Si a>p>a+b, on construit pour chaque tel module p un module correspondant q=a-b, alors a-b>q>b et p=q+a. Réciproquement, si a-b>q>b, et on construit pour chaque tel module q un module p=q+a, alors a>p>a+b et q=p-b.
Alors, le groupe P de tous les modules p vérifiant la condition a>p>a+b est en correspondance mutuelle uniforme avec le groupe Q de tous les modules q qui vérifient b<q<b-a.
Dessin.

En marge autour du résultat : calculs de combinaisons et chaînes mais est-ce vraiment en lien?

Texte rédigé sur la théorie des modules. Titre alternatif : "Théorèmes généraux sur les modules, ordres et congruences". Définition des opérations et étude de diverses propriétés. Un des premiers écrits sur le sujet.

Tableau pour trois modules a, b, c. Difficile de statuer sur son contenu. Concerne des modules finis.Co

Etude assez générale semi-rédigée d'un système non-modulaire. Pas de mention des Dualgruppen. Références aux Vorlesungen 1894.

Page 28r : liste de modules finis avec notation 123 (?) 

Page 28v :
La divisibilité d'un module m par un module n sera complètement exprimée par chacune de ces 3 égalités : (m,n)=1 ; m+n=n ; m–n=n.
Tableau montrant la dualité entre les propriétés de + et –.

Page 29r :
Propriétés des nombres de classes par à la divisibilité.

Page 29v :
Suite du recto.

A partir de trois modules a, b, c, avec opérations + et –, génération

Petit tableau. Calcul d'Excidenzen et d'Incidenzen. Etude des "Stufen" dans un Dualgruppe donné.

Ensemble de calculs et petites rédactions autour des opérations et de la divisibilité entre modules.

Page 30r : publicité, calculs épars. Page 30v : calculs sur des modules finis (base 2 éléments), calculs sur exemples numériques. Page 31r : page avec le titre "Zweigliedrige Moduln". Réflexions sur la divisibilité. Calculs. Page 31v. Fin ? Proposition de notation différente.

Pages de calculs sur des modules (supposément). Essentiellement nombres de classes.

Courts calculs sur les modules finis.

Liste des différentes combinaisons possibles + et – pour trois modules a, b, c

Calculs et tableau visiblement liés à la page suivante (p. 41, item 289)

Etude de lois et propriétés des opérations (pour modules) dans des conditions particulières. Semi-rédigé.

Grand feuillet plié en deux : - égalités / Modulgesetz - égalités / nombre de classes

Recto. Etude de propriétés des opérations + et –. Première liste (numérotée de 1 à 6) montre dualité. Liste de 3 hypothèses et étude de ce qui en résulte pour les 6 égalités données au dessus. Verso. Hypothèse supplémentaire. Théorème : Si m>d, et p quelconque, alors (p+m)-d=(y-d)+m. Preuve sans nouveau principe. (Pas la conclusion qu'il voudrait.)

Deux théorèmes avec (esquisse de) preuve :
- Soit d module non divisible par des modules p, q, alors il existe toujours des nombres dans d qui sont ni dans p ni dans q.
- Mais dès qu'on considère trois modules p, q, r, le théorème cesse d'être valide. On peut construire une infinité d'exemples.

Liste d'égalités pour les modules. Tableaux de multiples, sommes. Vérification selon conditions. Vérification associativité. Paragraphe sur la "source du dualisme" (qui est ici le Modulgesetz).

Réécriture des éléments générés par trois modules avec la notation a'''=b+c, a₃=b–c, etc.

Étude de la "Verwandschafdt" et des "familles" de modules telles que définis dans les Vorlesungen de Dirichlet (référence à édition de 1871, p. 490). Calcul de "distances" entre modules (ie nombres de "marches" dans "l'escalier") et organisation de ces distances dans un tableau.

Tableau sans titre avec plusieurs modules par colonne. Divisibilité et Treppen ?

Si m>θ, alors on a toujours (p+m)-θ=(p-θ)+m.

Preuve "insuffisante".

Page 11r : Complexe de nombres et éléments distingués. Au crayon sur une invitation de 1893.
Page 11v : calculs de + et - pour des éléments dont la nature n'est pas précisée. Tableaux.
Page 12r : Calculs suite. Calculs sur nombres.
Page 12v : tableau PGCD / PPCM, tableau divisibilité, calculs normes.

Recherches autour du Modulgesetz, petits calculs et tentative de preuve.

Recto : grand tableau corrigé au fur et à mesure de son élaboration. Verso : calculs divisibilité, nombre de classes. En fin de page : "Symétrie en fonction de a, b, c !!!".

Corrections sur le §184 (= §178 de la 3e édition) pour l'édition de 1894 des Vorlesungen de Dirichlet.
Il s'agit du paragraphe sur le nombre de classes d'idéaux.

Attention les pages dans le désordre. L'ordre de lecture semble être : p. 57v (57r = imprimé) puis p. 53 à p. 56.

Recto : liste d'égalités pour 3 modules a, b, c. PGCD, PPCM, divisibilité et chaînes. Verso : étude de certaines chaînes et tentative de représentation par des diagrammes similaires à ceux utilisés aujourd'hui pour les treillis.

Liste de relations de divisibilité et chaînes en deux "colonnes" (pour < et >).

Calculs sur la divisibilité et les nombres de classes pour 3 modules. Conclusion : symétrie en fonction de a, b ,c.

Chaîne de modules b₁ < ... < b_n et un module a, alors on forme a+b₁<a+b₂<...<a+b_n<a<a-b₁<a-b₂<... Exemple avec n=2, modules b_i notés 1, 2, 3 et a noté 0. Calcul de toutes les combinaisons possibles, Treppen, voisins...

Calculs sur des congruences pour étudier relation divisibilité entre modules.
Conclusion partielle : pour des modules quelconques, on a seulement a'''<a₂ mais pas a'''>a₂ donc les conditions données au début sont nécessaires mais en général pas suffisantes.

Courte étude des conditions pour avoir c₃>b''' et c₃<b''' ? Puis de (a+b)-c<(a-c)+b suit (a+b)-c=(a-c)+b

Étude des opérations pour 3 idéaux a, b, c. Liste des éléments engendrés, étude des propriétés.

Page 8. Deux chaînes de modules a (m membres) et b (n membres), on construit c=a-b et d=a+b. Étude des différentes relations. En marge : "Les PGCD formés par a, b, a-b correspondent aux PPCM formés par a, b, a+b et forment donc un groupe."
Manipulation des opérations et relations autour du Modulgesetz. Généralisation de l'égalité à un nombre quelconque de modules.
Théorème général et preuve.

Au verso, quelques notes (mêmes égalités ?) avec la notation des morphismes / Abbildungen.


Page 9. Suite des calculs pour la preuve du théorème.

Séparation. Etude pour trois modules. Operations, Treppen, diagrammes, Ketten.

Verso : Schöner Satz falsch, 1889. 1. 4. 
Calculs sur des modules finis (exemple ?)

Recto : Tableau des éléments pour 3 modules a, b, c. Représentation diagrammatique des chaînes (treillis). Tentative de représentation des relations de divisibilité dans une sorte de tableau. Liste des modules dans l'ordre de leur nombre de diviseurs directs (nächste Vielfach), liste de chaînes. Étude de propriétés des nombres de classes. Verso : Avec une condition particulière, étude des éléments, chaînes, diagrammes.

[ha, hb+cw] avec a, b premiers entre eux. Calculs.

Liste d'éléments pour 3 modules. Organisé en colonnes numérotées. Correction de la place de certains éléments. Pas terminé.

Définition de a''', b''', c''', a'', b'', c''. Quand a-t-on a'''<c''<c ?

Recto : Calculs sur les classes de nombres. Verso : Tableau, chaînes.

Tableau des Nächste Vielfache et Nächste Theiler avec classes de nombres

Liste éléments et "théorèmes" sur les relations entre éléments pour le Modulgruppe engendré par 3 modules. Unmittelbare Nachbaren, chaînes, application aux idéaux.

Première page, calculs sur modules finis générés par 2 éléments. Deuxième page : ancienne notation, application de la théorie générale des trois modules à des modules générés par 2 éléments.

Calculs sur les nombres de classes et relations entre opérations. Application aux idéaux. Cas général : (b-b')+(c-c')=(c-c')+(a-a')=(a-a')+(b-b') et dual.

Formation d'un groupe engenrdré par 3 modules donnés quelconques a, b, c, rang d'un module engendré par application des opérations.
Tableau des modules selon leur rang.
Nombre de classes.

Calculs sur les nombres de classes et lien avec les normes des idéaux.

Seulement 4 lignes, apparemment interrompu – lié au Modulgesetz.

Propriétés des nombres de classes pour 3 modules a, b, c