De Angulo Contactus et curvedine et de natura quantitatis [1682 - 1684 (?)]

Transcription of De Angulo Contactus et curvedine et de natura quantitatis [1682 - 1684 (?)]

 

Ut appareat quam parum perspecta sit ipsa natura quantitatis in universum controversiam (rem inter Geometras rarum) ex ejus ignoratione profectam consideremus de Angulis curvarum linearum disceptatum saepe est inter Geometras, occasionem praebente Euclide, qui dixit (recta [latex]AB[/latex] circulum $CDE$ tangente in puncto $C$) angulum contactus ($BCE$ vel $ACD$) quem circulis facit cum recta tangente esse quovis rectilineo acuto minorem id est si ad idem punctum $C$ cum rectae eidem $AB$ occurrant circulus $CDE$ rectam tangens, et alia recta $CF$ fore angulum contactus $ACD$, minorem rectilineo $ACF$, quia recta necessario circulum secat in $D$ et ita arcus $CD$ cadit inter duas rectas. Idem Euclides notavit, angulum $GCD$ quem recta $GD$  [sic $GC$] per centrum circuli transiens facit cum arcu circuli $CD$, esse quovis angulo acuto $GCF$ majorem. Quia scilicet recta $CF$ cadit inter arcum $DC$, et rectam $GC$. Inde jam quaeri coeptum est an angulus contactus sit quantitatas, et quomodo possit mensurari, aliaque multa quae in scriptis contrariis Jacobi Pelletarii et Christophori Clavii legi possunt.

Sed mirum non est haec illorum temporibus fuisse obscuriora, cum ne nunc quidem, ubi generales linearum proprietates magis innotuerunt, satis in clara luce posita sint. Cum vero res magni sit momenti ad ipsam curvedinis naturam intelligendam, operae pretium visum est eam rimari profundius.

Primum ergo definiam, non tam quid sit angulus, sufficit enim scire quod duae lineae angulum facere dicantur utrum scilicet sit inclinatio linearum, an quantitas puncti; quam quando duae lineae angulum facere dicantur, scilicet quando sibi occurrunt, nec tamen coincidunt. Et dicam angulum angulo majorem, exempli gratia angulum $ACF$, quem recta $ACF$ quem recta $FC$ facit ad rectam $AC$ angulo $AC$ quem arcus $HC$ facit ad rectam $AC$; quando sumtis punctis $L$ in recta $FC$, et $K$ in arcu $HC$ utcunque seu indefinite propinquis puncto concursus $C$. semper reperitur portio $KC$ cadere inter $AC$ et $LC$. Jam quaeritur an angulus contactus quem curva facit cum recta tangente sit quantitas, prius explicandum est quid hic quantitas esse dicatur.

Et quidem si quantitas, illud esse dicitur, quod aliquo sensu dici potest esse alio minus, vel majus utique erit quantitas, secundum definitionem, quam attulimus, quam negare esset litigare de voce.

Sed ita punctum etiam erit quantitas respectu lineae, est enim utique in linea, et eodem jure quo angulum contactus diximus rectilineo minorem, poterit dici minus lineae; unde etiam solet punctum dici in extensione minimum. Et, si omne quod alio minus est, quantitas est, etiam punctum quantitas erit. Potest etiam dici duo puncta esse aequalia inter se, congruunt enim. Verum cum alio sensu arctiore negetur punctum esse quantitatem, id unde fiat videamus, nimirum quia punctum caret partibus. Recte: An ergo angulus contactus habet partes. Videamus.

Duo circuli tangant rectam $AB$ in $C$, unus minor $CEH$, alter major $CMG$. Videtur dici posse angulum contactus $BCE$ componi ex duabus partibus, angulo contactus $BCM$ (rectae cum circulo majore) et angulo contactus $MCE$ (circulorum inter se). Largiamur haec sane, sed videamus etiam an non reperiatur strictior adhuc notio quantitatis, qua negata solet negari quantitas. Dico ergo ut dicatur aliqua res esse quantitas, seu habere quantitatem, non sufficere ut habeat partes eo quo diximus modo, sed etiam ut possit habere partem dimidiam, partem tertiam, etc. seu ut partes habeant rationem aliquam ad totum.

Quaero ergo quam rationem inter se habeant duo anguli contactus, circulorum cum recta, nempe $BCM$ et $BCE$, et quonam ex principio possint mensurari quodsi nulla talis mensura possit reperiri, tunc dicemus etiam nec angulum contactus circuli cum recta (hoc quidem sensu) esse quantitatem. Ex quo apparet Andabatarum more hic pugnasses qui ne notionem quidem quantitatis satis perspectam habebant.

Nimirum quaecunque ista quantitatem habere dicuntur, ut possint mensurari, ea debent esse homogenea inter se. Sed hic in novam incidimus difficultatem, nemo enim explicuit, quid sit duas quantitates homogeneas esse inter se. Dico Homogenea esse, quae vel sunt similia, vel transformari possunt in similia. Ita linea recta et curva homogeneae sunt, et mensurabiles, ac comparabiles quoad mensuram, nam si curva extendatur in rectam, facta est rectae similis, et duae curvae in rectas extensae, similes inter se fiunt. Sed nunquam linea et superficies poterunt similis reddi; Nec angulus rectilineus transformari potest in angulum contactus.

Hinc jam quod componitur ex partibus, quae non sunt homogeneae inter se, non dicitur quantitas exempli gratia extensum $GHDCEH$ compositum area sphaerae $GHDCE$ et longitudine rectae $GH$, seu si pomum aliquod fingatur pediculus (μἰσχος) $HG$ sit linea, sive careat omni latitudine et crassitie; tale compositum ex stylo et pomo non poterit dici quantitas. Tale plane compositum esset angulus $DHG$ constans ex angulo recto $PHG$ et angulo contactus $DHP$, qui si hi duo omnino inter se sunt heterogenei. At linea $GHEC$ est quantitas, nam partes rectae $GH$, et arcus $HEC$ homogenea sunt.

Euclides aliam attulit notionem qua explicat an duae quantitates sunt homogeneae, nimirum quando minus a majore, auferendo quoties fieri potest, et residuum rursus a minore, et residuum secundum a primo, et tertium a secundo, et ita porro, tandem vel restat nihil; (quando scilicet duae quantitates habent mensuram communem) vel devenitur ad quantitatem data quavis minorem, quae proinde nihilo aequiparari potest. Quod perinde est ac si dixisset homogenea esse inter se rationem habent. Ita enim omnis ratio explicari potest, si ad congruentias revocetur. Sed simplicior est meus explicandi modus, ut enim congruentia est principium aequalitatis (aequalia enim sunt quae reddi possunt congrua) ita similitudo est principium homogeneitatis, seu comparabilitatis, ut comparabilia sint quae reddi possint similia. Similia autem esse inter se homogenea tam per se manifestum esse, quam congrua esse aequalia.

Hinc patet jam angulos rectilineos posse haberi pro quantitatibus. Sunt enim semper similes, et cum generentur uniformiter ut arcus circulorum, hinc arcus inter se sunt ut anguli, et anguli $ABE$ quantitatem metimur ratione arcus $AE$ ad quadrantem $AEC$ quae eadem est in magno aut parvo circulo.

Addo et angulos contactuum circulares posse certo modo haberi pro quantitatibus. Sint circuli $CDH$, $CLE$, $CMF$, $CNG$, se tangentes in $C$ et sint diametri $CD$. $CE$. $CF$. $CG.$ intelligi potest quosdam angulos contactus inaequales esse similes inter se; nempe sit $CD$ ad $CE$ ut $CE$ ad $CG$ erit angulus $HCL$ similis angulo $LCN$, neque enim discerni possunt, nisi compraensentia.

Et generaliter si circulus $CHD$ et $CLE$ se tangant rursus $PSQ$ et $PTR$ et sint diametri $CD, CE,$ inter se, ut diametri $PQ, PR$ inter se erunt anguli $HCL$, et $SPT$ similes.

Et proinde crescentibus proportionaliter diametris etiam proportionaliter crescent anguli, sive si tres circuli circa $CD$. $CE$. $CF$ descripti se tangant, et tres alii circa $PQ$. $PR$. $PV$, sintque $CD$. $CE$. $CF$ ipsis $PQ$. $PR$. $PV$ proportionales, dictum est angulos $HCL$, $HCM$, $LCM$, respondentibus $SPT$, $SPX$, $TPX$ esse similes, ergo erit $HCL$ ad $LCM$ ut $SPT$ ad $TPX$.

Hinc si quatuor radii circulorum se tangentium continue proportionales $CD$, $CE$, $CF$, $CG$ erunt tres anguli contactuum circuli cujusque cum proximo, etiam continue proportionales, nempe $HCL$, $LCM$, $MCN.$ et quinque assumtis radiis continue proportionalibus erunt quatuor anguli continue proportionales et ita porro. Possumus ergo radiorum incrementa assumere pro angulorum mensuris.

At inquies sunt tamen in hac aestimatione imperfectiones quaedam, nam nunquam ostendi potest unum angulum contactus duorum circulorum esse aequalem vel determinatae rationis, ad angulum contactus duorum aliorum circulorum prioribus inaequalium; nec unus angulus contactus, alteri dissimilis, ita transformari potest, ut fiat ei similis; neque ulla hic locum habet congruentia, sed solum similitudo inaequalium.

Huic imperfectioni occurremus deductione ad absurdum, eadem methodo qua utitur Archimedes in transformatione curvilineorum demonstranda; licet enim in angulis contactus nulla realis locum habeat transformatio locum tamen habet demonstratio, saltem ex hypothesi, quod detur angulo contactus circulari alius proximus aequalis.

Inde enim theorema mirabile sequitur quod si radii vel diametri sunt progressionis Geometricae, posito angulos contactuum esse progressionis Arithmeticae, et si diametri sunt ut numeri, angulos contactuum circularium fore ut logarithmos. Et cum recta haberi possit pro circulo diametri infinitae, erit angulus contactus rectae et circuli, ad angulum contactus duorum circulorum, ut logarithmus numeri infiniti (qui ipse infinitus est, certo tamen modo, nempe ut $1 +\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} $ etc.) ad logarithmum numeri finiti.

Quod autem diametris sint progressionis Geometricae, sint angulis existentibus progressionis arithmeticae, sic ostendo: sint anguli duo aequales tres $WCH$, $HCL$, $LCM$ erunt quatuor radii $CW$, $CD$, $CE$, $CF$ proportionis Geometricae continuae per demonstrate, continuetur progressio utcunque, ut sint radii $CW$, $CD$, $CE$, $CF$, $CG$, $CZ$, $CB$, etc. quotcunque, erunt etiam anguli $WCH$, $HCL$, $LCM$, $MCN$, $NCY$, $YCA$, etc. aequales. Cumque idem etiam verum sit utcunque exiguus assumtus sit angulus $WCH$, manifestum est omnes alios ex eo tanquam communi mensura conflatos intellegi posse, errore existente minore, quam ipse est angulus $WCH$, seu minore quovis dato. Si quis autem neget hypothesin, nempe angulo contactus dato, $WCH$ apponi posse aequalem $HCL$. Erit ergo vel necessario major vel necessario minor; nam ob uniformitatem processionis, quia radiis proportione geometrica crescentibus, etiam anguli proportione geometrica procedunt necesse est, vel radiis crescentibus angulos semper crescere, et ita angulus $HCL$ necessarie foret major angulo $WCH$; vel radiis crescentibus angulos semper decrescere, et ita $HCL$ necessario foret minor quam $WCH$; vel denique posse esse aequales. Si angulus quivis $WCH$ est major quam $HCL$, sequitur angulum $WCH$ esse infinituplum radii. Nam indefiniti numero novi anguli contactus describi possunt inter $WCH$ et $HCL$, quorum quilibet est major ipso $WCH$ ex hypothesi, et aggregatum omnium aequatur ipsi $HCL$, ergo $HCL$ majorem habebit ad $WCH$, rationem quavis data. Contra si $WCH$ necessario major est quam $HCL$ sequetur $WCH$ infinituplum esse ipsius $HCL$. Utrumque est absurdum. Superest ergo ut possit angulo alius apponi aequalis, unde sequitur diametris crescentibus progressione Geometrica, angulos prioribus apponi aequales, seu totos angulos, (additis prioribus) esse crescere proportione Arithmetica.

Intellegi etiam hinc potest, etsi curvedines circulorum et anguli contactuum cognatam habeant naturam, tamen aliam esse rationem angulorum, quam curvedinum; sunt enim curvedines circulorum reciproce ut radii vel diametri, seu curvedo circuli $CHD$ ad curvedinem circuli $CLE$ est ut $CE$ ad $CD$. Cum enim similis per omnia sit generatio duorum circulorum utique alia comparatio curvedinum esse non potest.

Porro quoniam Circulorum curvedo ubique est uniformis, ea optime poterimus metiri curvedines aliarum linearum sit curva linea quaecunque $ACB$, quam in puncto $C$ tangat recta $DE$, cui si intra curvam ducta $PC$ ad angulos rectos occurrat in puncto $C$. Manifestum est si puncto quocunque $P$ tanquam centro in recta $PC$ sumto, radio vero $PC$ describatur circulus eum tangere curvam $ACB$ in $C$. Unde circuli infiniti eandem curvam in eodem puncto tangere possunt, quaeritur ergo quisnam ex his eandem cum curva proposita curvedinem habere intellegi possit, seu ad mensurandam ejus curvedinem serviat. Quod ut inveniamus considerandum est, prout radius sumitur magnus circulum tangentem aut cadere intra curvam, ut $FCG$, aut extra curvam ut $HCK$ et potest dici curvedo illius esse minor quam curvae, hujus vero major. Necesse est ergo dari unicum aliquem eorum qui intra curvam describi possunt ultimum seu maximum, $LCM$ curvedo intelligi potest eandem quae curvae ipsius quia si vel minimum augeatur, major fit. Itaque vel eandem erit, vel certe innassignabiliter (seu minore differentia quam quavis data) ab ea differet, quod pro eodem haberi potest. Cumque circulum quaerere qui curvam tangit, sit problema duas (minimum) habens radices aequales; ideo circulum tangentem quaerere maximum intra curvam erit problema tres habens radices aequales; si autem duae curvae sese tangant angulus contactus eorum idem intelligi potest cum quo angulos duorum circulorum eandem quam curvae, curvedinem habentium.

Tantum