque usum habet ad definiendum utra curva intra alteram cadat.
Verbi gratia si sint recta [latex]TT[/latex], curvae [latex]FF[/latex] et [latex]EE[/latex] sese tangentes in [latex]C[/latex], ut si [latex]FF[/latex] sit circulus descriptus centro [latex]P[/latex]. radio [latex]PC[/latex], [latex]EE[/latex] autem sit alia curva verbi gratia parabola, quaeri potest an circulus cadat extra parabolam, seu an angulus contactus [latex]TCF[/latex] sit major angulo contactus [latex]TCE[/latex], vel quaeritur utrius curvae major sit curvedo. Cujus a curvae directione discriminem est explicandum.
Equidem inclinatio seu declivitas seu directio curvae [latex]ECE[/latex] in puncto [latex]C[/latex] eadem esse intelligitur quae rectae tangentis [latex]LCM [/latex] id est quae chordae seu rectae in duobus punctis [latex]A, B[/latex] curvam secantis [latex]RABS[/latex], posito eorum punctorum intervallum [latex]AB[/latex] esse indefinite parvum seu nullum. Unde etiam quaerere rectam quae curvam in puncto dato tangat, est illud ipsum problema quo quaeritur recta [latex]RS[/latex] curvam secans in duobus punctis [latex]A[/latex]. [latex]B[/latex], tantummodo determinatum ad duas radices aequales, seu ita ut [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex] tandem coincidant; verum curvedo curvae a recta tangente mensurari non potest, rectae enim curvedo nulla est. Et curvedo requirit duarum inclinationum seu declivitatum [latex]AB[/latex] et [latex]BC[/latex] collationem inter se, sine qua etiam judicari non potest, utrum curva sit concava vel convexa ab aliquo latere proposito. Hinc ad curvedinem tria curvae puncta (licet intervallo infinite parvo dissita) requiruntur itaque ut prius rectam adhibuimus ad directionem designandam, quia semper dari potest recta secans curvam in duobis punctis, ita simplicissimum est ad curvedinem designandam adhiberi, alteram linearum uniformium, nempe Circulum, quia semper circulus repereri potest transiens per tria data puncta, quoties ea non cadunt in unam rectam. Invenire ergo curvedinem, est invenire circulum qui curvam propositam secat in tribus punctis, ea tamen lege ut tria puncta coincidant; seu ut problema habeat tres radices aequales. Is nimirum eandem cum curva proposita curvedinem habere censebitur. Et proinde si duae curvae se tangant, dicemus angulum contactus eundem esse qui duorum circulorum eandem cum curvis propositis curvedinem habentium. Circulorum autem curvedines metior radiis, ita ut sint reciproce velut radii, quia crescente radio vel circumferentia decrescit curvedo et quidem cum uniformiter crescant circumferentiae et decrescant curvedines ita ut omnia semper maneant similia, necesse est curvedines crescere in ratione radiorum decrescentium vel simplice, vel duplicata aut subduplicata, triplicata aut subtriplicata, quadruplicata aut subquadruplicata. Id est vel curvedines vel eorum quadrata aut cubos, aut quadrato-quadrata, etc., esse radiis aut eorum quadratis aut cubis, aut quadrato-quadratis, reciproce proportionales. Pono jam curvedines crescere verbi gratia ut quadrata decrescentium radiorum. Quid tunc vetabit me vocare curvedinem, id quod tu vocares curvedinis (numeris expressae) quadratum; neque enim hactenus illud nomen determinatam aliam habet significationem, quam quod secundum ipsam intelligimus curvam ipsam plus minusque differre a recta et in circulo quidem eam ubique eandem esse, et radiis uniformiter crescentibus, etiam uniformiter decrescere. Itaque radii apte pro curvedinis mensura sumi possunt.
Videamus jam quomodo metiri possimus curvedinem in aliis curvis per curvedinem circulorum, idque exemplo declaremus. Exempli gratia sit parabola [latex]AC[/latex], quaeritur quae sit curvedo ejus in ipso vertice [latex]A[/latex], sit [latex]AB[/latex] axis parabolae seu recta ad eam in vertice perpendicularis, constat quemlibet circulum cujus centrum sit in axe, circumferentia vero transit per verticem, ibi parabolam tangere sed alii quidem circuli quorum radii sunt majores cadunt extra parabolam, ut cirulus [latex]CAD[/latex] centro [latex]B[/latex], et [latex]FAG[/latex] centro [latex]E[/latex] alii vero quarum radii minores cadunt intra parabolam, ut [latex]LAM[/latex] centro [latex]H[/latex], quaeritur ergo centrum radii omnium intra curvam cadentium maximi, quod utique reperiri debet alicubi inter [latex]H[/latex] et [latex]E[/latex]. Id sit [latex]N[/latex], et centro [latex]N[/latex] radio [latex]NA[/latex] descriptus circulus [latex]PAQ[/latex], si vel minimum augeretur casurus esset extra curvam, cumque alii omnes majores minorem quam parabola, minores vero majorem habere curvedinem intelligantur, ipse habebit aequalem, curvedini parabolae, vel saltem ab ea inassignabiliter differentem, eodem modo quo angulus rectae ad curvam ab angulo rectae ad rectam tangentem differt quantitate quae minor est angulo quovis rectilineo assignabili, quae proinde habetur pro nulla. Ubi notandum est porro cum circulus quivis extra parabolam cadens, centrum in axe habens et per verticem ductus necessario curvam secet adhuc in duobus punctis, [latex]R[/latex] et [latex]S[/latex] et ita problema quo punctum occursus invenitur, quatuor habeat radices duas quidem aequales, in puncto contactus, et duas praeterea pro punctis [latex]R[/latex] et [latex]S[/latex].
[In the right margin] Nota placuit circulos ejusdem curvedinis vocari osculantes et angulus duarum curvarum ejusdem flexionis seu curvedinis dicetur non tantum angulus contactus, sed angulus osculi. NB. revera sunt quatuor radices aequales in puncto osculi, ponimus enim circulum tangere curvam, dum aequamus curvarum differentiales. Et quia aequationem unde resultantem rursus ad duas radices aequales determinamus, eo ipso facimus eum bis tangere curvam, puncta autem contactuum coincidere.
Patet in circulo [latex]PAQ[/latex] intra curvam descriptibilium maximo, qui haberi potest pro omnium extra curvam pro parte cadentium minimo; intervallum [latex]AR[/latex] vel [latex]AS[/latex] fit infinite parvum, seu puncta [latex]R [/latex] et [latex]S[/latex] incidunt in punctum [latex]A [/latex]. Quaeramus ergo punctum [latex]R [/latex] quo circulus centro [latex]E[/latex] radio [latex]EA [/latex] descriptus parabolae occurrat extra verticem; perinde ac si radius [latex]EA[/latex] esset datus; sed aequationem inventam accommodemus ad duas radices aequales, quia coincidere debent [latex]R[/latex] et [latex]A[/latex], eoque ipso inveniemus pro minimo [latex]EA[/latex], radium [latex]NA[/latex] desideratum.
Sit in axem perpendicularis [latex]RT[/latex], quam vocemus [latex]y[/latex], et [latex]AT[/latex], [latex]x[/latex] et [latex]AE[/latex] radius circuli quaesitus sit [latex]e[/latex], parabolae autem semilatus rectum sit [latex]a[/latex]. Ex natura circuli erit [latex]yy[/latex] aequ. [latex]2xe-xx [/latex]. Ex natura parabolae [latex]2ax [/latex] aequ. [latex]yy [/latex]. Ergo per methodum tangentium meam erit [latex]y:e-x::y:a [/latex] seu [latex]e-x [/latex] aequ. [latex]a[/latex]. Seu quia innostro casu, ubi [latex]R[/latex] incidit in [latex]A[/latex], etiam [latex]T[/latex] incidit in [latex]A [/latex], seu [latex]AT[/latex] sive [latex]x[/latex] evanescit, erit [latex]e[/latex] aequ. [latex]a[/latex] id est [latex]AN[/latex] erit semilatus rectum parabolae. Quod etiam sine calculo praevideri potuisset, ex nota parabolae proprietate, quod [latex]VR[/latex] ex axe educta in [latex]V[/latex], parabolam secante ad angulos rectos in [latex]R[/latex] sit [latex]TV[/latex] semper dimidio lateri recti aequalis unde cum tam [latex]R[/latex] quam [latex]T[/latex] incidet in [latex]A [/latex], [latex]V[/latex] incidit in [latex]N [/latex] posito [latex]NA[/latex] esse semilatus rectum.
Generaliter sectionis conicae curvedinem in vertice ita reperiemus: [latex]2ax \pm\frac{a}{q}xx [/latex] aequ. [latex]yy[/latex] et [latex]yy [/latex] aequ. [latex]2xe-xx [/latex]. Prioris aequatio differentialis est [latex]adx\pm\frac{a}{q}xdx [/latex] aequ. [latex]ydy [/latex] seu [latex]dx:dy::y:a\pm\frac{a}{q} x [/latex]. Posterioris aequatio differentialis: [latex]ydy [/latex] aequ. [latex]edx-xdx [/latex] seu [latex]dx:dy::y:e-x [/latex]. Ergo fit [latex]a\pm\frac{a}{q} x [/latex] aequ. [latex]e-x [/latex]. Est autem [latex]x [/latex] aequ. 0 in nostro casu; ergo erit [latex]a[/latex] aequ. [latex]e [/latex]. Seu in omni Sectione Conica ea est curvedo ad verticem quae est circuli cujus diameter est latus rectum. Isque circulus est circulorum sectionem conicam in vertice a parte concava tangentium maximus.
Unde habemus theorema memorabile, si duarum Sectionum conicarum ( [latex]XAY [/latex] et [latex]RAS [/latex]) cujuscunque speciei una alteram intus tangat in vertice communi [latex]A [/latex] ea intra alteram cadet, cujus latus rectum est minus; nec refert an sint ejusdem naturae et speciei an vero diversae et nulla omnino hic ratio habetur lateris transversi. Quod fiat cum latus rectum duarum Sectionum Conicarum aequale est, postea dicemus.
In genere quomodo curvedo puncti dati inveniri possit exemplo docebimus. Sit parabola [latex]AC[/latex] quaeritur curvedo puncti dati [latex]C[/latex]. id est [latex]E[/latex] centrum circuli omnium, qui parabolam intus in puncto [latex]C[/latex] tangere possunt, maximi. Ponatur circulus ille curvam non tantum tangere in [latex]C[/latex], sed et secare in [latex]R[/latex] quaeraturque punctum intersectionis [latex]R[/latex]. Quod cum incidat in [latex]C[/latex], in casu nostro, ideo problemate determinato ad duas radices aequales habebitur punctum [latex]E[/latex]. Sint perpendiculares ad axem [latex]AB[/latex], nempe [latex]RT[/latex], [latex]CB[/latex], [latex]EF[/latex], et [latex]AT[/latex] vel [latex]AB[/latex] vocemus [latex]x[/latex], [latex]TR[/latex], vel [latex]BC[/latex], [latex]y[/latex]., [latex]AF[/latex] [latex]z[/latex]. [latex]EF[/latex] [latex]v.[/latex], [latex]EC[/latex], [latex]e[/latex] parabolae latus rectum sit [latex]2a[/latex]. Si ergo circulus centro [latex]E[/latex] descriptus parabolam tangit [latex]EC[/latex] secabit axem in [latex]P[/latex], ita ut fiat [latex]BP[/latex] aequ. [latex]a[/latex]. ut constat.
Ob triangula similia [latex]PBC[/latex], [latex]PFE[/latex] erit [latex]EF[/latex] seu [latex]v[/latex] ad [latex]PF[/latex] seu [latex]z-x-a[/latex], ut [latex]BC[/latex] seu [latex]y[/latex] ad [latex]BP[/latex] seu [latex]a[/latex]. Et [latex]x[/latex] est aequ. [latex]\frac{yy}{2a}[/latex] ex natura parabolae. Erit ergo [latex]va[/latex] aequ. [latex]zy-\frac{{y}^3}{2a}-ya[/latex] quam aequationem determinando ad duas radices aequales erit [latex]z[/latex] aequ. [latex]\frac{3yy}{2a}+a[/latex] seu [latex]z[/latex] aequ. [latex]\frac{3}{2}*x+a[/latex]. Ergo [latex]PF[/latex] aequatur dimidiae [latex]AB[/latex] vel [latex]AT[/latex], si quidem [latex]T[/latex] et [latex]B[/latex] seu [latex]R[/latex] et [latex]C[/latex] coincidunt. Ergo erit [latex]v:\frac{1}{2}x::y:a[/latex] seu [latex]v[/latex] aequ. [latex]\frac{xy}{2a}[/latex].
Et habetur constructio facilis, tantum enim in producta [latex]AP[/latex] sumendo [latex]PF[/latex] dimidiam ipsius [latex]AB[/latex] et ex [latex]F[/latex] educendo perpendicularem [latex]FE[/latex] occurrentem ipsi [latex]CP[/latex] in [latex]E[/latex], centro [latex]E[/latex] radio [latex]EC[/latex] descriptus circulus erit maximus tangentium in puncto [latex]C[/latex] parabolae inscriptibilium, seu curvedinem ejus metietur. Quaeritur jam linea seu locus omnium centrorum curvedinis, seu punctorum [latex]E[/latex], nempe curva [latex]EE[/latex]. Nempe pro [latex]z-a[/latex] sumatur [latex]r[/latex]. erit [latex]x[/latex] aequ. [latex]\frac{2}{3}r[/latex] et [latex]y[/latex] aeq. [latex]\frac{3av}{r}[/latex] substituendo valores in aequatione ad parabolam [latex]2ax[/latex] aequ. [latex]yy[/latex] ut tollantur [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] fiet [latex]\frac{2}{3}ar[/latex] aequ. [latex]9\frac{aavv}{rr}[/latex] seu [latex]2{r}^3 [/latex] aequ. [latex]27 avv[/latex]. Et pro [latex]\frac{27}{2}a[/latex] sumendo [latex]b[/latex] erit [latex] {r}^3 [/latex] aequ. [latex]bvv[/latex] quae est aequatio ad paraboloeidem cubico subquadraticam, seu ubi ordinatae [latex]EF[/latex] sive [latex]v[/latex] sunt inter se ut cuborum: ab abscissis [latex]NF[/latex] (posito [latex]AN[/latex] esse [latex]a[/latex]) radices quadraticae, et latus rectum hujus paraboloidis erit [latex]\frac{27}{2}a[/latex].
Facile etiam patet consideranti rectam [latex]CE[/latex] perpendicularem ad curvam [latex]AC[/latex] esse tangentem lineae centrorum [latex]EE[/latex]. Cum enim supra dictum sit circulum centro [latex]1E[/latex] descriptum transire debere per tria curvae puncta inassignabiliter distantia [latex]1C[/latex]. [latex]2C[/latex]. [latex]3C[/latex]. ideo tantum opus est ut ex rectarum [latex]1C2C[/latex]; et [latex]2C3C.[/latex] punctis mediis educantur perpendiculares, quae conccurrent in puncto [latex]1E[/latex], eodem modo invenietur punctum [latex]2E[/latex], et [latex]3E[/latex] et [latex]4E[/latex]. Et ob distantias inassignabiles, erunt [latex]1C2C[/latex], et [latex]2C3C[/latex], et [latex]3C4C[/latex], etc. tangentes curvae [latex]CC[/latex]. ad quae perpendiculares sunt [latex]1M1E[/latex], [latex]2M2E[/latex], [latex]3M3E[/latex], etc. et [latex]1E2E[/latex], [latex]2E3E[/latex], [latex]3E4E[/latex], tangentes curvae [latex]EE[/latex] continuatae sunt ipsissimae [latex]2M2E[/latex], [latex]3M3E[/latex] etc. Ergo perpendiculares curvae [latex]CC[/latex] sunt tangentes curvae [latex]EE[/latex]. Et proinde linea centrorum curvedinis, est illa ipsa cujus evolutione describitur curva; ita si filum [latex]NAE[/latex] rectum ab [latex]A[/latex] ad [latex]N[/latex], inde flexum circa paraboloeidem rigidam supradictam [latex]EE[/latex], in eodem semper plano manens evolvatur, sive continue tensum moveatur ab [latex]ANE[/latex] ad [latex]CE[/latex], curva a puncto [latex]A[/latex] descripta erit parabola, et differentia rectarum [latex]CE[/latex] et [latex]AN[/latex] aequabitur arcui paraboloeidis cubico-subquadraticae [latex]NE[/latex].
Caeterum circulus centro [latex]N[/latex] in axe sumto radio [latex]AN[/latex] dimidio latere recto descriptus quem ex praecedenti definitione pro mensura Curvedinis parabolae in vertice, sumsimus licet longo tractu parabola osculari videatur, longe majore scilicet, quam ullus alius circulus illic tangens revera tamen eam, non contingit nisi in uno puncto, neque enim ulla pars parabolae ulli arcui circulari congruere potest. Et quemadmodum directio curvae [latex]CA[/latex] eadem censetur in [latex]A[/latex] quae rectae tangentis [latex]TA[/latex]. et curva [latex]CA[/latex] aliam lineam [latex]DE[/latex] secans eandem facere angulum censetur [latex]AD[/latex] quem recta tangens, nempe angulum [latex]TAD[/latex], neglecto angulo contactus [latex]TAC[/latex] tanquam infinite parvo respectu anguli [latex]TAD[/latex]. Ita curvedo seu flexio curvae [latex]CA[/latex] in puncto [latex]A[/latex] eadem censetur quae circuli [latex]HA[/latex] centro [latex]N[/latex] per [latex]A[/latex] descripti intus tangentium maximi, et flexio curvae [latex]FA[/latex] eadem quae circuli [latex]KA[/latex] et angulus contactus duarum curvarum, nempe [latex]CAF[/latex], idem censebitur, qui duorum circulorum, nempe ang. [latex]HAK[/latex] neglectis angulis contactuum, quos curvae faciunt cum circulis eandem flexinem habentibus tanquam infinite parvis. Nam angulus contactus [latex]CAH[/latex], curvae [latex]CA[/latex], cum suo circulo osculante [latex]HA[/latex], est infinite parvus respectu alterius anguli contactus ordinarii ut [latex]CAF[/latex] vel [latex]CAK[/latex], quem curva cum alia linea ut [latex]FA[/latex] vel [latex]A[/latex] facit quia est minor quovis angulo contactus circulari; si enim circuli [latex]HA[/latex] radius [latex]AN[/latex] utcunque parva accessione augeatur, circulus statim cadet extra curvam [latex]CA[/latex]. Itaque angulus osculi, seu contactus [latex]CAH[/latex] curvae cum circulo osculante sive eandem flexionem habente; est ad angulum contactus communem duorum circulorum ut [latex]HAK[/latex], quemadmodum angulus contactus rectae eandem cum curva directionem habentis seu tangentis, se habet ad angulum rectilineum. Et, si duae curvae sese osculentur, sive eandem in puncto contactus flexionem habeant, ut [latex]HA[/latex] et [latex]CA[/latex], eundem habentes circulum maximum intus tangentem angulus osculi [latex]HAC[/latex] etiam infinite parvus erit comparatione anguli contactus communis, ut [latex]CAF[/latex].
Et quando hoc contingit, ut duae curvae sese osculentur, tunc lineae earum generatrices, quarum evolutione describuntur, sese tangunt ita ponamus curvas [latex]HA[/latex], et [latex]CA[/latex] se osculari, seu eadem cum curvedine contingere in [latex]A[/latex], et [latex]CA[/latex] generari evolutione curvae [latex]CPQ[/latex], [latex]HA[/latex] evolutione curvae [latex]HPR[/latex] et [latex]PA[/latex] esse radium circuli centro [latex]P[/latex] descripti, eandem cum duabus curvis curvedinem habentis, is utique erit perpendicularis ad curvas [latex]HA[/latex], et [latex]CA[/latex], et tangens ad curvas [latex]CPQ, HPR[/latex], ergo hae duae curvae sese etiam tangent. Quod si lineae [latex]CPQ[/latex] et [latex]HPQ[/latex] non sese tantum tangerent, sed et oscularentur, tunc lineae [latex]HA[/latex] et [latex]CA[/latex] sese plusquam oscularentur, seu quaerere punctum occursus [latex]A[/latex] esset problema adhuc plures quam ante habens radices aequales. Et ita Anguli contactus varios habent gradus in infinitum, ita ut semper sequens sit inassignabilis respectu praecedentis, et proinde negligendus. Et pro puncto [latex]A[/latex] (si osculum esset in [latex]P[/latex] posset quaeri Ellipsis (vel alia Conica aut etiam altior) secans curvam propositam pluribus punctis, quam in quibus circulus eam secare posset. Tandemque ponendo omnia puncta intersectionum coincidere, haberetur quasitae parabolae positio. Sed curvae illae altiores non habent uniformem flexionem ut Circulus; nec opus est, ut his nunc immoremur, sufficit enim aditum rei plane novae aperuisse. Utra autem curvarum sese osculantium cadat extra alteram invento contactu curvarum evolutione generantium et curvedinibus, quas habent, facile determinatur.