Transcription of Sans titre, sur l’interpolation de Mengoli
- Recto -
20 Martii 1679
Neutonus usus solum progressione hac, ex tabula ♀︎ sumta : $\sqrt{^{}}1$ $\sqrt{^{}}ar$ $\sqrt{^{}}a^2r^2$ $\sqrt{^{}}a^3r^3$, etc. Earumque interpolavit et demonstravit per quadraturam in ea per series infinitas. Excerpendæ jam et aliæ series idemque in ipsis est tentandum. Ostendunt autem hæ Tabulæ quoniam quadraturæ ex quadratura circuli pendeant quod non ostendunt series.
$AB$ æqu. $a$
$BC$ æqu. $r$
$\sqrt[2]{^{}}a^zr^\nu$ æqu. $BD$ si tam $z$ quam $\nu$ sint numeri impares figura cuius hæc est ordinata pendet a quadratura circuli, alius est absolute quadrabilis.
$BD$ æqu. $\sqrt{^{}}ar$ posito $BDQ$ esse circuli quadrantem $AC$ æqu. $CQ$
Tabula ♀︎ est figurarum quadrandarum
.......... ☽ ... numerorum quadraturam exprimentium
In tabula ☽ accommodari possunt series unitatis fractionum terminis ut cohæreant ubi dissonæ videntur. Ita pro $AB$ scribi potest : $\frac{2}{2}$. $\frac{2}{3}$. $\frac{2}{4}$. $\frac{2}{5}$ etc. et pro $BC$ scribi potest : $\frac{6}{15}$. $\frac{4}{15}$. $\frac{4}{15}$. $\frac{6}{15}$ et pro $DE$ scribi potest : $\frac{4}{8}$. $\frac{4}{15}$. $\frac{4}{24}$. $\frac{4}{35}$. $\frac{4}{48}$. $\frac{4}{63}$. $\frac{4}{80}$. Hinc patet terminum $D$ posse et debere exprimi diversis modis, ut diversis seriebus congruat ita pro serie $AB$ exprimitur per $\frac{2}{4}$ et pro serie $DE$ per $\frac{4}{8}$. Si daretur expressio quædam communis omnium terminorum in ☽ quadrans undique pro tota Tabula ☽. Ex respondentibus terminorum Tabulæ ♀︎ (qui undique quadrant) exponentibus constanti regula derivata, haberetur et valor ipsius $b$. Qui cum sit transcendens et pertineat ad cyclometriam, opus est et expressionem illam communem in terminis transcendentibus quæri.
Possunt generaliter determini termini Tabulæ ☽ a terminis Tabulæ ♀︎, adhibendo series infinitas : sed desideratur ut loco seriei infinitæ res reducatur ad potentiam vel radicam cuius exponens non sit numerus rationalis. Inter cætera tentandum an quomodo ipsarum $\sqrt{ar^2}$, $\sqrt{ar^4}$ quadratrix inveniri potest calculo differentiali, etiam ipsius $\sqrt{^{}}ar$ quadratrix inveniri possit. Licet exponentes ipsius quadraticis fiant irrationales ubi id tuum agendum ut hæ irrationales se mutuo destinant forte una alteram multiplicante vel dividente in exponente quadraturæ seu ipsius $\sqrt{^{}}ar$.
[Crossed calculations]
sit $z$ æqu. $\frac{1}{y}$ fiet [break]
est autem $d\overline{\frac{1}{y}}$ æqu $\frac{+d\overline{y}}{y^2}$. Ergo $\int$ [break]
investiganda $\int\overline{z^{d\overline{z}}}$ [break]
$d\overline{\sqrt{z}}$ æqu. $\frac{1}{\sqrt{^{}}z} d\overline{z}$
$d\overline{\frac{1}{\sqrt{^{}}y}}$ æqu. $\sqrt{^{}} y d\overline{\frac{1}{y}}$
$\frac{1}{y} - \frac{1}{y+d\overline{y}} \sqcap$ [break]
- Verso -
[marge] Nota qualiscunque sit $a$. vel $r$. modo $d\overline{a}$ æq. $+ \ d\overline{r}$ procedet Tabula, adeoque ampliatur in infinitum
$d\overline{a}$ æqu $d\overline{r}$ $d\overline{ar}$ æqu. $d\overline{a} r + d\overline{r}a$.
Datur $\int \overline{\sqrt[z]{ar} d\overline{ar}}$ æqu. $\frac{\fbox{$\frac{1}{z} + 1$}\frac{}{ar}}{\frac{1}{z}+1}$ vel : $\frac{\sqrt[{}^{\fbox{$\frac{z}{1+z}$}}]{ar}}{\frac{z}{1+z}}$ æqu. $\int\overline{r \sqrt[z]{ar} d\overline{a}}+ \int\overline{a\sqrt[z]{ar}d\overline{r}}$.
Hinc patet generaliter dari quadraturam huiusmodi figuræ : $ \int\overline{r\fbox{$\nu$}\overline{ar} d\overline{a}}$ posito $d\overline{r}$ æqu $d\overline{a}$ Sed hanc : $\int\overline{\fbox{$\nu$}\overline{ar} d\overline{a}}$ posito $d\overline{a}$ æqu $-d\overline{r}$, dari ex quadratura Circuli et posito $d\overline{a}$ æqu $+d\overline{r}$ dari ex quadratura Hyperbolæ. Si $\nu$ est numerus fractus. Nam si sit numerus integer datur quadratura communi more modo $a$ et $r$ sint quantitates rationales. NB $z$ debet esse numerus par. Generaliter quandocunque proponitur quadratura alicuius figuræ ex $r$. et $a$. posito $d\overline{r}$ æqu. $\pm d\overline{a}$, adddatur ei alia similis eodem modo composita ex $a$. et $r$. quo prior ex $r$. et $a$. inde calculo quæritur an eius summatrix inveniri possit. Vel si non additur eodem modo composita addatur alia cuius datur quadratura etiam ex $a$. et $r$. composita. Magna in his calculi quadraturam compendia. Videndum quomodo hoc modo par calculum ostendatur hæc omnia pendere ex solo hoc : $\int\overline{\sqrt{ar}d\overline{a}}+\int\overline{\sqrt{ar}d\overline{r}}$.
Nota : quæramus eas figuras Tabulæ quæ quadrantur absolute et quadratricem etiam exprimamus per $ar$.
Nota $a^2$ vel $a^3$, etiam exprimi potest per $ar$ est enim $a^2r^0$ vel $a^3r^0$ ; quadratrices ergo facile investigabimus methodis jam notis. At habitis semel quadratricibus ex illis per calculum differentialem derivabimus Tabulæ ♀︎ terminos. Et videbimus an possis generalis quidam exponens vel modus calculandi vel aliquid simile reperiri, undi sequatur omnes qui exacte quadrari non possunt ad unum 6 reduci. Nimirum assumamus ipsam 6. XXX quadraturæ circuli $\int\overline{1+x,1-x}d\overline{x}$ inter calculandus seu $\int\overline{\sqrt{ar}d\overline{a}}$. facile alii inde derivabuntur v.g. $r\int\overline{\sqrt{ar}}d\overline{a}$ est quadratrix huius figuræ : $\int\overline{\sqrt{ar}d\overline{a}}d\overline{r} + \int\overline{\sqrt{ar}d\overline{a}}rd\overline{r}$ posito $d\overline{a}$ æqu $d\overline{r}$ XXX $ar$ facilis
$AB$ æqu. $a$ æqu. $\theta D$
$CB$ æqu. $r$ æqu. $\theta E$
$BF$ æqu. $a\sqrt[z]{ar}$
$BG$ æqu. $r\sqrt[z]{ar}$
Datur area $AHGFA$ imo et datur area $FGKLF$. ergo ponendo $FG$ æqu. $KL$. adeoque $ML$ æqu $BG$. et $BF$ æqu $KM$. dabitur et area $FBMLF$ quæ ipsius $FGKLF$ est dimidia cum puncta $B$. $M$ ab $N$ (inter $A$ et $C$ medio) æqualiter distant. Sed quoniam punctum $N$ non est determinatum quandoquidem alia longitudo pro $AC$. assumi potest : videntur hinc et cætera duci posse. Item sufficit hoc modo inveniri seriem sumatricem pro qualibet eiusmodi parte, dabitur ergo linea seriei summatricis. Ergo et, pro toto. Tantum videndum quomodo hoc artificium de area $FBMLF$ ex calculo potuerit derivari sine inspectione figuræ et auxilio imaginationis.