Dualgruppe (sans Modulgesetz) généré par a, b, c avec la condition spéciale Annahme : b-c=c-a=a-b. Propriétés du Dualgruppe étudié. Références à des lois numérotées mais lesquelles ? lois définissant les Dualgruppen ?

Tableau de comparaison entre les modules et les groupes. Comparaison systématique des diverses propriétés : opérations, divisibilité, lois, nombres de classes...

A partir de trois modules a, b, c, avec opérations + et –, génération

Liste des différentes combinaisons possibles + et – pour trois modules a, b, c

Recto. Etude de propriétés des opérations + et –. Première liste (numérotée de 1 à 6) montre dualité. Liste de 3 hypothèses et étude de ce qui en résulte pour les 6 égalités données au dessus. Verso. Hypothèse supplémentaire. Théorème : Si m>d, et p quelconque, alors (p+m)-d=(y-d)+m. Preuve sans nouveau principe. (Pas la conclusion qu'il voudrait.)

Si m>θ, alors on a toujours (p+m)-θ=(p-θ)+m.

Preuve "insuffisante".

Recherches autour du Modulgesetz, petits calculs et tentative de preuve.

Courte étude des conditions pour avoir c₃>b''' et c₃<b''' ? Puis de (a+b)-c<(a-c)+b suit (a+b)-c=(a-c)+b

Page 8. Deux chaînes de modules a (m membres) et b (n membres), on construit c=a-b et d=a+b. Étude des différentes relations. En marge : "Les PGCD formés par a, b, a-b correspondent aux PPCM formés par a, b, a+b et forment donc un groupe."
Manipulation des opérations et relations autour du Modulgesetz. Généralisation de l'égalité à un nombre quelconque de modules.
Théorème général et preuve.

Au verso, quelques notes (mêmes égalités ?) avec la notation des morphismes / Abbildungen.


Page 9. Suite des calculs pour la preuve du théorème.

Séparation. Etude pour trois modules. Operations, Treppen, diagrammes, Ketten.

Verso : Schöner Satz falsch, 1889. 1. 4. 
Calculs sur des modules finis (exemple ?)

Si a>p>a+b, on construit pour chaque tel module p un module correspondant q=a-b, alors a-b>q>b et p=q+a. Réciproquement, si a-b>q>b, et on construit pour chaque tel module q un module p=q+a, alors a>p>a+b et q=p-b.
Alors, le groupe P de tous les modules p vérifiant la condition a>p>a+b est en correspondance mutuelle uniforme avec le groupe Q de tous les modules q qui vérifient b<q<b-a.
Dessin.

En marge autour du résultat : calculs de combinaisons et chaînes mais est-ce vraiment en lien?

Seulement 4 lignes, apparemment interrompu – lié au Modulgesetz.

Pages mélangées. p. 46r : quelques calculs, suite de p. 47v. p. 46v : vierge. p.47r : quelques recherches sur le Modulgesetz au crayon par dessus une invitation. p. 47v : calculs sur les modules finis (encre).

Étude des opérations pour 3 idéaux a, b, c. Liste des éléments engendrés, étude des propriétés.

Première rédaction de l'article de 1900

Théorèmes de la "théorie des modules" (eg propriétés de la divisibilité) réécrites avec la notation générale de théorie des ensembles. Partie de la généralisation de la théorie des modules.

Plan détaillé proche de l'article de 1897. NB titre un peu différent : Über Zerlegung von Zahlen oder Idealen durch ihrer gr. gem. Theiler. Pages dans l'ordre inverse de lecture (pages 8 à 1).

Quelques calculs au crayon. Remarque du 17.11.1890 : "Cet exemple d'un "Summengruppe" ..."

Feuillet commence par un tableau non terminé. Liste des Treppen. Petits calculs autour du Modulgestz. NB : La disposition des écritures permet-elle de mettre en avant la "symétrie" ou "dualité" ?

Tentative de généralisation du Modulgesetz (non nommé). Notation mixte. Plusieurs théorèmes avec tentative de preuves.
Fin du manuscrit : Einfacher ausgedrückt + mention de la dualité. Ces réflexions autour de l'application du Modulgesetz à un nombre quelconque de modules donne : et son dual.

Esquisse de preuve du Modulgesetz.

Tableau des PGCD et PPCM. Liste du nombre de fois qu'apparaissent chaque PGCD, PPCM.

Calculs sur des modules finis suivis des lois générales.

Coupé en deux, partie 1 : calculs sur modules finis Partie 2 : théorème général lié au Modulgesetz

Liste de relations de divisibilité et chaînes en deux "colonnes" (pour < et >).

Recto : liste d'égalités pour 3 modules a, b, c. PGCD, PPCM, divisibilité et chaînes. Verso : étude de certaines chaînes et tentative de représentation par des diagrammes similaires à ceux utilisés aujourd'hui pour les treillis.

Recto : grand tableau corrigé au fur et à mesure de son élaboration. Verso : calculs divisibilité, nombre de classes. En fin de page : "Symétrie en fonction de a, b, c !!!".

Liste d'égalités pour les modules. Tableaux de multiples, sommes. Vérification selon conditions. Vérification associativité. Paragraphe sur la "source du dualisme" (qui est ici le Modulgesetz).

Énoncé du Modulgesetz. Étude d'un Dualgruppe généré par 3 modules avec condition (1) (lié au Modulgesetz).

Commence par une étude du "groupe" généré par 3 modules ou trois groupes abéliens. Reformulation dans la notation utilisée pour la théorie des groupes (eg Modulgesetz). Étude du treillis formé par les sous-groupes normaux.

Grand feuillet plié en deux : - égalités / Modulgesetz - égalités / nombre de classes

Page 28r : liste de modules finis avec notation 123 (?) 

Page 28v :
La divisibilité d'un module m par un module n sera complètement exprimée par chacune de ces 3 égalités : (m,n)=1 ; m+n=n ; m–n=n.
Tableau montrant la dualité entre les propriétés de + et –.

Page 29r :
Propriétés des nombres de classes par à la divisibilité.

Page 29v :
Suite du recto.

Recherches écrites au dos d'un emploi du temps universitaire plié en 2 et contenant plusieurs feuillets.

• p. 53r est une page intérieure de cet emploi du temps mais la 3e page des recherches de Dedekind
• p. 53v est la première page externe de l'emploi du temps
• p. 54r, sur une feuille séparée, est la première page des notes de Dedekind (au dos d'une lettre)
• p. 55-58 sont liées mais antérieures (cf. relations)
• p. 59r est la 2e page externe de l'emploi du temps 
• p. 59v est une page intérieure de l'emploi du temps et la 2de page de notes de Dedekind
• p. 60 est également un feuillet séparé et poursuit la page 53r.

Ordre de lecture : p. 54r, p. 59v, p. 53r, p. 60.